대입 (수학)

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 대입 공리의 형식
- 2.2. 대입의 의미
3. 예시
- 3.1. 수학적 예시
- 3.2. 일상생활에서의 예시
참조

1. 개요

대입은 논리학에서 이미 알고 있는 공식으로부터 새로운 등식을 얻는 과정이다. 대입 공리는 임의의 n항 술어 P와 항 t₁, ..., tₙ, u₁, ..., uₙ에 대해 t₁=u₁부터 tₙ=uₙ까지 성립하면 P(t₁, ..., tₙ)과 P(u₁, ..., tₙ)이 동치이며, 임의의 n항 연산 f와 항 t₁, ..., tₙ, u₁, ..., uₙ에 대해 t₁=u₁부터 tₙ=uₙ까지 성립하면 f(t₁, ..., tₙ) = f(u₁, ..., tₙ)임을 나타낸다. 예를 들어, a=1을 함수 2(-)에 대입하면 2a=2임을 알 수 있다.

2. 정의

논리학의 '''대입 공리'''(代入公理)는 다음과 같다.

임의의 $n$ 항 술어 $P$ 및 임의의 항 $t_1,\dots,t_n,u_1,\dots,u_n$ 에 대하여, 만약 $t_1=u_1$ 부터 $t_n=u_n$ 까지가 성립한다면, $P(t_1,\dots,t_n)$ 과 $P(u_1,\dots,u_n)$ 은 서로 동치이다.
임의의 $n$ 항 연산 $f$ 및 임의의 항 $t_1,\dots,t_n,u_1,\dots,u_n$ 에 대하여, 만약 $t_1=u_1$ 부터 $t_n=u_n$ 까지가 성립한다면, $f(t_1,\dots,t_n)=f(u_1,\dots,t_n)$ 이다.

이러한 공리에 기반하여, 이미 알고 있는 몇 가지 공식으로부터 새로운 등식을 얻는 과정을 '''대입'''이라고 한다.

2. 1. 대입 공리의 형식

2. 2. 대입의 의미

논리학의 대입 공리(代入公理)는 다음과 같다.

임의의 $n$ 항 술어 $P$ 및 임의의 항 $t_1,\dots,t_n,u_1,\dots,u_n$ 에 대하여, 만약 $t_1=u_1$ 부터 $t_n=u_n$ 까지가 성립한다면, $P(t_1,\dots,t_n)$ 과 $P(u_1,\dots,u_n)$ 은 서로 동치이다.
임의의 $n$ 항 연산 $f$ 및 임의의 항 $t_1,\dots,t_n,u_1,\dots,u_n$ 에 대하여, 만약 $t_1=u_1$ 부터 $t_n=u_n$ 까지가 성립한다면, $f(t_1,\dots,t_n)=f(u_1,\dots,t_n)$ 이다. 특히, 임의의 $n$ 항 연산은 특별한 $n+1$ 항 술어라고 여길 수 있으므로, 다음이 성립한다.

이러한 공리에 기반하여, 이미 알고 있는 몇 가지 공식으로부터 새로운 등식을 얻는 과정을 대입이라고 한다.

3. 예시

예를 들어, $a=1$ 을 함수 $2(-)$ 에 대입하면, $2a=2$ 임을 알 수 있다.

또한, $a=b$ 이며 $c=d$ 임을 알 때, 첫째 등식을 함수 $(-)+c$ 에 대입하면 $a+c=b+c$ 임을 알 수 있으며, 둘째 등식을 함수 $b+(-)$ 에 대입하면 $b+c=b+d$ 임을 알 수 있다. 등식의 추이성에 따라, 셋째와 넷째 등식을 연결시켜 $a+c=b+d$ 를 얻을 수 있다.

3. 1. 수학적 예시

예를 들어,

a=1

을 함수

2(-)

에 대입하면,

2a=2

임을 알 수 있다.

또한,

a=b

이며

c=d

임을 알 때, 첫째 등식을 함수

(-)+c

에 대입하면

a+c=b+c

임을 알 수 있으며, 둘째 등식을 함수

b+(-)

에 대입하면

b+c=b+d

임을 알 수 있다. 등식의 추이성에 따라, 셋째와 넷째 등식을 연결시켜

a+c=b+d

를 얻을 수 있다.

3. 2. 일상생활에서의 예시