부분 적분

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1. 개요
2. 정의
3. 응용
4. 고차원 확장
5. 반복 부분 적분
- 5.1. 표를 이용한 방법
참조

1. 개요

부분 적분은 두 함수의 곱의 적분을 계산하는 적분 기법이다. 이 방법은 곱의 미분법을 활용하여, 적분하기 어려운 함수를 더 쉽게 적분할 수 있는 형태로 변환하는 데 사용된다. 부분 적분은 부정 적분, 정적분, 그리고 고차원 공간에서의 적분에도 적용될 수 있으며, 함수의 푸리에 변환, 감마 함수, 조화 해석 등 다양한 분야에서 활용된다. 부분 적분 공식을 반복적으로 적용하거나, 표를 이용하는 방법 등을 통해 복잡한 형태의 적분도 계산할 수 있다.

2. 정의

부분 적분은 두 함수의 곱으로 표현된 함수의 적분을, 각 함수를 미분 또는 적분한 결과로 나타내는 방법이다.^[1]

$u$ 와 $v$ 가 연속 미분 가능 함수일 때, 곱의 미분법(라이프니츠 규칙)에 의해 다음과 같은 식이 성립한다.

: $\frac{d}{dx}\left(u(x)v(x)\right) = v(x) \frac{d}{dx}\left(u(x)\right) + u(x) \frac{d}{dx}\left(v(x)\right)\!$

양변을 구간 $a \leq x \leq b$ 에서 '' $x$ ''에 관하여 적분하고 미적분학의 기본 정리를 적용하면,

: $\left[u(x)v(x)\right]_a^b = \int_a^b u'(x)v(x)\,dx + \int_a^b u(x)v'(x)\,dx$

이므로, 다음의 '''부분 적분''' 공식을 얻는다.

: $\int_a^b u(x)v'(x)\,dx = \left[u(x)v(x)\right]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\,dx$

부정 적분의 경우에도 마찬가지로 유도할 수 있다.

좌변의 $\int uv'dx$ 는 $v'$ ('' $v$ ''의 도함수)를 포함하고 있으므로, 먼저 '' $v$ '' ( $v'$ 의 원시 함수)를 찾아야 하며, 이어서 부분 적분 공식을 적용하여 적분 $\int vu'dx$ 를 계산한다.

$u$ 와 $v$ 가 연속적으로 미분 가능할 필요는 없다. 부분 적분은 $u$ 가 절대 연속이고 함수 $v'$ 이 르베그 적분 가능할 때 적용된다(그러나 반드시 연속일 필요는 없다).^[3]

2. 1. 공식

만약

I\subseteq\mathbb R

가 구간이며

u,v\colon I\to\mathbb R

가 연속 미분 가능 함수라면 (도함수

u',v'

가 연속 함수라면), 다음이 성립한다.^[17]

:

\int u(x)v'(x)\mathrm dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\mathrm dx

이를

u'(x)\mathrm dx=\mathrm du

및

v'(x)\mathrm dx=\mathrm dv

를 통해 간략히 쓰면 다음과 같다.

:

\int u\mathrm dv=uv-\int v\mathrm du

만약

u,v\colon[a,b]\to\mathbb R

가 연속 미분 가능 함수라면, 다음이 성립한다.^[17]

:

\begin{align}\int_a^bu(x)v'(x)\mathrm dx&=\bigg[u(x)v(x)\bigg]_a^b-\int_a^bu'(x)v(x)\mathrm dx\\&=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int_a^bu'(x)v(x)\mathrm dx\end{align}

곱의 법칙에 따라 다음이 성립한다.

:

uv'=(uv)'-u'v

양변은 모두 연속 함수이므로 부정적분이 존재한다. 양변에 부정적분을 취하면 다음을 얻으므로 부정적분에 대한 명제가 성립한다.^[18]

:

\int u(x)v'(x)\mathrm dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\mathrm dx

또한 양변은 모두 적분 가능하며, 양변에 적분을 취하면 다음을 얻으므로 정적분의 경우가 성립한다.^[17]

:

\int_a^bu(x)v'(x)\mathrm dx=\bigg[u(x)v(x)\bigg]_a^b-\int_a^bu'(x)v(x)\mathrm dx

2. 2. 증명

곱의 법칙에 따라 다음이 성립한다.^[18]

:

uv'=(uv)'-u'v

양변은 모두 연속 함수이므로 부정적분이 존재한다. 양변에 부정적분을 취하면 다음을 얻으므로 부정적분에 대한 명제가 성립한다.

:

\int u(x)v'(x)\mathrm dx=u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\mathrm dx

또한 양변은 모두 적분 가능하며, 양변에 적분을 취하면 다음을 얻으므로 정적분의 경우가 성립한다.^[17]

:

\int_a^bu(x)v'(x)\mathrm dx=\bigg[u(x)v(x)\bigg]_a^b-\int_a^bu'(x)v(x)\mathrm dx

다르게 정리하면 다음과 같다. 두 개의 연속 미분 가능 함수

u(x)

와

v(x)

에 대해, 곱 규칙은 다음과 같다.

\Big(u(x)v(x)\Big)'  = u'(x) v(x) + u(x) v'(x).

x

에 관하여 양변을 적분하면,

\int \Big(u(x)v(x)\Big)'\,dx  = \int u'(x)v(x)\,dx + \int u(x)v'(x) \,dx,

부정 적분은 부정계수를 갖는다는 것을 고려하면,

u(x)v(x)  = \int u'(x)v(x)\,dx + \int u(x)v'(x)\,dx,

여기서 적분 상수는 생략한다. 이것은 '''부분 적분''' 공식을 제공한다.

\int u(x)v'(x)\,dx  = u(x)v(x) - \int u'(x)v(x) \,dx,

또는 미분

du=u'(x)\,dx

,

dv=v'(x)\,dx, \quad

에 관하여

\int u(x)\,dv  = u(x)v(x) - \int v(x)\,du.

이것은 각 변에 지정되지 않은 상수가 더해진 함수의 동일성으로 이해되어야 한다. 각 변의 차이를

x = a

와

x = b

의 두 값 사이에서 구하고 미적분학의 기본 정리를 적용하면 정적분 버전이 제공된다.

\int_a^b u(x) v'(x) \, dx= u(b) v(b) - u(a) v(a) - \int_a^b u'(x) v(x) \, dx .

부분 적분공식은 곱의 미분법을 양변을 적분하여 유도할 수 있다.

:

\frac{d}{dx}\left(u(x)v(x)\right) = v(x) \frac{d}{dx}\left(u(x)\right) + u(x) \frac{d}{dx}\left(v(x)\right)\!

양변을 구간

a \leq x \leq b

에서 ''

x

''에 관하여 적분하면

:

\int_a^b \frac{d}{dx}\left(u(x)v(x)\right)\,dx = \int_a^b u'(x)v(x)\,dx + \int_a^b u(x)v'(x)\,dx

여기서 미적분학의 기본 정리에 의해,

:

\int_a^b \frac{d}{dx}\left(u(x)v(x)\right)\,dx = \left[u(x)v(x)\right]_a^b

이므로,

:

\left[u(x)v(x)\right]_a^b = \int_a^b u'(x)v(x)\,dx + \int_a^b u(x)v'(x)\,dx

즉, 다음의 '''부분 적분''' 공식을 얻는다.

:

\int_a^b u(x)v'(x)\,dx =  \left[u(x)v(x)\right]_a^b - \int_a^b u'(x)v(x)\,dx

부정 적분의 경우에도 마찬가지로 유도할 수 있다.

2. 3. LIATE 법칙 (로다삼지 법칙)

LIATE 법칙(LIATE rule^영어)은 부분 적분에서 어떤 함수를 ''u''로 선택할지에 대한 경험 법칙이다.^[4] 이 규칙은 다음 목록에서 먼저 나오는 함수를 ''u''로 선택하는 것을 제안한다.^[21]

'''L''' – 로그 함수: $\ln(x),\ \log_b(x),$ 등.
'''I''' – 역삼각 함수 (쌍곡선 유사 함수 포함): $\arctan(x),\ \arcsec(x),\ \operatorname{arsinh}(x),$ 등.
'''A''' – 대수 함수 (예: 다항식): $x^2,\ 3x^{50},$ 등.
'''T''' – 삼각 함수 (쌍곡선 유사 함수 포함): $\sin(x),\ \tan(x),\ \operatorname{sech}(x),$ 등.
'''E''' – 지수 함수: $e^x,\ 19^x,$ 등.

''dv''는 목록에서 나중에 나오는 함수로 선택하는데, 이는 목록 아래에 있는 함수가 위에 있는 함수보다 부정적분이 더 간단한 경향이 있기 때문이다.^[4]

한국에서는 이 순서를 "로다삼지"라고도 부르는데, 이는 로그 함수, 다항 함수(대수 함수), 삼각 함수, 지수 함수 순서를 나타낸다.^[21]

LIATE 법칙은 유용한 지침이지만, 항상 절대적인 것은 아니다. 때로는 "ILATE" 순서로 규칙을 고려하거나, 다항식 항을 다르게 분할해야 하는 예외적인 경우도 있다.^[4] 부분 적분은 어느 정도 시행착오가 필요한 경우가 있으며, 주어진 함수를 두 함수의 곱으로 분할하여 변형했을 때 계산이 더 용이해지도록 하는 것이 기본적인 방침이다.^[9]

2. 4. 따름정리

만약

I\subseteq\mathbb R

가 구간이고

u,v\colon I\to\mathbb R

가

n

번 연속 미분 가능 함수라면, 다음이 성립한다.^[18]

:

\int u(x)v^{(n)}(x)\mathrm dx=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^ku^{(k)}(x)v^{(n-1-k)}(x)+(-1)^n\int u^{(n)}(x)v(x)\mathrm dx

이는 부분 적분을 반복하여 증명할 수 있다. 이러한 적분을 풀 때에는 보통 이 공식에 대입하는 대신 부분 적분을 직접 반복하거나 표를 사용한다.

부분 적분 공식의 좌변에 있는 적분에서

v

의 2차 도함수를 고려하면, 우변의 적분에 반복 적용하는 것을 시사한다.

\int u v''\,dx = uv' - \int u'v'\,dx = uv' - \left( u'v - \int u''v\,dx \right).

이 반복 부분 적분 개념을

n

차의 도함수로 확장하면 다음과 같다.

\begin{align}\int u^{(0)} v^{(n)}\,dx &= u^{(0)} v^{(n-1)} - u^{(1)}v^{(n-2)} + u^{(2)}v^{(n-3)} - \cdots + (-1)^{n-1}u^{(n-1)} v^{(0)} + (-1)^n \int u^{(n)} v^{(0)} \,dx.\\[5pt]&= \sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k u^{(k)}v^{(n-1-k)} + (-1)^n \int u^{(n)} v^{(0)} \,dx.\end{align}

이 개념은

v^{(n)}

의 연속적인 적분이 쉽게 구해질 때 (예: 라플라스 변환 또는 푸리에 변환에서와 같이 단순 지수 함수 또는 사인 및 코사인)와

u

의

n

차 도함수가 0이 될 때 (예:

(n-1)

차수의 다항식 함수) 유용할 수 있다. 후자의 조건은 우변의 적분이 사라지기 때문에 부분 적분의 반복을 멈춘다.

부분 적분을

\int v \, du

에 재귀적으로 적용하여 다음 공식을 얻는다.

:

\int uv = u v_1 - u' v_2 + u'' v_3 - \cdots + (-1)^{n-1}\ u^{(n-1)} \ v_{n} + (-1)^n \int{u^{(n)}v_{n}}.\!

여기서,

u'

는 ''

u

''의 1차 도함수,

u''

는 2차 도함수이며,

u^{(n)}

은 ''n''차 도함수를 나타낸다.

v_{n}

은 다음과 같이 정의된다.

:

v_{n+1}(x)=\int\! \int\ \cdots \int v \ (dx)^{n+1}.\!

위의 식은

uv_1

부터 시작하여 첫 번째 항은 차례로 미분하고, 두 번째 항은 적분하면 계산할 수 있다(동시에 부호를 반전하면서). 특히,

u^{(k+1)}

이 어떤

k+1

에서 0이 될 때에는

u^{(k)}

의 항까지로 종료되므로 편리한 공식이다.

3. 응용

부분 적분은 다양한 함수의 적분을 계산하는 데 활용된다.

세 함수 $u(x)$ , $v(x)$ , $w(x)$ 의 곱에 대한 곱 규칙을 적분하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

: $\int_a^b u v \, dw \ =\ \Big[u v w\Big]^b_a - \int_a^b u w \, dv - \int_a^b v w \, du.$

일반적으로, $n$ 개의 인수에 대해

: $\left(\prod_{i=1}^n u_i(x) \right)' \ =\ \sum_{j=1}^n u_j'(x)\prod_{i\neq j}^n u_i(x),$

이는 다음을 유도한다.

: $\left[ \prod_{i=1}^n u_i(x) \right]_a^b \ =\ \sum_{j=1}^n \int_a^b u_j'(x) \prod_{i\neq j}^n u_i(x).$

매개변수 곡선 $(x, y) = (f(t), g(t))$ 를 고려할 때, 곡선이 국소적으로 일대일이고 적분 가능하다고 가정하면, 다음과 같이 정의할 수 있다.

: $\begin{align}x(y) &= f(g^{-1}(y)) \\y(x) &= g(f^{-1}(x))\end{align}$

파란색 영역의 면적은 다음과 같다.

: $A_1=\int_{y_1}^{y_2}x(y) \, dy$

마찬가지로, 빨간색 영역의 면적은 다음과 같다.

: $A_2=\int_{x_1}^{x_2}y(x)\,dx$

총 면적 ''A''₁ + ''A''₂는 더 큰 직사각형의 면적, ''x''₂''y''₂에서 더 작은 직사각형의 면적, ''x''₁''y''₁을 뺀 것과 같다.

: $\overbrace{\int_{y_1}^{y_2}x(y) \, dy}^{A_1}+\overbrace{\int_{x_1}^{x_2}y(x) \, dx}^{A_2}\ =\ \biggl.x \cdot y(x)\biggl|_{x_1}^{x_2} \ =\ \biggl.y \cdot x(y)\biggl|_{y_1}^{y_2}$

''t''에 대한 식으로 나타내면,

: $\int_{t_1}^{t_2}x(t) \, dy(t) + \int_{t_1}^{t_2}y(t) \, dx(t) \ =\ \biggl. x(t)y(t) \biggl|_{t_1}^{t_2}$

부정 적분에 대해 나타내면,

: $\int x\,dy + \int y \,dx \ =\ xy$

이를 정리하면 다음과 같다.

: $\int x\,dy \ =\ xy - \int y \,dx$

따라서 부분 적분은 파란색 영역의 면적을 직사각형과 빨간색 영역의 면적으로부터 유도하는 것으로 생각할 수 있다.

이러한 시각화는 함수 ''f''(''x'')의 적분을 알 때, 그 역함수 ''f''⁻¹(''x'')의 적분을 구하는 데 부분 적분이 어떻게 도움이 되는지 설명한다. 실제로, 함수 ''x''(''y'')와 ''y''(''x'')는 서로 역함수 관계이며, ∫ ''x'' ''dy''는 ∫ ''y'' ''dx''를 알고 있다면 위와 같이 계산할 수 있다. 특히, 로그 함수와 역삼각 함수 적분에 부분 적분이 사용되는 이유를 설명해준다.

부분 적분은 해석학, 변분법, 작용소 이론, 조화 해석 등 다양한 분야에서 응용된다.

3. 1. 부정적분 찾기

부분 적분은 적분하기 어려운 함수를 더 쉽게 적분할 수 있는 형태로 변환하는 데 사용되는 방법이다.^[9] 기본적인 전략은 적분할 함수를 두 함수의 곱으로 나타내고, 부분 적분 공식을 적용하여 원래 적분보다 계산이 쉬운 적분을 얻는 것이다.

다음은 부정적분을 구하는 몇 가지 예시이다.

'''예시 1:''' $\int x^2\ln x\mathrm dx$

::

u=\ln x

,

\mathrm dv=x^2\mathrm dx

라고 하면,

\mathrm du=(\mathrm dx)/x

이고

v=x^3/3

이다. 부분 적분을 적용하면 다음과 같다.^[16]

$\int x^2\ln x\mathrm dx$	$=\frac{x^3}3\ln x-\frac 13\int x^2\mathrm dx$
	$=\frac{x^3}3\ln x-\frac 19x^3+C$

'''예시 2:''' $\int\arcsin x\mathrm dx$

::

u=\arcsin x

,

\mathrm dv=\mathrm dx

라고 하면,

\mathrm du=(\mathrm dx)/\sqrt{1-x^2}

이고

v=x

이다. 부분 적분을 적용하면 다음과 같다.^[18]

$\int\arcsin x\mathrm dx$	$=x\arcsin x-\int\frac x{\sqrt{1-x^2}}\mathrm dx$
	$=x\arcsin x+\sqrt{1-x^2}+C$

'''예시 3:''' $\int\sqrt{x^2-1}\mathrm dx$

::

u=\sqrt{x^2-1}

,

\mathrm dv=\mathrm dx

라고 하면,

\mathrm du=(x/\sqrt{x^2-1})\mathrm dx

이고

v=x

이다. 부분 적분을 적용하면 다음과 같다.^[19]

$\int\sqrt{x^2-1}\mathrm dx$	$=x\sqrt{x^2-1}-\int\frac{x^2}{\sqrt{x^2-1}}\mathrm dx$
	$=x\sqrt{x^2-1}-\int\sqrt{x^2-1}\mathrm dx-\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^2-1}}$
	=x\sqrt{x^2-1}-\ln>x+\sqrt{x^2-1}\|-\int\sqrt{x^2-1}\mathrm dx

::따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.^[19]

:: $\int\sqrt{x^2-1}\mathrm dx=\frac 12x\sqrt{x^2-1}-\frac 12\ln|x+\sqrt{x^2-1}|+C$

'''예시 4:''' $\int\frac{\mathrm dx}{(x^2+a^2)^2}\qquad(a>0)$

::다음과 같은 부분 적분을 사용한다.

$\int\frac{\mathrm dx}{x^2+a^2}$	$=\frac x{x^2+a^2}+2\int\frac{x^2}{(x^2+a^2)^2}\mathrm dx$
	$=\frac x{x^2+a^2}+2\int\frac{\mathrm dx}{x^2+a^2}-2a^2\int\frac{\mathrm dx}{(x^2+a^2)^2}$

::따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.^[19]

$\int\frac{\mathrm dx}{(x^2+a^2)^2}$	$=\frac 1{2a^2}\frac x{x^2+a^2}+\frac 1{2a^2}\int\frac{\mathrm dx}{x^2+a^2}$
	$=\frac 1{2a^2}\frac x{x^2+a^2}+\frac 1{2a^3}\arctan\frac xa+C$

이 외에도 다양한 형태의 함수에 부분 적분을 적용할 수 있다.

3. 1. 1. 다항 함수와 삼각/지수 함수의 곱

다항 함수와 삼각 함수 또는 지수 함수의 곱으로 이루어진 함수는 부분 적분을 반복 적용하여 적분할 수 있다.^[16]

예를 들어,

:

\int x^2\sin x\mathrm dx

를 계산해보자.

u=x^2

,

\mathrm dv=\sin x\mathrm dx

라고 하면,

\mathrm du=2x

이고

v=-\cos x

이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.

:

\int x^2\sin x\mathrm dx=-x^2\cos x+2\int x\cos x\mathrm dx

우변의 마지막 항의 적분에서

u=x

,

\mathrm dv=\cos x\mathrm dx

,

\mathrm du=\mathrm dx

,

v=\sin x

라고 하여 다시 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.

$\int x\cos x\mathrm dx$	$=x\sin x-\int \sin x\mathrm dx$
	$=x\sin x+\cos x+C$

따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.^[16]

: $\int x^2\sin x\mathrm dx=-x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x+C$

다른 예로, 다음과 같은 두 적분을 고려할 수 있다.

: $\int e^{ax}\cos bx\mathrm dx$

: $\int e^{ax}\sin bx\mathrm dx$

이 둘에 각각 부분 적분을 적용하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

$\int e^{ax}\cos bx\mathrm dx$	$=\frac 1b\int e^{ax}\mathrm d(\sin bx)$
	$=\frac 1be^{ax}\sin bx-\frac ab\int e^{ax}\sin bx\mathrm dx$

$\int e^{ax}\sin bx\mathrm dx$	$=-\frac 1b\int e^{ax}\mathrm d(\cos bx)$
	$=-\frac 1be^{ax}\cos bx+\frac ab\int e^{ax}\cos bx\mathrm dx$

위의 결과로부터 다음과 같은 연립 방정식을 얻을 수 있다.

: $b\int e^{ax}\cos bx\mathrm dx+a\int e^{ax}\sin bx\mathrm dx=e^{ax}\sin bx$

: $a\int e^{ax}\cos bx\mathrm dx-b\int e^{ax}\sin bx\mathrm dx=e^{ax}\cos bx$

따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.^[19]

: $\int e^{ax}\cos bx\mathrm dx=\frac 1{a^2+b^2}e^{ax}(a\cos bx+b\sin bx)+C$

: $\int e^{ax}\sin bx\mathrm dx=\frac 1{a^2+b^2}e^{ax}(a\sin bx-b\cos bx)+C$

이와 같이, 다항 함수와 삼각 함수 또는 지수 함수의 곱으로 이루어진 함수는 부분 적분을 여러 번 적용하여 계산할 수 있다.

3. 1. 2. 로그 함수, 역삼각 함수

Integration by parts^영어는 곱의 법칙에서 유도된 적분 계산 방법 중 하나이다. 특히, 로그 함수나 역삼각 함수와 같이, 도함수는 간단하지만 적분이 어려운 함수는 1을 곱한 형태로 변형하여 부분 적분을 적용할 수 있다.^[10]

\int \ln(x) dx

를 예로 들어보자. 이를 다음과 같이 1과 ln(x)의 곱으로 생각할 수 있다.

:

I=\int \ln x \cdot 1 \,dx.\!

여기서,

:

u = \ln x \Rightarrow du = \frac{dx}{x}

:

dv = dx  \Rightarrow v = x\

라고 하면, 다음과 같이 계산할 수 있다.

:

\begin{align}\int \ln x \,dx & = x \ln x - \int \frac{x}{x} \,dx \\& = x \ln x - \int 1 \,dx \\& = x \ln x - x + C\end{align}

아크탄젠트 함수

\arctan x

의 적분도 같은 방법으로 구할 수 있다.

:

I=\int \arctan x \,dx

이를 다음과 같이 다시 쓴다.

:

\int \arctan (x) \cdot 1 \,dx

여기서,

:

\begin{align}u = \arctan x &\Rightarrow \tan u = x \\&\Rightarrow \sec^2 u \, du = dx \\&\Rightarrow (1 + \tan^2 u) \, du = dx \\&\Rightarrow du = \frac{dx}{1 + x^2}\end{align}

:

dv =dx \Rightarrow v = x

라고 하면, 다음과 같이 계산할 수 있다.

:

\begin{align}\int \arctan x \,dx& = x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} \,dx \\& = x \arctan x -  \frac{1}{2} \int \frac{2x}{1 + x^2} \,dx \\& = x \arctan x - \frac{1}{2} \int \frac{d(1 + x^2)}{1 + x^2} \\& = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln \left( 1 + x^2 \right) + C\end{align}

3. 2. 월리스 곱

Wallis product^영어은 부분 적분을 사용하여 유도할 수 있다.^[1]

3. 3. 감마 함수

감마 함수는 이상 적분으로 정의되는 특수 함수이다. 부분 적분을 사용하면, 이것이 계승의 확장임을 알 수 있다^[11]。

:

\begin{align}\Gamma(z) & := \int_0^\infty d\lambda e^{-\lambda} \lambda^{z-1} \\& = - \int_0^\infty d\left(e^{-\lambda}\right) \lambda^{z-1} \\& = - \left[e^{-\lambda}\lambda^{z-1}\right]_0^\infty + \int_0^\infty d\left(\lambda^{z-1}\right) e^{-\lambda} \\& = 0 + \int_0^\infty d\lambda\left(z-1\right) \lambda^{z-2} e^{-\lambda} \\& = (z-1)\Gamma(z-1) \\\end{align}

따라서, 다음 등식을 얻을 수 있다.

:

\Gamma(z) = (z-1)\Gamma(z-1).

n\in\mathbb{N}

에 대해 이 공식을 반복적으로 적용하면 계승을 얻을 수 있다^[11]。

:

\Gamma(n+1) = n!, \quad n\in\mathbb{N}.

3. 4. 조화 해석

부분 적분은 조화 해석에서 함수의 푸리에 변환 감쇠가 함수의 매끄러움에 의존한다는 것을 보이는 데 사용된다.

만약

f

가

k

번 연속 미분 가능하고,

k

번째 미분까지의 모든 도함수가 무한대에서 0으로 수렴한다면, 그 푸리에 변환은 다음을 만족한다.

:

(\mathcal{F}f^{(k)})(\xi) = (2\pi i\xi)^k \mathcal{F}f(\xi),

여기서

f^{(k)}

는

f

의

k

번째 도함수이다. 이는 도함수의 푸리에 변환에 부분 적분을 사용하면 증명할 수 있다.

:

\begin{align}(\mathcal{F}f')(\xi) &= \int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi iy\xi} f'(y)\,dy \\&=\left[e^{-2\pi iy\xi} f(y)\right]_{-\infty}^\infty - \int_{-\infty}^\infty (-2\pi i\xi e^{-2\pi iy\xi}) f(y)\,dy \\&=2\pi i\xi \int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi iy\xi} f(y)\,dy \\&=2\pi i\xi \mathcal{F}f(\xi).\end{align}

수학적 귀납법을 적용하면 일반적인

k

에 대한 결과를 얻을 수 있다.

위 결과는 푸리에 변환의 감쇠에 대해 알려주는데,

f

와

f^{(k)}

가 적분 가능하면 다음이 성립하기 때문이다.

:

\vert\mathcal{F}f(\xi)\vert \leq \frac{I(f)}{1+\vert 2\pi\xi\vert^k}, \text{ 여기서 } I(f) = \int_{-\infty}^\infty \Bigl(\vert f(y)\vert + \vert f^{(k)}(y)\vert\Bigr) \, dy.

즉,

f

가 이러한 조건을 만족하면 푸리에 변환은 무한대에서 적어도

\frac{1}

3. 5. 연산자 이론

작용소 이론에서 부분 적분을 사용하는 한 가지 예는 −∆ (∆는 라플라스 연산자)가

L^2

에서 양의 작용소임을 보여주는 것이다(''L''^''p'' 공간 참조).

f

가 매끄럽고 컴팩트 지지이면, 부분 적분을 사용하여 다음을 얻는다.

:

\begin{align}\langle -\Delta f, f \rangle_{L^2} &= -\int_{-\infty}^\infty f''(x)\overline{f(x)}\,dx \\[5pt]&=-\left[f'(x)\overline{f(x)}\right]_{-\infty}^\infty + \int_{-\infty}^\infty f'(x)\overline{f'(x)}\,dx \\[5pt]&=\int_{-\infty}^\infty \vert f'(x)\vert^2\,dx \geq 0.\end{align}

3. 6. 변분법

변분법에서 오일러-라그랑주 방정식을 유도할 때 부분 적분을 사용한다.^[12]

4. 고차원 확장

부분 적분은 미적분학의 기본 정리를 응용하여 여러 변수의 함수로 확장될 수 있다. 스칼라 함수 ''u''와 벡터 함수(벡터장) '''V'''를 포함하는 다변수 미적분학에서 다양한 확장이 가능하다.^[7]

발산에 대한 곱 규칙은 다음과 같다.

: $\nabla \cdot ( u \mathbf{V} ) \ =\ u\, \nabla \cdot \mathbf V \ +\ \nabla u\cdot \mathbf V.$

$\Omega$ 가 열린 집합 $\R^n$ 의 경계 $\Gamma=\partial\Omega$ 를 갖는 조각별 매끄러운 유계 집합이라고 가정하고, 발산 정리를 적용하면 다음과 같다.

: $\int_{\Gamma} u \mathbf{V} \cdot \hat{\mathbf n} \,d\Gamma \ =\ \int_\Omega\nabla\cdot ( u \mathbf{V} )\,d\Omega \ =\ \int_\Omega u\, \nabla \cdot \mathbf V\,d\Omega \ +\ \int_\Omega\nabla u\cdot \mathbf V\,d\Omega,$

여기서 $\hat{\mathbf n}$ 은 경계에 대한 바깥쪽 단위 법선 벡터이다. 이를 재정렬하면 다음과 같은 부분 적분 공식을 얻는다.

: $\int_\Omega u \,\nabla \cdot \mathbf V\,d\Omega \ =\ \int_\Gamma u \mathbf V \cdot \hat{\mathbf n}\,d\Gamma - \int_\Omega \nabla u \cdot \mathbf V \, d\Omega,$

다르게 표현하면,

: $\int_\Omega u\,\operatorname{div}(\mathbf V)\,d\Omega \ =\ \int_\Gamma u \mathbf V \cdot \hat{\mathbf n}\,d\Gamma - \int_\Omega \operatorname{grad}(u)\cdot\mathbf V\,d\Omega .$

이 정리에서 정규성 요구 사항은 완화될 수 있다. 예를 들어, 경계 $\Gamma=\partial\Omega$ 는 립시츠 연속이면 충분하고, 함수 ''u'', ''v''는 소볼레 공간 $H^1(\Omega)$ 에만 속하면 된다.

연속적으로 미분 가능한 벡터장 $\mathbf U = u_1\mathbf e_1+\cdots+u_n\mathbf e_n$ 와 $v \mathbf e_1,\ldots, v\mathbf e_n$ 을 고려하면(여기서 $\mathbf e_i$ 는 $i=1,\ldots,n$ 에 대해 ''i''번째 표준 기저 벡터), 각 $u_i$ 에 벡터장 $v\mathbf e_i$ 를 곱하여 부분 적분을 적용하고 ''i''에 대해 합하면 다음과 같은 새로운 부분 적분 공식을 얻는다.

: $\int_\Omega \mathbf U \cdot \nabla v\,d\Omega \ =\ \int_\Gamma v \mathbf{U}\cdot \hat{\mathbf n}\,d\Gamma - \int_\Omega v\, \nabla \cdot \mathbf{U}\,d\Omega.$

$\mathbf{U}=\nabla u$ 인 경우, 즉 $u\in C^2(\bar{\Omega})$ 일 때, 이는 그린의 항등식 중 첫 번째 항등식이다.

: $\int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v\,d\Omega\ =\ \int_\Gamma v\, \nabla u\cdot\hat{\mathbf n}\,d\Gamma - \int_\Omega v\, \nabla^2 u \, d\Omega.$

유계 열린 집합 $\Omega \subset \mathbb{R}^n$ 에서 매끄러운 함수 $u$ 와 벡터값 함수 $\mathbf{v}$ 에 대해, 가우스의 발산 정리를 $\nabla \cdot (u \mathbf{v}) = \nabla u \cdot \mathbf{v} + u \nabla \cdot \mathbf{v}$ 에 적용하면 다음과 같은 부분 적분 공식을 얻는다.

: $\int_{\Omega} \nabla u \cdot \mathbf{v}\, d\Omega = \int_{\Gamma} u (\mathbf{v}\cdot \mathbf{n})\, d\Gamma - \int_\Omega u\, \nabla\cdot\mathbf{v}\, d\Omega$

여기서 $\mathbf{n}$ 은 $\Gamma$ 에 대한 외향 단위 면 법선 벡터이다.

만약 $\mathbf{v}=\nabla v$ 이고 $v\in C^2(\bar{\Omega} )$ 라면, 그린의 제1항등식을 얻는다.

: $\int_{\Omega} \nabla u \cdot \nabla v\, d\Omega = \int_{\Gamma} u\, \nabla v\cdot \mathbf{n}\, d\Gamma - \int_\Omega u\, \nabla^2 v\, d\Omega$

임의의 차수의 미분 가능한 텐서장 $\boldsymbol{F}$ 와 $\boldsymbol{G}$ 에 대해서도 발산 정리를 통해 부분 적분 공식을 유도할 수 있다.

: $\int_{\Omega} \boldsymbol{F}\otimes\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{G}\, d\Omega = \int_{\Gamma} \mathbf{n}\otimes(\boldsymbol{F}\otimes\boldsymbol{G})\, d\Gamma - \int_{\Omega} \boldsymbol{G}\otimes\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{F}\, d\Omega$

여기서 $\otimes$ 는 텐서곱을 나타낸다.

5. 반복 부분 적분

$I\subseteq\mathbb R$ 가 구간이고 $u,v\colon I\to\mathbb R$ 가 $n$ 번 연속 미분 가능 함수라면, 다음 식이 성립한다.^[18]

: $\int u(x)v^{(n)}(x)\mathrm dx=\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^ku^{(k)}(x)v^{(n-1-k)}(x)+(-1)^n\int u^{(n)}(x)v(x)\mathrm dx$

이는 부분 적분을 반복하여 증명할 수 있다. 이러한 적분을 계산할 때는 보통 위 공식에 직접 대입하는 대신 부분 적분을 반복하거나 표를 사용한다.

부분 적분 공식을 $v$ 의 2차 도함수에 대해 적용하면 다음과 같다.

: $\int u v''\,dx = uv' - \int u'v'\,dx = uv' - \left( u'v - \int u''v\,dx \right).$

이를 $n$ 차 도함수로 확장하면 다음과 같다.

: $\begin{align}\int u^{(0)} v^{(n)}\,dx &= u^{(0)} v^{(n-1)} - u^{(1)}v^{(n-2)} + u^{(2)}v^{(n-3)} - \cdots + (-1)^{n-1}u^{(n-1)} v^{(0)} + (-1)^n \int u^{(n)} v^{(0)} \,dx.\\[5pt]&= \sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k u^{(k)}v^{(n-1-k)} + (-1)^n \int u^{(n)} v^{(0)} \,dx.\end{align}$

이 방법은 $v^{(n)}$ 의 연속적인 적분이 쉽게 구해질 때 (예: 라플라스 변환 또는 푸리에 변환에서와 같이 단순 지수 함수 또는 사인 및 코사인)와 $u$ 의 $n$ 차 도함수가 0이 될 때 (예: $(n-1)$ 차수의 다항 함수) 유용하다. 후자의 경우 우변의 적분이 사라지기 때문에 부분 적분의 반복을 멈춘다.

위의 부분 적분 반복 과정에서 다음 적분들이 연관된다.

: $\int u^{(0)} v^{(n)}\,dx \quad$ 와 $\quad \int u^{(\ell)} v^{(n-\ell)}\,dx \quad$ 와 $\quad \int u^{(m)} v^{(n-m)}\,dx \quad\text{ for } 1 \le m,\ell \le n$

이는 적분 함수 내에서 $v$ 와 $u$ 사이의 도함수를 "이동"하는 것으로 해석할 수 있으며, 자세한 내용은 로드리게스 공식을 참고하라.

부분 적분을 $\int v \, du$ 에 재귀적으로 적용하면 다음 공식을 얻는다.

: $\int uv = u v_1 - u' v_2 + u'' v_3 - \cdots + (-1)^{n-1}\ u^{(n-1)} \ v_{n} + (-1)^n \int{u^{(n)}v_{n}}.\!$

여기서 $u'$ 는 '' $u$ ''의 1차 도함수, $u''$ 는 2차 도함수이며, $u^{(n)}$ 은 ''n''차 도함수를 나타낸다. $v_{n}$ 은 다음과 같이 정의된다.

: $v_{n+1}(x)=\int\! \int\ \cdots \int v \ (dx)^{n+1}.\!$

위 식은 $uv_1$ 부터 시작하여 첫 번째 항은 차례로 미분하고, 두 번째 항은 적분하면서 부호를 번갈아 바꾸면 계산할 수 있다. 특히, $u^{(k+1)}$ 이 어떤 $k+1$ 에서 0이 될 때 $u^{(k)}$ 항까지로 종료되므로 편리하다.

5. 1. 표를 이용한 방법

반복 부분 적분은 표를 이용하여 체계적으로 수행할 수 있으며, 이는 특히 다항 함수와 삼각 함수 또는 지수 함수의 곱의 적분에 유용하다.^[5] 이 방법은 영화 ''죽은 시인의 사회''(1988)에 등장하기도 했다.^[6]

예를 들어, 다음 적분을 고려해 보자.

:

\int x^3 \cos x \,dx

u^{(0)} = x^3

,

v^{(n)} = \cos x

라고 하자.

열 '''A'''에 함수

u^{(0)} = x^3

과 그 차수별 도함수

u^{(i)}

를 0이 될 때까지 나열한다. 열 '''B'''에 함수

v^{(n)} = \cos x

와 그 차수별 적분

v^{(n-i)}

을 열 '''B'''의 크기가 열 '''A'''와 같아질 때까지 나열한다.

# i	부호	A: 도함수 $u^{(i)}$	B: 적분 $v^{(n-i)}$
0	+	$x^3$	$\cos x$
1	−	$3x^2$	$\sin x$
2	+	$6x$	$-\cos x$
3	−	$6$	$-\sin x$
4	+	$0$	$\cos x$

행 ''i''의 열 '''A'''와 '''B'''의 항목 곱과 각각의 부호를 곱하면 반복 부분 적분 과정에서 단계 ''i''의 관련 적분을 얻을 수 있다. 단계 0은 원래의 적분을 산출한다. 단계 ''i'' > 0의 완전한 결과를 위해서는 ''i''번째 적분을 이전의 모든 곱(0 ≤ ''j'' < ''i'')에 더해야 한다. 즉, 열 A의 ''j''번째 항목과 열 B의 (''j'' + 1)번째 항목을 곱하고, 주어진 ''j''번째 부호와 곱한다. 이 과정은 적분을 산출하는 곱이 0이 될 때 중단된다(예시에서 ''i'' = 4).

: $\underbrace{(+1)(x^3)(\sin x)}_{j=0} + \underbrace{(-1)(3x^2)(-\cos x)}_{j=1} + \underbrace{(+1)(6x)(-\sin x)}_{j=2} +\underbrace{(-1)(6)(\cos x)}_{j=3}+ \underbrace{\int(+1)(0)(\cos x) \,dx}_{i=4: \;\to \;C}.$

이는 다음과 같다.

: $\underbrace{\int x^3 \cos x \,dx}_{\text{step 0}} = x^3\sin x + 3x^2\cos x - 6x\sin x - 6\cos x + C.$

함수 $u^{(i)}$ 와 $v^{(n-i)}$ 를 각각 미분하고 적분하는 과정에서 그 곱이 원래의 피적분 함수의 배수가 되는 경우에도 반복 부분 적분을 활용할 수 있다. 이 경우 반복은 이 지수 ''i''로 종료될 수도 있다. 이는 지수 함수와 삼각 함수에서 자주 확인할 수 있다. 예를 들어 다음을 고려해 보자.

: $\int e^x \cos x \,dx.$

# i	부호	A: 도함수 $u^{(i)}$	B: 적분 $v^{(n-i)}$
0	+	$e^x$	$\cos x$
1	−	$e^x$	$\sin x$
2	+	$e^x$	$-\cos x$

이 경우 지수 ''i'' = 2에 대한 적절한 부호를 가진 열 '''A'''와 '''B'''의 항목 곱은 원래 피적분 함수의 음수를 생성한다.

: $\underbrace{\int e^x \cos x \,dx}_{\text{step 0}} = \underbrace{(+1)(e^x)(\sin x)}_{j=0} + \underbrace{(-1)(e^x)(-\cos x)}_{j=1} + \underbrace{\int(+1)(e^x)(-\cos x) \,dx}_{i= 2}.$

우변의 적분에는 고유한 적분 상수 $C'$ 가 있을 수 있으며, 추상적인 적분을 다른 쪽으로 가져오면 다음과 같다.

: $2 \int e^x \cos x \,dx = e^x\sin x + e^x\cos x + C',$

최종적으로:

: $\int e^x \cos x \,dx = \frac 12 \left(e^x ( \sin x + \cos x ) \right) + C,$

여기서 $C = \frac{C'}{2}$ 이다.

참조

_[1] 웹사이트 Brook Taylor http://www-history.m[...] 2018-05-25
_[2] 웹사이트 Brook Taylor https://www2.stetson[...] 2018-05-25
_[3] 웹사이트 Integration by parts https://www.encyclop[...]
_[4] 저널 A Technique for Integration by Parts
_[5] 서적 Calculus and Analytic Geometry Addison-Wesley
_[6] 저널 Tabular Integration by Parts https://www.maa.org/[...]
_[7] 웹사이트 The Calculus of Several Variables http://www.math.nago[...] 2011-09-29
_[8] 서적 Analysis 1 Springer-Verlag
_[9] 서적 Mathematik kompakt: für Ingenieure und Informatiker Springer-Verlag
_[10] 서적 Analysis Vieweg-Verlag
_[11] 서적 工学における特殊関数 https://id.ndl.go.jp[...] 共立出版
_[12] 서적 常微分方程式と解析力学共立出版
_[13] 서적 Complex variables: introduction and applications Cambridge University Press
_[14] 저널 部分積分法による半無限区間振動型積分の数値計算法 https://doi.org/10.1[...] 日本応用数理学会 1997
_[15] 저널 部分積分法による数値積分法 https://hdl.handle.n[...] 京都大学数理解析研究所 2004-10
_[16] 서적 Calculus: Early Transcendental Functions Cengage Learning 2013
_[17] 서적 Calculus With Applications Springer 2014
_[18] 서적 How to Integrate It Cambridge University Press 2018-02
_[19] 서적 数学分析. 第一册北京大学出版社 2009-08
_[20] 서적 数学分析. 第二册北京大学出版社 2010-02
_[21] 저널 A Technique for Integration by Parts 1983-03

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