디랙 장

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 디랙 장의 표현
3. 자유장
4. 카이랄리티
5. 바일 스피너
참조

1. 개요

디랙 장은 미소 로렌츠 변환에 따라 변환하며, 스핀 행렬과 감마 행렬을 사용하여 표현된다. 자유 디랙 장은 디랙 방정식을 따르며, 라그랑지언을 통해 유도된다. 4차원 시공간에서 정의되는 카이랄리티 연산자 γ₅는 왼손 성분과 오른손 성분으로 구분하며, 사영 연산자를 통해 분해할 수 있다. 바일 표기법에서 디랙 스피너는 바일 스피너로 표현되며, 질량이 0일 때 디랙 방정식은 바일 방정식이 된다.

더 읽어볼만한 페이지

양자장론 - 페르미-디랙 통계
페르미-디랙 통계는 파울리 배타 원리를 따르는 페르미 입자의 통계적 분포를 설명하는 양자 통계로, 금속 내 전자 현상 등을 이해하는 데 기여하며 페르미 입자가 특정 에너지 준위를 점유할 확률을 나타낸다.
양자장론 - 양자 색역학
양자 색역학은 색 전하를 국소 대칭으로 정의한 SU(3) 게이지 군의 비아벨 게이지 이론으로, 쿼크와 글루온을 기본 입자로 하여 쿼크 사이의 강한 상호작용을 매개하며, 점근적 자유성과 색 가둠의 특징을 가지는 이론이다.

디랙 장

2. 디랙 장의 표현

디랙 장 $\psi(x)$ 은 미소 로렌츠 변환 하에서 다음과 같이 변환된다.

: $i[M_{\mu\nu},\psi_a(x)] = x_\mu\partial_\nu\psi_a -x_\nu\partial_\mu\psi_a + i(S_{\mu\nu})_a{}^b\, \psi_b$

스핀 행렬 $S$ 는 감마 행렬에 의해 다음과 같이 표현된다.

: $S_{\mu\nu} = \frac{i}{4}(\gamma_\mu\gamma_\nu-\gamma_\nu\gamma_\mu)$

디랙 장은 감마 행렬의 행렬 성분과 같은 첨자를 가지며, 4차원 시공간에서는 4성분의 장이다. 디랙 표시나 카이랄 표시 등 감마 행렬의 표시에 따라 겉보기 성분은 변화한다.

3. 자유장

상호작용을 하지 않는 자유 디랙 장은 디랙 방정식

: $i\gamma^\mu\partial_\mu\psi - m\psi = 0$

을 따른다. 여기서 $m$ 은 디랙 장을 양자화한 입자의 질량으로 해석된다.

디랙 방정식을 유도하는 라그랑지안은

: $\mathcal{L}(\psi,\partial\psi) = i\bar\psi\gamma^\mu\partial_\mu\psi -m\bar\psi\psi$

이다. 여기서 $\bar\psi$ 는 $\psi$ 의 디랙 켤레이다.

4. 카이랄리티

4차원 시공간에서 감마 행렬에 의해

: $\gamma_5 \equiv i\gamma^0\gamma^1\gamma^2\gamma^3$

로 정의되는 행렬 $\gamma_5$ 는 다음과 같은 성질을 가진다.

: $(\gamma_5)^\dagger = \gamma_5,~(\gamma_5)^2 = 1,~\{ \gamma^\mu,\gamma_5 \} = 0$

$\gamma_5$ 는 카이랄리티라고 불린다. $\gamma_5$ 는 고유값 ±1을 가지며, 고유값 +1의 부분 공간은 왼손 성분(left-handed, LH), -1의 부분 공간은 오른손 성분(right-handed, RH)이라고 불린다. 사영 연산자를 다음과 같이 정의한다.

: $P_L \equiv \frac{1-\gamma_5}{2},~P_R \equiv \frac{1+\gamma_5}{2}$

그러면 다음과 같이 왼손형, 오른손형 성분으로 분해할 수 있다.

: $\psi_L = P_L\psi$ ,

: $\psi_R = P_R\psi$

정의에서 분명한 것처럼, 왼손형 성분과 오른손형 성분을 더하면 원래의 스피너가 된다.

: $\psi_L + \psi_R = \psi$

또한, 감마 행렬을 곱하면 카이랄리티가 바뀐다.

: $\gamma_5(\gamma^\mu\psi_L)=+\gamma^\mu\psi_L,~\gamma_5(\gamma^\mu\psi_R)=-\gamma^\mu\psi_R$

5. 바일 스피너

바일 표기법에서 디랙 스피너는 카이랄리티에 따라 2성분 스피너(바일 스피너)로 나뉜다. 디랙 스피너( $\psi$ )는 4성분, 바일 스피너( $\xi$ , $\bar\eta$ )는 2성분으로 표현된다.

: $\psi = \begin{pmatrix}\xi \\\bar\eta \\\end{pmatrix}$ .

디랙 방정식은 바일 스피너를 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $i\frac{\partial\bar\eta}{\partial t}+i\boldsymbol{\sigma}\cdot\nabla\bar\eta -m\xi=0$

: $i\frac{\partial\xi}{\partial t}$

i\boldsymbol{\sigma}\cdot\nabla\xi -m\bar\eta=0

질량이 0인 경우, 위의 식은 바일 방정식이 된다.

:

i\frac{\partial\xi}{\partial t}=i\boldsymbol{\sigma}\cdot\nabla\xi

:

i\frac{\partial\bar{\eta}}{\partial t}=-i\boldsymbol{\sigma}\cdot\nabla\bar{\eta}

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com