부분 적분

1. 개요

부분 적분은 두 함수의 곱의 적분을 계산하는 적분 기법이다. 이 방법은 곱의 미분법을 활용하여, 적분하기 어려운 함수를 더 쉽게 적분할 수 있는 형태로 변환하는 데 사용된다. 부분 적분은 부정 적분, 정적분, 그리고 고차원 공간에서의 적분에도 적용될 수 있으며, 함수의 푸리에 변환, 감마 함수, 조화 해석 등 다양한 분야에서 활용된다. 부분 적분 공식을 반복적으로 적용하거나, 표를 이용하는 방법 등을 통해 복잡한 형태의 적분도 계산할 수 있다.

2. 정의

부분 적분은 두 함수의 곱으로 표현된 함수의 적분을, 각 함수를 미분 또는 적분한 결과로 나타내는 방법이다.

$u$와 $v$가 연속 미분 가능 함수일 때, 곱의 미분법(라이프니츠 규칙)에 의해 다음과 같은 식이 성립한다.

:$\backslash frac\{d\}\{dx\}\backslash left(u(x)v(x)\backslash right)\; =\; v(x)\; \backslash frac\{d\}\{dx\}\backslash left(u(x)\backslash right)\; +\; u(x)\; \backslash frac\{d\}\{dx\}\backslash left(v(x)\backslash right)\backslash !$

양변을 구간 $a\; \backslash leq\; x\; \backslash leq\; b$에서 $x$에 관하여 적분하고 미적분학의 기본 정리를 적용하면,

:$\backslash left[u(x)v(x)\backslash right]\_a^b\; =\; \backslash int\_a^b\; u\text{'}(x)v(x)\backslash ,dx\; +\; \backslash int\_a^b\; u(x)v\text{'}(x)\backslash ,dx$

이므로, 다음의 부분 적분 공식을 얻는다.

:$\backslash int\_a^b\; u(x)v\text{'}(x)\backslash ,dx\; =\; \backslash left[u(x)v(x)\backslash right]\_a^b\; -\; \backslash int\_a^b\; u\text{'}(x)v(x)\backslash ,dx$

부정 적분의 경우에도 마찬가지로 유도할 수 있다.

좌변의 $\backslash int\; uv\text{'}dx$는 $v\text{'}$ ($v$의 도함수)를 포함하고 있으므로, 먼저 $v$ ( $v\text{'}$의 원시 함수)를 찾아야 하며, 이어서 부분 적분 공식을 적용하여 적분 $\backslash int\; vu\text{'}dx$를 계산한다.

$u$와 $v$가 연속적으로 미분 가능할 필요는 없다. 부분 적분은 $u$가 절대 연속이고 함수 $v\text{'}$이 르베그 적분 가능할 때 적용된다(그러나 반드시 연속일 필요는 없다).

2.1. 공식

만약 $I\backslash subseteq\backslash mathbb\; R$가 구간이며 $u,v\backslash colon\; I\backslash to\backslash mathbb\; R$가 연속 미분 가능 함수라면 (도함수 $u\text{'},v\text{'}$가 연속 함수라면), 다음이 성립한다.
:$\backslash int\; u(x)v\text{'}(x)\backslash mathrm\; dx=u(x)v(x)-\backslash int\; u\text{'}(x)v(x)\backslash mathrm\; dx$
이를 $u\text{'}(x)\backslash mathrm\; dx=\backslash mathrm\; du$ 및 $v\text{'}(x)\backslash mathrm\; dx=\backslash mathrm\; dv$를 통해 간략히 쓰면 다음과 같다.
:$\backslash int\; u\backslash mathrm\; dv=uv-\backslash int\; v\backslash mathrm\; du$
만약 $u,v\backslash colon[a,b]\backslash to\backslash mathbb\; R$가 연속 미분 가능 함수라면, 다음이 성립한다.
:$\backslash begin\{align\}\backslash int\_a^bu(x)v\text{'}(x)\backslash mathrm\; dx$
&=\bigg[u(x)v(x)\bigg]_a^b-\int_a^bu'(x)v(x)\mathrm dx\\
&=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int_a^bu'(x)v(x)\mathrm dx
\end{align}

곱의 법칙에 따라 다음이 성립한다.
:$uv\text{'}=(uv)\text{'}-u\text{'}v$
양변은 모두 연속 함수이므로 부정적분이 존재한다. 양변에 부정적분을 취하면 다음을 얻으므로 부정적분에 대한 명제가 성립한다.
:$\backslash int\; u(x)v\text{'}(x)\backslash mathrm\; dx=u(x)v(x)-\backslash int\; u\text{'}(x)v(x)\backslash mathrm\; dx$
또한 양변은 모두 적분 가능하며, 양변에 적분을 취하면 다음을 얻으므로 정적분의 경우가 성립한다.
:$\backslash int\_a^bu(x)v\text{'}(x)\backslash mathrm\; dx=\backslash bigg[u(x)v(x)\backslash bigg]\_a^b-\backslash int\_a^bu\text{'}(x)v(x)\backslash mathrm\; dx$

2.2. 증명

곱의 법칙에 따라 다음이 성립한다.
:$uv\text{'}=(uv)\text{'}-u\text{'}v$
양변은 모두 연속 함수이므로 부정적분이 존재한다. 양변에 부정적분을 취하면 다음을 얻으므로 부정적분에 대한 명제가 성립한다.
:$\backslash int\; u(x)v\text{'}(x)\backslash mathrm\; dx=u(x)v(x)-\backslash int\; u\text{'}(x)v(x)\backslash mathrm\; dx$
또한 양변은 모두 적분 가능하며, 양변에 적분을 취하면 다음을 얻으므로 정적분의 경우가 성립한다.
:$\backslash int\_a^bu(x)v\text{'}(x)\backslash mathrm\; dx=\backslash bigg[u(x)v(x)\backslash bigg]\_a^b-\backslash int\_a^bu\text{'}(x)v(x)\backslash mathrm\; dx$
다르게 정리하면 다음과 같다. 두 개의 연속 미분 가능 함수 $u(x)$와 $v(x)$에 대해, 곱 규칙은 다음과 같다.

$$\backslash Big(u(x)v(x)\backslash Big)\text{'}\; =\; u\text{'}(x)\; v(x)\; +\; u(x)\; v\text{'}(x).$$

$x$에 관하여 양변을 적분하면,

$$\backslash int\; \backslash Big(u(x)v(x)\backslash Big)\text{'}\backslash ,dx\; =\; \backslash int\; u\text{'}(x)v(x)\backslash ,dx\; +\; \backslash int\; u(x)v\text{'}(x)\; \backslash ,dx,$$

부정 적분은 부정계수를 갖는다는 것을 고려하면,

$$u(x)v(x)\; =\; \backslash int\; u\text{'}(x)v(x)\backslash ,dx\; +\; \backslash int\; u(x)v\text{'}(x)\backslash ,dx,$$

여기서 적분 상수는 생략한다. 이것은 부분 적분 공식을 제공한다.

$$\backslash int\; u(x)v\text{'}(x)\backslash ,dx\; =\; u(x)v(x)\; -\; \backslash int\; u\text{'}(x)v(x)\; \backslash ,dx,$$

또는 미분 $du=u\text{'}(x)\backslash ,dx$, $dv=v\text{'}(x)\backslash ,dx,\; \backslash quad$에 관하여

$$\backslash int\; u(x)\backslash ,dv\; =\; u(x)v(x)\; -\; \backslash int\; v(x)\backslash ,du.$$

이것은 각 변에 지정되지 않은 상수가 더해진 함수의 동일성으로 이해되어야 한다. 각 변의 차이를 $x\; =\; a$와 $x\; =\; b$의 두 값 사이에서 구하고 미적분학의 기본 정리를 적용하면 정적분 버전이 제공된다.
$$\backslash int\_a^b\; u(x)\; v\text{'}(x)\; \backslash ,\; dx$$
= u(b) v(b) - u(a) v(a) - \int_a^b u'(x) v(x) \, dx .

부분 적분공식은 곱의 미분법을 양변을 적분하여 유도할 수 있다.
:$\backslash frac\{d\}\{dx\}\backslash left(u(x)v(x)\backslash right)\; =\; v(x)\; \backslash frac\{d\}\{dx\}\backslash left(u(x)\backslash right)\; +\; u(x)\; \backslash frac\{d\}\{dx\}\backslash left(v(x)\backslash right)\backslash !$

양변을 구간 $a\; \backslash leq\; x\; \backslash leq\; b$에서 $x$에 관하여 적분하면

:$\backslash int\_a^b\; \backslash frac\{d\}\{dx\}\backslash left(u(x)v(x)\backslash right)\backslash ,dx\; =\; \backslash int\_a^b\; u\text{'}(x)v(x)\backslash ,dx\; +\; \backslash int\_a^b\; u(x)v\text{'}(x)\backslash ,dx$

여기서 미적분학의 기본 정리에 의해,

:$\backslash int\_a^b\; \backslash frac\{d\}\{dx\}\backslash left(u(x)v(x)\backslash right)\backslash ,dx\; =\; \backslash left[u(x)v(x)\backslash right]\_a^b$

이므로,

:$\backslash left[u(x)v(x)\backslash right]\_a^b\; =\; \backslash int\_a^b\; u\text{'}(x)v(x)\backslash ,dx\; +\; \backslash int\_a^b\; u(x)v\text{'}(x)\backslash ,dx$

즉, 다음의 부분 적분 공식을 얻는다.

:$\backslash int\_a^b\; u(x)v\text{'}(x)\backslash ,dx\; =\; \backslash left[u(x)v(x)\backslash right]\_a^b\; -\; \backslash int\_a^b\; u\text{'}(x)v(x)\backslash ,dx$

부정 적분의 경우에도 마찬가지로 유도할 수 있다.

2.3. LIATE 법칙 (로다삼지 법칙)

LIATE 법칙(LIATE rule^영어)은 부분 적분에서 어떤 함수를 u로 선택할지에 대한 경험 법칙이다. 이 규칙은 다음 목록에서 먼저 나오는 함수를 u로 선택하는 것을 제안한다.

* L – 로그 함수: $\backslash ln(x),\backslash \; \backslash log\_b(x),$ 등.
* I – 역삼각 함수 (쌍곡선 유사 함수 포함): $\backslash arctan(x),\backslash \; \backslash arcsec(x),\backslash \; \backslash operatorname\{arsinh\}(x),$ 등.
* A – 대수 함수 (예: 다항식): $x^2,\backslash \; 3x^\{50\},$ 등.
* T – 삼각 함수 (쌍곡선 유사 함수 포함): $\backslash sin(x),\backslash \; \backslash tan(x),\backslash \; \backslash operatorname\{sech\}(x),$ 등.
* E – 지수 함수: $e^x,\backslash \; 19^x,$ 등.

dv는 목록에서 나중에 나오는 함수로 선택하는데, 이는 목록 아래에 있는 함수가 위에 있는 함수보다 부정적분이 더 간단한 경향이 있기 때문이다.

한국에서는 이 순서를 "로다삼지"라고도 부르는데, 이는 로그 함수, 다항 함수(대수 함수), 삼각 함수, 지수 함수 순서를 나타낸다.

LIATE 법칙은 유용한 지침이지만, 항상 절대적인 것은 아니다. 때로는 "ILATE" 순서로 규칙을 고려하거나, 다항식 항을 다르게 분할해야 하는 예외적인 경우도 있다. 부분 적분은 어느 정도 시행착오가 필요한 경우가 있으며, 주어진 함수를 두 함수의 곱으로 분할하여 변형했을 때 계산이 더 용이해지도록 하는 것이 기본적인 방침이다.

2.4. 따름정리

만약 $I\backslash subseteq\backslash mathbb\; R$가 구간이고 $u,v\backslash colon\; I\backslash to\backslash mathbb\; R$가 $n$번 연속 미분 가능 함수라면, 다음이 성립한다.
:$\backslash int\; u(x)v^\{(n)\}(x)\backslash mathrm\; dx=\backslash sum\_\{k=0\}^\{n-1\}(-1)^ku^\{(k)\}(x)v^\{(n-1-k)\}(x)+(-1)^n\backslash int\; u^\{(n)\}(x)v(x)\backslash mathrm\; dx$
이는 부분 적분을 반복하여 증명할 수 있다. 이러한 적분을 풀 때에는 보통 이 공식에 대입하는 대신 부분 적분을 직접 반복하거나 표를 사용한다.

부분 적분 공식의 좌변에 있는 적분에서 $v$의 2차 도함수를 고려하면, 우변의 적분에 반복 적용하는 것을 시사한다.
$$\backslash int\; u\; v$$\,dx = uv' - \int u'v'\,dx = uv' - \left( u'v - \int uv\,dx \right).

이 반복 부분 적분 개념을 $n$차의 도함수로 확장하면 다음과 같다.
$$\backslash begin\{align\}$$
\int u^{(0)} v^{(n)}\,dx &= u^{(0)} v^{(n-1)} - u^{(1)}v^{(n-2)} + u^{(2)}v^{(n-3)} - \cdots + (-1)^{n-1}u^{(n-1)} v^{(0)} + (-1)^n \int u^{(n)} v^{(0)} \,dx.\\[5pt]
&= \sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k u^{(k)}v^{(n-1-k)} + (-1)^n \int u^{(n)} v^{(0)} \,dx.
\end{align}

이 개념은 $v^\{(n)\}$의 연속적인 적분이 쉽게 구해질 때 (예: 라플라스 변환 또는 푸리에 변환에서와 같이 단순 지수 함수 또는 사인 및 코사인)와 $u$의 $n$차 도함수가 0이 될 때 (예: $(n-1)$ 차수의 다항식 함수) 유용할 수 있다. 후자의 조건은 우변의 적분이 사라지기 때문에 부분 적분의 반복을 멈춘다.

부분 적분을 $\backslash int\; v\; \backslash ,\; du$에 재귀적으로 적용하여 다음 공식을 얻는다.

:$\backslash int\; uv\; =\; u\; v\_1\; -\; u\text{'}\; v\_2\; +\; u$ v_3 - \cdots + (-1)^{n-1}\ u^{(n-1)} \ v_{n} + (-1)^n \int{u^{(n)}v_{n}}.\!

여기서, $u\text{'}$는 $u$의 1차 도함수, $u$는 2차 도함수이며, $u^\{(n)\}$은 n차 도함수를 나타낸다. $v\_\{n\}$은 다음과 같이 정의된다.

:$v\_\{n+1\}(x)=\backslash int\backslash !\; \backslash int\backslash \; \backslash cdots\; \backslash int\; v\; \backslash \; (dx)^\{n+1\}.\backslash !$

위의 식은 $uv\_1$부터 시작하여 첫 번째 항은 차례로 미분하고, 두 번째 항은 적분하면 계산할 수 있다(동시에 부호를 반전하면서). 특히, $u^\{(k+1)\}$이 어떤 $k+1$에서 0이 될 때에는 $u^\{(k)\}$의 항까지로 종료되므로 편리한 공식이다.

3. 응용

부분 적분은 다양한 함수의 적분을 계산하는 데 활용된다.

세 함수 $u(x)$, $v(x)$, $w(x)$의 곱에 대한 곱 규칙을 적분하면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

:$$\backslash int\_a^b\; u\; v\; \backslash ,\; dw\; \backslash \; =\backslash \; \backslash Big[u\; v\; w\backslash Big]^b\_a\; -\; \backslash int\_a^b\; u\; w\; \backslash ,\; dv\; -\; \backslash int\_a^b\; v\; w\; \backslash ,\; du.$$

일반적으로, $n$개의 인수에 대해

:$$\backslash left(\backslash prod\_\{i=1\}^n\; u\_i(x)\; \backslash right)\text{'}\; \backslash \; =\backslash \; \backslash sum\_\{j=1\}^n\; u\_j\text{'}(x)\backslash prod\_\{i\backslash neq\; j\}^n\; u\_i(x),$$

이는 다음을 유도한다.

:$$\backslash left[\; \backslash prod\_\{i=1\}^n\; u\_i(x)\; \backslash right]\_a^b\; \backslash \; =\backslash \; \backslash sum\_\{j=1\}^n\; \backslash int\_a^b\; u\_j\text{'}(x)\; \backslash prod\_\{i\backslash neq\; j\}^n\; u\_i(x).$$

--

매개변수 곡선 $(x,\; y)\; =\; (f(t),\; g(t))$를 고려할 때, 곡선이 국소적으로 일대일이고 적분 가능하다고 가정하면, 다음과 같이 정의할 수 있다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
x(y) &= f(g^{-1}(y)) \\
y(x) &= g(f^{-1}(x))
\end{align}

파란색 영역의 면적은 다음과 같다.

:$$A\_1=\backslash int\_\{y\_1\}^\{y\_2\}x(y)\; \backslash ,\; dy$$

마찬가지로, 빨간색 영역의 면적은 다음과 같다.

:$$A\_2=\backslash int\_\{x\_1\}^\{x\_2\}y(x)\backslash ,dx$$

총 면적 A₁ + A₂는 더 큰 직사각형의 면적, x₂y₂에서 더 작은 직사각형의 면적, x₁y₁을 뺀 것과 같다.

:$$\backslash overbrace\{\backslash int\_\{y\_1\}^\{y\_2\}x(y)\; \backslash ,\; dy\}^\{A\_1\}+\backslash overbrace\{\backslash int\_\{x\_1\}^\{x\_2\}y(x)\; \backslash ,\; dx\}^\{A\_2\}\backslash \; =\backslash \; \backslash biggl.x\; \backslash cdot\; y(x)\backslash biggl|\_\{x\_1\}^\{x\_2\}\; \backslash \; =\backslash \; \backslash biggl.y\; \backslash cdot\; x(y)\backslash biggl|\_\{y\_1\}^\{y\_2\}$$

t에 대한 식으로 나타내면,

:$$\backslash int\_\{t\_1\}^\{t\_2\}x(t)\; \backslash ,\; dy(t)\; +\; \backslash int\_\{t\_1\}^\{t\_2\}y(t)\; \backslash ,\; dx(t)\; \backslash \; =\backslash \; \backslash biggl.\; x(t)y(t)\; \backslash biggl|\_\{t\_1\}^\{t\_2\}$$

부정 적분에 대해 나타내면,

:$$\backslash int\; x\backslash ,dy\; +\; \backslash int\; y\; \backslash ,dx\; \backslash \; =\backslash \; xy$$

이를 정리하면 다음과 같다.

:$$\backslash int\; x\backslash ,dy\; \backslash \; =\backslash \; xy\; -\; \backslash int\; y\; \backslash ,dx$$

따라서 부분 적분은 파란색 영역의 면적을 직사각형과 빨간색 영역의 면적으로부터 유도하는 것으로 생각할 수 있다.

이러한 시각화는 함수 f(x)의 적분을 알 때, 그 역함수 f⁻¹(x)의 적분을 구하는 데 부분 적분이 어떻게 도움이 되는지 설명한다. 실제로, 함수 x(y)와 y(x)는 서로 역함수 관계이며, ∫ x dy는 ∫ y dx를 알고 있다면 위와 같이 계산할 수 있다. 특히, 로그 함수와 역삼각 함수 적분에 부분 적분이 사용되는 이유를 설명해준다.

부분 적분은 해석학, 변분법, 작용소 이론, 조화 해석 등 다양한 분야에서 응용된다.

3.1. 부정적분 찾기

부분 적분은 적분하기 어려운 함수를 더 쉽게 적분할 수 있는 형태로 변환하는 데 사용되는 방법이다. 기본적인 전략은 적분할 함수를 두 함수의 곱으로 나타내고, 부분 적분 공식을 적용하여 원래 적분보다 계산이 쉬운 적분을 얻는 것이다.

다음은 부정적분을 구하는 몇 가지 예시이다.

* 예시 1: $\backslash int\; x^2\backslash ln\; x\backslash mathrm\; dx$

::$u=\backslash ln\; x$, $\backslash mathrm\; dv=x^2\backslash mathrm\; dx$라고 하면, $\backslash mathrm\; du=(\backslash mathrm\; dx)/x$이고 $v=x^3/3$이다. 부분 적분을 적용하면 다음과 같다.

* 예시 2: $\backslash int\backslash arcsin\; x\backslash mathrm\; dx$

::$u=\backslash arcsin\; x$, $\backslash mathrm\; dv=\backslash mathrm\; dx$라고 하면, $\backslash mathrm\; du=(\backslash mathrm\; dx)/\backslash sqrt\{1-x^2\}$이고 $v=x$이다. 부분 적분을 적용하면 다음과 같다.

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📌 열 고정 해제

$\backslash int\backslash arcsin\; x\backslash mathrm\; dx$	$=x\backslash arcsin\; x-\backslash int\backslash frac\; x\{\backslash sqrt\{1-x^2\}\}\backslash mathrm\; dx$
	$=x\backslash arcsin\; x+\backslash sqrt\{1-x^2\}+C$

* 예시 3: $\backslash int\backslash sqrt\{x^2-1\}\backslash mathrm\; dx$

::$u=\backslash sqrt\{x^2-1\}$, $\backslash mathrm\; dv=\backslash mathrm\; dx$라고 하면, $\backslash mathrm\; du=(x/\backslash sqrt\{x^2-1\})\backslash mathrm\; dx$이고 $v=x$이다. 부분 적분을 적용하면 다음과 같다.

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📌 열 고정 해제

$\backslash int\backslash sqrt\{x^2-1\}\backslash mathrm\; dx$	$=x\backslash sqrt\{x^2-1\}-\backslash int\backslash frac\{x^2\}\{\backslash sqrt\{x^2-1\}\}\backslash mathrm\; dx$
	$=x\backslash sqrt\{x^2-1\}-\backslash int\backslash sqrt\{x^2-1\}\backslash mathrm\; dx-\backslash int\backslash frac\{\backslash mathrm\; dx\}\{\backslash sqrt\{x^2-1\}\}$
	=x\sqrt{x^2-1}-\ln>x+\sqrt{x^2-1}|-\int\sqrt{x^2-1}\mathrm dx

::따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.

::$\backslash int\backslash sqrt\{x^2-1\}\backslash mathrm\; dx=\backslash frac\; 12x\backslash sqrt\{x^2-1\}-\backslash frac\; 12\backslash ln|x+\backslash sqrt\{x^2-1\}|+C$

* 예시 4: $\backslash int\backslash frac\{\backslash mathrm\; dx\}\{(x^2+a^2)^2\}\backslash qquad(a>0)$

::다음과 같은 부분 적분을 사용한다.

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📌 열 고정 해제

$\backslash int\backslash frac\{\backslash mathrm\; dx\}\{x^2+a^2\}$	$=\backslash frac\; x\{x^2+a^2\}+2\backslash int\backslash frac\{x^2\}\{(x^2+a^2)^2\}\backslash mathrm\; dx$
	$=\backslash frac\; x\{x^2+a^2\}+2\backslash int\backslash frac\{\backslash mathrm\; dx\}\{x^2+a^2\}-2a^2\backslash int\backslash frac\{\backslash mathrm\; dx\}\{(x^2+a^2)^2\}$

::따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.

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📌 열 고정 해제

$\backslash int\backslash frac\{\backslash mathrm\; dx\}\{(x^2+a^2)^2\}$	$=\backslash frac\; 1\{2a^2\}\backslash frac\; x\{x^2+a^2\}+\backslash frac\; 1\{2a^2\}\backslash int\backslash frac\{\backslash mathrm\; dx\}\{x^2+a^2\}$
	$=\backslash frac\; 1\{2a^2\}\backslash frac\; x\{x^2+a^2\}+\backslash frac\; 1\{2a^3\}\backslash arctan\backslash frac\; xa+C$

이 외에도 다양한 형태의 함수에 부분 적분을 적용할 수 있다.

3.1.1. 다항 함수와 삼각/지수 함수의 곱

다항 함수와 삼각 함수 또는 지수 함수의 곱으로 이루어진 함수는 부분 적분을 반복 적용하여 적분할 수 있다.

예를 들어,
:$\backslash int\; x^2\backslash sin\; x\backslash mathrm\; dx$
를 계산해보자. $u=x^2$, $\backslash mathrm\; dv=\backslash sin\; x\backslash mathrm\; dx$라고 하면, $\backslash mathrm\; du=2x$이고 $v=-\backslash cos\; x$이다. 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.
:$\backslash int\; x^2\backslash sin\; x\backslash mathrm\; dx=-x^2\backslash cos\; x+2\backslash int\; x\backslash cos\; x\backslash mathrm\; dx$
우변의 마지막 항의 적분에서 $u=x$, $\backslash mathrm\; dv=\backslash cos\; x\backslash mathrm\; dx$, $\backslash mathrm\; du=\backslash mathrm\; dx$, $v=\backslash sin\; x$라고 하여 다시 부분 적분을 적용하면 다음을 얻는다.

따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.
:$\backslash int\; x^2\backslash sin\; x\backslash mathrm\; dx=-x^2\backslash cos\; x+2x\backslash sin\; x+2\backslash cos\; x+C$

다른 예로, 다음과 같은 두 적분을 고려할 수 있다.
:$\backslash int\; e^\{ax\}\backslash cos\; bx\backslash mathrm\; dx$
:$\backslash int\; e^\{ax\}\backslash sin\; bx\backslash mathrm\; dx$
이 둘에 각각 부분 적분을 적용하면 다음과 같은 결과를 얻는다.

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📌 열 고정 해제

$\backslash int\; e^\{ax\}\backslash cos\; bx\backslash mathrm\; dx$	$=\backslash frac\; 1b\backslash int\; e^\{ax\}\backslash mathrm\; d(\backslash sin\; bx)$
	$=\backslash frac\; 1be^\{ax\}\backslash sin\; bx-\backslash frac\; ab\backslash int\; e^\{ax\}\backslash sin\; bx\backslash mathrm\; dx$

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📌 열 고정 해제

$\backslash int\; e^\{ax\}\backslash sin\; bx\backslash mathrm\; dx$	$=-\backslash frac\; 1b\backslash int\; e^\{ax\}\backslash mathrm\; d(\backslash cos\; bx)$
	$=-\backslash frac\; 1be^\{ax\}\backslash cos\; bx+\backslash frac\; ab\backslash int\; e^\{ax\}\backslash cos\; bx\backslash mathrm\; dx$

위의 결과로부터 다음과 같은 연립 방정식을 얻을 수 있다.
:$b\backslash int\; e^\{ax\}\backslash cos\; bx\backslash mathrm\; dx+a\backslash int\; e^\{ax\}\backslash sin\; bx\backslash mathrm\; dx=e^\{ax\}\backslash sin\; bx$
:$a\backslash int\; e^\{ax\}\backslash cos\; bx\backslash mathrm\; dx-b\backslash int\; e^\{ax\}\backslash sin\; bx\backslash mathrm\; dx=e^\{ax\}\backslash cos\; bx$
따라서 구하려는 적분은 다음과 같다.
:$\backslash int\; e^\{ax\}\backslash cos\; bx\backslash mathrm\; dx=\backslash frac\; 1\{a^2+b^2\}e^\{ax\}(a\backslash cos\; bx+b\backslash sin\; bx)+C$
:$\backslash int\; e^\{ax\}\backslash sin\; bx\backslash mathrm\; dx=\backslash frac\; 1\{a^2+b^2\}e^\{ax\}(a\backslash sin\; bx-b\backslash cos\; bx)+C$

이와 같이, 다항 함수와 삼각 함수 또는 지수 함수의 곱으로 이루어진 함수는 부분 적분을 여러 번 적용하여 계산할 수 있다.

3.1.2. 로그 함수, 역삼각 함수

Integration by parts^영어는 곱의 법칙에서 유도된 적분 계산 방법 중 하나이다. 특히, 로그 함수나 역삼각 함수와 같이, 도함수는 간단하지만 적분이 어려운 함수는 1을 곱한 형태로 변형하여 부분 적분을 적용할 수 있다.

$\backslash int\; \backslash ln(x)\; dx$를 예로 들어보자. 이를 다음과 같이 1과 ln(x)의 곱으로 생각할 수 있다.

:$I=\backslash int\; \backslash ln\; x\; \backslash cdot\; 1\; \backslash ,dx.\backslash !$

여기서,

:$u\; =\; \backslash ln\; x\; \backslash Rightarrow\; du\; =\; \backslash frac\{dx\}\{x\}$
:$dv\; =\; dx\; \backslash Rightarrow\; v\; =\; x\backslash$

라고 하면, 다음과 같이 계산할 수 있다.

: $$
\begin{align}
\int \ln x \,dx & = x \ln x - \int \frac{x}{x} \,dx \\
& = x \ln x - \int 1 \,dx \\
& = x \ln x - x + C
\end{align}


아크탄젠트 함수 $\backslash arctan\; x$의 적분도 같은 방법으로 구할 수 있다.

:$I=\backslash int\; \backslash arctan\; x\; \backslash ,dx$

이를 다음과 같이 다시 쓴다.

:$\backslash int\; \backslash arctan\; (x)\; \backslash cdot\; 1\; \backslash ,dx$

여기서,

: $\backslash begin\{align\}$
u = \arctan x &\Rightarrow \tan u = x \\
&\Rightarrow \sec^2 u \, du = dx \\
&\Rightarrow (1 + \tan^2 u) \, du = dx \\
&\Rightarrow du = \frac{dx}{1 + x^2}
\end{align}
: $dv\; =dx\; \backslash Rightarrow\; v\; =\; x$

라고 하면, 다음과 같이 계산할 수 있다.

: $$
\begin{align}
\int \arctan x \,dx
& = x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} \,dx \\
& = x \arctan x - \frac{1}{2} \int \frac{2x}{1 + x^2} \,dx \\
& = x \arctan x - \frac{1}{2} \int \frac{d(1 + x^2)}{1 + x^2} \\
& = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln \left( 1 + x^2 \right) + C
\end{align}

3.2. 월리스 곱

Wallis product^영어은 부분 적분을 사용하여 유도할 수 있다.

3.3. 감마 함수

감마 함수는 이상 적분으로 정의되는 특수 함수이다. 부분 적분을 사용하면, 이것이 계승의 확장임을 알 수 있다。

:$\backslash begin\{align\}$
\Gamma(z) & := \int_0^\infty d\lambda e^{-\lambda} \lambda^{z-1} \\
& = - \int_0^\infty d\left(e^{-\lambda}\right) \lambda^{z-1} \\
& = - \left[e^{-\lambda}\lambda^{z-1}\right]_0^\infty + \int_0^\infty d\left(\lambda^{z-1}\right) e^{-\lambda} \\
& = 0 + \int_0^\infty d\lambda\left(z-1\right) \lambda^{z-2} e^{-\lambda} \\
& = (z-1)\Gamma(z-1) \\
\end{align}

따라서, 다음 등식을 얻을 수 있다.

:$\backslash Gamma(z)\; =\; (z-1)\backslash Gamma(z-1).$

$n\backslash in\backslash mathbb\{N\}$에 대해 이 공식을 반복적으로 적용하면 계승을 얻을 수 있다。

:$\backslash Gamma(n+1)\; =\; n!,\; \backslash quad\; n\backslash in\backslash mathbb\{N\}.$

3.4. 조화 해석

부분 적분은 조화 해석에서 함수의 푸리에 변환 감쇠가 함수의 매끄러움에 의존한다는 것을 보이는 데 사용된다.

만약 $f$가 $k$번 연속 미분 가능하고, $k$번째 미분까지의 모든 도함수가 무한대에서 0으로 수렴한다면, 그 푸리에 변환은 다음을 만족한다.

:$(\backslash mathcal\{F\}f^\{(k)\})(\backslash xi)\; =\; (2\backslash pi\; i\backslash xi)^k\; \backslash mathcal\{F\}f(\backslash xi),$

여기서 $f^\{(k)\}$는 $f$의 $k$번째 도함수이다. 이는 도함수의 푸리에 변환에 부분 적분을 사용하면 증명할 수 있다.

:$\backslash begin\{align\}$
(\mathcal{F}f')(\xi) &= \int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi iy\xi} f'(y)\,dy \\
&=\left[e^{-2\pi iy\xi} f(y)\right]_{-\infty}^\infty - \int_{-\infty}^\infty (-2\pi i\xi e^{-2\pi iy\xi}) f(y)\,dy \\
&=2\pi i\xi \int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi iy\xi} f(y)\,dy \\
&=2\pi i\xi \mathcal{F}f(\xi).
\end{align}

수학적 귀납법을 적용하면 일반적인 $k$에 대한 결과를 얻을 수 있다.

위 결과는 푸리에 변환의 감쇠에 대해 알려주는데, $f$와 $f^\{(k)\}$가 적분 가능하면 다음이 성립하기 때문이다.

:$\backslash vert\backslash mathcal\{F\}f(\backslash xi)\backslash vert\; \backslash leq\; \backslash frac\{I(f)\}\{1+\backslash vert\; 2\backslash pi\backslash xi\backslash vert^k\},\; \backslash text\{\; 여기서\; \}\; I(f)\; =\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; \backslash Bigl(\backslash vert\; f(y)\backslash vert\; +\; \backslash vert\; f^\{(k)\}(y)\backslash vert\backslash Bigr)\; \backslash ,\; dy.$

즉, $f$가 이러한 조건을 만족하면 푸리에 변환은 무한대에서 적어도 $\backslash frac\{1\}\{|\backslash xi|^k\}$만큼 빠르게 감쇠한다. 특히, $k\; \backslash geq\; 2$이면 푸리에 변환은 적분 가능하다.

이 증명은 다음 사실을 이용한다.

:$\backslash vert\backslash mathcal\{F\}f(\backslash xi)\backslash vert\; \backslash leq\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; \backslash vert\; f(y)\; \backslash vert\; \backslash ,dy.$

그리고 다음을 얻는다.

:$\backslash vert(2\backslash pi\; i\backslash xi)^k\; \backslash mathcal\{F\}f(\backslash xi)\backslash vert\; \backslash leq\; \backslash int\_\{-\backslash infty\}^\backslash infty\; \backslash vert\; f^\{(k)\}(y)\; \backslash vert\; \backslash ,dy.$

이 두 부등식을 더한 다음 $1\; +\; |2\backslash pi\backslash xi|^k$로 나누면 위 부등식이 나온다.

3.5. 연산자 이론

작용소 이론에서 부분 적분을 사용하는 한 가지 예는 −∆ (∆는 라플라스 연산자)가 $L^2$에서 양의 작용소임을 보여주는 것이다(L^p 공간 참조). $f$가 매끄럽고 컴팩트 지지이면, 부분 적분을 사용하여 다음을 얻는다.

:$\backslash begin\{align\}$
\langle -\Delta f, f \rangle_{L^2} &= -\int_{-\infty}^\infty f''(x)\overline{f(x)}\,dx \\[5pt]
&=-\left[f'(x)\overline{f(x)}\right]_{-\infty}^\infty + \int_{-\infty}^\infty f'(x)\overline{f'(x)}\,dx \\[5pt]
&=\int_{-\infty}^\infty \vert f'(x)\vert^2\,dx \geq 0.
\end{align}

3.6. 변분법

변분법에서 오일러-라그랑주 방정식을 유도할 때 부분 적분을 사용한다.

4. 고차원 확장

부분 적분은 미적분학의 기본 정리를 응용하여 여러 변수의 함수로 확장될 수 있다. 스칼라 함수 u와 벡터 함수(벡터장) V를 포함하는 다변수 미적분학에서 다양한 확장이 가능하다.

발산에 대한 곱 규칙은 다음과 같다.

:$$\backslash nabla\; \backslash cdot\; (\; u\; \backslash mathbf\{V\}\; )\; \backslash \; =\backslash \; u\backslash ,\; \backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\; V\; \backslash \; +\backslash \; \backslash nabla\; u\backslash cdot\; \backslash mathbf\; V.$$

$\backslash Omega$가 열린 집합 $\backslash R^n$의 경계 $\backslash Gamma=\backslash partial\backslash Omega$를 갖는 조각별 매끄러운 유계 집합이라고 가정하고, 발산 정리를 적용하면 다음과 같다.

:$$\backslash int\_\{\backslash Gamma\}\; u\; \backslash mathbf\{V\}\; \backslash cdot\; \backslash hat\{\backslash mathbf\; n\}\; \backslash ,d\backslash Gamma\; \backslash \; =\backslash \; \backslash int\_\backslash Omega\backslash nabla\backslash cdot\; (\; u\; \backslash mathbf\{V\}\; )\backslash ,d\backslash Omega\; \backslash \; =\backslash \; \backslash int\_\backslash Omega\; u\backslash ,\; \backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\; V\backslash ,d\backslash Omega\; \backslash \; +\backslash \; \backslash int\_\backslash Omega\backslash nabla\; u\backslash cdot\; \backslash mathbf\; V\backslash ,d\backslash Omega,$$

여기서 $\backslash hat\{\backslash mathbf\; n\}$은 경계에 대한 바깥쪽 단위 법선 벡터이다. 이를 재정렬하면 다음과 같은 부분 적분 공식을 얻는다.

:$$$$
\int_\Omega u \,\nabla \cdot \mathbf V\,d\Omega \ =\ \int_\Gamma u \mathbf V \cdot \hat{\mathbf n}\,d\Gamma - \int_\Omega \nabla u \cdot \mathbf V \, d\Omega,


다르게 표현하면,

:$$$$
\int_\Omega u\,\operatorname{div}(\mathbf V)\,d\Omega \ =\ \int_\Gamma u \mathbf V \cdot \hat{\mathbf n}\,d\Gamma - \int_\Omega \operatorname{grad}(u)\cdot\mathbf V\,d\Omega .


이 정리에서 정규성 요구 사항은 완화될 수 있다. 예를 들어, 경계 $\backslash Gamma=\backslash partial\backslash Omega$는 립시츠 연속이면 충분하고, 함수 u, v는 소볼레 공간 $H^1(\backslash Omega)$에만 속하면 된다.

연속적으로 미분 가능한 벡터장 $\backslash mathbf\; U\; =\; u\_1\backslash mathbf\; e\_1+\backslash cdots+u\_n\backslash mathbf\; e\_n$와 $v\; \backslash mathbf\; e\_1,\backslash ldots,\; v\backslash mathbf\; e\_n$을 고려하면(여기서 $\backslash mathbf\; e\_i$는 $i=1,\backslash ldots,n$에 대해 i번째 표준 기저 벡터), 각 $u\_i$에 벡터장 $v\backslash mathbf\; e\_i$를 곱하여 부분 적분을 적용하고 i에 대해 합하면 다음과 같은 새로운 부분 적분 공식을 얻는다.

:$$\backslash int\_\backslash Omega\; \backslash mathbf\; U\; \backslash cdot\; \backslash nabla\; v\backslash ,d\backslash Omega\; \backslash \; =\backslash \; \backslash int\_\backslash Gamma\; v\; \backslash mathbf\{U\}\backslash cdot\; \backslash hat\{\backslash mathbf\; n\}\backslash ,d\backslash Gamma\; -\; \backslash int\_\backslash Omega\; v\backslash ,\; \backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{U\}\backslash ,d\backslash Omega.$$

$\backslash mathbf\{U\}=\backslash nabla\; u$인 경우, 즉 $u\backslash in\; C^2(\backslash bar\{\backslash Omega\})$일 때, 이는 그린의 항등식 중 첫 번째 항등식이다.

:$$\backslash int\_\backslash Omega\; \backslash nabla\; u\; \backslash cdot\; \backslash nabla\; v\backslash ,d\backslash Omega\backslash \; =\backslash \; \backslash int\_\backslash Gamma\; v\backslash ,\; \backslash nabla\; u\backslash cdot\backslash hat\{\backslash mathbf\; n\}\backslash ,d\backslash Gamma\; -\; \backslash int\_\backslash Omega\; v\backslash ,\; \backslash nabla^2\; u\; \backslash ,\; d\backslash Omega.$$

유계 열린 집합 $\backslash Omega\; \backslash subset\; \backslash mathbb\{R\}^n$에서 매끄러운 함수 $u$와 벡터값 함수 $\backslash mathbf\{v\}$에 대해, 가우스의 발산 정리를 $\backslash nabla\; \backslash cdot\; (u\; \backslash mathbf\{v\})\; =\; \backslash nabla\; u\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{v\}\; +\; u\; \backslash nabla\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{v\}$에 적용하면 다음과 같은 부분 적분 공식을 얻는다.

:$\backslash int\_\{\backslash Omega\}\; \backslash nabla\; u\; \backslash cdot\; \backslash mathbf\{v\}\backslash ,\; d\backslash Omega\; =\; \backslash int\_\{\backslash Gamma\}\; u\; (\backslash mathbf\{v\}\backslash cdot\; \backslash mathbf\{n\})\backslash ,\; d\backslash Gamma\; -\; \backslash int\_\backslash Omega\; u\backslash ,\; \backslash nabla\backslash cdot\backslash mathbf\{v\}\backslash ,\; d\backslash Omega$

여기서 $\backslash mathbf\{n\}$은 $\backslash Gamma$에 대한 외향 단위 면 법선 벡터이다.

만약 $\backslash mathbf\{v\}=\backslash nabla\; v$이고 $v\backslash in\; C^2(\backslash bar\{\backslash Omega\}\; )$ 라면, 그린의 제1항등식을 얻는다.

:$\backslash int\_\{\backslash Omega\}\; \backslash nabla\; u\; \backslash cdot\; \backslash nabla\; v\backslash ,\; d\backslash Omega\; =\; \backslash int\_\{\backslash Gamma\}\; u\backslash ,\; \backslash nabla\; v\backslash cdot\; \backslash mathbf\{n\}\backslash ,\; d\backslash Gamma\; -\; \backslash int\_\backslash Omega\; u\backslash ,\; \backslash nabla^2\; v\backslash ,\; d\backslash Omega$

임의의 차수의 미분 가능한 텐서장 $\backslash boldsymbol\{F\}$와 $\backslash boldsymbol\{G\}$에 대해서도 발산 정리를 통해 부분 적분 공식을 유도할 수 있다.

:$$
\int_{\Omega} \boldsymbol{F}\otimes\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{G}\, d\Omega = \int_{\Gamma} \mathbf{n}\otimes(\boldsymbol{F}\otimes\boldsymbol{G})\, d\Gamma - \int_{\Omega} \boldsymbol{G}\otimes\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{F}\, d\Omega


여기서 $\backslash otimes$는 텐서곱을 나타낸다.

5. 반복 부분 적분

$I\backslash subseteq\backslash mathbb\; R$가 구간이고 $u,v\backslash colon\; I\backslash to\backslash mathbb\; R$가 $n$번 연속 미분 가능 함수라면, 다음 식이 성립한다.

:$\backslash int\; u(x)v^\{(n)\}(x)\backslash mathrm\; dx=\backslash sum\_\{k=0\}^\{n-1\}(-1)^ku^\{(k)\}(x)v^\{(n-1-k)\}(x)+(-1)^n\backslash int\; u^\{(n)\}(x)v(x)\backslash mathrm\; dx$

이는 부분 적분을 반복하여 증명할 수 있다. 이러한 적분을 계산할 때는 보통 위 공식에 직접 대입하는 대신 부분 적분을 반복하거나 표를 사용한다.

부분 적분 공식을 $v$의 2차 도함수에 대해 적용하면 다음과 같다.

:$$\backslash int\; u\; v$$\,dx = uv' - \int u'v'\,dx = uv' - \left( u'v - \int uv\,dx \right).

이를 $n$차 도함수로 확장하면 다음과 같다.

:$$\backslash begin\{align\}$$
\int u^{(0)} v^{(n)}\,dx &= u^{(0)} v^{(n-1)} - u^{(1)}v^{(n-2)} + u^{(2)}v^{(n-3)} - \cdots + (-1)^{n-1}u^{(n-1)} v^{(0)} + (-1)^n \int u^{(n)} v^{(0)} \,dx.\\[5pt]
&= \sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k u^{(k)}v^{(n-1-k)} + (-1)^n \int u^{(n)} v^{(0)} \,dx.
\end{align}

이 방법은 $v^\{(n)\}$의 연속적인 적분이 쉽게 구해질 때 (예: 라플라스 변환 또는 푸리에 변환에서와 같이 단순 지수 함수 또는 사인 및 코사인)와 $u$의 $n$차 도함수가 0이 될 때 (예: $(n-1)$ 차수의 다항 함수) 유용하다. 후자의 경우 우변의 적분이 사라지기 때문에 부분 적분의 반복을 멈춘다.

위의 부분 적분 반복 과정에서 다음 적분들이 연관된다.

:$$\backslash int\; u^\{(0)\}\; v^\{(n)\}\backslash ,dx\; \backslash quad$$ 와 $\backslash quad\; \backslash int\; u^\{(\backslash ell)\}\; v^\{(n-\backslash ell)\}\backslash ,dx\; \backslash quad$ 와 $\backslash quad\; \backslash int\; u^\{(m)\}\; v^\{(n-m)\}\backslash ,dx\; \backslash quad\backslash text\{\; for\; \}\; 1\; \backslash le\; m,\backslash ell\; \backslash le\; n$

이는 적분 함수 내에서 $v$와 $u$ 사이의 도함수를 "이동"하는 것으로 해석할 수 있으며, 자세한 내용은 로드리게스 공식을 참고하라.

부분 적분을 $\backslash int\; v\; \backslash ,\; du$에 재귀적으로 적용하면 다음 공식을 얻는다.

:$\backslash int\; uv\; =\; u\; v\_1\; -\; u\text{'}\; v\_2\; +\; u$ v_3 - \cdots + (-1)^{n-1}\ u^{(n-1)} \ v_{n} + (-1)^n \int{u^{(n)}v_{n}}.\!

여기서 $u\text{'}$는 $u$의 1차 도함수, $u$는 2차 도함수이며, $u^\{(n)\}$은 n차 도함수를 나타낸다. $v\_\{n\}$은 다음과 같이 정의된다.

:$v\_\{n+1\}(x)=\backslash int\backslash !\; \backslash int\backslash \; \backslash cdots\; \backslash int\; v\; \backslash \; (dx)^\{n+1\}.\backslash !$

위 식은 $uv\_1$부터 시작하여 첫 번째 항은 차례로 미분하고, 두 번째 항은 적분하면서 부호를 번갈아 바꾸면 계산할 수 있다. 특히, $u^\{(k+1)\}$이 어떤 $k+1$에서 0이 될 때 $u^\{(k)\}$ 항까지로 종료되므로 편리하다.

5.1. 표를 이용한 방법

반복 부분 적분은 표를 이용하여 체계적으로 수행할 수 있으며, 이는 특히 다항 함수와 삼각 함수 또는 지수 함수의 곱의 적분에 유용하다. 이 방법은 영화 죽은 시인의 사회(1988)에 등장하기도 했다.

예를 들어, 다음 적분을 고려해 보자.

:$\backslash int\; x^3\; \backslash cos\; x\; \backslash ,dx$

$u^\{(0)\}\; =\; x^3$, $v^\{(n)\}\; =\; \backslash cos\; x$라고 하자.

열 A에 함수 $u^\{(0)\}\; =\; x^3$과 그 차수별 도함수 $u^\{(i)\}$를 0이 될 때까지 나열한다. 열 B에 함수 $v^\{(n)\}\; =\; \backslash cos\; x$와 그 차수별 적분 $v^\{(n-i)\}$을 열 B의 크기가 열 A와 같아질 때까지 나열한다.

행 i의 열 A와 B의 항목 곱과 각각의 부호를 곱하면 반복 부분 적분 과정에서 단계 i의 관련 적분을 얻을 수 있다. 단계 0은 원래의 적분을 산출한다. 단계 i > 0의 완전한 결과를 위해서는 i번째 적분을 이전의 모든 곱(0 ≤ j < i)에 더해야 한다. 즉, 열 A의 j번째 항목과 열 B의 (j + 1)번째 항목을 곱하고, 주어진 j번째 부호와 곱한다. 이 과정은 적분을 산출하는 곱이 0이 될 때 중단된다(예시에서 i = 4).

:$\backslash underbrace\{(+1)(x^3)(\backslash sin\; x)\}\_\{j=0\}\; +\; \backslash underbrace\{(-1)(3x^2)(-\backslash cos\; x)\}\_\{j=1\}\; +\; \backslash underbrace\{(+1)(6x)(-\backslash sin\; x)\}\_\{j=2\}\; +\backslash underbrace\{(-1)(6)(\backslash cos\; x)\}\_\{j=3\}+\; \backslash underbrace\{\backslash int(+1)(0)(\backslash cos\; x)\; \backslash ,dx\}\_\{i=4:\; \backslash ;\backslash to\; \backslash ;C\}.$

이는 다음과 같다.

:$\backslash underbrace\{\backslash int\; x^3\; \backslash cos\; x\; \backslash ,dx\}\_\{\backslash text\{step\; 0\}\}\; =\; x^3\backslash sin\; x\; +\; 3x^2\backslash cos\; x\; -\; 6x\backslash sin\; x\; -\; 6\backslash cos\; x\; +\; C.$

함수 $u^\{(i)\}$와 $v^\{(n-i)\}$를 각각 미분하고 적분하는 과정에서 그 곱이 원래의 피적분 함수의 배수가 되는 경우에도 반복 부분 적분을 활용할 수 있다. 이 경우 반복은 이 지수 i로 종료될 수도 있다. 이는 지수 함수와 삼각 함수에서 자주 확인할 수 있다. 예를 들어 다음을 고려해 보자.

:$\backslash int\; e^x\; \backslash cos\; x\; \backslash ,dx.$



이 경우 지수 i = 2에 대한 적절한 부호를 가진 열 A와 B의 항목 곱은 원래 피적분 함수의 음수를 생성한다.

:$\backslash underbrace\{\backslash int\; e^x\; \backslash cos\; x\; \backslash ,dx\}\_\{\backslash text\{step\; 0\}\}\; =\; \backslash underbrace\{(+1)(e^x)(\backslash sin\; x)\}\_\{j=0\}\; +\; \backslash underbrace\{(-1)(e^x)(-\backslash cos\; x)\}\_\{j=1\}\; +\; \backslash underbrace\{\backslash int(+1)(e^x)(-\backslash cos\; x)\; \backslash ,dx\}\_\{i=\; 2\}.$

우변의 적분에는 고유한 적분 상수 $C\text{'}$가 있을 수 있으며, 추상적인 적분을 다른 쪽으로 가져오면 다음과 같다.

:$2\; \backslash int\; e^x\; \backslash cos\; x\; \backslash ,dx\; =\; e^x\backslash sin\; x\; +\; e^x\backslash cos\; x\; +\; C\text{'},$

최종적으로:

:$\backslash int\; e^x\; \backslash cos\; x\; \backslash ,dx\; =\; \backslash frac\; 12\; \backslash left(e^x\; (\; \backslash sin\; x\; +\; \backslash cos\; x\; )\; \backslash right)\; +\; C,$

여기서 $C\; =\; \backslash frac\{C\text{'}\}\{2\}$이다.