다항식

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1. 개요
2. 정의
3. 연산
4. 다항식과 관련된 개념
5. 응용
6. 역사
- 6.1. 표기법의 역사
참조

1. 개요

다항식은 변수와 계수를 사용하여 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 음이 아닌 정수 거듭제곱으로 구성된 식이다. 다항식은 변수의 개수에 따라 일변수, 다변수 등으로 나뉘며, 항, 계수, 차수 등의 용어를 사용한다. 다항식은 덧셈, 뺄셈, 곱셈 등의 연산이 가능하며, 다항식의 나눗셈은 다항식 장제법 등을 통해 몫과 나머지를 구한다. 다항식은 다항함수, 다항식 방정식, 인수분해 등 다양한 개념과 관련 있으며, 위치 기수법, 보간법, 근사, 특성 다항식 등 다양한 분야에 응용된다. 다항식의 표기법은 15세기부터 발전해 왔으며, 데카르트의 기호 사용이 현대적인 표기법에 큰 영향을 미쳤다.

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다항식
개요
유형	수학적 표현
변수	x
예시	x x² − 4x + 7 x³ + 2xyz² − yz + 1
다항식 (여러마디식)
예시	3x³ − 7x² + 2x − 23
변수	x
예시	x² - 2x + 3 4x³ 5xy + 6

2. 정의

(일변수) 다항식은 다음과 같은 형태의 표현식이다.^[7]

:

a + bx + cx^2 + \cdots + dx^{n-1} + ex^n

다항식 안에서 특별한 역할을 맡는 문자를 '''변수'''(''x''² + 1/variable}})라고 한다. 예를 들어, 를 변수로 하며, 따라서 '''에 대한(관한) 다항식'''(x}}/polynomial with respect to {{mvar^영어)이다. 다항식은 변수의 개수에 따라 '''일변수'''(univariate^영어)와 '''다변수'''(multivariate^영어), '''이변수'''(bivariate^영어), '''삼변수''' 등 다항식으로 나뉜다.

더해져서 다항식을 이루는 작은 구성원들을 다항식의 '''항'''(term^영어)이라고 한다. 변수를 포함하지 않는 항을 '''상수항'''이라고 한다. 하나의 항만으로 이루어진 다항식을 '''단항식''', 개 항으로 이루어진 다항식을 '''항식'''('''이항식''', '''삼항식'''(''x''² - 2''x'' + 3/trinomial}}) 등)이라고 한다. 예를 들어 , , 을 항으로 하는 삼항식이다. 은 단항식이다.

항 안에서 변수의 거듭제곱에 곱하는 수를 '''계수'''라고 한다. 곱하는 수가 없는 항의 계수는 1이고, 빼는 항의 계수에 빼기 부호도 포함된다는 데 주의하자. (이는 곱하기 1과 뺄셈의 의미에 부합한다.) 예를 들어 의 세 항의 계수는 각각 1, -2, 3이다. 다항식은 계수의 유형에 따라 '''정계수''', '''유리계수''', '''실계수''', '''복소계수''' 다항식 등으로 나뉜다. 이 밖에 임의의 (무한 또는 유한)체, (가환 또는 비가환)환의 원소도 계수가 될 수 있다.

''다항식 표현''은 식으로, 상수와 ''변수'' 또는 ''미지수''라고 불리는 기호를 덧셈, 곱셈 및 비음수 정수 거듭제곱에 의한 지수를 사용하여 구성될 수 있다.^[7] 상수는 일반적으로 수이지만, 미지수를 포함하지 않고 덧셈과 곱셈이 가능한 수학적 대상을 나타내는 모든 식이 될 수 있다. 두 개의 다항식 표현은 덧셈과 곱셈의 일반적인 교환 법칙, 결합 법칙 및 분배 법칙을 적용하여 서로 변환될 수 있는 경우 동일한 ''다항식''을 정의하는 것으로 간주된다. 예를 들어,

(x-1)(x-2)

와

x^2-3x+2

는 동일한 다항식을 나타내는 두 개의 다항식 표현이다.^[7] 따라서 등식

(x-1)(x-2)=x^2-3x+2

가 성립한다.

단일 미지수 에 대한 다항식은 항상 다음 형식으로 작성(또는 다시 작성)할 수 있다.^[7]

a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + \dotsb + a_2 x^2 + a_1 x + a_0,

여기서

a_0, \ldots, a_n

은 다항식의 ''계수''라고 하는 상수이고,

x

는 미지수이다.^[7] "미지수"라는 단어는

x

가 특정 값을 나타내지 않지만, 어떤 값이든 대신 대입될 수 있음을 의미한다.^[7] 이 대입의 결과를 대입된 값에 연결하는 매핑은 ''다항식 함수''라고 하는 함수이다.

이것은 합계 표기법을 사용하여 더 간결하게 표현할 수 있다.

\sum_{k=0}^n a_k x^k

즉, 다항식은 0이거나 유한 개의 비영 항의 합으로 쓸 수 있다. 각 항은 계수라고 하는 숫자와 미지수의 유한한 개수의 곱으로 구성되며, 비음수 정수 거듭제곱으로 표현된다.입니다.}}

다항식의 각 항에서 미지수에 붙은 지수를 해당 미지수의 차수라고 부른다. 항의 차수는 해당 항에 있는 미지수의 차수를 모두 더한 값이며, 다항식의 차수는 0이 아닌 계수를 가진 항 중 가장 큰 차수이다.^[8] ''x''¹}}이므로, 지수가 쓰여 있지 않은 미지수의 차수는 1이다.

미지수가 없는 항과 미지수가 없는 다항식을 각각 상수항과 '''상수 다항식'''이라고 부른다.}} 상수항과 0이 아닌 상수 다항식의 차수는 0이다. 0 다항식 0(항이 전혀 없는)의 차수는 일반적으로 정의되지 않은 것으로 취급된다(하지만 아래 참조).^[9]

예를 들어:

-5x^2y

는 항이다. 계수는 이고, 미지수는 와 이며, 의 차수는 2이고, 의 차수는 1이다. 전체 항의 차수는 각 미지수의 차수를 더한 값이므로, 이 예에서는 차수가 3}}이다.

여러 항의 합을 만들면 다항식이 된다. 예를 들어, 다음은 다항식이다.

\underbrace{_\,3x^2}_{\begin{smallmatrix}\mathrm{항}\\\mathrm{1}\end{smallmatrix}} \underbrace{-_\,5x}_{\begin{smallmatrix}\mathrm{항}\\\mathrm{2}\end{smallmatrix}} \underbrace{+_\,4}_{\begin{smallmatrix}\mathrm{항}\\\mathrm{3}\end{smallmatrix}}.

세 개의 항으로 구성되어 있다. 첫 번째 항은 차수가 2이고, 두 번째 항은 차수가 1이고, 세 번째 항은 차수가 0이다.

차수가 작은 다항식에는 특정 이름이 붙어 있다. 차수가 0인 다항식은 ''상수 다항식'' 또는 간단히 ''상수''이다. 차수가 1, 2 또는 3인 다항식은 각각 ''선형 다항식'', ''이차 다항식'' 및 ''삼차 다항식''이다.^[8] 차수가 더 높은 경우에는 특정 이름이 일반적으로 사용되지 않지만, ''사차 다항식''(차수 4)과 ''오차 다항식''(차수 5)이 가끔 사용된다. 차수에 대한 이름은 다항식 또는 그 항에 적용될 수 있다. 예를 들어, 에서 항 는 이차 다항식의 선형 항이다.

항이 전혀 없는 것으로 간주할 수 있는 다항식 0을 '''영 다항식'''이라고 한다. 다른 상수 다항식과 달리, 차수는 0이 아닙니다. 대신, 영 다항식의 차수는 명시적으로 정의되지 않거나 음수(-1 또는 −∞)로 정의된다.^[10] 영 다항식은 또한 한 미지수에서 무한히 많은 근을 갖는 유일한 다항식이라는 점에서 독특하다. 영 다항식의 그래프 0}}은 ''x''축이다.

둘 이상의 미지수를 갖는 다항식의 경우, 다항식의 모든 0이 아닌 항이 }}를 가지면 차수가 }}인 '''동차 다항식'''이라고 한다. 영 다항식은 동차이고, 동차 다항식으로서 차수는 정의되지 않습니다.}} 예를 들어, 은 차수가 5인 동차 다항식이다. 자세한 내용은 동차 다항식을 참조하십시오.

덧셈의 교환 법칙을 사용하여 항을 원하는 순서로 재배열할 수 있다. 한 미지수를 갖는 다항식에서, 항은 일반적으로 차수에 따라 정렬되며, 가장 큰 차수의 항을 먼저 쓰는 "의 내림차순" 또는 "의 오름차순"으로 정렬된다. 다항식 는 의 내림차순으로 작성되었다. 첫 번째 항은 계수가 이고, 미지수는 이며, 지수는 이다. 두 번째 항에서 계수는 }}이다. 세 번째 항은 상수이다. 0이 아닌 다항식의 차수는 항의 가장 큰 차수이므로, 이 다항식의 차수는 2이다.^[11]

같은 미지수가 같은 거듭제곱으로 표현된 두 항을 "유사 항" 또는 "동류항"이라고 하며, 분배 법칙을 사용하여 결합된 항의 계수의 합이 계수인 단일 항으로 결합할 수 있다. 이렇게 하면 계수가 0이 될 수 있다.^[12] 다항식은 0이 아닌 계수를 갖는 항의 수에 따라 분류할 수 있으므로, 한 항 다항식은 단항식이라고 하며,}} 두 항 다항식은 이항식, 세 항 다항식은 삼항식이라고 한다.

'''실수 다항식'''은 실수 계수를 가진 다항식이다. 이를 사용하여 함수를 정의할 때, 정의역은 그렇게 제한되지 않습니다. 그러나 '''실수 다항식 함수'''는 실수 다항식으로 정의된 실수에서 실수로의 함수이다. 마찬가지로, '''정수 다항식'''은 정수 계수를 가진 다항식이고, '''복소 다항식'''은 복소수 계수를 가진 다항식이다.

한 미지수를 갖는 다항식을 '''일변수 다항식''', 둘 이상의 미지수를 갖는 다항식을 '''다변수 다항식'''이라고 한다. 두 개의 미지수를 갖는 다항식을 '''이변수 다항식'''이라고 한다.^[7] 이러한 개념은 개별 다항식보다는 일반적으로 다루는 다항식의 종류를 더 많이 나타냅니다. 예를 들어, 일변수 다항식을 다룰 때 상수 다항식(비상수 다항식의 뺄셈에서 발생할 수 있음)을 제외하지 않지만, 엄밀히 말하면 상수 다항식은 미지수를 전혀 포함하지 않습니다. 허용되는 미지수의 최대 수에 따라 다변수 다항식을 "이변수", "삼변수" 등으로 더 분류할 수 있습니다. 다시 말해, 고려 대상의 집합이 뺄셈에 대해 닫히도록 하기 위해 삼변수 다항식 연구는 일반적으로 이변수 다항식을 허용하고, 이런 식으로 진행됩니다. 또한 ", 및 에 대한 다항식"이라고 간단히 말하여 허용되는 미지수를 나열하는 것이 일반적이다.

미지수 에 관한 (1변수의) '''다항식'''이란,

:

a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \dotsb + a_1 x + a_0

의 형태의 식을 말한다. 이것을

:

\sum_{k=0}^n a_k x^k

라고도 쓴다. 단, 은 음이 아닌 정수이고, }}, }}, …, }}은 수이다. 각각의 ''x''}} ( 0}}, …, )을 '''항''' (더 자세히는 차의 항)이라고 부르며, }}를 그 항의 '''계수'''라고 부른다. 특히, 0차의 항 }}을 '''상수항'''이라고 부른다. 예를 들어, 다항식 − 7''x'' + 2''x'' − 23}}의 항이란 }}, }}, , 을 말하며, }}의 계수는 이고, 이 다항식의 상수항은 이다.

항을 나열하는 순서는 변경해도 된다. 예를 들어 − 23 + 2''x'' + 3''x''}}은 − 7''x'' + 2''x'' − 23}}과 같은 다항식이다. 또한, 을 계수로 하는 항은 생략해도 된다. 예를 들어 + 0''x'' − 1 }}과 − 1 }}은 같은 다항식이며, + 4''x'' − 2 }}과 도 같은 다항식이다.

나 }}와 같이, 유일한 항에 의해 표현되는 다항식을 '''단항식'''이라고 부른다. 또한, 수 }}을 다항식으로 간주할 수도 있다 (상수 다항식).

상수 다항식 을 제외한 모든 다항식 는, ''x'' + ''a''''x'' + … + ''a''''x'' + ''a''}} (단, ≠ 0}}^[33])의 형태로 나타낼 수 있다. 이렇게 표현했을 때, 을 다항식 의 '''차수'''라고 부르며, 는 차 다항식이라고 한다. 또한 이때, 차의 항 ''x''}}을 '''최고차항'''이라고도 부른다.

상수 다항식 }}의 차수는 0}}의 경우를 제외하고 이다. 의 차수는, 정의하지 않거나, 또는 로 정하는 경우가 많다 (영 다항식).

또한, 다항식의 계수로는 다양한 범위의 수를 사용할 수 있다. 어떤 범위의 수를 채택하고 있는지 명시하기 위해, "실수를 계수로 하는 다항식"과 같은 표현이 사용될 수 있다. 집합 에 속하는 수를 계수로 하는 다항식을 " 위의 다항식"이라고도 한다. 계수의 집합 로서 체 또는 가환환을 선택하는 경우가 많지만, 반드시 그것들에 한정되지 않는다.

차 다항식|たかだかえぬじのたこうしき}}은 차수가 고작 인 다항식이다.

차 다항식은 차 계수 }}가 ≠ 0}}로 제약되어 있다^[33]。이 제약을 푼 것이 "고작 차 다항식"이다^[34]。응용수학에서는 "상한 차 다항식으로 근사한다"와 같은 문제 설정이 종종 이루어지기 때문에, 차 다항식과는 구분하여 이 개념이 사용되는 경우가 있다.

부정원 , 에 관한 2변수 다항식이란, 예를 들어 ''y'' + ''x'' − 17''xy'' − 4}}와 같이, 유한 개수의 ''y''}} (, 은 음이 아닌 정수, 는 수)의 합으로 나타낼 수 있는 식을 말한다. 마찬가지로, 임의의 양의 정수 에 대해 변수의 다항식 개념을 생각할 수 있다. 2변수 이상의 다항식은 일반적으로 다변수 다항식이라고 한다.

를 수의 집합으로 한다. 개의 부정원 }}, }}, …, }}에 관한 상의 다항식 는, 개의 음이 아닌 정수의 조 전체의 집합을 }}로 나타낼 때, }}의 어떤 유한 부분집합 를 사용하여

:

\sum_{(k_1,k_2,\dots,k_m)\in I} a_{k_1k_2\dotsb k_m} x_1^{k_1}x_2^{k_2}\dotsb x_m^{k_m}

로 나타낼 수 있다. 단, 각 ''k''…''k''}}}}는 의 원소이다. 같은 것을, 다중 지표 표기법을 사용하여

:

\sum_{k\in I} a_k x^k

로 쓸 수도 있다 (여기서 (''x'', ''x'', …, ''x'') }}). 각각의 ''k''…''k''}}''x''}}''x''}}…''x''}}}} (다중 지표 표기법에서는 ''x''}}을) 다항식 의 '''항'''이라고 한다. 또한, 1변수 다항식의 경우와 마찬가지로, 을 계수로 하는 항은 생략하여 써도 좋다.

변수의 다항식 를 위와 같이 나타냈을 때, 항 ''k''…''k''}}''x''}}''x''}}…''x''}}}}의 '''차수'''는 일반적으로 + ''k'' + … + ''k''}}을 말한다. 또한, 을 계수로 하는 항을 모두 생략한 형태로 를 표기했을 때 나타나는 항의 차수 중 가장 큰 것을 의 '''차수'''라고 한다. 예를 들어, (부정원 , 에 관한) 다항식 ''y'' + ''x'' − 17''xy'' − 4}}의 차수는 이다.

2. 1. 용어

다항식에서 항은 다항식을 구성하는 각각의 단항식을 의미한다.^[6] 계수는 항에서 변수에 곱해지는 수이며,^[6] 변수를 포함하지 않는 항을 상수항이라고 한다.^[9] 예를 들어, 다항식 에서 의 계수는 1, 의 계수는 -2, 상수항은 3이다.

다항식의 항에서 특정 변수를 거듭제곱한 지수를 그 항의 그 변수에 대한 차수라고 한다. 항의 모든 변수에 대한 차수의 합을 그 항의 차수라고 하고, 다항식 안에서 차수가 가장 높은 항의 차수를 그 다항식의 '''차수'''라고 한다.^[8] 예를 들어 에서, 항 의 차수는 2이며, 다항식의 차수는 2이다.^[8] 는, 이 3차항이자 최고차항이므로, 3차 다항식이다.

같은 다항식에 변수 및 각 변수의 차수가 같은 항이 여럿 있다면, 이들을 '''동류항'''이라고 한다.^[12] 동류항이 있는 다항식은 정리가 안 되었다고 여겨지며, 계수를 더해서 하나의 항으로 만들어야 한다. 에서 와 는 동류항이며, 이들을 모아 정리한 다항식은 이다.
상수 다항식은 상수항만으로 이루어진 다항식 이며,^[9] 그 상수가 0인 경우 '''영다항식'''이라고 한다.^[10] 0이 아닌 상수 다항식은 0차 다항식이다. 영다항식은 차수를 정의하지 않거나, 로 따로 차수를 규정한다.^[10]

다변수 다항식의 경우, 차수가 같은 항들만으로 이루어진 다변수 다항식을 '''동차 다항식'''이라고 한다. 예를 들어 에 대한 다항식 은 동차 다항식이다. 최고차항의 계수가 1인 일변수 다항식을 '''일계수 다항식'''(또는 '''모닉 다항식''')이라고 한다.

2. 2. 표현

다항식은 함수와 비슷하게 $P(x)$, $Q(x, y)$ 등으로 표기되는 경우가 많다. 이에 의한 다항함수와의 혼동은 많지 않다. 다항식 $P$의 차수는 $\deg P$로 표기한다.

일반적인 일변수 다항식은 $x$와 음이 아닌 정수 $n$, 그리고 $(n+1)$개의 상수 $a_0, a_1, \dots, a_n$을 써서

$P(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 = \sum_{i=0}^n a_ix^i$

등으로 나타낸다. 이때 $a_i$는 $i$차항 계수이고, 이 중 $a_0$은 상수항이다. $P$가 영이 아닌 다항식인 경우, $a_n \ne 0$이게끔 한다.

일반적인 다변수 다항식은 $x_1, \dots, x_n$과 유한 개의 튜플 $(i_1, \dots, i_n) \in \mathbb{N}^n$을 써서

$Q(x_1, \ldots, x_n) = \sum_{i_1, \ldots, i_n} a_{i_1, \ldots, i_n}x_1^{i_1}\cdots x_n^{i_n}$

로 나타낸다. 다중지표 표기법을 이용하여

$Q(x) = \sum_{i} a_ix^i$

으로도 나타낼 수 있다. 여기서

$i = (i_1, i_2,\ldots, i_n) \in \mathbb{N}^n$

$x = (x_1, x_2,\ldots, x_n)$

$x^i = x_1^{i_1}x_2^{i_2}\cdots x_n^{i_n}$

이다.

체 $\mathbb{F}$의 원소를 계수로 하는 다항식의 집합이 다항식의 덧셈과 곱셈 아래 이루는 환을 $\mathbb{F}[x]$로 표기한다. 환 $R$ 위의 다항식의 환은 $R[x]$, 다변수 다항식의 환은 $\mathbb{F}[x_1, \dots, x_n]$, $R[x_1, \dots, x_n]$로 표기된다. 정 · 유리 · 실 · 복소계수 다항식이 이루는 환은 각각 $\mathbb{Z}[x], \mathbb{Q}[x], \mathbb{R}[x], \mathbb{C}[x]$로 표기한다.

다항식에 나타나는 $x$는 일반적으로 변수 또는 미지수라고 불린다. 다항식이 식으로 간주될 때, $x$는 값을 갖지 않는 고정된 기호이다 (그 값은 "미지수"이다). 그러나 다항식으로 정의된 함수를 고려할 때, $x$는 함수의 인수를 나타내며, 따라서 "변수"라고 불린다. 많은 저자들이 이 두 단어를 상호 교환적으로 사용한다.

미지수 $x$에 대한 다항식 $P$는 일반적으로 $P$ 또는 $P(x)$로 표기한다. 형식적으로 다항식의 이름은 $P$이지 $P(x)$가 아니지만, 함수 표기법 $P(x)$의 사용은 다항식과 관련된 함수 사이의 구분이 불분명했던 시대부터 시작되었다. 게다가, 함수 표기법은 단일 구절로 다항식과 미지수를 지정하는 데 종종 유용하다. 예를 들어, "$P(x)$를 다항식으로 하자"는 "$P$를 미지수 $x$에 대한 다항식으로 하자"의 줄임말이다. 반면에 미지수의 이름을 강조할 필요가 없을 때, 미지수의 이름이 다항식의 각 발생에 나타나지 않으면 많은 공식이 훨씬 더 간단하고 읽기 쉬워진다.

$a$가 숫자, 변수, 다른 다항식 또는 더 일반적으로 모든 식을 나타낸다면, $P(a)$는 $P$에서 $x$를 $a$로 대체한 결과를 관례적으로 나타낸다. 따라서 다항식 $P$는 다음 함수를 정의한다.

$a\mapsto P(a)$

이는 $P$와 관련된 다항식 함수이다.

2. 3. 주로 x에 대해 표현하는 이유

프랑수아 비에트가 미지수로 알파벳을 사용한 이래로, 데카르트가 그의 저서 《방법서설》에서 다항식을 특정한 문자 x, y, z를 이용하여 나타내었고, 그 이후로 여러 나라의 수학자들 사이에서 '어떤 수와 식'을 나타내는데 문자 x, y, z를 쓰는 것이 보편화되었다.^[35] 이중에 왜 하필 x를 유난히 많이 사용하는가에 대해서는 여러 설이 제기되고 있으나 모두 확실하지 않다.^[35] 현대에 이르러서, x는 특정한 문자를 나타내는 대표적인 문자로 자리매김하였다.

다항식에 나타나는 ''x''는 일반적으로 ''변수'' 또는 ''미지수''라고 불린다. 다항식이 식으로 간주될 때, ''x''는 값을 갖지 않는 고정된 기호이다. 그러나 다항식으로 정의된 함수를 고려할 때, ''x''는 함수의 인수를 나타내며 "변수"라고 불린다. 많은 저자들이 이 두 단어를 상호 교환적으로 사용한다.

미지수 ''x''에 대한 다항식 ''P''는 일반적으로 ''P'' 또는 ''P''(''x'')로 표기한다. 형식적으로 다항식의 이름은 ''P''이지 ''P''(''x'')가 아니지만, 함수 표기법 ''P''(''x'')의 사용은 다항식과 관련된 함수 사이의 구분이 불분명했던 시대부터 시작되었다.

단일 수학적 객체에 대해 두 개의 표기법이 있는 모호성은 다항식에 대한 함수 표기법의 일반적인 의미를 고려하여 형식적으로 해결될 수 있다. 만약 ''a''가 숫자, 변수, 다른 다항식 또는 더 일반적으로 모든 식을 나타낸다면, ''P''(''a'')는 ''P''에서 ''x''를 ''a''로 대체한 결과를 관례적으로 나타낸다. 따라서 다항식 ''P''는 함수를 정의한다.

''a''가 미지수 ''x''일 때, 이 함수에 의한 ''x''의 상은 다항식 ''P'' 자체이다. 다시 말해, ''P''(''x'')=''P''이다.

3. 연산

다항식은 덧셈, 곱셈을 비롯한 여러 연산을 할 수 있다. 다항식은 사칙연산에서 나눗셈을 제외하면 닫혀있지만 일반적으로 나눗셈에 대해서는 닫혀있지 않다.

같은 부정원을 갖는 두 다항식 , 에 대해, 그들의 '''합''' 및 '''곱''' 은 각각 형식적인 합과 곱을, 덧셈·곱셈의 교환 법칙 및 분배 법칙이 성립하는 것으로 정리하여 얻어지는 다항식을 말한다.

다항식 와 수 에 대해, 의 배(일반적으로 '''상수배''' 또는 '''스칼라 곱'''이라고 한다)는, 의 각 항의 계수를 배하여 얻어지는 다항식이다.

이러한 연산은, 다항식 , 를 다항식 함수로 간주했을 때의, 함수로서의 덧셈, 곱셈, 상수배와 대응한다.

가환환 위의 부정원 , ''x'', …, ''x''}}에 관한 다항식 전체의 집합은, 상술한 연산에 의해 위의 대수가 된다. 이것을 (, ''x'', …, ''x''}}를 부정원으로 하는) 위의 변수 '''다항식환'''이라고 하며, 기호 , ''x'', …, ''x'']}}로 나타낸다.

== 덧셈과 뺄셈 ==

다항식의 덧셈은 분배법칙에 따라 동류항끼리 모아 계산한다. 이때 계수는 서로 더하고 문자와 지수 부분은 그대로 둔다. 덧셈의 교환법칙과 결합법칙을 활용하여 동류항을 편리하게 모을 수 있다.^[12]^[13]

예를 들어, 다항식 `P(x) = 3x^2 - 2x + 5xy - 2`와 `Q(x) = -3x^2 + 3x + 4y^2 + 8`의 덧셈은 다음과 같이 수행한다.

: $P + Q = (3x^2 - 3x^2) + (-2x + 3x) + 5xy + 4y^2 + (8 -2) = x + 5xy + 4y^2 + 6$

다항식을 더한 결과는 항상 다항식이 된다.^[14]

다항식의 뺄셈도 덧셈과 유사하게 동류항끼리 계산한다.

== 곱셈 ==

다항식의 곱셈은 분배법칙을 이용하여 전개하고 동류항끼리 정리한다.^[12] 다항식의 곱은 항상 다항식이다.^[14]^[9]

예를 들어, 다항식 $P = 2x + 3y + 5$ 와 $Q = 2x + 5y + xy + 1$ 를 곱하면 다음과 같다.

: $PQ = (2x + 3y + 5)(2x + 5y + xy + 1)$

분배법칙을 반복 적용하여 전개하면 다음과 같다.

: $\begin{array}{rccrcrcrcr}PQ & = && 4x^2 &+& 10xy &+& 2x^2y &+& 2x \\&&+& 6xy &+& 15y^2 &+& 3xy^2 &+& 3y \\&&+& 10x &+& 25y &+& 5xy &+& 5.\end{array}$

유사한 항을 결합하여 간소화하면 다음과 같다.

: $PQ = 4x^2 + 21xy + 2x^2y + 12x + 15y^2 + 3xy^2 + 28y + 5.$

다른 예로, 다항식 $P(x) = (2x^4 + 11x^2 - 5x + 1)$ 와 $Q(x) = (x^2 + 4x - 7)$ 를 곱하면 다음과 같다.

: $P(x)Q(x) = (2x^4 + 11x^2 - 5x + 1)(x^2 + 4x - 7)$

: $= 2x^4(x^2 + 4x - 7) + 11x^2(x^2 + 4x - 7) - 5x(x^2 + 4x - 7) + 1(x^2 + 4x - 7)$

: $= 2x^6 + 8x^5 - 14x^4 + 11x^4 + 44x^3 - 77x^2 - 5x^3 - 20x^2 + 35x + x^2 + 4x - 7$

: $= 2x^6 + 8x^5 - 3x^4 + 39x^3 - 96x^2 + 39x - 7$

다변수 다항식의 곱셈 예시는 다음과 같다.

: $(xy + 2)(x^2 + y + 2) = x^3y + 2x^2 + xy^2 + 2xy + 2y + 4$

같은 부정원을 갖는 두 다항식 , 에 대해, 그들의 곱 은 각각 형식적인 곱을, 덧셈·곱셈의 교환 법칙 및 분배 법칙이 성립하는 것으로 정리하여 얻어지는 다항식을 말한다. 1변수의 경우에 대해 식으로 나타내면 다음과 같다. 부정원을 로 하여, $f=\sum_{k=0}^ma_kx^k$ 및 $g=\sum_{k=0}^nb_kx^k$ 로 둔다. 또한, ''a'' … 0}}, ''b'' … 0}}로 정해 둔다.

: $fg = \sum_{k=0}^{m+n} \left(\sum_{i=0}^ka_ib_{k-i}\right) x^k$

다항식의 곱셈은, 수열에 대한 컨볼루션으로 볼 수도 있다.

== 나눗셈 ==

일반적으로 다항식의 나눗셈은 다항식 장제법이나 조립제법을 이용하여 몫과 나머지를 구한다.^[19] 다항식을 다른 다항식으로 나누는 것은 일반적으로 다항식이 아니며, 두 정수의 비율이 정수가 아닌 유리수인 것처럼, ''유리식'', ''유리 표현식'' 또는 ''유리 함수''이다.^[16]^[17]^[18]

체 위의 (1변수) 다항식 , (단, )에 대해 다음 두 조건을 만족하는 다항식 , 을 구하는 절차를 다항식의 나눗셈이라고 한다.

# ''gQ'' + ''R''}}

# 의 차수는 의 차수보다 작다. (단, 상수 다항식 의 차수는 보다 작은 것으로 해석한다.)

이러한 조건을 만족하는 다항식 , 의 짝은 반드시 존재하며 유일하다. 를 를 로 나눈 '''몫''', 을 '''나머지'''라고 한다. ''gQ''}}를 만족하는 가 존재할 때, 는 로 '''나누어 떨어진다'''라고 한다.

분모 가 모닉이고 선형, 즉, 어떤 상수 에 대해 인 경우, 다항식 나머지 정리는 를 로 나눈 나머지가 평가 라고 한다.^[1]

== 다항식의 미분과 적분 ==

다항식의 도함수와 적분을 계산하는 것은 다른 종류의 함수에 비해 특히 간단하다.

다항식 $P = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = \sum_{i=0}^n a_i x^i$ 의 도함수는 다음과 같다.

$n a_n x^{n - 1} + (n - 1)a_{n - 1} x^{n - 2} + \dots + 2 a_2 x + a_1 = \sum_{i=1}^n i a_i x^{i-1}.$

마찬가지로, $P$ 의 일반적인 부정적분은 다음과 같다.

$\frac{a_n x^{n + 1}}{n + 1} + \frac{a_{n - 1} x^{n}}{n} + \dots + \frac{a_2 x^3}{3} + \frac{a_1 x^2}{2} + a_0 x + c = c + \sum_{i = 0}^n \frac{a_i x^{i + 1}}{i + 1}$

여기서 $c$ 는 임의의 상수이다. 예를 들어, $x^2 + 1$ 의 부정적분은 $\frac{1}{3}x^3 + x + c$ 형태를 갖는다.

계수가 더 추상적인 설정에서 오는 다항식(예를 들어, 계수가 일부 소수 $p$ 를 모듈러 산술하는 정수이거나 임의의 환의 원소인 경우)의 경우, 도함수 공식은 계수 $ka_k$ 가 $a_k$ 의 $k$ 사본의 합을 의미하는 것으로 이해하여 여전히 형식적으로 해석될 수 있다. 예를 들어, 모듈로 $p$ 정수에서 다항식 $x^p + x$ 의 도함수는 다항식 $1$ 이다.

일변수 다항식 $f=\sum_{k=0}^ma_kx^k$ 에 대해, 그 미분은,

: $f'=\sum_{k=1}^m ka_kx^{k-1}$

로 정의되는 다항식 $f'$ 를 만드는 연산이다. $f'$ 를 $f$ 의 도함수라고 한다. 마찬가지로, 다변수 다항식에 대해서도, 각각의 부정원에 대한 미분을 생각할 수 있다.

실수 또는 복소수를 계수로 하는 다항식 $f$ 에 대해서는, 그것을 다항식 함수로 간주하여 미분할 수도 있지만, 상술한 다항식으로서의 미분은, 이 함수로서의 미분(다변수 다항식의 경우에는 편미분)과 대응하고 있다. 함수로서의 미분과 구별하기 위해, 다항식으로서의 미분을 형식적 미분이라고 부르는 경우가 있다. 형식적 미분에는, 다항식의 계수가 실수나 복소수가 아니어도 문제 없이 정의할 수 있다는 이점이 있다.

다항식 $f$ 에 대해, 도함수가 $f$ 와 일치하는 다항식 $F$ 를 구하는 조작을 (형식적) 적분이라고 한다.

3. 1. 덧셈과 뺄셈

다항식의 덧셈은 분배법칙에 따라 동류항끼리 모아 계산한다. 이때 계수는 서로 더하고 문자와 지수 부분은 그대로 둔다. 덧셈의 교환법칙과 결합법칙을 활용하여 동류항을 편리하게 모을 수 있다.^[12]^[13]

예를 들어, 다항식 `P(x) = 3x^2 - 2x + 5xy - 2`와 `Q(x) = -3x^2 + 3x + 4y^2 + 8`의 덧셈은 다음과 같이 수행한다.

:

P + Q = (3x^2 - 3x^2) + (-2x + 3x) + 5xy + 4y^2 + (8 -2) = x + 5xy + 4y^2 + 6

다항식을 더한 결과는 항상 다항식이 된다.^[14]

다항식의 뺄셈도 덧셈과 유사하게 동류항끼리 계산한다.

3. 2. 곱셈

다항식의 곱셈은 분배법칙을 이용하여 전개하고 동류항끼리 정리한다.^[12] 다항식의 곱은 항상 다항식이다.^[14]^[9]

예를 들어, 다항식

P = 2x + 3y + 5

와

Q = 2x + 5y + xy + 1

를 곱하면 다음과 같다.

:

PQ = (2x + 3y + 5)(2x + 5y + xy + 1)

분배법칙을 반복 적용하여 전개하면 다음과 같다.

:

\begin{array}{rccrcrcrcr}PQ & = && 4x^2 &+& 10xy &+& 2x^2y &+& 2x \\&&+& 6xy &+& 15y^2 &+& 3xy^2 &+& 3y \\&&+& 10x &+& 25y &+& 5xy &+& 5.\end{array}

유사한 항을 결합하여 간소화하면 다음과 같다.

:

PQ = 4x^2 + 21xy + 2x^2y + 12x + 15y^2 + 3xy^2 + 28y + 5.

다른 예로, 다항식

P(x) = (2x^4 + 11x^2 - 5x + 1)

와

Q(x) = (x^2 + 4x - 7)

를 곱하면 다음과 같다.

:

P(x)Q(x) = (2x^4 + 11x^2 - 5x + 1)(x^2 + 4x - 7)

:

= 2x^4(x^2 + 4x - 7) + 11x^2(x^2 + 4x - 7) - 5x(x^2 + 4x - 7) + 1(x^2 + 4x - 7)

:

= 2x^6 + 8x^5 - 14x^4 + 11x^4 + 44x^3 - 77x^2 - 5x^3 - 20x^2 + 35x + x^2 + 4x - 7

:

= 2x^6 + 8x^5 - 3x^4 + 39x^3 - 96x^2 + 39x - 7

다변수 다항식의 곱셈 예시는 다음과 같다.

:

(xy + 2)(x^2 + y + 2) = x^3y + 2x^2 + xy^2 + 2xy + 2y + 4

같은 부정원를 갖는 두 다항식 , 에 대해, 그들의 곱 은 각각 형식적인 곱을, 덧셈·곱셈의 교환 법칙 및 분배 법칙이 성립하는 것으로 정리하여 얻어지는 다항식을 말한다. 1변수의 경우에 대해 식으로 나타내면 다음과 같다. 부정원을 로 하여,

f=\sum_{k=0}^ma_kx^k

및

g=\sum_{k=0}^nb_kx^k

로 둔다. 또한, ''a'' … 0}}, ''b'' … 0}}로 정해 둔다.

:

fg = \sum_{k=0}^{m+n} \left(\sum_{i=0}^ka_ib_{k-i}\right) x^k

다항식의 곱셈은, 수열에 대한 컨볼루션으로 볼 수도 있다.

3. 3. 나눗셈

일반적으로 다항식의 나눗셈은 다항식 장제법이나 조립제법을 이용하여 몫과 나머지를 구한다.^[19] 다항식을 다른 다항식으로 나누는 것은 일반적으로 다항식이 아니며, 두 정수의 비율이 정수가 아닌 유리수인 것처럼, ''유리식'', ''유리 표현식'' 또는 ''유리 함수''이다.^[16]^[17]^[18]

체 위의 (1변수) 다항식 , (단, )에 대해 다음 두 조건을 만족하는 다항식 , 을 구하는 절차를 다항식의 나눗셈이라고 한다.

# ''gQ'' + ''R''}}

# 의 차수는 의 차수보다 작다. (단, 상수 다항식 의 차수는 보다 작은 것으로 해석한다.)

이러한 조건을 만족하는 다항식 , 의 짝은 반드시 존재하며 유일하다. 를 를 로 나눈 '''몫''', 을 '''나머지'''라고 한다. ''gQ''}}를 만족하는 가 존재할 때, 는 로 '''나누어 떨어진다'''라고 한다.

분모 가 모닉이고 선형, 즉, 어떤 상수 에 대해 인 경우, 다항식 나머지 정리는 를 로 나눈 나머지가 평가 라고 한다.^[1]

3. 4. 다항식의 미분과 적분

다항식의 도함수와 적분을 계산하는 것은 다른 종류의 함수에 비해 특히 간단하다.

다항식

P = a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = \sum_{i=0}^n a_i x^i

의 도함수는 다음과 같다.

n a_n x^{n - 1} + (n - 1)a_{n - 1} x^{n - 2} + \dots + 2 a_2 x + a_1 = \sum_{i=1}^n i a_i x^{i-1}.

마찬가지로,

P

의 일반적인 부정적분은 다음과 같다.

\frac{a_n x^{n + 1}}{n + 1} + \frac{a_{n - 1} x^{n}}{n} + \dots + \frac{a_2 x^3}{3} + \frac{a_1 x^2}{2} + a_0 x + c = c + \sum_{i = 0}^n \frac{a_i x^{i + 1}}{i + 1}

여기서

c

는 임의의 상수이다. 예를 들어,

x^2 + 1

의 부정적분은

\frac{1}{3}x^3 + x + c

형태를 갖는다.

계수가 더 추상적인 설정에서 오는 다항식(예를 들어, 계수가 일부 소수

p

를 모듈러 산술하는 정수이거나 임의의 환의 원소인 경우)의 경우, 도함수 공식은 계수

ka_k

가

a_k

의

k

사본의 합을 의미하는 것으로 이해하여 여전히 형식적으로 해석될 수 있다. 예를 들어, 모듈로

p

정수에서 다항식

x^p + x

의 도함수는 다항식

1

이다.

일변수 다항식

f=\sum_{k=0}^ma_kx^k

에 대해, 그 미분은,

:

f'=\sum_{k=1}^m ka_kx^{k-1}

로 정의되는 다항식

f'

를 만드는 연산이다.

f'

를

f

의 도함수라고 한다. 마찬가지로, 다변수 다항식에 대해서도, 각각의 부정원에 대한 미분을 생각할 수 있다.

실수 또는 복소수를 계수로 하는 다항식

f

에 대해서는, 그것을 다항식 함수로 간주하여 미분할 수도 있지만, 상술한 다항식으로서의 미분은, 이 함수로서의 미분(다변수 다항식의 경우에는 편미분)과 대응하고 있다. 함수로서의 미분과 구별하기 위해, 다항식으로서의 미분을 형식적 미분이라고 부르는 경우가 있다. 형식적 미분에는, 다항식의 계수가 실수나 복소수가 아니어도 문제 없이 정의할 수 있다는 이점이 있다.

다항식

f

에 대해, 도함수가

f

와 일치하는 다항식

F

를 구하는 조작을 (형식적) 적분이라고 한다.

4. 다항식과 관련된 개념

다항식에서 비롯된 개념은 다음과 같다:^[21]^[23]

'''다항함수''': 다항식으로 정의되는 함수이다. 예를 들어, 실수에서 실수로 가는 함수 $f(x) = x^3 - x$ 는 다항함수이다. 모든 다항식 함수는 연속 함수, 매끄러운 함수, 전해석 함수이다.
'''다항식 방정식''': $3x^2 + 4x - 5 = 0$ 와 같이 다항식을 포함하는 방정식이다.
'''다항식의 근''': 다항식 방정식의 해를 의미한다. 예를 들어, 다항식 $f(x)$ 의 근은 $f(x) = 0$ 을 만족하는 $x$ 값이다. 인수 정리에 따르면, 숫자 $c$ 가 $f(x)$ 의 근인 것은 $f(x)$ 가 일차식 $x - c$ 로 나누어 떨어지는 것과 동치이다.
'''인수분해''': 주어진 다항식을 여러 개의 다항식의 곱으로 표현하는 것이다. 예를 들어, $5x^3-5$ 는 정수와 실수 위에서 $5(x - 1)(x^2 + x + 1)$ 로 인수분해된다.
'''유리식''': 두 다항식의 몫(대수적 분수)으로 표현되는 식이다. 유리식은 로랑 다항식을 포함하지만, 분모를 미지수의 거듭제곱으로 제한하지는 않는다.
'''로랑 다항식''': 변수의 음수 거듭제곱을 허용하는 다항식과 유사한 식이다.
'''형식적 멱급수''': 무한 개의 항을 가질 수 있는 다항식의 일반화이다.
'''다항식환''': 주어진 환(ring) 위에서 다항식들이 이루는 환이다. 단변수 다항식환은 $R[x]$ 로, 다변수 다항식환은 $R[x_1,\ldots, x_n]$ 으로 표기한다.

5. 응용

5. 1. 위치 기수법

현대 위치 기수법에서, 십진법과 같은 숫자 체계에서 숫자와 정수 표현에서의 위치(예: 45)는 밑 또는 기수에 대한 다항식의 약식 표기이다.(4 × 10¹ + 5 × 10⁰) 또 다른 예로, 기수 5에서 132와 같은 일련의 숫자는 (십진수) 숫자 1 × 5² + 3 × 5¹ + 2 × 5⁰ = 42를 나타낸다. ''b''를 1보다 큰 양의 정수라고 하면, 모든 양의 정수 ''a''는 다음 형식으로 고유하게 표현될 수 있다.

a = r_m b^m + r_m-1 b^m-1 + ... + r₁ b + r₀,

여기서 ''m''은 음이 아닌 정수이고 ''r''은 0 < ''r''_''m'' < ''b'' 그리고 0 ≤ ''r''_''i'' < ''b'' (i = 0, 1, . . . , ''m'' − 1) 인 정수이다.^[30]

5. 2. 보간법 및 근사

다항식 함수의 단순한 구조는 다항식 근사를 사용하여 일반적인 함수를 분석하는 데 매우 유용하게 사용된다. 미적분학에서 중요한 예는 테일러 정리인데, 대략적으로 모든 미분가능 함수는 국소적으로 다항식 함수처럼 보인다는 것을 나타낸다.^[31] 스톤-바이어슈트라스 정리는 실수 축의 콤팩트 구간에서 정의된 모든 연속 함수는 전체 구간에서 원하는 만큼 다항식 함수로 가깝게 근사될 수 있음을 나타낸다.^[31] 실용적인 근사 방법으로는 다항식 보간법과 스플라인 사용이 있다.^[31]

5. 3. 기타 응용

다항식은 다른 객체에 대한 정보를 나타내는 데 사용된다. 행렬 또는 선형 연산자의 특성 다항식에는 연산자의 고유값에 대한 정보가 포함되어 있다.^[27] 대수적 원소의 최소 다항식(체론)은 해당 원소에 의해 만족되는 가장 간단한 대수적 관계를 기록한다. 그래프(이산 수학)의 색상 다항식은 해당 그래프의 적절한 채색 개수를 계산한다.

행렬 다항식은 변수로 정사각 행렬을 갖는 다항식이다. 스칼라 값을 갖는 다항식

P(x) = \sum_{i=0}^n{ a_i x^i} =a_0 + a_1 x+ a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n,

에서 행렬 ''A''를 평가하면

P(A) = \sum_{i=0}^n{ a_i A^i} =a_0 I + a_1 A + a_2 A^2 + \cdots + a_n A^n,

가 된다. 여기서 ''I''는 단위 행렬이다.

'''행렬 다항식 방정식'''은 특정 행렬에 대해 성립하는 두 행렬 다항식 사이의 등식이다. '''행렬 다항식 항등식'''은 지정된 행렬환 ''M_n''(''R'')의 모든 행렬 ''A''에 대해 성립하는 행렬 다항식 방정식이다.

형용사로서 "다항식"은 다항식 형태로 쓸 수 있는 양 또는 함수에도 사용될 수 있다. 예를 들어, 계산 복잡도 이론에서 ''다항 시간''이라는 구문은 알고리즘을 완료하는 데 걸리는 시간이 입력 크기와 같은 어떤 변수의 다항식 함수에 의해 제한됨을 의미한다.

6. 역사

다항식의 근을 구하는 것, 즉 "대수 방정식을 푸는 것"은 수학에서 가장 오래된 문제 중 하나이다. 하지만 오늘날 우리가 사용하는 우아하고 실용적인 표기법은 15세기부터 시작되어 발전했다. 그 이전에는 방정식이 문장으로 쓰였다. 예를 들어, 중국의 구장산술(기원전 200년경)에 나오는 대수 문제는 "세 묶음의 좋은 곡식, 두 묶음의 중간 곡식, 한 묶음의 나쁜 곡식을 팔아 29두를 얻었다"로 시작한다. 우리는 이를 3''x'' + 2''y'' + ''z'' = 29로 쓸 것이다.

로버트 레코드의 ''지혜의 시금석''(The Whetstone of Witte), 1557년에는 가장 초기에 알려진 등호가 사용되었다.^[32] 덧셈 기호 +, 뺄셈 기호 −, 그리고 미지수를 나타내기 위한 문자의 사용은 미하엘 슈티펠의 ''Arithemetica integra'', 1544년에 등장한다.^[32] 르네 데카르트는 ''La géometrie/라 지오메트리^프랑스어''(La géometrie), 1637년에서 다항식 방정식의 그래프 개념을 도입했고, 상수들을 나타내기 위해 알파벳 앞부분의 문자를, 변수를 나타내기 위해 알파벳 뒷부분의 문자를 사용하는 것을 대중화했다. 데카르트는 지수를 나타내기 위해 위첨자를 사용하는 것을 도입했다.^[32]

6. 1. 표기법의 역사

로버트 레코드의 ''지혜의 시금석''(The Whetstone of Witte), 1557년에는 가장 초기에 알려진 등호가 사용되었다.^[32] 덧셈 기호 +, 뺄셈 기호 −, 그리고 미지수를 나타내기 위한 문자의 사용은 미하엘 슈티펠의 ''Arithemetica integra'', 1544년에 등장한다.^[32] 르네 데카르트는 ''라 지오메트리''(La géometrie), 1637년에서 다항식 방정식의 그래프 개념을 도입했고, 상수들을 나타내기 위해 알파벳 앞부분의 문자를, 변수를 나타내기 위해 알파벳 뒷부분의 문자를 사용하는 것을 대중화했다. 데카르트는 지수를 나타내기 위해 위첨자를 사용하는 것을 도입했다.^[32]

참조

_[1] 간행물
_[2] 간행물
_[3] 간행물
_[4] 간행물
_[5] 간행물
_[6] 문서 polynomial and binomial Compact Oxford English Dictionary
_[7] 웹사이트 Polynomial https://mathworld.wo[...] 2020-08-28
_[8] 웹사이트 Polynomials {{!}} Brilliant Math & Science Wiki https://brilliant.or[...] 2020-08-28
_[9] 간행물
_[10] 웹사이트 Zero Polynomial https://mathworld.wo[...]
_[11] 간행물
_[12] 서적 Linear Algebra https://books.google[...] Springer
_[13] 서적 Coding for Data and Computer Communications https://books.google[...] Springer
_[14] 서적 Introduction to Algebra https://books.google[...] Yale University Press 1965
_[15] 서적 Progress in Holomorphic Dynamics https://books.google[...] CRC Press 1998-05-20
_[16] 서적 Intermediate Algebra 2e https://openstax.org[...] OpenStax 2020-05-06
_[17] 서적 Understanding Mathematics for Young Children: A Guide for Foundation Stage and Lower Primary Teachers https://books.google[...] SAGE 2008-10-14
_[18] 간행물
_[19] 서적 Practical Algebra: A Self-Teaching Guide Wiley 1991
_[20] 웹사이트 Ruffini's Rule https://mathworld.wo[...] 2020-07-25
_[21] 간행물
_[22] 간행물
_[23] 서적 Encyclopaedia of Mathematics Springer
_[24] 서적 Polynomials and Equations https://books.google[...] Hong Kong University Press
_[25] 서적 Numerical Methods for Roots of Polynomials, Part 1 https://books.google[...] Elsevier
_[26] 서적 Approximation Theory and Methods Cambridge University Press
_[27] 서적 Matrix Polynomials Society for Industrial and Applied Mathematics
_[28] 서적 Integers, Polynomials, and Rings: A Course in Algebra https://books.google[...] Springer
_[29] 서적 From Polynomials to Sums of Squares https://books.google[...] CRC Press
_[30] 간행물
_[31] 서적 Mathematics of Approximation https://books.google[...] Springer
_[32] 서적 An Introduction to the History of Mathematics Saunders
_[33] 학술지 구분적 다항식과 스플라인 함수의 기초 ―접선 그래프를 곡선으로 만들어 보자― https://www.jstage.j[...]
_[34] 학술지 구분적 다항식과 스플라인 함수의 기초 ―접선 그래프를 곡선으로 만들어 보자― https://www.jstage.j[...]
_[35] 웹사이트 수학백과: 미지수 https://terms.naver.[...]

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