골롬-딕맨 상수

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1. 개요
2. 정의
3. 공식
4. 커누스의 $\beta$ 와 $B$ 에 대한 추측
5. 관련 상수 및 함수
참조

1. 개요

골롬-딕맨 상수는 크기가 무한대로 커질 때 순열에서 가장 긴 사이클의 길이와 관련된 수학 상수이다. 이 상수는 확률론, 수론, 그리고 유한 집합에서 자신으로 가는 임의의 함수에서 가장 긴 사이클의 평균 길이를 고려하는 문제 등 다양한 분야에서 나타난다. 골롬-딕맨 상수는 여러 적분 표현식으로 나타낼 수 있으며, 로그 적분, 지수 적분, 딕만 함수 등을 사용하여 정의된다. 또한, 커누스의 추측과 관련이 있으며, 관련 상수 및 함수를 통해 표현될 수 있다.

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골롬-딕맨 상수
기본 정보
명칭	골롬-딕맨 상수
영어 명칭	Golomb–Dickman constant
값
값	0.62432999...
설명
정의	n개의 독립적인 균등 분포 확률 변수 (0과 1사이)의 곱의 기댓값의 자연로그의 기댓값. 또는 n이 무한대로 갈 때, n 이하의 정수를 무작위로 선택했을 때, 가장 큰 소인수의 자연로그의 기댓값.
성질	무리수로 추정됨 초월수 여부는 알려지지 않음
발견	"데이비드 골롬 (1962-1964): n개의 독립적인 균등 분포 확률 변수 (0과 1사이)의 곱의 기댓값의 자연로그의 기댓값" "칼 딕맨 (1930): n 이하의 정수를 무작위로 선택했을 때, 가장 큰 소인수의 자연로그의 기댓값"
관련 개념	푸아송 분포 정규 분포

2. 정의

''a''_''n''을 크기가 ''n''인 집합의 모든 순열에 대해 구한 평균값으로, 각 순열에서 가장 긴 사이클의 길이라고 하자. 그러면 골롬-딕맨 상수는 다음과 같다.

: $\lambda = \lim_{n\to\infty} \frac{a_n}{n}.$

확률론의 용어로 표현하면, $\lambda n$ 은 크기가 ''n''인 집합의 균등하게 분포된 무작위 순열에서 가장 긴 사이클의 기댓값 길이와 점근적으로 같다.

수론에서 골롬-딕맨 상수는 정수의 가장 큰 소인수의 평균 크기와 관련하여 나타난다. 보다 정확하게는,

: $\lambda = \lim_{n\to\infty} \frac1n \sum_{k=2}^n \frac{\log(P_1(k))}{\log(k)},$

여기서 $P_1(k)$ 는 ''k''의 가장 큰 소인수이다. 따라서 ''k''가 ''d'' 자리 정수이면, $\lambda d$ 는 ''k''의 가장 큰 소인수의 자리 수의 점근적 평균값이다.

골롬-딕맨 상수는 수론에서 다른 방식으로 나타난다. ''n''의 두 번째로 큰 소인수가 ''n''의 가장 큰 소인수의 제곱근보다 작을 확률은 얼마인가? 점근적으로 이 확률은 $\lambda$ 이다. 보다 정확하게는,

: $\lambda = \lim_{n\to\infty} \text{Prob}\left\{P_2(n) \le \sqrt{P_1(n)}\right\}$

여기서 $P_2(n)$ 는 ''n''의 두 번째로 큰 소인수이다.

골롬-딕맨 상수는 유한 집합에서 자신으로의 임의의 함수에서 가장 긴 사이클의 평균 길이를 고려할 때도 나타난다. ''X''가 유한 집합이고, 이 집합의 임의의 원소 ''x''에 함수 ''f'': ''X'' → ''X''를 반복적으로 적용하면, 결국 사이클에 들어가게 된다. 이는 어떤 ''k''에 대해 충분히 큰 ''n''에 대해 $f^{n+k}(x) = f^n(x)$ 가 성립한다는 것을 의미하며, 이 속성을 갖는 가장 작은 ''k''가 사이클의 길이이다. ''b''_''n''을 크기가 ''n''인 집합에서 자신으로 가는 모든 함수에 대해 구한 평균값으로, 가장 긴 사이클의 길이라고 하자. 그러면 Purdom과 Williams^[3]는 다음을 증명했다.

: $\lim_{n\to\infty} \frac{b_n}{\sqrt{n}} = \sqrt{\frac{\pi}{2} } \lambda.$

3. 공식

골롬-딕맨 상수( $\lambda$ )는 로그 적분, 지수 적분, 딕만 함수를 사용하여 표현할 수 있다.^[4]

3. 1. 로그 적분

로그 적분을 사용하면 다음과 같이 표현할 수 있다.^[4]

\lambda = \int_0^1 e^{\mathrm{li}(t)} \, dt

3. 2. 지수 적분

\lambda

에 대한 몇 가지 표현은 다음과 같다.^[4]

:

\lambda = \int_0^1 e^{\mathrm{li}(t)} \, dt

여기서

\mathrm{li}(t)

는 로그 적분이다.

:

\lambda = \int_0^\infty e^{-t - E_1(t)} \, dt

여기서

E_1(t)

는 지수 적분이다.

:

\lambda = \int_0^\infty \frac{\rho(t)}{t+2} \, dt

:

\lambda = \int_0^\infty \frac{\rho(t)}{(t+1)^2} \, dt

여기서

\rho(t)

는 딕만 함수이다.

3. 3. 딕맨 함수

:

\lambda = \int_0^\infty \frac{\rho(t)}{t+2} dt

:

\lambda = \int_0^\infty \frac{\rho(t)}{(t+1)^2} dt

여기서

\rho(t)

는 딕맨 함수(Dickman–de Bruijn function)이다.

4. 커누스의 $\beta$ 와 $B$ 에 대한 추측

커누스(Knuth, 1981)는 임의의 상수 $\beta$ 와 $B$ 에 대해 다음과 같은 추측을 제시했다.^[1]

: $\lim_{n \to \infty} n^\beta \left( \left\langle M(x) \right\rangle -\gamma n -{1\over2} \gamma \right) = B$

여기서 $\gamma$ 는 오일러-마스케로니 상수이다.

이후 고든(Gourdon, 1986)은 이 추측을 다음과 같이 증명하였다.^[1]

: $j = e^$ 에서,

: $\left\langle M(\alpha) \right\rangle = \lambda \left(n+{1 \over 2}\right) - \over{24n}}+e^{\gamma} -{1 \over 8}(-1)^n \over{n^2}}+$

: $E(M(\alpha))= \lambda n +{\lambda \over 2}-{e^{\gamma}\over24}{1\over n}+\left( \over 48}- \over 3840}+{(-1)^n \over 8}+{{e^{2(2n+1)\pi i}\over 3} \over6}+ {{e^{2(n+2)\pi i}\over 3} \over6} \right) {1\over n^3}+ O\left({1\over n^4} \right)$

: $M(\alpha) = \underset{j}{max} \{ j:\alpha_{j} > 0 \}$

5. 관련 상수 및 함수

골롬-딕맨 상수( $\lambda$ )와 관련된 여러 표현식은 다음과 같다.^[4]

: $\lambda = \int_0^1 e^{\mathrm{li}(t)} \, dt$

여기서 $\mathrm{li}(t)$ 는 로그 적분이다.

: $\lambda = \int_0^\infty e^{-t - E_1(t)} \, dt$

여기서 $E_1(t)$ 는 지수 적분이다.

: $\lambda = \int_0^\infty \frac{\rho(t)}{t+2} dt$

: $\lambda = \int_0^\infty \frac{\rho(t)}{(t+1)^2} dt$

여기서 $\rho(t)$ 는 딕맨 함수(Dickman–de Bruijn function)이다.^[3]

참조

_[1] 논문 Euler's constant: Euler's work and modern developments
_[2] 웹사이트 Golomb-Dickman Constant Continued Fraction https://mathworld.wo[...] 2024-10-11
_[3] 논문 Cycle length in a random function
_[4] 웹사이트 Golomb-Dickman Constant https://mathworld.wo[...] 2024-10-11
_[5] 웹사이트 https://webcache.goo[...]
_[6] 서적 CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Second Edition CRC Press
_[7] 서적 Mathematical Constants Cambridge University Press

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