디랙 방정식

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1. 개요
2. 역사
3. 수학적 공식
4. 디랙 방정식과 관련된 이론들
- 4.1. 파울리 이론
- 4.2. 바일 방정식
5. 물리적 해석
6. 로렌츠 불변성
7. 디랙 방정식의 확장
8. 디랙 방정식의 응용
- 8.1. 응집물질물리학
- 8.2. 기타 응용 분야
9. 한국의 디랙 방정식 연구
10. 관련 항목
참조

1. 개요

디랙 방정식은 1928년 폴 디랙이 발표한 상대론적 양자역학의 기본 방정식으로, 전자의 거동을 설명하고 반입자의 존재를 예측하는 데 기여했다. 이 방정식은 음의 에너지 해와 관련된 문제와, 이를 해결하기 위한 디랙의 바다 개념을 제시했으며, 양전자의 발견을 통해 실험적으로 검증되었다. 디랙 방정식은 파울리 이론, 바일 방정식 등과 연관되며, 양자장론에서도 중요한 역할을 한다. 또한, 굽은 시공간, 물리 공간 대수, 색 대칭 등 다양한 분야로 확장되어 연구되고 있다.

2. 역사

1928년 폴 디랙이 자신의 이름을 딴 디랙 방정식을 발표하였다.^[21]^[22] 디랙은 진공 상태의 우주가 비어있는 것이 아닌 입자와 반입자의 결합체로 가득 찬 상태라고 보았고, 훗날 진공은 '디랙의 바다'라고도 불리게 된다.^[23] 디랙은 이 방정식을 통해 반입자의 존재를 예측하였고, 이는 1932년 칼 데이비드 앤더슨이 양전자를 발견함으로써 실험적으로 검증되었다.^[24]

디랙이 처음 제안한 디랙 방정식은 다음과 같다.^[7]^[8]

$\left(\beta mc^2 + c \sum_{n = 1}^{3}\alpha_n p_n\right) \psi (x,t) = i \hbar \frac{\partial\psi(x,t) }{\partial t}$

여기서 $\psi (x,t)$ 는 정지 질량 $m$ 을 갖는 전자의 파동 함수이고, 시공간 좌표는 $x$ , $t$ 이다. $p_1, p_2, p_3$ 는 운동량의 성분이며, 슈뢰딩거 방정식에서의 운동량 연산자로 이해된다. $c$ 는 빛의 속도이고, $\hbar$ 는 환산 플랑크 상수이다. 이러한 기본적인 물리 상수들은 각각 특수 상대성이론과 양자역학을 반영한다.

디랙은 상대론적으로 움직이는 전자의 거동을 설명하여, 원자를 상대성이론과 일치하는 방식으로 다룰 수 있도록 이 방정식을 고안하였다. 그는 이렇게 도입된 수정이 원자 스펙트럼 문제에 영향을 미칠 것이라고 기대했다.

당시까지는 전자의 비원형 궤도에 저장된 각운동량을 이산화하는 것을 기반으로 원자의 옛 양자 이론을 상대성이론과 양립시키려는 시도는 실패했었다. 또한 하이젠베르크, 파울리, 요르단, 슈뢰딩거, 그리고 디랙 자신이 개발한 새로운 양자역학은 이 문제를 다룰 만큼 충분히 발전되지 않았었다. 디랙의 원래 의도는 충족되었지만, 그의 방정식은 물질의 구조에 훨씬 더 깊은 의미를 지니고 있으며, 현재는 기본 물리학의 필수 요소가 된 새로운 수학적 객체의 종류를 도입했다.

이 방정식의 새로운 요소는 네 개의 $4 \times 4$ 행렬 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 및 $\beta$ , 그리고 네 성분으로 이루어진 파동 함수 $\psi$ 이다. $\psi$ 에는 네 개의 성분이 있는데, 이는 구성 공간의 임의의 지점에서 평가한 것이 비스피너이기 때문이다. 이것은 스핀 업 전자, 스핀 다운 전자, 스핀 업 양전자, 스핀 다운 양전자의 중첩으로 해석된다.

$4 \times 4$ 행렬 $\alpha_k$ 및 $\beta$ 는 모두 에르미트이며 대합이다.

$\alpha_i^2 = \beta^2 = I_4$

그리고 서로 반교환한다.

$\begin{align}\alpha_i\alpha_j + \alpha_j\alpha_i &= 0\quad(i \neq j) \\\alpha_i\beta + \beta\alpha_i &= 0\end{align}$

이러한 행렬과 파동 함수의 형태는 깊은 수학적 의미를 지닌다. 감마 행렬에 의해 나타나는 대수 구조는 약 50년 전에 영국의 수학자 W. K. 클리포드에 의해 만들어졌다. 클리포드의 아이디어는 19세기 중반 독일 수학자 헤르만 그라스만의 ''Lineare Ausdehnungslehre''(''선형 확장 이론'')에서 나왔다.

1930년에 디랙은 "진공이란 음의 에너지를 가진 전자가 완전히 채워진 상태이다"라는 '''디랙의 바다''' 개념('''공공 이론''', hole theory^영어)을 고안했다.

2. 1. 디랙 방정식의 등장 (1928년)

1928년에 폴 디랙은 슈뢰딩거 방정식을 상대성이론에 맞게 확장하기 위해, 시간과 공간에 대해 1차 미분 방정식을 제안하였다.^[21]^[22] 디랙은 이 방정식을 통해 반입자의 존재를 예측하였고, 이는 1932년에 칼 데이비드 앤더슨이 양전자를 발견함으로써 실험적으로 검증되었다.^[24]

상대성 이론에서는 시간과 공간을 하나의 전체로 취급하기 때문에, 맥스웰 방정식에서처럼 시간과 공간의 미분이 대칭적으로 나타나야 했다. 즉, 방정식은 시간과 공간에서 ''같은 차수''의 미분이어야 했다.

이에 디랙은 공간과 시간 모두에 대해 1차인 방정식을 시도했다. 그는 다음과 같은 형태의 방정식을 가정했다.

E\psi = (\vec{\alpha} \cdot \vec{p} + \beta m) \psi

여기서 연산자

(\vec{\alpha}, \beta)

는 선형성을 위해

(\vec{p}, t)

와 독립적이어야 하고, 시공간의 균질성을 위해

(\vec{x}, t)

와도 독립적이어야 했다. 이러한 조건을 바탕으로 디랙은 연산자가 파울리 행렬과 관련된 4x4 행렬에 의존할 것이라고 결론지었다.^[9]

이 행렬들에 관한 인수분해를 고려하면, 다음과 같은 방정식을 바로 쓸 수 있다.

\left(A\partial_x + B\partial_y + C\partial_z + \frac{i}{c}D\partial_t\right)\psi = \kappa\psi

여기서

\kappa

는 결정해야 할 값이다. 양변에 행렬 연산자를 다시 적용하면

\left(\nabla^2 - \frac{1}{c^2}\partial_t^2\right)\psi = \kappa^2\psi ~.

를 얻는다.

\kappa = \tfrac{mc}{\hbar}

로 두면 파동 함수의 모든 성분이 개별적으로 상대론적 에너지-운동량 관계를 만족한다는 것을 알 수 있다. 따라서 공간과 시간 모두에 대해 1차인 우리가 구하는 방정식은

\left(A\partial_x + B\partial_y + C\partial_z + \frac{i}{c}D\partial_t - \frac{mc}{\hbar}\right)\psi = 0 ~.

이다.

A = i \beta \alpha_1 \, , \, B = i \beta \alpha_2 \, , \, C = i \beta \alpha_3 \, , \, D = \beta ~,

로 설정하고,

D^2 = \beta^2 = I_4

이기 때문에 위에 쓴 대로 디랙 방정식이 유도된다.

한편, 비상대론적인 슈뢰딩거 방정식을 상대성이론에 맞게 확장하려는 시도에서 처음에는 클라인-고르돈 방정식이 고안되었다. 그러나 이 방정식은 음의 에너지 해와 음의 확률밀도를 갖는다는 문제점을 안고 있었다(이 문제는 훗날 양자장론에서 해결됨). 또한 클라인-고르돈 방정식에는 스핀이 나타나지 않는 문제도 있었다(이는 클라인-고르돈 방정식을 따르는 스칼라장이 스핀을 갖지 않는 입자를 기술하기 때문).

폴 디랙은 1928년에 '''디랙 방정식'''을 기본 방정식으로 하는 (특수) 상대론적 양자역학을 발견했다. 디랙 방정식에서는 음의 확률 밀도가 나타나지 않고, 스핀의 개념이 자연스럽게 나타난다.

하지만 디랙 방정식에서도 자연계에 존재하지 않는 것으로 보이는 음의 에너지 상태가 나타난다는 문제는 여전히 남아 있었다.

2. 2. 클라인-고든 방정식의 문제점

클라인-고든 방정식은 슈뢰딩거 방정식을 상대론적으로 확장하려는 시도에서 비롯되었으나 몇 가지 문제점을 안고 있었다. 이 방정식은 시간 미분에 대해 2차 방정식이어서 확률 밀도가 음수가 될 수 있다는 문제점이 있었다. 확률 밀도는 양수여야 하므로 이는 방정식의 해석에 어려움을 야기했다.^[10]

확률 밀도와 전류가 스칼라 파동 함수에 대한 시공간 미분을 통해 대칭적으로 표현될 때, 확률 밀도는 다음과 같이 주어진다.

:

\rho = \frac{i\hbar}{2mc^2} \left(\psi^*\partial_t\psi - \psi\partial_t\psi^* \right) .

이 표현에서

\psi^*

와

\partial_t\psi^*

의 초기값은 자유롭게 선택할 수 있으므로, 밀도가 음수가 될 수 있다는 문제가 발생한다. 이는 확률 밀도로서 부적합하며, 슈뢰딩거 방정식의 단순한 상대론적 일반화가 불가능함을 보여준다.

하지만 이 방정식은 양자장 이론에서 스핀이 없는 입자장(예: 파이온 또는 힉스 보손)을 설명하는 데 사용되면서 다시 중요성을 얻게 되었다.^[10] 역사적으로 에르빈 슈뢰딩거가 자신의 이름을 딴 방정식보다 먼저 이 방정식에 도달했지만, 곧 포기했다. 양자장 이론에서는 부정적인 밀도가 확률 밀도가 아닌, 양수 또는 음수가 될 수 있는 ''전하'' 밀도로 이해된다.

2. 3. 디랙 방정식의 해결책

폴 디랙은 1928년에 디랙 방정식을 기본 방정식으로 하는 상대론적 양자역학을 발견했다.^[1] 디랙 방정식에서는 음의 확률밀도가 나타나지 않고, 스핀 개념이 자연스럽게 나타난다.^[1]

하지만 디랙 방정식에서는 음의 에너지 상태가 나타난다는 문제가 있었다.^[1] 오스카 클라인은 특정한 강한 퍼텐셜 하에서 양의 에너지를 가진 전자가 음의 에너지 상태로 전이될 수 있음을 보여주었고, 이론에서 음의 에너지 상태를 완전히 배제하는 것이 어렵다는 점을 지적했다.^[1]

1930년에 디랙은 "진공이란 음의 에너지를 가진 전자가 완전히 채워진 상태이다"라는 '''디랙의 바다''' 개념('''공공 이론''', hole theory^영어)을 고안했다.^[1] 디랙의 바다에서는 음의 에너지를 가진 전자가 제거된 "공공"이 생길 수 있는데, 디랙은 처음에 이 공공에 의한 입자를 양성자라고 생각했다.^[1] 이후 공공은 양전자임이 밝혀졌다(헬만 바일, 로버트 오펜하이머).^[1] 디랙의 바다의 공공은 양의 에너지를 가지며, 반입자에 대응한다.^[1] 빛에 의한 전자와 양전자의 생성은 진공 중의 음의 에너지 전자가 빛을 흡수하여 양의 에너지 상태로 전이하고, 그 후 공공을 남기는 현상으로 설명된다.^[1] 1932년 데이비드 앤더슨에 의한 양전자의 발견으로, 디랙의 바다는 현실의 현상을 설명하는 뛰어난 이론으로 여겨졌다.^[1]

그 후, 리처드 파인만 등에 의해 확장, 해석의 재검토가 이루어졌다(상대론적인 양자장론).^[1] 그 결과, 디랙의 바다를 생각하지 않고도 전자와 양전자를 대칭적으로 다룰 수 있게 되었다.^[1]

2. 4. 디랙의 바다와 반입자의 예측 (1930년)

1928년 폴 디랙은 디랙 방정식을 사용하여 반입자의 존재를 예측하였다.^[21]^[22] 디랙은 진공 상태의 우주가 비어있는 것이 아니라 입자와 반입자의 결합체로 가득 찬 상태라고 보았고, 이는 후세에 '디랙의 바다'라고도 불린다.^[23]

하지만 디랙 방정식에는 음의 에너지 상태가 나타나는 문제가 있었다. 오스카 클라인은 특정한 강한 퍼텐셜 하에서 양의 에너지를 가진 전자가 음의 에너지 상태로 전이될 수 있음을 보여주었고, 이론에서 음의 에너지 상태를 완전히 배제하는 것이 어렵다는 점을 지적했다.

1930년 디랙은 이 문제를 해결하기 위해 "진공이란 음의 에너지를 가진 전자가 완전히 채워진 상태이다"라는 '''디랙의 바다''' 개념('''공공 이론''', hole theory|홀 이론^영어)을 고안했다. 디랙의 바다에서는 음의 에너지를 가진 전자가 제거된 "공공"(빈자리)이 생길 수 있는데, 디랙은 처음에 이 공공에 의한 입자를 양성자라고 생각했다. 후에 헬만 바일과 로버트 오펜하이머는 이 공공이 양전자임을 지적했다. 디랙의 바다의 공공은 양의 에너지를 가지며, 반입자에 대응한다. 빛에 의한 전자와 양전자의 생성은 진공 중의 음의 에너지 전자가 빛을 흡수하여 양의 에너지 상태로 전이하고, 그 후에 공공을 남기는 현상으로 설명된다.

1932년 칼 데이비드 앤더슨이 양전자를 발견함으로써 디랙의 예측은 실험적으로 검증되었고,^[24] 디랙의 바다는 현실의 현상을 설명하는 뛰어난 이론으로 여겨졌다.

2. 5. 양전자의 발견 (1932년)

1932년 칼 데이비드 앤더슨은 우주선 실험에서 양전자를 발견하여, 폴 디랙이 예측했던 반입자의 존재를 실험적으로 검증하였다.^[24] 이는 디랙의 바다 개념이 현실의 현상을 설명하는 뛰어난 이론으로 여겨지게 되는 계기가 되었다.

2. 6. 양자장론의 발전과 디랙 방정식 (1930년대~)

1930년 폴 디랙은 "진공이란 음의 에너지를 가진 전자가 완전히 채워진 상태이다"라는 '''디랙의 바다''' 개념('''공공 이론''', hole theory^영어)을 고안했다. 디랙의 바다에서는 음의 에너지를 가진 전자가 제거된 "공공"이 생길 수 있는데, 디랙은 처음에 이 공공에 의한 입자를 양성자라고 생각했다. 이후 헬만 바일, 로버트 오펜하이머에 의해 공공은 양전자임이 지적되었다. 디랙의 바다의 공공은 양의 에너지를 가지며, 반입자에 대응한다. 빛에 의한 전자와 양전자의 생성은 진공 중의 음의 에너지 전자가 빛을 흡수하여 양의 에너지 상태로 전이하고, 그 후에 공공을 남기는 현상으로 설명된다. 1932년 데이비드 앤더슨의 양전자 발견으로, 디랙의 바다는 현실의 현상을 설명하는 뛰어난 이론으로 여겨졌다.

그 후, 리처드 파인만 등에 의해 상대론적인 양자장론으로 확장 및 재해석되었다. 그 결과, 디랙의 바다를 고려하지 않고도 전자와 양전자를 대칭적으로 다룰 수 있게 되었다.

3. 수학적 공식

자연 단위계에서 ħ=1, c=1로 표현하면 디랙 방정식은 다음과 같다.^[9]

:: $i\gamma^\mu\partial_\mu\psi(x) -m\psi(x)=0$

여기서 ψ는 4성분 스피너장(디랙 장)으로, 다음과 같이 표현된다.

:: $\psi(x) =\begin{pmatrix}\psi_1(x)\\\psi_2(x)\\\psi_3(x)\\\psi_4(x)\\\end{pmatrix}$

m은 ψ의 질량이다. μ=0,1,2,3에 대해서는 아인슈타인의 합 규약을 사용한다. 미분 $\partial_\mu$ 는 다음과 같다.

:: $\partial_\mu =\frac{\partial}{\partial x^\mu}=\left( \frac{\partial}{\partial t}, \nabla \right)$

$\gamma^\mu$ 는 '''감마 행렬'''(디랙 행렬)이라고 불리는 4×4 행렬이다.

디랙 방정식을 3차원적으로 쓰면 다음과 같다.

:: $i\gamma^0\frac{\partial\psi}{\partial t}+i\boldsymbol{\gamma}\cdot\nabla\psi$

m\psi=0

이항하여 왼쪽에

\gamma^0

를 곱하면 다음과 같이 표현할 수 있다.

::

i\frac{\partial\psi}{\partial{}t} =H\psi=-i\boldsymbol{\alpha}\cdot\nabla\psi +\beta m\psi

여기서

\alpha^j=\gamma^0\gamma^j, \beta=\gamma^0

이다.

H=-i\boldsymbol{\alpha}\cdot\nabla+\beta m

는 디랙의 해밀토니안이라고 불린다.

3. 1. 디랙 방정식

상대론적 표기법을 사용하면 디랙 방정식은 다음과 같다. (아인슈타인 표기법 사용)^[9]

::

-i \hbar \gamma^\mu \partial_\mu \psi + m c \psi = 0

여기서

\gamma^\mu

는 디랙 행렬이다. 이 중

\gamma^0

은 에르미트 행렬이고, 나머지는 반에르미트 행렬이다. 이들은 민코프스키 메트릭

\eta^{\mu\nu}

와 다음과 같은 관계를 가진다.

::

\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\} = 2\eta^{\mu\nu}

여기서

\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}

는 반교환자(anticommutator)를 뜻한다. 즉, 디랙 행렬은 민코프스키 공간에 대해 클리퍼드 대수(Clifford algebra)를 이룬다. (이를 디랙 대수라 칭한다.)

파인먼 표기법을 이용하면, 디랙 방정식은 다음과 같다.

::

(-i\partial\!\!\!/ + m)\psi = 0

디랙은 공간과 시간 모두에 대해 1차인 방정식을 시도했다. 그는 다음 형태의 방정식을 가정했다.

::

E\psi = (\vec{\alpha} \cdot \vec{p} + \beta m) \psi

여기서 연산자

(\vec{\alpha}, \beta)

는 선형성을 위해

(\vec{p}, t)

와 독립적이어야 하고, 시공간 균질성을 위해

(\vec{x}, t)

와 독립적이어야 한다. 이러한 제약 조건은

(\vec{\alpha}, \beta)

연산자가 의존하게 될 추가적인 동역학 변수를 의미한다. 이러한 요구 사항으로부터 디랙은 연산자가 파울리 행렬과 관련된 4x4 행렬에 의존할 것이라고 결론지었다.^[9]

당시 행렬 역학의 기초를 연구하는 데 몰두했던 디랙은 A, B, C 및 D가 ''행렬''이라면 이러한 조건을 충족할 수 있다는 것을 즉시 이해했다. 이는 파동 함수가 ''여러 성분''을 가짐을 의미한다. 이것은 그때까지 스핀에 대한 파울리의 현상론적 이론에서 2성분 파동 함수의 출현을 즉시 설명했다. 그러나 필요한 속성을 가진 시스템을 설정하려면 적어도 4 × 4 행렬이 필요하므로 파동 함수는 ''네 개''의 성분을 가지고 있었다.

이러한 행렬에 관한 인수분해를 고려하면, 이제 방정식을 즉시 쓸 수 있다.

::

\left(A\partial_x + B\partial_y + C\partial_z + \frac{i}{c}D\partial_t\right)\psi = \kappa\psi

여기서

\kappa

는 결정해야 한다. 양변에 행렬 연산자를 다시 적용하면

::

\left(\nabla^2 - \frac{1}{c^2}\partial_t^2\right)\psi = \kappa^2\psi ~.

\kappa = \tfrac{mc}{\hbar}

로 하면 파동 함수의 모든 성분이 개별적으로 상대론적 에너지-운동량 관계를 만족한다는 것을 알 수 있다. 따라서 공간과 시간 모두에 대해 1차인 구하는 방정식은

::

\left(A\partial_x + B\partial_y + C\partial_z + \frac{i}{c}D\partial_t - \frac{mc}{\hbar}\right)\psi = 0 ~.

이다.

A = i \beta \alpha_1 \, , \, B = i \beta \alpha_2 \, , \, C = i \beta \alpha_3 \, , \, D = \beta ~,

로 설정하고

D^2 = \beta^2 = I_4

이기 때문에 위에 쓴 대로 디랙 방정식이 생성된다.

자연 단위계에서는 ħ=1, c=1로 표현하면

::

i\gamma^\mu\partial_\mu\psi(x) -m\psi(x)=0

로 표현된다. ψ는 4성분 스피너장(디랙 장)이다.

::

\psi(x) =\begin{pmatrix}\psi_1(x)\\\psi_2(x)\\\psi_3(x)\\\psi_4(x)\\\end{pmatrix}

m은 ψ의 질량이다. μ=0,1,2,3에 대해서는 아인슈타인의 합 규약을 사용한다. 미분

\partial_\mu

는

::

\partial_\mu =\frac{\partial}{\partial x^\mu}=\left( \frac{\partial}{\partial t}, \nabla \right)

이다.

\gamma^\mu

는 '''감마 행렬'''(디랙 행렬)이라고 불리는 4×4 행렬이다.

디랙 방정식을 3차원적으로 쓰면

::

i\gamma^0\frac{\partial\psi}{\partial t}+i\boldsymbol{\gamma}\cdot\nabla\psi

m\psi=0

이 된다. 이항하여 왼쪽에

\gamma^0

를 곱하면

::

i\frac{\partial\psi}{\partial{}t} =H\psi=-i\boldsymbol{\alpha}\cdot\nabla\psi +\beta m\psi

로 표현할 수 있다.

단

\alpha^j=\gamma^0\gamma^j, \beta=\gamma^0

이다. 여기서

H=-i\boldsymbol{\alpha}\cdot\nabla+\beta m

는 디랙의 해밀토니안이라고 불린다.

3. 2. 디랙 행렬

디랙 행렬(

\gamma^\mu

)은 4x4 행렬로, 다음 관계를 만족한다.^[9]

::

\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\} = 2\eta^{\mu\nu}

여기서

\eta^{\mu\nu}

는 민코프스키 메트릭이고,

\{\gamma^\mu,\gamma^\nu\}

는 반교환자(anticommutator)이다. 디랙 행렬은 민코프스키 공간에 대한 클리퍼드 대수(Clifford algebra)를 이루며, 이를 디랙 대수라고 부른다.^[9]

\gamma^0

은 에르미트 행렬이고,

\gamma^i

(i=1,2,3)는 반에르미트 행렬이다.^[9]

3. 3. 파인만 표기법

파인만 표기법을 이용하면, 디랙 방정식은 다음과 같이 간략하게 표현된다.^[9]

::

(-i\partial\!\!\!/ + m)\psi = 0

3. 4. 클라인-고든 방정식과의 관계

클라인-고든 방정식에서처럼, 디랙 방정식에 $(i\partial\!\!\!/ + m)$을 곱하면 다음을 얻는다.

:

(i\partial\!\!\!/ + m)(-i\partial\!\!\!/ + m)\psi = (\partial^2 + m^2)\psi = 0

이는

\psi

가 디랙 방정식을 만족하면

\psi

의 각 성분이 클라인-고든 방정식

:

(\partial^2 + m^2)\psi = 0

을 만족한다는 것을 의미한다. 그러나 그 역은 성립하지 않는다.^[12]

4. 디랙 방정식과 관련된 이론들

양자 이론에서 가장 중요한 물리적 질문은 이론에 의해 정의되는 물리적으로 관측 가능한 양이 무엇인가 하는 것이다. 양자 역학의 가정에 따르면, 이러한 양은 계의 가능한 상태의 힐베르트 공간에 작용하는 자기 수반 작용소에 의해 정의된다. 그러면 이러한 작용소의 고유값은 해당 물리량을 측정하는 결과가 된다. 슈뢰딩거 이론에서 가장 간단한 그러한 대상은 계의 총 에너지를 나타내는 전체 해밀토니안이다. 디랙 이론으로 넘어갈 때 이 해석을 유지하려면 해밀토니안을 다음과 같이 취해야 한다.

$H = \gamma^0 \left[mc^2 + c \gamma^k \left(p_k - q A_k\right) \right] + c q A^0.$

여기서 항상 두 번 반복되는 지수 에 대해 암시적 합산이 있다. 이것은 유망해 보이는데, 그 이유는 입자의 정지 에너지와 인 경우 전기적 전위 에 놓인 전하의 에너지를 검사하여 확인할 수 있기 때문이다. 고전 전자기학에서 적용된 전위 내에서 움직이는 전하의 에너지는 다음과 같다.

$H = c\sqrt{\left(\mathbf{p} - q\mathbf{A}\right)^2 + m^2c^2} + qA^0.$

따라서 디랙 해밀토니안은 고전적인 대응물과 근본적으로 구별되며, 이 이론에서 무엇이 관측 가능한지를 정확하게 식별하기 위해 세심한 주의를 기울여야 한다. 디랙 방정식에 의해 암시되는 것처럼 보이는 역설적인 행동의 대부분은 이러한 관측 가능한 것들의 잘못된 식별 때문이다.

디랙 방정식에 $i\partial\!\!\!/ + m$ 을 적용하면 클라인-고르돈 방정식이 유도된다.

$(\partial_\mu\partial^\mu + m^2)\psi(x) = 0.$

4. 1. 파울리 이론

파울리 이론은 디랙 방정식의 저에너지 극한으로 볼 수 있다. 디랙 방정식에 외부 전자기장을 도입하고, 저에너지 근사를 적용하면 파울리 방정식을 유도할 수 있다. 이는 디랙 방정식이 파울리 이론을 포함하고, 더 일반적인 이론임을 보여준다.

4. 2. 바일 방정식

Weyl equation^영어은 질량이 없는 스핀 1/2 입자를 기술하는 디랙 방정식의 축소된 형태이다. 질량이 없는 경우(m=0), 디랙 방정식은 바일 방정식으로 축소된다.^[1] 바일 방정식은 질량이 없는 바일 페르미온을 기술한다.^[1]

5. 물리적 해석

디랙 방정식의 물리적 해석에서, 양자 이론의 관측 가능량은 힐베르트 공간에 작용하는 자기 수반 작용소로 정의된다. 디랙 이론에서 해밀토니안은 고전적인 경우와 근본적으로 다르기 때문에, 관측 가능량을 식별하는 데 주의가 필요하다.

디랙 방정식의 음의 에너지 해는 큰 문제였지만, 디랙은 "홀 이론"을 통해 이 문제를 해결했다. 홀 이론에 따르면, 진공 상태는 음의 에너지 준위가 전자로 가득 차 있는 디랙의 바다 상태이다. 에너지를 가하면 전자가 양의 에너지 준위로 올라가고, 음의 에너지 준위에는 빈자리, 즉 홀(hole)이 생성된다. 이 홀은 양전하를 가진 입자처럼 행동하며, 양전자로 확인되었다.^[14]

양자장론에서 디랙 장은 두 번째 양자화 과정을 거친다. 이 과정은 디랙 방정식의 역설적인 특징들을 해결하는 데 도움을 주며, 보골류보프 변환을 통해 디랙 바다의 개념을 형식적으로 우회할 수 있다.^[14]

로렌츠 변환 $x \mapsto x'$ 하에서 디랙 스피너는 다음과 같이 변환된다.^[15]

$\psi'(x') = S \psi(x)$

여기서 $S$ 는 다음과 같은 표현을 갖는다.

$S = \exp\left(\frac{-i}{4} \omega^{\mu\nu} \sigma_{\mu\nu}\right)$

$\omega^{\mu\nu}$ 는 로렌츠 변환을 매개변수화하고, $\sigma_{\mu\nu}$ 는 다음을 만족하는 여섯 개의 4×4 행렬이다.

$\sigma^{\mu\nu} = \frac{i}{2} [\gamma^\mu,\gamma^\nu]~.$

이 행렬은 디랙 장의 고유 각운동량으로 해석될 수 있다. 총 각운동량으로 해석될 수 있는 로렌츠 변환의 생성자 $J_{\mu\nu}$ 는 다음과 같은 형태를 갖는다.^[16]

$J_{\mu\nu} = \frac{1}{2} \sigma_{\mu\nu} + i (x_\mu\partial_\nu - x_\nu\partial_\mu)$

이는 스피너 장에 다음과 같이 작용한다.

$\psi^\prime(x) = \exp\left(\frac{-i}{2} \omega^{\mu\nu} J_{\mu\nu}\right) \psi(x)$

$x \mapsto x'$ 로 변환하여 $\psi(x)\mapsto \psi'(x')$ 로의 변화를 얻은 다음 원래 좌표계 $x' \mapsto x$ 로 되돌아가면 위의 식을 얻을 수 있다.^[17]

$S(\Lambda)$ 에 대한 명시적인 표현은 항등 변환 근처의 무한소 회전의 로렌츠 변환을 고려하여 얻을 수 있다.^[18]

${\Lambda^\mu}_\nu = {g^\mu}_\nu + {\omega^\mu}_\nu\ ,\ {(\Lambda^{-1})^\mu}_\nu = {g^\mu}_\nu - {\omega^\mu}_\nu$

여기서 ${g^\mu}_{\nu}$ 는 계량 텐서이고, $\omega_{\mu\nu}={\omega^{\alpha}}_{\nu} g_{\alpha\mu}$ 는 반대칭이다. 대입하고 계산하면 다음을 얻는다.

$S(\Lambda) = I + \frac{-i}{4} \omega^{\mu\nu} \sigma_{\mu\nu} + \mathcal{O}\left(\Lambda^2\right)$

이는 $S$ 에 대한 (무한소) 형태이며, $\sigma^{\mu\nu} = \frac{i}{2} [\gamma^\mu,\gamma^\nu]$ 관계를 생성한다.

5. 1. 관측 가능량의 식별

양자 이론에서 관측 가능량은 힐베르트 공간에 작용하는 자기 수반 작용소로 정의된다. 디랙 이론에서 해밀토니안은 다음과 같이 주어진다. 디랙 해밀토니안은 고전적인 대응물과 근본적으로 구별되므로, 관측 가능량을 식별하는 데 주의가 필요하다.

5. 2. 홀 이론 (디랙의 바다)

디랙 방정식의 음의 에너지 해는 큰 문제였다. 그러나 디랙은 "홀 이론"을 통해 이 문제를 해결하였다. 홀 이론에 따르면, 진공 상태는 음의 에너지 준위가 전자로 가득 차 있는 상태인데, 이를 디랙의 바다라고 부른다. 이 상태에서 에너지를 가하면 전자가 양의 에너지 준위로 올라가게 되고, 음의 에너지 준위에는 빈자리, 즉 홀(hole)이 생성된다. 이 홀은 양전하를 가진 입자처럼 행동한다. 이 홀은 나중에 양전자로 확인되었다.^[14]

5. 3. 양자장론에서의 디랙 방정식

양자장론에서 디랙 장은 두 번째 양자화 과정을 거친다. 이 과정은 디랙 방정식의 역설적인 특징들을 해결하는 데 도움을 준다. 디랙 바다의 개념은 보골류보프 변환을 통해 형식적으로 우회할 수 있다.^[14]

로렌츠 변환

x \mapsto x'

하에서 디랙 스피너는 다음과 같이 변환된다.^[15]

\psi'(x') = S \psi(x)

여기서

S

는 다음과 같은 명시적인 표현을 갖는다.

S = \exp\left(\frac{-i}{4} \omega^{\mu\nu} \sigma_{\mu\nu}\right)

\omega^{\mu\nu}

는 로렌츠 변환을 매개변수화하고,

\sigma_{\mu\nu}

는 다음을 만족하는 여섯 개의 4×4 행렬이다.

\sigma^{\mu\nu} = \frac{i}{2} [\gamma^\mu,\gamma^\nu]~.

이 행렬은 디랙 장의 고유 각운동량으로 해석될 수 있다. 총 각운동량으로 해석될 수 있는 로렌츠 변환의 생성자

J_{\mu\nu}

는 다음과 같은 형태를 갖는다.^[16]

J_{\mu\nu} = \frac{1}{2} \sigma_{\mu\nu} + i (x_\mu\partial_\nu - x_\nu\partial_\mu)

이는 스피너 장에 다음과 같이 작용한다.

\psi^\prime(x) = \exp\left(\frac{-i}{2} \omega^{\mu\nu} J_{\mu\nu}\right) \psi(x)

x \mapsto x'

로 변환하여

\psi(x)\mapsto \psi'(x')

로의 변화를 얻은 다음 원래 좌표계

x' \mapsto x

로 되돌아가면 위의 식을 얻을 수 있다.^[17]

S(\Lambda)

에 대한 명시적인 표현은 항등 변환 근처의 무한소 회전의 로렌츠 변환을 고려하여 얻을 수 있다.^[18]

{\Lambda^\mu}_\nu = {g^\mu}_\nu + {\omega^\mu}_\nu\ ,\ {(\Lambda^{-1})^\mu}_\nu = {g^\mu}_\nu - {\omega^\mu}_\nu

여기서

{g^\mu}_{\nu}

는 계량 텐서이고,

\omega_{\mu\nu}={\omega^{\alpha}}_{\nu} g_{\alpha\mu}

는 반대칭이다. 대입하고 계산하면 다음을 얻는다.

S(\Lambda) = I + \frac{-i}{4} \omega^{\mu\nu} \sigma_{\mu\nu} + \mathcal{O}\left(\Lambda^2\right)

이는

S

에 대한 (무한소) 형태이며,

\sigma^{\mu\nu} = \frac{i}{2} [\gamma^\mu,\gamma^\nu]

관계를 생성한다.

6. 로렌츠 불변성

디랙 방정식은 로렌츠 변환에 대해 불변이다. 즉, 모든 관성 좌표계에서 동일한 형태로 유지된다. 이는 디랙 방정식이 특수 상대성이론의 요구 조건을 만족함을 의미한다.

로렌츠 변환 Λ는 다음과 같이 쓸 수 있다.

: $\Lambda = \exp\left(\frac{1}{2}\omega_{\mu\nu}M^{\mu\nu}\right)$

여기서 성분 ωμν는 μ, ν에 대해 반대칭이다.

스핀 공간에 대한 해당 변환은 다음과 같다.

: $S[\Lambda] = \exp\left(\frac{1}{2}\omega_{\mu\nu}S^{\mu\nu}\right).$

로렌츠 변환 하에서 디랙 방정식

: $i\gamma^\mu\partial_\mu \psi(x) - m \psi(x)=0$

은 다음과 같이 된다.

: $i\gamma^\mu((\Lambda^{-1})_\mu{}^\nu\partial_\nu)S[\Lambda]\psi(\Lambda^{-1} x) - mS[\Lambda]\psi(\Lambda^{-1} x) = 0.$

여기서

: $S[\Lambda]^{-1}\gamma^\mu S[\Lambda] = \Lambda^\mu{}_\nu\gamma^\nu.$

이다.

디랙 방정식은 로렌츠 변환

: $x^\mu \rightarrow x'^\mu = \Lambda^\mu{}_\nu x^\nu$

: $\psi_a(x) \rightarrow \psi'_a(x) = [D(\Lambda)]_a{}^b\,\psi_b(\Lambda^{-1}x)$

(μ, ν = 0, 1, 2, 3은 시공간의 4성분, a, b = 1, 2, 3, 4는 스피너의 4성분)에 대해,

: $(i\gamma^\mu\partial_\mu-m)\psi'(x)=0$

이 된다. 디랙 스피너의 변환성을 나타내는 4×4 행렬 D(Λ)는

: $[D(\Lambda)]_a{}^c \,[\gamma^\mu]_c{}^d \,[D(\Lambda)^{-1}]_d{}^b= (\Lambda^{-1})^\mu{}_\nu[\gamma^\nu]_a{}^b$

에 의해 정해진다.

와일 표현에서는 행렬식 1의 2×2 행렬 M을 사용하여

: $D(\Lambda) =\begin{pmatrix}M & \mathbf{0} \\\mathbf{0} & (M^\dagger)^{-1} \\\end{pmatrix}$

: $M \sigma^\mu M^\dagger= (\Lambda^{-1})^\mu{}_\nu\sigma^\nu$

로 쓸 수 있다. 예를 들어, z방향의 부스트의 경우는

: $\Lambda^\mu{}_\nu =\begin{pmatrix}\cosh\beta & 0 & 0 & \sinh\beta \\0 & 1 & 0 & 0 \\0 & 0 & 1 & 0 \\\sinh\beta & 0 & 0 & \cosh\beta \\\end{pmatrix}$

: $M =\begin{pmatrix}e^{-\beta/2} & 0 \\0 & e^{\beta/2} \\\end{pmatrix}$

이 된다.

7. 디랙 방정식의 확장

디랙 방정식은 여러 다른 방법으로 공식화될 수 있다.

7. 1. 굽은 시공간에서의 디랙 방정식

디랙 방정식은 일반 상대성 이론의 굽은 시공간에서도 공식화될 수 있다.

7. 2. 물리 공간 대수(APS)에서의 디랙 방정식

디랙 방정식은 여러 방법으로 공식화될 수 있다. 물리 공간 대수의 디랙 방정식은 실수 위의 클리포드 대수(Clifford algebra)를 사용하는데, 이는 기하 대수의 한 종류이다.

7. 3. 색 대칭으로의 확장

디랙 방정식은 여러 다른 방법으로 공식화될 수 있다.

자연 단위를 사용하며, 결합 상수는 관례적으로 e^영어로 표시된다. 이 매개변수는 전자 전하를 모델링하는 것으로 볼 수도 있다.

8. 디랙 방정식의 응용

디랙 방정식은 응집물질물리학에서 저에너지 전자의 행동을 기술하는 데 응용된다. 특히, 그래핀과 같은 2차원 물질에서 전자의 행동은 디랙 방정식과 유사한 형태로 기술될 수 있다.

디랙 방정식은 전역 U(1) 벡터 대칭을 가지며, 네터 정리에 따라 보존 전류가 존재한다. 이 대칭을 국소 대칭으로 확장하면 디랙 방정식은 불변하지 않게 되지만, 공변 미분을 도입하여 게이지 불변성을 회복할 수 있다. 여기서 도입되는 4-벡터는 전기역학의 4-벡터 퍼텐셜 또는 U(1) 게이지장으로 해석된다.

8. 1. 응집물질물리학

응집물질물리학에서 디랙 방정식은 저에너지 전자의 행동을 기술하는 데 응용된다. 특히, 그래핀과 같은 2차원 물질에서 전자의 행동은 디랙 방정식과 유사한 형태로 기술될 수 있다.

8. 2. 기타 응용 분야

디랙 방정식은 전역 U(1) 벡터 대칭을 가지며, 네터 정리에 따라 보존 전류 `J^\mu(x) = \bar\psi(x)\gamma^\mu\psi(x)`가 존재한다. 이 대칭을 국소 대칭으로 확장하면 디랙 방정식은 불변하지 않게 되지만, 공변 미분 `D_\mu \psi = \partial_\mu \psi + i e A_\mu\psi`와 `D_\mu \bar\psi = \partial_\mu \bar\psi - i e A_\mu\bar\psi`를 도입하여 게이지 불변성을 회복할 수 있다. 여기서 `A_\mu`는 전기역학의 4-벡터 퍼텐셜 또는 U(1) 게이지장으로 해석된다.

9. 한국의 디랙 방정식 연구

(빈 문자열 - 주어진 원본 소스에 한국의 디랙 방정식 연구에 대한 내용이 없으므로, 이전 답변과 동일하게 빈 문자열을 출력한다.)

10. 관련 항목

디랙 장
디랙 스피너
고든 분해
클라인 역설
비선형 디랙 방정식

참조

_[1] 서적 Quanta: A handbook of concepts Oxford University Press
_[2] 서적 Electronic Properties of Dirac and Weyl Semimetals https://books.google[...] World Scientific Publishing
_[3] 서적 The New Quantum Universe Cambridge University Press
_[4] 웹사이트 Dirac, Einstein and physics https://physicsworld[...] 2023-10-22
_[5] 서적 From Photons to Higgs: A Story of Light https://books.google[...] World Scientific Publishing
_[6] 웹사이트 Paul Dirac http://www.dirac.ch/[...] Dirac.ch 2013-07-12
_[7] 서적 Inward bound: of matter and forces in the physical world Clarendon Press [u.a.] 2002
_[8] 서적 Principles of Quantum Mechanics Oxford University Press
_[9] 서적 Pauli and the Spin-Statistics Theorem https://www.worldsci[...] WORLD SCIENTIFIC 1998
_[10] 서적 Quantum Theory http://www2.ph.ed.ac[...]
_[11] 서적 Relativistic Quantum Physics: From advanced quantum mechanics to introductory quantum field theory https://books.google[...] Cambridge University Press 2011-09-22
_[12] 서적 The Road to Reality Jonathan Cape 2004
_[13] 서적 The Dirac Equation in Curved Spacetime: A Guide for Calculations Springer
_[14] 서적 Riemannian Geometry and Geometric Analysis (3rd Edition) Springer Universitext
_[15] 서적 Quantum Field Theory McGraw-Hill
_[16] 서적 Relativistic Quantum Mechanics McGraw-Hill
_[17] 서적 Gravitation and Cosmology: Principles and Applications of the General Theory of Relativity Wiley & Sons
_[18] 서적 Gravitation
_[19] 서적 The Road to Reality Alfred A. Knopf 2004
_[20] 저널 Relativistic Extension of the Analogy between Quantum Mechanics and Brownian Motion 1984-07-30
_[21] 저널 The Quantum Theory of the Electron
_[22] 저널 A Theory of Electrons and Protons
_[23] 웹인용 [별별 과학] 진공과 디랙의 바다 http://m.kmib.co.kr/[...] 2020-04-16
_[24] 저널 The Positive Electron

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