방정식

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1. 개요
2. 방정식의 종류
3. 방정식의 성질
4. 방정식의 활용
5. 역사
참조

1. 개요

방정식은 등호를 사용하여 두 수학적 표현이 같음을 나타내는 수학적 진술이다. 방정식은 연산, 미지수의 종류, 해의 성질 등에 따라 다양하게 분류되며, 대수 방정식, 디오판토스 방정식, 초월 방정식, 미분 방정식 등이 있다. 방정식의 종류는 대수 방정식, 연립 방정식, 무리 방정식, 미분 방정식, 함수 방정식, 디오판토스 방정식 등이 있다. 방정식은 기하학, 대수학, 수론, 자연 과학 및 사회 과학 등 다양한 분야에서 활용된다.

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방정식

2. 방정식의 종류

방정식은 등식에 포함된 연산, 미지수의 종류, 해의 성질 등에 따라 다양하게 분류될 수 있다.^[7] 방정식은 두 개의 식으로 작성되며, 이는 등호("=")로 연결된다.^[2] 등호의 양쪽에 있는 식을 각각 방정식의 "좌변"과 "우변"이라고 한다. 가장 흔한 유형의 방정식은 양변이 다항식인 다항 방정식이다.

방정식의 주요 종류는 다음과 같다.

'''대수 방정식''' 또는 '''다항식 방정식''': 양변이 다항식으로 이루어진 방정식이다. 다항식의 차수에 따라 일차 방정식, 이차 방정식, 삼차 방정식 등으로 세분화된다. 자세한 내용은 아래 문단에서 다룬다.
'''디오판토스 방정식''': 미지수가 정수여야 한다는 조건이 붙는 방정식이다. 자세한 내용은 아래 문단에서 다룬다.
'''초월 방정식''': 로그 함수, 지수 함수, 삼각 함수 등 미지수에 대한 초월 함수를 포함하는 방정식이다.
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'''함수 방정식''': 미지수가 일반적인 수가 아닌 함수 자체인 방정식이다. 자세한 내용은 아래 문단에서 다룬다.
'''미분 방정식''': 미지 함수와 그 함수의 도함수를 포함하는 함수 방정식이다. 물리적 대상의 변화율을 다루기 때문에 물리학, 공학 등 다양한 분야에서 활용된다. 자세한 내용은 아래 문단에서 다룬다.
'''적분 방정식''': 미지 함수의 부정 적분을 포함하는 함수 방정식이다.
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'''차분 방정식''': 연속적인 변화 대신 이산적인 변화를 다루는 방정식으로, 미지 함수 $f$ 에 대해 $f(x), f(x-1), ..., f(x-k)$ 와 같이 여러 지점에서의 함수 값 사이의 관계를 나타낸다. 점화 관계와 밀접한 관련이 있다.
'''확률 미분 방정식''': 방정식의 일부 항이 확률 과정으로 주어지는 미분 방정식이다.

이 외에도 방정식은 연구 분야나 목적에 따라 다르게 분류되기도 한다. 예를 들어 대수학에서는 주로 다항 방정식과 선형 방정식을 다루며, 정수 해를 구하는 디오판토스 방정식은 수론의 영역에서 연구된다. 기하학에서는 도형의 성질을 기술하고 분석하기 위해 직교 좌표계나 매개 변수를 이용한 방정식을 사용한다. 해석학에서는 연속 함수나 미분 가능한 함수 등을 포함하는 방정식의 해를 구하거나 근사하는 기법을 연구하며, 동역학계 이론에서는 방정식의 해가 시간에 따라 어떻게 변화하는지, 특히 초기 조건에 대한 민감성이나 장기적인 거동(점근적 거동)을 분석한다.

2. 1. 대수 방정식 (다항 방정식)

유리수, 실수, 복소수 등 체의 원소를 계수로 가지는 다항식

P

와

Q

에 대해

P=0

또는

P=Q

형태로 표현되는 식을 '''다항 방정식'''(多項方程式, polynomial equation^영어) 또는 '''대수방정식'''(代數方程式, algebraic equation^영어)이라고 한다.^[14] 다항식

p(x, y, z, \dots)

로 주어지는 변수 집합

(x, y, z,...)

를 미지수로 하는 방정식

p(x, y, z, \dots) = 0

의 해

(x, y, z,...)

를

p

의 '''근'''(root^영어) 또는 '''영점'''(zero^영어)이라고도 한다.

차수가

n

인 다항식으로 이루어진 다항 방정식을 '''

n

차 방정식'''( th degree equation}})이라고 한다. 즉, 차수가 1인 방정식을 일차 방정식, 2인 방정식을 이차 방정식과 같이 부른다. 예를 들어

:

2x+1=3

은 일차 방정식이고,

:

x^2-x-2=0

은 이차 방정식이다.

다항 방정식은 여러 개의 미지수를 가질 수도 있다. 예를 들어

:

x^5-3x+1=0

는 미지수가

x

하나인 정수 계수 다항 방정식이고,

:

y^4+\frac{xy}{2}=\frac{x^3}{3}-xy^2+y^2-\frac{1}{7}

는 미지수가

x,y

두 개인 유리수 계수 다항 방정식이다. 방정식은 미지수 외에도 '상수', '계수' 또는 '매개변수'라고 불리는 다른 항들을 포함할 수 있다. 일반적으로 미지수는 알파벳 끝 문자인

x, y, z, w, ...

로, 계수(매개변수)는 알파벳 시작 문자인

a, b, c, d, ...

로 표기한다. 예를 들어, 일반적인 이차 방정식은

ax^2 + bx + c = 0

으로 표기한다.

어떤 유리수 계수 다항 방정식은 계수들의 사칙연산과 거듭제곱근만을 이용해 근을 표현할 수 있다. 특히 사차 이하의 다항 방정식은 항상 이러한 방식으로 근을 표현할 수 있는데, 이를 대수적 해법이라고 하며, 근을 구하는 공식을 '근의 공식'이라고 부른다. 흔히 '''근의 공식'''이라고 하면 이차 방정식의 근의 공식( quadratic formula^영어)을 의미한다. 예를 들어 이차 방정식

:

ax^2 + bx + c = 0, (a\neq0)

은

:

x=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}

을 두 근으로 가지며, 계수들의 사칙연산과 거듭제곱근만으로 근이 표현된다. 그러나 아벨-루피니 정리에 따르면, 5차 이상의 다항 방정식은 일반적으로 이러한 대수적 해법으로 근을 표현할 수 없다.

한편 대수학의 기본 정리에 따르면 모든 복소수 계수 다항 방정식은 하나 이상의 복소수 근을 가진다.

역사적으로 대수 방정식의 해를 구하려는 노력은 새로운 수 체계를 만드는 데 기여했다. 고대 그리스에서 정사각형의 변과 대각선의 비

x

에 관한 방정식^[16]

x^2 - 2 = 0

은 무리수의 발견으로 이어졌다. 또한 삼차 방정식의 해를 구하는 과정에서 카르다노 공식은 복소수의 개념을 이끌어냈다.

2. 1. 1. 연립 방정식

연립 방정식은 서로 다른 2개 이상의 미지수를 포함하는 방정식들의 모임으로, 주어진 모든 방정식을 동시에 만족시키는 해를 찾는 것이 목표이다. 미지수의 최고 차수에 따라 연립 일차 방정식, 연립 이차 방정식 등으로 분류된다.

연립 일차 방정식의 해법으로는 주로 다음 세 가지 방법이 사용된다.

대입법: 한 방정식을 특정 미지수에 대해 정리한 뒤, 그 식을 다른 방정식에 대입하여 미지수의 개수를 줄여나가는 방법이다.
가감법: 특정 미지수의 계수를 양변에 적절한 수를 곱하여 같게 만든 후, 두 방정식을 더하거나 빼서 해당 미지수를 소거하는 방법이다.
가우스 소거법: 방정식을 행렬 형태로 표현하고, 기본 행 연산을 통해 해를 구하는 방법이다.

'''선형 방정식 시스템'''(또는 '''선형 시스템''')은 하나 이상의 변수를 포함하는 선형 방정식들의 모임이다. 예를 들어, 다음은 세 개의 변수 ''x'', ''y'', ''z''에 대한 세 개의 방정식으로 이루어진 선형 시스템이다.

:

\begin{alignat}{7}3x &&\; + \;&& 2y             &&\; - \;&& z  &&\; = \;&& 1 & \\2x &&\; - \;&& 2y             &&\; + \;&& 4z &&\; = \;&& -2 & \\

x &&\; + \;&& \tfrac{1}{2} y &&\; - \;&& z &&\; = \;&& 0 &

\end{alignat}

선형 시스템의 '''해'''는 시스템 내의 모든 방정식을 동시에 만족시키는 각 변수에 대한 값들의 조합이다. 위 예시 시스템의 해는 다음과 같다.

:

\begin{alignat}{2}x &\,=\,& 1 \\y &\,=\,& -2 \\z &\,=\,& -2\end{alignat}

이 값들은 세 방정식을 모두 참으로 만들기 때문이다. "시스템"이라는 용어는 방정식들을 개별적으로가 아니라 하나의 집합으로 고려해야 함을 나타낸다.

수학에서 선형 시스템 이론은 현대 수학의 여러 분야에서 기초가 되는 선형대수의 핵심 주제이다. 해를 구하는 계산 알고리즘은 수치 선형대수의 중요한 부분을 차지하며, 물리학, 공학, 화학, 컴퓨터 과학, 경제학 등 다양한 분야에서 널리 활용된다. 비선형 방정식 시스템은 종종 선형 시스템으로 근사하여 풀기도 하는데(선형화 참조), 이는 복잡한 시스템의 수학적 모델이나 컴퓨터 시뮬레이션을 만드는 데 유용한 기법이다.

2. 2. 무리 방정식

방정식의 항에 무리식(루트)을 포함하는 다항식으로 이루어진 방정식을 무리 방정식이라고 한다. 예를 들어 다음과 같은 방정식을 들 수 있다.

: ''x'' + √(''x''+1) - 1 = 0

이 방정식을 풀기 위해 무리식 항만 남기고 이항하면 다음과 같다.

: ''x'' - 1 = -√(''x''+1)

양변을 제곱하여 근호를 없앤다.

: (''x'' - 1)² = (-√(''x''+1))²

: (''x'' - 1)(''x'' - 1) = ''x'' + 1

: ''x''² - 2''x'' + 1 = ''x'' + 1

: ''x''² - 3''x'' = ''x''(''x'' - 3) = 0

이 이차방정식의 해는 ''x'' = 0 또는 ''x'' = 3이다.

그런데 무리 방정식은 풀이 과정(특히 양변을 제곱하는 과정)에서 원래 방정식의 해가 아닌 무연근이 발생할 수 있다. 따라서 구한 해가 원래의 무리 방정식을 만족하는지 반드시 검산해야 한다.

위 예시에서 구한 해를 원래 방정식 ''x'' + √(''x''+1) - 1 = 0에 대입하여 검산하면 다음과 같다.

''x'' = 0을 대입하면 0 + √(0+1) - 1 = 1 - 1 = 0 이므로, 등식이 성립한다. 따라서 ''x'' = 0은 이 무리 방정식의 근이다.
''x'' = 3을 대입하면 3 + √(3+1) - 1 = 3 + √4 - 1 = 3 + 2 - 1 = 4 ≠ 0 이므로, 등식이 성립하지 않는다. 따라서 ''x'' = 3은 무연근이다.

결론적으로, 예시로 든 무리 방정식의 근은 ''x'' = 0 하나뿐이다.

2. 3. 미분 방정식

미분방정식은 어떤 함수와 그 도함수를 포함하는 수학적 방정식이다. 일반적으로 함수는 물리량을 나타내고, 도함수는 그 변화율을 의미하므로, 미분 방정식은 물리적 대상과 그 변화율 사이의 관계를 설명하는 데 사용된다. 미분 방정식은 도함수가 없는 함수 표현식을 찾는 방식으로 풀린다. 이는 공학, 물리학, 화학, 생물학, 경제학 등 수학 외의 다양한 학문 분야에서 변수의 변화율을 포함하는 과정을 모델링하는 데 중요한 역할을 한다.

수학에서는 미분 방정식을 주로 해, 즉 방정식을 만족시키는 함수의 집합과 관련된 여러 관점에서 연구한다. 가장 간단한 미분 방정식만이 명시적인 공식으로 풀 수 있으며, 많은 경우 해의 정확한 형태를 구하지 않고도 그 속성을 파악할 수 있다. 해를 직접 구하기 어려울 때는 컴퓨터를 사용하여 수치적으로 근사값을 계산할 수 있다. 동역학계 이론은 미분 방정식으로 설명되는 시스템의 질적 분석에 중점을 두며, 해를 정확하게 결정하기 위한 다양한 수치적 방법들이 개발되었다.

미분 방정식은 크게 상미분 방정식과 편미분 방정식으로 나뉜다.

=== 상미분 방정식 ===

상미분 방정식(Ordinary Differential Equation, ODE)은 하나의 독립 변수를 가지는 함수와 그 도함수들을 포함하는 방정식이다. '상(常)'이라는 용어는 여러 독립 변수를 다루는 편미분 방정식과 구별하기 위해 사용된다.

해를 더하거나 계수를 곱하는 것이 가능한 선형 미분 방정식은 해법이 잘 알려져 있으며, 정확한 폐쇄 형식의 해를 얻을 수 있다. 반면, 해의 덧셈이 성립하지 않는 비선형 미분 방정식은 훨씬 복잡하며, 해를 기본 함수로 표현하기 어려운 경우가 많다. 이런 경우 해는 주로 급수나 적분 형태로 표현되며, 수치적 방법이나 그래픽 도구를 이용해 해를 근사적으로 구하기도 한다.

=== 편미분 방정식 ===

편미분 방정식(Partial Differential Equation, PDE)은 여러 개의 독립 변수를 가지는 미지의 다변수 함수와 그 편도함수들을 포함하는 미분 방정식이다. 이는 단일 변수 함수를 다루는 상미분 방정식과 대조된다. PDE는 여러 변수와 관련된 문제를 공식화하고 해결하는 데 사용되며, 컴퓨터 모델링에도 활용된다.

PDE는 소리, 열, 정전기학, 전자기학, 유체 흐름, 탄성, 양자역학 등 다양한 자연 현상을 설명하는 데 사용될 수 있다. 겉보기에는 서로 다른 물리적 현상들이 PDE를 통해 유사한 방식으로 수학적으로 표현될 수 있다. 상미분 방정식이 주로 1차원 동역학계를 모델링하는 반면, 편미분 방정식은 종종 다차원 시스템을 모델링하는 데 쓰인다.

2. 4. 함수 방정식

수의 등식이 아닌 함수의 등식으로 주어지는 방정식을 함수 방정식이라고 부른다. 이는 일반적으로 함수와 그 함수를 포함하는 변수들 간의 관계식 형태로 표현된다. 함수 방정식에서 찾아야 하는 함수를 미지 함수(unknown function|언노운 펑션^영어)라고 하며, 방정식에 이미 알려진 함수는 기지 함수(known function|노운 펑션^영어)로 구분된다.

특히 함수와 그 도함수에 대한 관계식을 통해 얻어지는 미분 방정식은 함수 방정식의 중요한 예시이다. 미분 방정식은 물리학 연구에서 흥미로운 사례를 많이 제공하며, 반대로 미분 방정식 연구 성과가 물리학 발전에 기여하는 등 물리학과 깊은 관련이 있다. 순수 수학에서는 층 이론 등과 연결되어 연구되기도 한다. 미분 방정식은 변수의 개수에 따라 상미분 방정식과 편미분 방정식으로 나뉜다.

연속적인 변화를 다루는 미분 방정식과 유사하게, 이산적인 변화를 다루는 차분 방정식도 연구된다. 이는 연속 변수의 미분을 이산적인 차이로 근사하여 표현한 것이다. 미분 방정식과 차분 방정식은 유사한 개념과 기법을 많이 공유하며, 동일한 현상의 연속적인 측면과 이산적인 측면을 각각 나타내는 것으로 볼 수 있다.

함수 방정식은 해의 중첩의 원리 적용 가능 여부에 따라 분류되기도 한다. 해의 중첩이 가능한 방정식을 선형 방정식, 그렇지 않은 것을 비선형 방정식이라고 한다. 해의 중첩 원리는 벡터 공간의 개념과 연결되어 선형성이라는 관점에서 선형대수학의 기법들을 적용할 수 있게 한다. 특히 미분 방정식을 대수적으로 다룰 때 선형 미분 방정식이 기본적인 연구 대상이 된다.

중요한 수학적 개념의 도입과 발전을 이끈 함수 방정식의 예로는 열 방정식, 초기하 함수의 미분 방정식, 가적분계와 관련된 KdV 방정식, KZ 방정식 등이 있다.

2. 5. 디오판토스 방정식

디오판토스 방정식은 둘 이상의 미지수를 포함하는 다항 방정식 중에서 정수 해만을 찾는 방정식을 말한다. 정수 해란 모든 미지수가 정수 값을 갖는 해를 의미한다. 특히, 단항식들의 합으로 이루어지고 각 항의 차수가 0 또는 1인 방정식을 선형 디오판토스 방정식이라고 한다. 예를 들어, ''ax'' + ''by'' = ''c'' (여기서 ''a'', ''b'', ''c''는 상수)와 같은 형태가 대표적이다. 또한, 지수 디오판토스 방정식은 미지수가 지수 부분에 포함될 수 있는 방정식을 의미한다.

일반적으로 디오판토스 문제는 미지수의 개수보다 방정식의 개수가 적은 경우에, 주어진 모든 방정식을 만족하는 정수 해를 찾는 것을 목표로 한다. 좀 더 수학적인 용어로는 대수 곡선, 대수 곡면 또는 더 일반적인 대수적 다양체 위의 격자점을 찾는 문제라고 할 수 있다.

'디오판토스'라는 이름은 3세기 헬레니즘 시대의 수학자인 알렉산드리아의 디오판토스에서 유래했다. 그는 이러한 유형의 방정식을 체계적으로 연구했으며, 대수학에 기호를 도입한 선구적인 인물 중 한 명으로 평가받는다. 디오판토스가 시작한 디오판토스 문제에 대한 수학적 연구 분야를 현재는 디오판토스 분석이라고 부른다.

3. 방정식의 성질

방정식은 두 개의 식이 등호("=")로 연결된 형태이다.^[2] 등호의 양쪽 식을 각각 방정식의 좌변과 우변이라고 부른다. 많은 경우 방정식의 우변을 0으로 만들어 푸는데, 이는 우변의 모든 항을 좌변으로 옮기면 되기 때문에 일반성을 잃지 않는다.

방정식은 종종 양팔 저울에 비유된다. 저울의 양쪽 접시에 같은 무게를 올려놓으면 수평을 이루는 것처럼, 방정식의 양변은 같은 값을 가진다. 저울의 한쪽에서 무게를 덜어내면 다른 쪽에서도 똑같은 무게를 덜어내야 수평을 유지하는 것처럼, 방정식의 양변에 같은 연산을 수행해도 등식은 여전히 성립한다.^[7] 이러한 성질을 이용하여 방정식을 푼다.

두 방정식 또는 두 연립 방정식이 같은 해의 집합을 가지면 서로 동치라고 한다. 다음 연산은 방정식을 동치인 다른 방정식으로 변형할 수 있다. 단, 해당 연산이 적용되는 식에 대해 유효해야 한다.

양변에 같은 수를 더하거나 빼는 연산. 이를 통해 모든 방정식은 우변이 0인 형태로 바꿀 수 있다.
양변에 0이 아닌 같은 수를 곱하거나 나누는 연산.
항등식을 이용하여 방정식의 한쪽 변을 변형하는 연산. 예를 들어, 곱셈 공식을 이용해 식을 전개하거나 인수분해하는 경우가 해당된다.
연립 방정식의 경우: 한 방정식의 양변에 같은 수를 곱한 것을 다른 방정식의 양변에 각각 더하는 연산.

그러나 방정식의 양변에 특정 함수를 적용할 때는 주의해야 한다. 함수를 적용한 후의 방정식은 원래 방정식의 해를 여전히 해로 가지지만, 원래 방정식의 해가 아니었던 새로운 해, 즉 무연근이 생길 수 있다. 예를 들어,

x=1

이라는 방정식의 해는

x=1

뿐이다. 하지만 양변을 제곱하는 함수, 즉

f(s)=s^2

를 적용하면

x^2=1

이 되는데, 이 방정식의 해는

x=1

과

x=-1

이다. 여기서

x=-1

은 원래 방정식에는 없던 무연근이다. 또한, 적용하려는 함수가 특정 값에서 정의되지 않는 경우(예:

1/x

는

x=0

에서 정의되지 않음), 해당 값을 해로 가졌던 원래 방정식의 해가 사라질 수도 있다. 따라서 방정식에 함수를 적용하여 변형할 때는 무연근이 추가되거나 해가 소실되지 않는지 확인하는 과정이 필요하다.

위에서 설명한 방정식의 성질과 변환 방법은 방정식 풀이의 기본적인 원리가 되며, 가우스 소거법과 같은 더 복잡한 풀이 방법의 기초가 된다.

4. 방정식의 활용

방정식은 수학의 여러 분야뿐만 아니라 다양한 과학 및 사회 현상을 이해하고 설명하는 데 중요한 도구로 사용된다.^[2] 대수학에서는 주로 다항 방정식과 선형 방정식의 해법을 연구하며, 정수 해를 다루는 디오판토스 방정식은 수론의 영역에서 다루어진다. 기하학에서는 방정식을 이용해 도형의 성질을 기술하고 분석하며, 해석학에서는 함수의 성질을 이용해 방정식의 해를 근사적으로 구하는 방법을 연구한다.^[7]

특히 미분 방정식은 시간에 따라 변화하는 현상을 모델링하는 데 필수적이다. 이는 물리학, 화학, 생물학, 경제학 등 다양한 분야에서 자연 현상이나 사회 시스템의 동적인 변화를 설명하고 예측하는 데 활용된다. 또한, 여러 변수가 복잡하게 얽힌 시스템을 분석하기 위해 연립 방정식이나 동역학계 이론이 사용되기도 한다. 이처럼 방정식은 각 분야의 특성에 맞게 다양한 형태로 활용되며 문제 해결과 이론 발전에 기여하고 있다.

4. 1. 기하학

해석 기하학에서는 방정식을 사용하여 기하학적 도형을 나타낸다. 유클리드 기하학에서는 직교 좌표계, 특히 데카르트 좌표계를 이용해 공간의 각 점에 좌표를 부여할 수 있다. 이를 통해 기하학적 도형의 성질을 방정식으로 나타낼 수 있다.

예를 들어, 3차원 공간의 평면은

ax+by+cz+d=0

(단,

a,b,c,d

는 실수이고

x,y,z

는 점의 좌표) 형태의 방정식을 만족하는 점들의 집합으로 나타낼 수 있다. 이때 계수

a,b,c

는 평면에 수직인 법선 벡터의 좌표가 된다. 선은 두 평면의 교선으로 나타낼 수도 있고, 2차원 평면

\mathbb{R}^2

에서는 하나의 선형 방정식으로, 3차원 공간

\mathbb{R}^3

에서는 두 개의 선형 방정식의 해 집합으로 표현된다.

원뿔 곡선은 방정식

x^2+y^2=z^2

으로 표현되는 원뿔을 평면으로 잘랐을 때 생기는 곡선이다. 즉, 공간상의 모든 원뿔 곡선은 평면의 방정식과 원뿔의 방정식을 동시에 만족하는 점들의 집합으로 정의할 수 있다. 이러한 방식을 이용하면 원뿔 곡선의 초점 위치와 같은 기하학적 속성을 알아낼 수 있다.

방정식을 이용하면 다양한 수학 분야의 도구를 활용하여 기하학 문제를 해결할 수 있다. 데카르트 좌표계는 도형을 방정식으로 바꾸어 기하학 문제를 대수적 문제로 해석할 수 있게 해주며, 이로부터 해석 기하학이라는 분야가 발전했다. 17세기에 르네 데카르트가 제시한 이 관점은 고대 그리스 수학자들이 발전시킨 기하학을 더욱 발전시키고 새로운 방향을 제시했다. 데카르트 좌표계를 사용하면 곡선과 같은 기하학적 도형을 그 도형 위의 점들이 만족하는 좌표에 대한 대수 방정식으로 나타낼 수 있다. 예를 들어, 평면에서 원점을 중심으로 하고 반지름이 2인 원은 좌표 ''x''와 ''y''가 ''x''² + ''y''² = 4 라는 방정식을 만족하는 모든 점들의 집합으로 설명할 수 있다.

해석 기하학에서 다루는 방정식(예: 음함수 방정식이나 매개변수 방정식)은 일반적으로 무수히 많은 해(도형을 이루는 점들)를 가지므로, 해를 하나하나 구하는 것보다는 방정식 자체를 이용하여 도형의 전반적인 속성을 연구하는 데 초점을 맞춘다. 이는 수학의 중요한 분야인 대수 기하학의 출발점이 되는 아이디어이다. 3차원 공간에서도 서로 수직인 세 평면까지의 거리(또는 세 직선에 대한 수직 투영)를 이용한 세 개의 데카르트 좌표를 사용하여 점의 위치를 나타내는 동일한 원리가 적용된다.

오늘날 해석 기하학은 수학의 중요한 한 분야이다. 여전히 방정식을 사용하여 도형의 성질을 파악하지만, 함수해석학이나 선형대수학과 같은 더욱 발전된 수학적 방법들도 함께 사용한다.

4. 2. 대수학

대수학은 두 가지 주요 방정식 계열, 즉 다항 방정식과 그중 특수한 경우인 선형 방정식을 연구하는 분야이다.

유리수, 실수, 복소수 등 체의 원소를 계수로 가지는 다항식

P

와

Q

에 대해

:

P=0

또는

P=Q

로 표현되는 식을 '''다항 방정식'''(polynomial equation^영어) 또는 '''대수방정식'''(algebraic equation^영어)이라고 한다.^[14] 양변이 다항식으로 이루어진 등식을 대수 방정식이라고 부르기도 한다.

차수가

n

인 다항식으로 이루어진 다항 방정식을 '''

n

차 방정식'''이라고 한다. 예를 들어, 차수가 1인 방정식을 일차 방정식, 2인 방정식을 이차 방정식과 같이 부른다.^[15]

:

2x+1=3

은 일차 방정식이고,

:

x^2-x-2=0

은 이차 방정식이다.

다항 방정식은 여러 개의 미지수를 가질 수 있다. 예를 들어,

:

x^5-3x+1=0

는 미지수가

x

하나인 정수 계수 다항 방정식이고,

:

y^4+\frac{xy}{2}=\frac{x^3}{3}-xy^2+y^2-\frac{1}{7}

는 미지수가

x,y

두 개인 유리수 계수 다항 방정식이다.

어떤 유리수 계수 다항 방정식은 계수들의 사칙연산과 거듭제곱근만을 이용해 근을 표현할 수 있다. 특히 사차 이하의 다항 방정식은 항상 이러한 방식으로 근을 표현할 수 있는데, 이를 대수적 해법이라고 한다. 즉, 근의 공식이 존재한다. 흔히 '''근의 공식'''이라고 하면 이차 방정식의 근의 공식( quadratic formula^영어 )을 의미한다. 예를 들어 이차 방정식

:

ax^2 + bx + c = 0, (a\neq0)

은

:

x=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac\ }}{2a}

을 두 근으로 가지며, 따라서 계수들의 사칙연산과 거듭제곱근만으로 근이 표현된다. 그러나 아벨-루피니 정리에 의하면 오차 이상의 다항방정식은 일반적으로 이러한 방식으로 표현할 수 없는 근이 존재한다.

한편 대수학의 기본 정리에 따르면 모든 복소계수 다항 방정식은 하나 이상의 복소수 근을 가진다.

방정식은 미지수 외에도 다른 항을 포함하는 경우가 많다. 이러한 다른 항들은 '알려진' 것으로 간주되며, 일반적으로 '상수', '계수' 또는 '매개변수'라고 한다. 미지수 ''x''와 ''y'', 매개변수 ''R''을 포함하는 방정식의 예는 다음과 같다.

:

x^2 +y^2 = R^2 .

만약 ''R''의 값을 2로 선택하면 (''R'' = 2), 이 방정식은 데카르트 좌표계에서 원점을 중심으로 하는 반지름 2인 원의 방정식이 된다. 따라서, ''R''이 지정되지 않은 방정식은 원의 일반적인 방정식이다.

일반적으로 미지수는 알파벳 마지막 부분의 글자(''x'', ''y'', ''z'', ''w'', ...)로 표시하고, 계수(매개변수)는 알파벳 첫 부분의 글자(''a'', ''b'', ''c'', ''d'', ...)로 표시한다. 예를 들어, 일반적인 이차 방정식은 보통 ''ax''² + ''bx'' + ''c'' = 0으로 표기한다.

해를 찾는 과정, 또는 매개변수가 있을 때 미지수를 매개변수로 표현하는 과정을 방정식 풀이라고 한다.

연립 방정식은 여러 미지수를 포함하는 방정식들의 집합으로, 모든 방정식을 동시에 만족하는 공통 해를 찾는다. 예를 들어, 다음 연립 방정식

:

\begin{align}3x+5y&=2\\5x+8y&=3\end{align}

은 유일한 해 ''x'' = −1, ''y'' = 1을 가진다.

대수학에서는 다항 방정식과 선형 방정식을 풀기 위해 선형대수 또는 수학적 해석학에서 파생된 알고리즘이나 기하학적 기법을 사용한다. 또한, 계수와 해가 정수인 디오판토스 방정식도 연구하는데, 이때는 수론에서 비롯된 다른 기법을 사용한다. 이러한 방정식은 일반적으로 풀기 어려우며, 해의 존재 여부나 개수를 파악하는 데 중점을 두는 경우가 많다.

4. 3. 수론

대수학은 계수와 해가 정수인 디오판토스 방정식도 연구한다. 이 분야는 수론에서 비롯된 기법을 사용하며, 일반적으로 풀기가 어려워 해의 존재 여부나 개수를 파악하는 데 중점을 두는 경우가 많다.

디오판토스 방정식은 둘 이상의 미지수를 가지는 다항 방정식 중에서 정수 해만을 찾는 경우를 말한다. 여기서 정수 해란 모든 미지수가 정수 값을 갖는 해를 의미한다. 대표적인 예로 선형 디오판토스 방정식이 있으며, 이는 각 항의 차수가 0 또는 1인 방정식으로 ''ax'' + ''by'' = ''c'' (이때 ''a'', ''b'', ''c''는 상수)와 같은 형태를 가진다. 또한, 방정식 항의 지수가 미지수일 수 있는 지수 디오판토스 방정식도 존재한다.

디오판토스 문제는 보통 미지수의 개수보다 방정식의 개수가 적은 상황에서, 주어진 모든 방정식을 만족하는 정수 해를 찾는 것을 목표로 한다. 이를 기하학적인 관점에서 보면, 대수 곡선, 대수 곡면 등과 같은 대수적 다양체 위의 격자점을 찾는 문제로 해석할 수 있다.

‘디오판토스(Diophantine)’라는 용어는 3세기 헬레니즘 시대의 수학자인 알렉산드리아의 디오판토스의 이름에서 유래했다. 그는 이러한 유형의 방정식을 체계적으로 연구했으며, 대수학 분야에 수학 기호를 도입한 초기 수학자 중 한 명으로 알려져 있다. 디오판토스가 시작한 디오판토스 문제에 대한 수학적 연구는 오늘날 디오판토스 해석(Diophantine analysis)이라고 불린다.

4. 4. 자연 과학 및 사회 과학

자연 과학이 다루는 다양한 양 사이의 관계는 방정식으로 기술된다. 특히 17세기 갈릴레이나 케플러 이후 물리학의 여러 기본적인 법칙은 수학적인 방정식으로 표현되어 왔으며, 화학의 평형 상태나 생물학의 개체수 변이 등도 마찬가지이다.

미분 방정식은 함수와 그 도함수를 포함하는 방정식으로, 자연 현상과 사회 현상을 이해하고 예측하는 데 핵심적인 역할을 한다. 함수의 도함수는 일반적으로 대상의 변화율을 나타내므로, 대상과 그 변화율 사이의 관계를 미분 방정식을 통해 표현할 수 있다.^[2] 이러한 특성 때문에 미분 방정식은 공학, 물리학, 화학, 생물학, 경제학 등 다양한 학문 분야에서 중요한 도구로 사용된다.

예를 들어, 물리학에서는 운동, 열 전달, 유체 흐름 등을 설명하고 예측하는 데 미분 방정식을 활용하며, 오일러 방정식은 유체의 비점성 흐름을 다루는 대표적인 예이다. 화학에서는 화학 반응 속도나 화학 평형 상태 분석에, 생물학에서는 개체군 동태나 질병 확산 모델 연구에 사용된다. 경제학에서도 경제 성장 모델이나 금융 시장 분석 등에 미분 방정식이 응용된다. 이처럼 미분 방정식으로 표현되는 연속적인 수리 모델은 다양한 분야의 현상을 이해하는 데 기여한다.

또한, 여러 변수를 동시에 고려하는 복잡한 시스템 분석에는 선형 방정식 시스템이 널리 사용된다. 선형 시스템의 해를 찾는 계산 알고리즘은 수치 선형대수의 중요한 부분이며, 물리학, 공학, 화학, 컴퓨터 과학, 경제학 등에서 복잡한 시스템의 수학적 모델이나 컴퓨터 시뮬레이션을 만드는 데 필수적이다.^[7] 경우에 따라 비선형 방정식 시스템을 선형화하여 근사적으로 분석하기도 한다.

동역학계 이론은 미분 방정식으로 설명되는 시스템의 질적 변화에 중점을 두며, 해의 점근적 거동이나 초기 조건에 대한 민감성 등을 연구한다. 이는 카오스 이론과 같은 복잡계 현상을 이해하는 데 도움을 준다. 이처럼 방정식은 자연 과학과 사회 과학의 여러 영역에서 현상을 수학적으로 모델링하고, 변화를 예측하며, 근본 원리를 탐구하는 강력한 도구로 활용되고 있다.

5. 역사

대수 방정식은 양변이 다항식으로 이루어진 등식이다.^[14] 다항식 ''p''와 변수 집합 ''(x, y, z,...)''를 미지수로 하는 방정식

: $p(x, y, z, \dots) = 0$

의 해 ''(x, y, z,...)''를 ''p''의 '''근''' (root) 또는 '''영점''' (zero)이라고도 한다. 대수 방정식은 더 나아가 다항식의 차수 (degree) ''d''에 따라 ''' ''d''차 방정식''' (''d''-ic equation,^[15] ''d'' th degree equation)으로 분류된다. 예를 들어, 일차 방정식, 이차 방정식 등이 있다.

사차 이하의 변수가 하나인 대수 방정식은 다항식의 계수에 관한 사칙연산과 근호를 사용하여 해를 나타낼 수 있다. 대수 방정식의 해의 모습을 연구하는 것은 군의 개념 도입 등 갈루아 이론을 비롯한 19세기 대수학 발전의 큰 원동력 중 하나가 되었다.

역사상 수학의 발전에 있어서 다양한 대수 방정식의 해를 구하려는 시도는 이전에는 없었던 새로운 수의 체계를 만들어 냈다. 그 가장 오래된 예로서, 고대 그리스에서의 무리수의 발견을 가져온 정사각형의 변과 대각선의 비 ''x''에 관한 방정식^[16]

: $x^2 - 2 = 0$

이 있다. 또한 삼차 방정식

: $x^3 + px + q = 0$

의 실수 해를 나타내는 카르다노 공식

: $x = \sqrt[3]{- \frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}} + \sqrt[3]{- \frac{q}{2} - \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}}$

은 복소수의 발견으로 이어졌다. 또한 양자 역학에서의 입자의 위치 ''q''와 운동량 ''p'' 사이에 성립하는 정준 교환 관계

: $pq - qp = i\hbar$

는 계의 상태를 통상적인 수(C 수)의 집합이 아닌 연산자로 제공하는 사례를 가져왔다.

참조

_[1] 서적 The Whetstone of Witte https://archive.org/[...] Jhon Kyngstone 1557
_[2] 웹사이트 Equation - Math Open Reference https://www.mathopen[...] 2020-09-01
_[3] 웹사이트 Equations and Formulas https://www.mathsisf[...] 2020-09-01
_[4] 웹사이트 What is an Equation? https://www.academia[...] 2019-02-27
_[5] 서적 Encyclopædia Universalis
_[6] 간행물 Equation Van Nostrand 1968
_[7] 웹사이트 Math equations guide with rules and interesting examples. https://blendedlearn[...] 2024-12-02
_[8] 서적 Calculus and Analytic Geometry Addison Wesley Publishing Co. 1979
_[9] 웹사이트 Parametric Equations http://mathworld.wol[...]
_[10] 문서 "= という記号はロバート・レコード (Robert Recorde, 1510–1558) によって発明された。同じ長さの平行な直線よりも等しかり得るものは存在しないと考えた。"
_[11] 문서 関数を最小化する変数の値は「最小解」と呼ばれる。
_[12] 문서 解の近似と見なされる変数の値は「近似解」、「収束解」などと呼ばれる。
_[13] 문서 一般に「方程式を解く方法」は必ずしも存在するわけではない。
_[14] 문서 等式の両辺から1つの多項式を足し引きすることはいつでもできるため、等式の一方の辺をゼロにするように引き算をすることで、各辺の多項式を1つの辺にまとめることができる。従って一般の代数方程式は必ず以下の形に表すことができる。
_[15] 문서 d にはラテン語かギリシア語の数詞が入る。d = 2 なら quadratic, d = 4 なら quartic, d = 5 なら quintic など。例外として、d = 1 なら linear, d = 3 なら cubic と呼ばれる。
_[16] 문서 この方程式の正の根は2の平方根 √2 である。この数は2の平方根#無理数であることの証明|整数の比で表すことができない。
_[17] 서적 The Whetstone of Witte https://archive.org/[...] Jhon Kyngstone 1557

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