정수

1. 개요

정수는 "전체의" 또는 "손대지 않은"을 의미하는 라틴어에서 유래된 수로, 양의 정수, 음의 정수, 0을 포함한다. 고대 중국에서 음수의 덧셈과 뺄셈이 사용되었고, 19세기 말 게오르크 칸토어가 무한집합 개념을 도입하기 전까지 '정수 집합'이라는 용어는 사용되지 않았다. 정수 집합은 덧셈, 뺄셈, 곱셈에 닫혀 있으며, 덧셈에 대한 아벨 군, 곱셈에 대한 가환 모노이드를 형성한다. 정수는 전순서 집합이며 순서환이다. 정수 체계는 자연수 체계로부터 구성될 수 있으며, 컴퓨터에서는 2진법을 사용하여 표현되며, 고정된 크기 또는 가변 길이로 표현될 수 있다.

2. 역사

"정수"라는 단어는 "전체의" 또는 "손대지 않은" 것을 의미하는 라틴어 integer에서 유래했다. 역사적으로 이 용어는 1의 배수 또는 혼합수의 정수 부분을 가리키는 데 사용되었으며, 처음에는 자연수와 같은 의미로 쓰였다. 시간이 지나면서 음수의 유용성이 인정되어, 레온하르트 오일러는 1765년 대수학 원론에서 양수와 음수를 모두 포함하는 정수를 정의했다. 19세기 말 게오르크 칸토어가 무한집합과 집합론 개념을 도입하기 전까지는 "정수 집합"이라는 표현이 사용되지 않았다.

자연수는 1950년대 초까지 정수와 같은 의미로 사용되었다. 1950년대 후반, 새로운 수학 운동의 일환으로, 미국의 초등학교 교사들은 "자연수"는 음수를 제외한 자연수를, "정수"는 음수를 포함한다고 가르치기 시작했다.

사물의 개수를 세는 단순한 의미의 자연수에서는 덧셈과 곱셈은 자유롭게 할 수 있지만, 뺄셈은 "빼지는 수가 빼는 수보다 크다"라는 조건이 필요했다. 이러한 제한을 없애기 위해 "음의 정수"를 도입하여 수의 범위를 확장한 것이 정수의 개념이다. 즉,

:$a+x=b$

꼴의 방정식은, $a$와 $b$가 정수라면 반드시 유일한 해를 갖는다.

자연수를 "양의 정수"로 하고, 자연수 n에 대해 덧셈에 대한 역원 −n을 도입하여 "음의 정수"로 정의한다. "양의 정수", "0", "음의 정수"를 합쳐서 일반적으로 덧셈, 뺄셈, 곱셈을 할 수 있으며, "양의 정수"에 대한 연산은 자연수로서의 연산과 같다.

:$a-b=a+(-b)$

하지만, $2\; \backslash times\; x=1$과 같이 정수 $x$가 존재하지 않는 경우가 있어, 나눗셈은 자유롭지 못하다. (유리수로 수의 범위를 넓혀야 한다.)

페르시아의 수학자 아부르 와파는 음수끼리의 곱이 양수임을 기록했지만, 수는 여전히 물리적인 양과 연결되어 음수가 실존하는 것으로 인정받기 어려웠다. 알콰리즈미는 계수에 음수가 나타나지 않도록 이차방정식을 6가지 유형으로 분류했다.

2.1. 동양

기원전 1세기부터 기원후 2세기에 걸쳐 편찬된 고대 중국의 『구장산술』에는 0과 음수의 덧셈, 뺄셈 연산이 나타난다. 인도의 수학자 아리아바타는 음수를 부채, 양수를 수입으로 표현하여 덧셈과 뺄셈 규칙을 정의했다.

2.2. 서양

유럽에서는 정수의 개념이 비교적 늦게 나타났으며, 사이먼 스테빈이 정수의 곱셈에 대한 부호 규칙을 제시했다. 장 르 롱 달랑베르는 백과전서에서 정수가 불확실한 개념이라고 언급하기도 했다.

19세기 후반, 리하르트 데데킨트를 비롯한 수학자들에 의해 집합론을 기반으로 정수의 엄밀한 구성이 이루어졌다. 정수 집합 기호 ℤ는 다비드 힐베르트가 사용한 독일어 Zahlen("수")에서 유래했으며, 니콜라 부르바키 그룹에 의해 널리 퍼졌다.

3. 대수적 성질

자연수 집합과 마찬가지로, 정수 집합은 덧셈과 곱셈에 대해 닫혀 있다. 하지만 자연수 집합과 다르게, 뺄셈에도 닫혀 있다. 나눗셈에는 닫혀 있지 않다.

위 표에서 덧셈에 대한 처음 다섯 가지 성질은 정수($\backslash mathbb\{Z\}$)가 덧셈에 대해 아벨 군임을 보여준다. 또한 모든 0이 아닌 정수는 유한 합 1 + 1 + ... + 1^영어 또는 (−1) + (−1) + ... + (−1)^영어으로 쓸 수 있으므로 순환군이기도 하다. 사실, 덧셈에 대한 정수($\backslash mathbb\{Z\}$)는 유일한 무한 순환군이다. 즉, 모든 무한 순환군은 정수($\backslash mathbb\{Z\}$)와 동형이다.

위 표에서 곱셈에 대한 처음 네 가지 성질은 정수($\backslash mathbb\{Z\}$)가 곱셈에 대해 가환 모노이드임을 보여준다. 그러나 모든 정수가 곱셈에 대한 역원을 가지는 것은 아니다(2와 같은 경우). 즉, 정수($\backslash mathbb\{Z\}$)는 곱셈에 대해 군이 아니다.

위 표의 모든 규칙(마지막 규칙 제외)은 덧셈과 곱셈을 갖춘 정수($\backslash mathbb\{Z\}$)가 단위원을 갖는 가환환임을 의미한다. 이는 그러한 모든 대수 구조의 원형이다. 변수의 모든 값에 대해 정수($\backslash mathbb\{Z\}$)에서만 참인 표현식의 등식은 단위원을 갖는 모든 가환환에서 참이다. 특정 비영 정수는 특정 환에서 영으로 사상된다.

정수에 영인자가 없다는 사실(표의 마지막 성질)은 가환환 정수($\backslash mathbb\{Z\}$)가 정역임을 의미한다.

곱셈에 대한 역원이 없다는 사실은 정수($\backslash mathbb\{Z\}$)가 나눗셈에 대해 닫혀 있지 않다는 사실과 같으며, 정수($\backslash mathbb\{Z\}$)가 체가 아님을 의미한다. 정수를 부분환으로 포함하는 가장 작은 체는 유리수의 체이다. 정수로부터 유리수를 구성하는 과정은 임의의 정역의 분수체를 형성하기 위해 모방될 수 있다. 대수적 수체(유리수의 확장)에서 시작하여, 그 정수환을 추출할 수 있으며, 그 안에는 정수($\backslash mathbb\{Z\}$)가 부분환으로 포함된다.

일반적인 나눗셈은 정수($\backslash mathbb\{Z\}$)에서 정의되지 않지만, "나머지가 있는" 나눗셈은 정의되어 있다. 이것은 유클리드 나눗셈이라고 하며, 다음과 같은 중요한 성질을 갖는다. 0이 아닌 두 정수 a^영어와 b^영어가 주어지면, a = q × b + r^영어이고 0 ≤ r < ^영어를 만족하는 고유한 정수 q^영어와 r^영어가 존재한다. 정수 q^영어는 b^영어로 a^영어를 나눈 몫이라고 하고, r^영어는 나머지라고 한다. 최대공약수를 계산하는 유클리드 호제법은 유클리드 나눗셈의 연속으로 작동한다.

위에서 언급한 내용은 정수($\backslash mathbb\{Z\}$)가 유클리드 정역임을 보여준다. 이는 정수($\backslash mathbb\{Z\}$)가 주이상 정역이며, 모든 양의 정수는 소수들의 곱으로 본질적으로 유일하게 쓸 수 있음을 의미한다. 이것이 산술의 기본 정리이다.

4. 순서 구조

ℤ는 상한과 하한이 없는 전순서 집합이다. ℤ의 순서는 다음과 같이 주어진다.

:... −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 < ...

정수는 0보다 크면 양수, 0보다 작으면 음수이다. 0은 양수도 음수도 아니다.

정수의 순서는 다음과 같은 방식으로 대수적 연산과 호환된다.

# a < b 이고 c < d 이면 a + c < b + d 이다.
# a < b 이고 0 < c 이면 ac < bc 이다.

따라서 위 순서와 함께 ℤ는 순서환이 된다.

정수는 양의 원소가 우수순서인 유일한 비자명 전순서 아벨 군이다. 이것은 임의의 네터 환 값환이 체이거나 이산 값환임과 동치이다.

5. 엄밀한 구성

정수는 (0을 포함하는) 자연수 체계 $\backslash mathbb\; N$으로부터 정의할 수 있다. 집합 $\backslash mathbb\; N\backslash times\backslash mathbb\; N$ 위에 동치 관계를 다음과 같이 정의한다.
:$(m,n)\backslash sim(m+k,n+k)\backslash forall\; k\backslash in\backslash mathbb\; N$
이 동치 관계에 대한 몫집합을 정수 집합 $\backslash mathbb\; Z=(\backslash mathbb\; N\backslash times\backslash mathbb\; N)/\backslash sim$라고 정의한다.

덧셈과 곱셈은 다음과 같이 정의한다.
:$[(m,n)]\_\backslash sim+[(p,q)]\_\backslash sim=[(m+p,n+q)]\_\backslash sim$
:$[(m,n)]\_\backslash sim\backslash cdot[(p,q)]\_\backslash sim=[(mp+nq,mq+np)]\_\backslash sim$
이러한 구성 방법은 모노이드에서 군으로 체계를 확장할 때 생기는 그로텐디크 군의 한 형태이다.

현대 집합론적 수학에서는 정수를 자연수의 순서쌍의 동치류로 구성한다. $(a,\; b)$는 $a$에서 $b$를 뺀 결과를 나타낸다. $(1,\; 2)$와 $(4,\; 5)$가 같은 수를 나타낸다는 것을 보이기 위해 동치 관계 $\backslash sim$를 다음과 같이 정의한다.
:$(a,b)\backslash sim(c,d)$는 $a+d=b+c$인 경우이다.

정수의 덧셈과 곱셈은 자연수에 대한 연산으로 정의할 수 있다. $[(a,b)]$를 사용하면 다음과 같다.
:$[(a,b)]+[(c,d)]:=[(a+c,b+d)]$
:$[(a,b)]\backslash cdot[(c,d)]:=[(ac+bd,ad+bc)]$

정수의 부호(가법적 역원)는 순서를 바꿈으로써 얻을 수 있다.
:$-[(a,b)]:=[(b,a)]$

뺄셈은 가법적 역원의 덧셈으로 정의할 수 있다.
:$[(a,b)]-[(c,d)]:=[(a+d,b+c)]$

정수의 표준 순서는 다음과 같다.
: 만약 그리고 오직 만약

이러한 정의가 동치류의 대표자 선택과 무관함을 확인할 수 있다.

모든 동치류는 $(n,0)$ 또는 $(0,n)$ 형태의 고유한 원소를 갖는다. 자연수 $n$는 클래스 $[(n,0)]$와 동일시되며, 클래스 $[(0,n)]$는 $-n$로 표시된다.

따라서 $[(a,b)]$는 다음과 같이 표시된다.
:

몇 가지 예는 다음과 같다.
:

자연수 전체 N은 뺄셈에 대해 닫혀 있지 않지만, 음의 정수를 도입하여 정수 전체 Z를 구성하였다. 잘 알려진 방법으로, 자연수의 덧셈과 곱셈만으로 동치 관계나 상집합과 같은 도구를 사용하여 정수를 구성할 수 있다. 이하의 구성에서는 자연수에 0을 포함하지 않는다.

직곱집합 N² = N × N = {(a, b) | a, b는 자연수}를 생각한다. N²에 동치 관계 ~를 다음과 같이 정의한다.
: (a, b) ~ (c, d) ⇔ a + d = b + c
N²를 동치 관계 ~로 분류한 집합(상집합) N²/~를 생각한다. (a, b) ∈ N²의 동치류를 [a, b] ∈ N²/R로 나타낸다. [a, b]는 다음과 같다.
: [a, b] = {(c, d) ∈ N² | (a, b) ~ (c, d)}
(a, b)를 이 동치류의 대표원이라고 부른다. 대표원은 동치인 것이라면 다른 것으로 바꿀 수 있다. 상집합 N²/~에 덧셈 +와 곱셈 ×를 다음과 같이 정의한다.
: [a, b] + [c, d] = [a + c, b + d]
: [a, b] × [c, d] = [ac + bd, ad + bc]
이들은 대표원을 어떻게 취하든지 동치류끼리의 연산으로 정의된다.

[a, b] + [m, m] = [a + m, b + m] = [a, b]이므로, R = {(m, m) | m ∈ N}은 N²/~의 덧셈에 관한 단위원이다.

자연수 m에 대해 [m + 1, 1]을 대응시키는 사상은 단사이며, 다음과 같다.
: [m + 1, 1] + [n + 1, 1] = [m + n + 2, 2] = [(m + n) + 1, 1]
: [m + 1, 1] × [n + 1, 1] = [(m + 1)(n + 1) + 1, (m + 1) + (n + 1)] = [mn + m + n + 1, m + n + 2] = [mn + 1, 1]
따라서 N은 N²/~에 연산까지 포함하여 포함될 수 있다.


기호의 남용이지만, 자연수 m을 포함시킨 곳과 동일시하여 m = [m + 1, 1]로 쓰고, (양의) 정수 m이라고 부른다.


같은 포함은, 자연수 m에 대해 [1, m + 1]을 대응시키는 것으로도 얻을 수 있지만, 합과 곱은 다음과 같다.
: [1, m + 1] + [1, n + 1] = [2, m + n + 2] = [1, m + n + 1]
: [1, m + 1] × [1, n + 1] = [1 + (m + 1)(n + 1), (m + 1) + (n + 1)] = [mn + m + n + 1, m + n + 2] = [mn + 1, 1]
자연수 m에 대해, −m을 [1, m + 1]을 나타내는 것으로 도입하여, 음의 정수 −m이라고 부른다.


음의 정수끼리의 곱이 양의 정수가 되는 것을 확인할 수 있다.

m + (−m) = [m + 1, 1] + [1, m + 1] = [m + 2, m + 2] = R이므로, 음의 정수 −m = [1, m + 1]은 N²/~에서 양의 정수 m = [m + 1, 1]의 덧셈에 관한 역원이다.


R을 0으로 쓰고, N²/~ = {m, 0, −m | m ∈ N}을 정수 전체의 집합이라고 부르고, Z로 쓴다.

6. 관련 개념

유리수와 정수의 관계는 대수적 수와 대수적 정수의 관계로 일반화될 수 있다.

* 이차 정수
가우스 정수
아이젠슈타인 정수

7. 컴퓨터에서의 정수 표현

정수는 컴퓨터 언어에서 기본적인 자료형으로 자주 사용된다. 하지만 실제 컴퓨터는 유한한 용량을 가지고 있기 때문에 정수 자료형은 모든 정수의 부분집합만 나타낼 수 있다. 또한 일반적인 2의 보수 표현 방식에서는 고유한 부호 정의에 따라 "음수"와 "음수가 아닌 수"를 구분하며, "음수, 양수, 0"으로 구분하지 않는다. (하지만 컴퓨터는 정수 값이 실제로 양수인지 여부를 판별하는 것이 가능하다.) 고정 길이 정수 근사 자료형(또는 부분집합)은 여러 프로그래밍 언어(예: 알골 68, C, 자바, 델파이 등)에서 int 또는 Integer로 표시된다.

큰 정수와 같이 가변 길이로 정수를 나타내는 방법은 컴퓨터 메모리에 들어갈 수 있는 모든 정수를 저장할 수 있다. 다른 정수 자료형은 고정된 크기로 구현되며, 일반적으로 2의 거듭제곱(4, 8, 16 등)인 비트 수 또는 기억하기 쉬운 10진수 자릿수(예: 9 또는 10)를 사용한다.

컴퓨터 내부에서는 전기적 신호의 유무를 1과 0에 할당하여 2진법을 사용하여 정수를 표현하는 것이 기본이다. 일반적으로 2 바이트(16 비트) 또는 4 바이트(32비트)의 범위에서 표현할 수 있는 범위의 수를 다룬다. 음수를 다루는 경우에는 2의 보수 표현 등이 사용된다. 일반적으로는 유한한 범위의 정수만 다룰 수 있지만, 처리 속도를 희생하여 무한한 정수를 다루는 방법도 있다.

사무 처리 등 금액과 같이 큰 자릿수나 10진 소수를 정확하게 다뤄야 하는 경우에는 이진화십진 표현을 사용한다.