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비고전 논리

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목차

1. 개요

비고전 논리는 고전 논리의 틀을 벗어난 다양한 논리 체계를 포괄하는 개념이다. 이러한 논리들은 다치 논리, 직관주의 논리, 선형 논리, 초일관 논리, 양자 논리, 계산 가능성 논리, 동적 의미론, 관련성 논리, 비반사적 논리 등 여러 종류로 나뉜다. 비고전 논리는 진리값을 참과 거짓 외에 다른 값으로 확장하거나, 고전 논리의 공리나 규칙을 수정하는 방식으로 고전 논리를 대체하거나 확장한다. 수잔 하크는 비고전 논리를 일탈, 준 일탈, 확장 논리로 분류하기도 한다.

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비고전 논리

2. 비고전 논리의 종류

비고전 논리는 다양한 기준에 따라 분류될 수 있다. 수잔 하크(Susan Haack)는 저서 ''일탈 논리''(1974)에서 비고전 논리를 일탈, 준 일탈, 확장 논리로 분류했다.[4] 존 P. 버지스(John P. Burgess)는 유사한 분류를 사용하지만, 두 주요 범주를 반고전적 및 추가 고전적이라고 부른다.[9]

'''확장'''에서는 "필연적으로"를 의미하는 양상 논리의 "\Box"와 같이 새로운 논리 상수가 추가된다.[6] 생성되는 잘 정의된 식과 정리의 집합은 고전 논리에 의해 생성된 집합의 진부분집합이지만, 확장된 논리에 의해 생성된 새로운 정리는 새로운 잘 정의된 식의 결과일 뿐이다.

'''일탈'''에서는 일반적인 논리 상수가 사용되지만, 일반적인 의미와 다른 의미가 부여된다. 고전 논리의 정리의 하위 집합만 유효하다. 전형적인 예는 배중률이 성립하지 않는 직관 논리이다.[8][9]

또한, 시스템의 내용이 동일하게 유지되면서 표기법이 상당히 변경되는 '''변형''' (또는 '''변이''')이 있는데, 다중 정렬 술어 논리는 술어 논리의 변형으로 간주된다.[6]

쿠르트 괴델(Gödel)은 직관 논리의 모든 정리가 고전 양상 논리 S4에서 동등한 정리를 갖는다는 것을 보였다. 그 결과는 초직관 논리 및 S4의 확장에 일반화되었다.[10]

추상 대수 논리 이론은 논리를 분류하는 수단을 제공하며, 명제 논리의 현재 대수적 계층 구조는 라이프니츠 연산자의 속성에 따라 정의된 5단계로 구성된다.[11]

부분 구조 논리는 고전 논리나 직관주의 논리의 시퀀트 계산에 의한 정식화에서 구조 규칙을 제한함으로써 얻어지는 논리를 말하며, 선형 논리, 적합성 논리 및 우카시에비치의 다치 논리가 포함된다.[12]

2. 1. 고전 논리의 부정을 기반으로 하는 비고전 논리

다치 논리는 진릿값에서 참과 거짓의 대립만을 인정하는 이치성을 받아들이지 않는다. 얀 우카시에비치가 고안한 3치 논리, 0과 1 사이의 모든 실수를 진릿값으로 인정하는 퍼지 논리 등이 있다.[3]

직관 논리는 직관주의와 구성주의에 근거하여 배중률, 이중 부정 제거, 드 모르간의 법칙을 받아들이지 않는다.[3]

선형 논리는 귀결의 멱등법칙을 받아들이지 않는다.[12]

양상 논리는 진리함수적이지 않은 새로운 연산자를 도입하여 논리의 표현력을 확장한다.

초일관 논리(적정 논리)는 무모순율과 폭발 원리를 인정하지 않는다.[3]

양자 논리는 양자 역학적 연산 법칙을 논리에 대입한 형태이다.[3]

이외에 단조성, 반사성 등 여러 고전 논리 원칙을 부정한 다양한 비고전 논리 체계들이 존재한다.

2. 1. 1. 다치 논리

진릿값에서 참과 거짓의 대립만을 인정하는 이치성을 받아들이지 않는 논리 체계이다. 얀 우카시에비치가 고안한 3치 논리, 0과 1 사이의 모든 실수를 진릿값으로 인정하는 퍼지 논리 등이 대표적이다.[3]

2. 1. 2. 직관 논리

직관주의와 구성주의에 근거하여 배중률, 이중 부정 제거, 드 모르간의 법칙을 받아들이지 않는 논리 체계이다.[3]

2. 1. 3. 선형 논리

귀결의 멱등법칙을 받아들이지 않는 논리 체계이다.[12] 부분 구조 논리의 일종으로, 시퀀트 계산에서 구조 규칙을 제한하여 얻어진다.[12]

2. 1. 4. 비모순 논리 (적정 논리)

무모순율과 폭발 원리를 인정하지 않는 논리 체계이다.[3] 관련성 논리가 대표적이며, 진리이원론과 밀접한 관련이 있다.[3] A와 ¬A로부터 ⊥을 유도할 수 없는 특징이 있다.

2. 1. 5. 양자 논리

양자역학적 연산 법칙을 논리에 대입한 형태이다.[3]

2. 1. 6. 비반사적 논리 (슈뢰딩거 논리)

비반사적 논리("슈뢰딩거 논리")는 동일률을 거부하거나 제한하는 논리 체계이다.[3]

2. 2. 고전 논리의 확장을 기반으로 하는 비고전 논리

고전 논리의 체계를 유지하면서 새로운 연산자나 공리 등을 추가하여 확장한 논리 체계이다. 기본적으로 고전 논리의 모든 정리는 해당 논리 체계에서도 정리가 된다.

  • 양상 논리: '필연성', '가능성' 등을 나타내는 양상 연산자를 도입하여 논리의 표현력을 확장한다. (하위 섹션에서 더 자세히 다룸)
  • 시상 논리(시제 논리)
  • 선형 시상 논리
  • 의무 논리(규범 논리)

2. 2. 1. 양상 논리

양상 논리는 진리함수적이지 않은 새로운 연산자를 도입하여 논리의 표현력을 확장한 논리 체계이다. '필연성', '가능성' 등을 나타내는 양상 연산자를 사용한다.

2. 3. 기타 비고전 논리

2. 3. 1. 계산 가능성 논리

계산 가능성 논리는 진리에 대한 형식적 이론인 고전 논리와 대조적으로 계산 가능성에 대한 의미론적으로 구성된 형식적 이론으로, 고전 논리, 선형 논리 및 직관주의 논리를 통합하고 확장한다.[3]

2. 3. 2. 동적 의미론

동적 의미론은 공식을 업데이트 함수로 해석하여 다양한 비고전적 동작의 가능성을 여는 논리 체계이다.

2. 3. 3. 관련성 논리

비모순 논리의 일종으로, 전제와 결론 사이에 의미 있는 관련성이 있어야 한다는 조건을 추가한 논리 체계이다.[3] 폭발 원리를 거부하며, 진리이원론과 밀접한 관련이 있다.[3]

2. 3. 4. 부분 구조 논리

고전 논리나 직관주의 논리의 시퀀트 계산에서 구조 규칙을 제한하여 얻어지는 논리 체계이다.[12] 선형 논리, 적합성 논리, 우카시에비치의 다치 논리 등이 이에 포함된다.[12]

3. 비고전 논리의 분류 (수잔 하크)

수잔 하크는 자신의 저서 ''일탈 논리''(1974)에서 비고전 논리를 일탈, 준 일탈, 확장 논리로 분류했다.[4] 이 분류는 배타적이지 않아서, 어떤 논리는 고전 논리의 일탈이면서 동시에 확장일 수 있다.[5] 존 P. 버지스는 유사한 분류를 사용했지만, 두 주요 범주를 반고전적 및 추가 고전적이라고 불렀다.[9]

하크와 버지스처럼 비고전 논리를 분류하는 체계가 제안되었음에도, 많은 비고전 논리 연구자들은 이러한 분류를 따르지 않는다. 따라서 이 분류 체계는 표준으로 간주되어서는 안 된다.

하크의 분류에서 변형 논리는 표기법만 바뀌고 내용은 같은 경우를 말한다. 예를 들어, 다중 정렬 술어 논리는 술어 논리의 변형으로 간주된다.[6]

쿠르트 괴델은 직관 논리의 모든 정리가 고전 양상 논리 S4에서 동등한 정리를 갖는다는 것을 보였다. 이 결과는 초직관 논리 및 S4의 확장에도 적용된다.[10]

추상 대수 논리 이론도 논리 분류의 수단을 제공한다. 라이프니츠 연산자의 속성에 따라 정의된 명제 논리의 대수적 계층 구조는 원시 대수적, (유한) 동치적, 그리고 (유한) 대수화 가능의 5단계로 구성된다.[11]

3. 1. 일탈 논리

수잔 하크(Susan Haack)는 저서 ''일탈 논리''(1974)에서 비고전 논리를 일탈, 준 일탈, 확장 논리로 분류했다.[4] 일탈 논리는 일반적인 논리 상수를 사용하지만, 그 의미를 일반적인 의미와 다르게 부여하는 논리 체계이다. 고전 논리의 정리 중 일부만 유효하다.[8][9] 배중률이 성립하지 않는 직관 논리가 대표적인 예이다.[8][9]

3. 2. 준 일탈 논리

수잔 하크(Susan Haack)는 저서 ''일탈 논리''(1974)에서 비고전 논리를 일탈, 준 일탈, 확장 논리로 분류했다.[4] 준 일탈 논리는 일탈 논리와 확장 논리의 중간적인 성격을 갖는다. 이 분류는 배타적이지 않으며, 하나의 논리가 고전 논리의 일탈이자 확장일 수도 있다.[5]

3. 3. 확장 논리

수잔 하크(Susan Haack)는 저서 ''일탈 논리''(1974)에서 비고전 논리를 분류하면서 확장 논리를 언급했다.[4] 확장 논리는 고전 논리에 새로운 논리 상수를 추가하여 확장한 논리 체계이다.[6] 예를 들어, 양상 논리에서 "필연적으로"를 의미하는 "\Box"가 추가된 것이 확장 논리에 해당한다.[6]

확장 논리의 특징은 다음과 같다.

  • 확장 논리에서 생성되는 잘 정의된 식의 집합은 고전 논리에 의해 생성된 잘 정의된 식의 집합의 진부분집합이다.
  • 확장 논리에서 생성된 정리의 집합은 고전 논리에 의해 생성된 정리의 집합의 진부분집합이지만, 확장된 논리에 의해 생성된 새로운 정리는 새로운 잘 정의된 식의 결과일 뿐이다.


존 P. 버지스(John P. Burgess)는 비고전 논리의 주요 범주를 반고전적 및 추가 고전적이라고 불렀는데, 여기서 추가 고전적인 것이 확장 논리에 해당한다.[9]

참조

[1] 서적 Logic for philosophy
[2] 서적 Philosophical Logic https://books.google[...] Princeton University Press
[3] 간행물 Schrödinger Logics
[4] 서적 Deviant Logic: Some philosophical issues https://books.google[...] Cambridge University Press
[5] 서적 Philosophy of Logics https://books.google[...] Cambridge University Press
[6] 서적 Logic, language, and meaning, Volume 1: Introduction to Logic https://books.google[...] University of Chicago Press
[7] 서적 Logic, language, and computation https://books.google[...] Springer
[8] 서적 Rationality and logic https://books.google[...] MIT Press
[9] 서적 Philosophical logic https://books.google[...] Princeton University Press
[10] 서적 Interpolation and definability: modal and intuitionistic logics https://books.google[...] Clarendon Press
[11] 서적 Encyclopaedia of mathematics: Supplement Volume III Springer
[12] 학술지 線形論理の拡張体系に対する代数的研究 https://dspace.jaist[...] JAIST


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