딕맨 함수

3. 성질

딕맨-드 브루인 함수 $\backslash rho(u)$는 다음의 지연 미분 방정식을 만족하는 연속 함수이다.

:$u\backslash rho\text{'}(u)\; +\; \backslash rho(u-1)\; =\; 0\backslash ,$

이때 초기 조건은 $\backslash rho(u)\; =\; 1$ (단, $0\; \backslash le\; u\; \backslash le\; 1$)이다.

딕맨은 고정된 상수 ''a''에 대해 다음 관계가 성립함을 증명했다.

:$\backslash Psi(x,\; x^\{1/a\})\backslash sim\; x\backslash rho(a)\backslash ,$

여기서 $\backslash Psi(x,y)$는 ''x''보다 작거나 같고, 가장 큰 소인수가 ''y''보다 작거나 같은 정수, 즉 ''y''-스무스(또는 ''y''-프라이어블) 수의 개수를 나타낸다.

나중에 라마스와미는 고정된 ''a''에 대해 $\backslash Psi(x,x^\{1/a\})$가 $x\; \backslash rho(a)$에 점근한다는 것을 더 엄밀하게 증명했으며,^[14] 오차항은 다음과 같다.^[5]

:$\backslash Psi(x,x^\{1/a\})=x\backslash rho(a)+O(x/\backslash log\; x)$

4. 응용

딕맨-드 브루인 함수의 주요 목적은 주어진 크기에서 스무스 넘버의 빈도를 추정하는 것이다. 이는 폴라드 p-1 알고리즘과 같은 다양한 수론 알고리즘을 최적화하는 데 사용될 수 있으며, 그 자체로도 유용하다.

딕맨은 고정된 $a$에 대해 다음을 증명했다.

:$\backslash Psi(x,\; x^\{1/a\})\backslash sim\; x\backslash rho(a)\backslash ,$

여기서 $\backslash Psi(x,y)$는 $y$ 이하의 스무스 넘버(y-smooth 또는 y-friable)인 양의 정수의 개수를 나타낸다.

라마스와미(Ramaswami)는 나중에 고정된 $a$에 대해 $\backslash Psi(x,x^\{1/a\})$가 $x\; \backslash rho(a)$에 점근하며, 오차 항을 포함하여 다음과 같이 표현된다는 더 엄격한 증거를 제시했다.^[14]

:$\backslash Psi(x,x^\{1/a\})=x\backslash rho(a)+O(x/\backslash log\; x)$

(O 표기법 사용)

5. 추정

딕맨-드 브루인(Dickman-de Bruijn) 함수 $\backslash rho(u)$는 다음 지연 미분 방정식을 만족하는 연속 함수이다.

:$u\backslash rho\text{'}(u)\; +\; \backslash rho(u-1)\; =\; 0\backslash ,$

이때 초기 조건은 $\backslash rho(u)\; =\; 1$ (0 ≤ u ≤ 1)이다. 딕맨(Dickman)은 고정된 $a$에 대해 다음이 성립함을 증명했다.

:$\backslash Psi(x,\; x^\{1/a\})\backslash sim\; x\backslash rho(a)\backslash ,$

여기서 $\backslash Psi(x,y)$는 $y$-smooth (또는 $y$-friable)인 $x$ 이하의 정수의 개수를 나타낸다.

라마스와미(Ramaswami)는 나중에 고정된 $a$에 대해 $\backslash Psi(x,x^\{1/a\})$가 $x\; \backslash rho(a)$에 점근하며, 오차항을 포함하여 다음과 같이 표현된다는 엄밀한 증명을 제시했다.^[14]

:$\backslash Psi(x,x^\{1/a\})=x\backslash rho(a)+O(x/\backslash log\; x)$

위 식에서 $O$는 대문자 O 표기법을 의미한다.

딕맨 함수 $\backslash rho(u)$에 대한 첫 번째 근사는 $\backslash rho(u)\backslash approx\; u^\{-u\}$로 나타낼 수 있다. 더 나은 추정치는 다음과 같다.^[8]

:$\backslash rho(u)\backslash sim\; \backslash frac\; 1\; \{\backslash xi\backslash sqrt\{2\backslash pi\; u\}\}\; \backslash cdot\; \backslash exp(-u\backslash xi+\backslash operatorname\{Ei\}(\backslash xi))$

여기서 Ei는 지수 적분 함수이고, $\backslash xi$는 다음 방정식의 양의 근이다.

:$e^\backslash xi-1=u\backslash xi.\backslash ,$

딕맨 함수에 대한 간단한 상한은 $\backslash rho(x)\backslash le1/x!$이다.

다음은 몇 가지 $u$ 값에 대한 $\backslash rho(u)$의 근사값이다.

6. 계산

딕맨-드 브루인(Dickman-de Bruijn) 함수 $\backslash rho(u)$는 다음 지연 미분 방정식을 만족하는 연속 함수이다.

:$u\backslash rho\text{'}(u)\; +\; \backslash rho(u-1)\; =\; 0\backslash ,$

초기 조건은 0 ≤ u ≤ 1 범위에서 $\backslash rho(u)\; =\; 1$이다. 딕맨(Dickman)은 고정된 $a$에 대해 다음 관계가 성립함을 증명했다.

:$\backslash Psi(x,\; x^\{1/a\})\backslash sim\; x\backslash rho(a)\backslash ,$

여기서 $\backslash Psi(x,y)$는 $y$ 이하의 소인수만을 갖는 정수(y-smooth 또는 y-friable 정수)의 개수를 나타낸다.

라마스와미(Ramaswami)는 나중에 고정된 $a$에 대해 $\backslash Psi(x,x^\{1/a\})$가 $x\; \backslash rho(a)$에 점근하며, 오차항은 다음과 같음을 더 엄격하게 증명했다.^[14]

:$\backslash Psi(x,x^\{1/a\})=x\backslash rho(a)+O(x/\backslash log\; x)$

(O 표기법 참고)

각 정수 ''n''에 대해, 구간 [''n'' − 1, ''n'']에서 $\backslash rho(u)$와 같은 값을 가지는 해석 함수 $\backslash rho\_n(u)$가 존재한다. 구간별 $\backslash rho(u)$의 값은 다음과 같다.

• 0 ≤ ''u'' ≤ 1: $\backslash rho(u)\; =\; 1$
• 1 ≤ ''u'' ≤ 2: $\backslash rho(u)\; =\; 1-\backslash log\; u$
• 2 ≤ ''u'' ≤ 3:

7. 확장

딕맨-드 브루인 함수 $\backslash rho(u)$는 지연 미분 방정식 $u\backslash rho\text{'}(u)\; +\; \backslash rho(u-1)\; =\; 0$을 만족하는 연속 함수이며, 에서 $\backslash rho(u)\; =\; 1$이라는 초기 조건을 갖는다. 딕맨(Dickman)은 고정된 $a$에 대해 $\backslash Psi(x,\; x^\{1/a\})\backslash sim\; x\backslash rho(a)$임을 보였다. 여기서 $\backslash Psi(x,y)$는 $x$ 이하의 정수 중 가장 큰 소인수가 $y$ 이하인 수(y-매끄러운 수(y-friable number))의 개수를 나타낸다.

라마스와미(Ramaswami)는 나중에 고정된 $a$에 대해 $\backslash Psi(x,x^\{1/a\})$가 $x\; \backslash rho(a)$에 점근하며, 오차항을 포함하여 다음과 같음을 더 엄격하게 증명했다.^[14]

:$\backslash Psi(x,x^\{1/a\})=x\backslash rho(a)+O(x/\backslash log\; x)$

여기서 $O$는 대문자 O 표기법이다.

존 프리들랜더(John Friedlander)는 딕맨 함수를 확장하여 2차원 유사체인 $\backslash sigma(u,v)$를 정의했다.^[10] 이 함수는 $\backslash Psi(x,y,z)$, 즉 $x$ 이하의 y-매끄러운 정수 중에서 $z$보다 큰 소인수를 최대 1개만 갖는 수의 개수를 추정하는 데 사용된다. 이 함수를 이용하면 다음과 같은 점근식이 성립한다.

:$\backslash Psi(x,x^\{1/a\},x^\{1/b\})\backslash sim\; x\backslash sigma(b,a)$

참조

_[1] 논문 On the frequency of numbers containing prime factors of a certain relative magnitude
_[2] 웹사이트 nt.number theory - Reference request: Dickman, On the frequency of numbers containing prime factors https://mathoverflow[...] 2012-2018
_[3] 논문 On the number of positive integers ≤ ''x'' and free of prime factors > ''y'' http://alexandria.tu[...]
_[4] 논문 On the number of positive integers ≤ ''x'' and free of prime factors > ''y'', II http://alexandria.tu[...]
_[5] 논문 On the number of positive integers less than $x$ and free of prime divisors greater than ''x''^''c'' https://www.ams.org/[...]
_[6] 논문 Integers without large prime factors http://archive.numda[...]
_[7] 논문 Asymptotic Semismoothness Probabilities http://cr.yp.to/bib/[...]
_[8] 논문 On the Numerical Solution of a Differential-Difference Equation Arising in Analytic Number Theory
_[9] 논문 Numerical Solution of Some Classical Differential-Difference Equations
_[10] 논문 Integers free from large and small primes
_[11] 논문 On the frequency of numbers containing prime factors of a certain relative magnitude
_[12] 논문 On the number of positive integers ≤ ''x'' and free of prime factors > ''y'' http://alexandria.tu[...]
_[13] 논문 On the number of positive integers ≤ ''x'' and free of prime factors > ''y'', II http://alexandria.tu[...]
_[14] 논문 On the number of positive integers less than x and free of prime divisors greater than   ''x''^''c'' http://www.ams.org/b[...]