다르부 공식

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1. 개요

다르부 공식은 φ(t)가 n차 다항식이고 f가 해석 함수일 때, 특정 형태의 합과 적분 사이의 관계를 나타내는 공식이다. 이 공식은 부분 적분을 반복적으로 수행하여 증명할 수 있다. 다르부 공식에서 φ를 (t − 1)n으로 놓으면 테일러 급수 공식을 얻고, φ를 베르누이 다항식으로 취하면 오일러-매클로린 공식이 된다.

다르부 공식

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1. 개요
2. 공식
3. 특수한 경우
- 3.1. 테일러 급수와의 관계

2. 공식

만일 φ(t)가 n차 다항식이고 f가 해석 함수이면 다음 공식이 성립한다.

$\sum_{m=0}^n (-1)^m (z - a)^m \left[\varphi^{(n - m)}(1)f^{(m)}(z) - \varphi^{(n - m)}(0)f^{(m)}(a)\right] = (-1)^n(z - a)^{n + 1}\int_0^1\varphi(t)f^{(n+1)}\left[a + t(z - a)\right]\, dt.$

이 공식은 부분 적분을 반복적으로 적용하여 증명할 수 있다.

3. 특수한 경우

다르부 공식에서 함수 φ를 베르누이 다항식으로 선택하면 오일러-맥클로린 공식을 얻을 수 있다.

3.1. 테일러 급수와의 관계

다르부 공식에서 함수 φ를 특정 형태로 선택하면 다른 중요한 수학 공식을 유도할 수 있다. 예를 들어, φ를 (t − 1)ⁿ으로 놓으면 테일러 급수에 대한 공식을 얻게 된다. 또한, φ를 베르누이 다항식으로 선택하면 오일러-맥클로린 공식을 얻을 수 있다.