고전 논리

3. 역사

고전 논리는 수리 논리학과 분석철학의 기초에 큰 영향을 주었으며, 비교적 학문적 역사가 깊다.

고전 논리는 19세기와 20세기의 혁신으로, 아리스토텔레스의 논리와 같이 고대를 지칭하는 것이 아니다. 고전 논리는 지난 2000년 동안 대부분을 지배해온 아리스토텔레스의 논리와 명제 스토아 논리의 조화였으며, 이 둘은 때때로 화해할 수 없는 것으로 여겨졌다.

3. 1. 고대 그리스 철학

아리스토텔레스의 오르가논 등에 따른 고전적 정의에서는 명사가 중요한 역할을 하는데, 명사가 내포하거나 외연하는 범주는 그 종차를 한정하는 양에 기인한다. 플라톤 및 아리스토텔레스가 제시한 형식 논리학의 사유 법칙으로는 모순율, 배중률, 동일률의 원칙들이 있다.

비모순율(非矛盾律, 모순율)은 아리스토텔레스에 따르면 "어느 사물에 대해서 같은 관점에서 동시에, 그것을 긍정하면서 부정하는 것은 불가능하다"는 것이다. 따라서 '갑은 갑인 동시에 갑이 아닐 수 없다.'와 같이, 모든 사물은 그 자체와 같은 동시에 그 반대의 것과는 같을 수 없다는 원리로, 모순율은 동일률의 이면을 이룬다. 한편 배중률(排中律)은 모순율에 의해 '어떤 명제와 그것의 부정 가운데 하나는 반드시 참이다'라는 원칙에 이른다. 서로 모순되는 두 가지의 판단이 모두 참이 아닐 수는 없다는 원리이다. 따라서 동일률(同一律)은 '모든 대상은 그 자체와 같다'는 논리학상의 근본 요구를 나타내는 원리가 되며, ‘갑은 갑이다.’의 꼴로 표현된다. 동일률은 모순율과 배중률이 전제되어야 하며, 이들 세 원칙들은 서로 상관관계가 있다.

아리스토텔레스의 오르가논은 그의 삼단 논법 이론을 보여주며, 그 논리는 판단의 형식이 제한되어 있다. 거기서 명제(assertion)는 "모든 P는 Q이다", "어떤 P는 Q이다", "모든 P는 Q가 아니다", "어떤 P는 Q가 아니다" 중 하나의 형식을 취한다. 이러한 판단에서 쌍대적인 두 개의 연산자 쌍이 있으며, 각각의 연산자가 다른 하나의 부정이라는 관계가 성립한다. 이것이 아리스토텔레스가 그의 대립 사각형에서 정리한 관계이다. 아리스토텔레스는 그의 체계의 정당화에서, 이러한 법칙이 삼단 논법적 틀 안의 판단으로 표현될 수 없음에도 불구하고, 배중률과 모순율을 명시적으로 정의했다. (배중률#아리스토텔레스, 모순율#인용)

3. 2. 현대 논리학

고틀로프 프레게는 《개념표기》(Begriffsschrift)에서 명제 논리를 체계화하고 술어 논리에까지 확장하여 현대 논리학의 선구자로 평가받는다.

1차 논리인 고전 논리는 고틀로프 프레게의 ''개념 표기''(Begriffsschrift)에서 발견된다. 이는 아리스토텔레스의 논리보다 더 넓은 적용 범위를 가지며 아리스토텔레스의 논리를 특수한 경우로 표현할 수 있다. 이는 수학적 함수 측면에서 양화사(논리)를 설명하며, 아리스토텔레스의 시스템으로는 불가능했던 다중 일반성의 문제를 다룰 수 있는 최초의 논리였다. 분석 철학의 창시자로 여겨지는 프레게는 모든 수학이 논리에서 파생될 수 있음을 보여주기 위해 이를 발명했으며, 데이비트 힐베르트가 기하학에 대해 그랬던 것처럼 산술을 엄격하게 만들었다. 이 교리는 수학의 기초에서 논리주의로 알려져 있다. 프레게가 사용한 표기법은 그다지 인기를 얻지 못했다. 휴 매콜은 2년 전에 명제 논리의 변형을 출판했다.

고트프리트 빌헬름 라이프니츠의 계산법(calculus ratiocinator)은 고전 논리의 전조로 볼 수 있다. 베르나르트 볼차노는 아리스토텔레스가 아닌 고전 논리에서 발견되는 실존적 함의에 대한 이해를 가지고 있었다. 그는 아리스토텔레스를 의심한 적이 없지만, 조지 불의 대수적 재구성, 즉 불 논리는 현대 수학적 논리와 고전 논리의 전신이었다. 윌리엄 스탠리 제번스와 존 벤은 실존적 함의에 대한 현대적인 이해를 가지고 있었으며 불의 시스템을 확장했다.

오거스터스 드 모르간과 찰스 샌더스 퍼스의 저술 역시 관계 논리를 통해 고전 논리의 선구적인 역할을 했다. 퍼스는 주세페 페아노와 에른스트 슈뢰더(수학자)에게 영향을 미쳤다.

고전 논리는 버트런드 러셀과 A. N. 화이트헤드의 ''수학 원리''와 루트비히 비트겐슈타인의 ''논리-철학 논고''에서 결실을 맺었다. 러셀과 화이트헤드는 페아노(그의 표기법을 사용한다)와 프레게의 영향을 받았으며 수학이 논리에서 파생되었음을 보여주고자 했다. 비트겐슈타인은 프레게와 러셀의 영향을 받았으며, 처음에는 ''논고''가 철학의 모든 문제를 해결했다고 생각했다.

윌라드 밴 오먼 콰인은 술어에 대한 정량화를 허용하는 형식 시스템(고차 논리)이 논리가 되기 위한 요구 사항을 충족하지 못한다고 믿었으며, 이를 "변장한 집합론"이라고 말했다.

얀 우카시에비치는 비고전 논리의 선구자였다.

• 명제 논리
• 불 대수는 (명제) 논리의 (재)형식화이며, 불 논리이다.
• 1차 술어 논리는 고틀로프 프레게의 『개념 표기법』에서 나타났다.

4. 동일률

플라톤 및 아리스토텔레스가 제시한 형식 논리학의 사유 법칙으로는 모순율, 배중률, 동일률의 원칙들이 있다.^[12] 동일률은 '모든 대상은 그 자체와 같다'는 논리학상의 근본 요구를 나타내는 원리가 되며, ‘갑은 갑이다.’의 꼴로 표현된다.^[12] 동일률은 모순율과 배중률이 전제되어야 하며, 이처럼 이들 세 원칙들은 서로 상관관계가 있다.^[12]

동일률로 인해 A를 A로, B를 B로 다룰 수 있게 됨으로써 A와 B의 관계를 다룰 수 있게 된다. 뿐만 아니라 모순율과 이어서 배중률을 통해서 이러한 동일률이 확인된다는 점에서 동일률은 '정의'의 유한성으로 인한 불완전함에도 불구하고 원시적 정의(primitive concept)로서 이를 가능하게 하는 중요한 역할을 수행할 수 있다.^[13]

한편 임마누엘 칸트는 1755년 그의 논문 '형이상학적 인식의 제1원리에 대한 새로운 설명'(Principiorum primorum cognitionis metaphysicae nova dilucidatio)에서 기존의 형식 논리학이 모순율을 제1원리(First Principle)로 다루는 입장에 대해서 동일률을 제1원리로 기술한 바 있다.^[14]

5. 의미론

고전 논리의 의미론은 대부분 양도 논리를 따르며, 이는 명제의 가능한 모든 지시 대상이 참 또는 거짓으로 분류될 수 있음을 의미한다. 대수 논리의 출현과 함께, 고전적인 명제 계산이 다른 의미론을 허용한다는 것이 명확해졌다. 부울 값 의미론에 대한 자세한 내용은 하위 섹션에서 다룬다.

5. 1. 이치 의미론

5. 2. 부울 값 의미론

6. 고전 논리의 예

고전 논리는 흔히 다음과 같은 특징들을 공유한다.^[12]

• 배중률 및 이중 부정 제거의 법칙
• 무모순율 및 폭발 원리
• 귀결관계의 단조법칙과 멱등법칙
• 논리곱의 교환법칙
• 드 모르간의 법칙(논리 연산자의 쌍대성)

• 명제 논리
• 불 대수는 (명제) 논리의 (재)형식화이며, 불 논리이다.
• 1차 술어 논리는 고틀로프 프레게의 『개념 표기법』에서 나타났다.
• 아리스토텔레스의 오르가논은 그의 삼단 논법 이론을 보여주며, 그 논리는 판단의 형식이 제한되어 있다. 여기서 명제는 다음 4가지, "모든 P는 Q이다", "어떤 P는 Q이다", "모든 P는 Q가 아니다", "어떤 P는 Q가 아니다" 중 하나의 형식을 취한다. 이러한 판단에서 쌍대적인 두 개의 연산자 쌍이 있으며, 각각의 연산자가 다른 하나의 부정이라는 관계가 성립한다. 이것이 아리스토텔레스가 그의 대립 사각형에서 정리한 관계이다. 아리스토텔레스는 그의 체계의 정당화에서, 이러한 법칙이 삼단 논법적 틀 안의 판단으로 표현될 수 없음에도 불구하고, 배중률과 모순율을 명시적으로 정의했다. (배중률#아리스토텔레스, 모순율#인용)

참조

_[1] 서적 The Blackwell dictionary of Western philosophy https://books.google[...] Wiley-Blackwell
_[2] 서적 Logic, language, and meaning, Volume 1: Introduction to Logic https://books.google[...] University of Chicago Press
_[3] 간행물 Introduction https://www.bu.edu/w[...] Philosophy Documentation Center
_[4] 문서 'Classical vs non-classical logic' Oxford University Press
_[5] 웹사이트 Classical Logic http://plato.stanfor[...] The Metaphysics Research Lab 2006-10-28
_[6] 서적 Deviant Logic, Fuzzy Logic: Beyond the Formalism The University of Chicago Press
_[7] 서적 The Blackwell dictionary of Western philosophy https://books.google[...] Wiley-Blackwell
_[8] 서적 Logic, language, and meaning, Volume 1: Introduction to Logic https://books.google[...] University of Chicago Press
_[9] 문서 'Classical vs non-classical logic' Oxford University Press
_[10] 웹사이트 Classical Logic http://plato.stanfor[...] The Metaphysics Research Lab 2006-10-28
_[11] 서적 Deviant Logic, Fuzzy Logic: Beyond the Formalism The University of Chicago Press
_[12] 문서 'Classical vs non-classical logic' Oxford University Press
_[13] 서적 A 1st course in Abstract Algebra https://www.amazon.c[...] PEARSON
_[14] 서적 Translation of Kant's Principiorum primorum cognitionis metaphysicae Nova dilucidatio: 1755. A New Exposition of the First Principles of Metaphysical Knowledge https://books.google[...]