라그랑주 네 제곱수 정리

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1. 개요
2. 정의
3. 증명
- 3.1. 오일러의 네 제곱수 항등식을 이용한 증명
- 3.2. 허비츠 사원수를 이용한 증명
4. 역사
5. 일반화 및 확장
6. 알고리즘
7. 표현의 수
8. 유일성
참조

1. 개요

라그랑주 네 제곱수 정리는 모든 양의 정수는 네 개의 정수 제곱수의 합으로 나타낼 수 있다는 정리이다. 이 정리는 1770년 조제프루이 라그랑주에 의해 증명되었으며, 디오판토스의 《산술》에서 처음으로 언급되었다. 오일러의 네 제곱수 항등식을 이용하여 증명하거나, 허비츠 사원수를 이용하여 소수의 경우로 한정하여 증명할 수 있다. 이 정리는 페르마의 다각수 정리와 와링의 문제의 특수한 경우이며, 정수를 네 제곱수의 합으로 나타내는 방법의 수는 야코비의 네 제곱수 정리에 의해 주어진다.

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라그랑주 네 제곱수 정리
개요
이름	라그랑주 네 제곱수 정리
다른 이름	바셰 정리 라그랑주 정리
영어 이름	Lagrange's four-square theorem
분야	정수론
설명	모든 자연수는 네 개의 정수 제곱의 합으로 표현될 수 있다.
역사
제안자	조제프루이 라그랑주
증명	조제프루이 라그랑주
최초 언급	디오판토스
추가 설명	클로드 가스파르 바셰 드 메지리아크가 1621년에 추측 페르마의 마지막 정리와 관련된 연구
내용
정리 내용	모든 자연수 n은 4개 이하의 제곱수의 합으로 나타낼 수 있다.
수식	임의의 자연수 n에 대하여, n = a^2 + b^2 + c^2 + d^2인 정수 a, b, c, d가 존재한다.
예시	3 = 1^2 + 1^2 + 1^2 + 0^2
추가 설명	음이 아닌 정수해를 허용
증명
증명 방법	오일러의 네 제곱수 항등식 사용 모든 소수가 네 제곱수의 합으로 표현 가능함을 보임 두 수의 곱이 네 제곱수의 합으로 표현 가능함을 보임
오일러의 네 제곱수 항등식	(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + a_4^2)(b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 + b_4^2) = (a_1b_1 - a_2b_2 - a_3b_3 - a_4b_4)^2 + (a_1b_2 + a_2b_1 + a_3b_4 - a_4b_3)^2 + (a_1b_3 - a_2b_4 + a_3b_1 + a_4b_2)^2 + (a_1b_4 + a_2b_3 - a_3b_2 + a_4b_1)^2
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일반화
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참고 문헌
참고 문헌	(영어) David M. Burton, Elementary Number Theory, (2007) McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-305019-1. (프랑스어) Serre, Jean-Pierre, A Course in Arithmetic, Springer-Verlag, 1973 (독일어) Hardy, G. H.; Wright, E. M. (2008) [1938]. An Introduction to the Theory of Numbers. Revised by D.R. Heath-Brown and J.H. Silverman. Foreword by Andrew Wiles. (6th ed.). Oxford: Clarendon Press. ISBN 978-0-19-921986-5. MR 2445243.

2. 정의

주어진 양의 정수 $n$ 에 대해, 다음을 만족하는 음이 아닌 정수 $x, y, z, w$ 가 항상 존재한다.

: $n=x^2+y^2+z^2+w^2$

이때, 네 개라는 조건은 더 적은 수로 대체할 수 없다. 즉, $n,k\in\mathbb Z^+\cup\{0\}$ 에 대하여, $4^n(8k+7)$ 형태의 수는 세 개의 제곱수 합으로 표현할 수 없다. 음이 아닌 정수라는 조건은 양의 정수로 대체할 수 없다. 예를 들어 $n\in\mathbb Z^+\cup\{0\}$ 에 대하여, $2^{2n+1}$ 는 네 개의 양의 제곱수 합으로 나타낼 수 없다.^[17]

3. 증명

라그랑주 네 제곱수 정리는 오일러의 네 제곱수 항등식과 허비츠 사원수를 이용해 증명할 수 있다.

오일러의 네 제곱수 항등식을 이용한 증명: 오일러의 네 제곱수 항등식을 활용하여 소수의 경우를 증명하고, 이를 통해 모든 자연수에 대한 정리를 증명한다. 이 증명은 무한강하법^[6]을 사용하며, 어떤 수가 네 제곱수의 합으로 표현될 때, 더 작은 수의 네 제곱수 합으로 표현될 수 있음을 보이는 방식으로 진행된다.

허비츠 사원수를 이용한 증명: 허비츠 사원수는 정수 또는 반정수 성분을 갖는 사원수로, 이들의 환 구조와 노름을 이용하여 증명한다. 이 방법은 소수가 허비츠 사원수 내에서 기약원소가 아님을 보임으로써, 네 제곱수의 합으로 표현될 수 있음을 증명한다.^[7]

3. 1. 오일러의 네 제곱수 항등식을 이용한 증명

오일러의 네 제곱수 항등식은 다음과 같다.

:

\begin{align}(x^2+{}&y^2+z^2+w^2)({x'}^2+{y'}^2+{z'}^2+{w'}^2)\\={}&(xx'+yy'+zz'+ww')^2+(xy'-yx'-zw'+wz')^2\\&+(xz'+yw'-zx'-wy')^2+(xw'-yz'+zy'-wx')^2\qquad\forall x,y,z,w,x',y',z',w'\in\mathbb Z^+\cup\{0\}\end{align}

이 항등식에 의해, 각각 최대 네 개의 제곱수의 합으로 나타낼 수 있는 두 수의 곱은 최대 네 개의 제곱수의 합으로 나타낼 수 있다. 따라서 모든 소수에 대해 최대 네 개의 제곱수의 합으로 나타낼 수 있다는 것을 증명하면, 모든 합성수도 최대 네 개의 제곱수의 합으로 나타낼 수 있다는 결론이 나온다.

p=2

인 경우는

2=1^2+1^2

이므로 자명하므로, 홀수 소수

p

에 대한 증명을 수행한다.

다음과 같은

m

을 정의하고,

m=1

임을 보이면 충분하다.

:

m=\min\{k\in\mathbb Z^+\colon\exists x,y,z,w\in\mathbb Z^+\cup\{0\}\colon kp=x^2+y^2+z^2+w^2\}\in\mathbb Z^+

비둘기집 원리에 의해, 0부터 (p-1)/2 까지(포함)의 모든 ''a''에 대해 ''a''²의 ''p''를 법으로 하는 나머지는 서로 다르다. 마찬가지로, ''b''가 0부터 (p-1)/2 까지(포함)의 정수값을 취할 때, -''b''² - 1은 서로 다르다. 따라서 이 범위 내에 ''a''²과 -''b''² - 1이 ''p''를 법으로 합동인 ''a''와 ''b''가 존재한다. 즉, 다음이 성립한다.

:

a^2 + b^2 + 1^2 + 0^2 = np.

이제 ''mp''가 네 제곱수의 합,

x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2

인 가장 작은 양의 정수 ''m''이라고 하자 (''n''이라는 ''m''이 존재하므로, 최소한 하나의 ''m''이 존재하며, 그 값은 ''p''보다 작다). 무한강하법^[6]을 사용하여 ''m''이 1과 같음을 증명한다. 그렇지 않다고 가정하면, ''rp''가 네 제곱수의 합이 되는 ''m''보다 작은 양의 정수 ''r''의 존재를 증명할 수 있다.

각

x_i

에 대해,

(-m+1)/2

과 ''m''/2(포함될 수 있음) 사이에 같은 잉여류에 속하는

y_i

를 생각한다. 따라서

y_1^2 + y_2^2 + y_3^2 + y_4^2 = mr

이 되며, 여기서 ''r''은 ''m''보다 엄격하게 작은 양의 정수이다.

오일러의 사제곱합 항등식을 다시 이용하면

mpmr = z_1^2 + z_2^2 + z_3^2 + z_4^2

임을 알 수 있다. 그러나 각

x_i

가 해당

y_i

와 합동이라는 사실은 모든

z_i

가 ''m''으로 나누어진다는 것을 의미한다.

따라서

w_i = z_i/m

에 대해

w_1^2 + w_2^2 + w_3^2 + w_4^2 = rp

이 되며, 이는 ''m''의 최소성에 모순된다.

y_1 = y_2 = y_3 = y_4 = m/2

(이 경우

r = m

이 되어 강하가 이루어지지 않음)와

y_1 = y_2 = y_3 = y_4 = 0

(이 경우

r = 0

이 되어 엄격하게 양수가 아님)의 경우를 모두 배제해야 한다. 두 경우 모두

mp = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 + x_4^2

는

m^2

의 배수가 되며, 이는 ''p''가 ''m''보다 큰 소수라는 사실에 모순된다.

3. 2. 허비츠 사원수를 이용한 증명

허비츠 사원수는 정수 성분을 갖는 사원수와 반정수 성분을 갖는 사원수로 구성된 환이다.^[7] 이들은 다음과 같은 단일 공식으로 표현할 수 있다.

:

\alpha = \frac{1}{2} E_0 (1 + \mathbf{i} + \mathbf{j} + \mathbf{k}) +E_1\mathbf{i} +E_2\mathbf{j} + E_3\mathbf{k} = a_0 +a_1\mathbf{i} +a_2\mathbf{j} +a_3\mathbf{k}

여기서

E_0, E_1, E_2, E_3

는 정수이다. 사원수 성분

a_0, a_1, a_2, a_3

는

E_0

가 짝수인지 홀수인지에 따라 모두 정수이거나 모두 반정수이다. 허비츠 사원수의 집합은 환을 형성하며, 임의의 두 허비츠 사원수의 합 또는 곱 또한 허비츠 사원수이다.

유리 사원수

\alpha

의 노름

\mathrm N(\alpha)

는 다음과 같은 비음의 유리수이다.

:

\mathrm{N}(\alpha) = \alpha\bar\alpha = a_0^2 + a_1^2 + a_2^2 + a_3^2

여기서

\bar\alpha=a_0 -a_1\mathbf{i} -a_2\mathbf{j} -a_3\mathbf{k}

는

\alpha

의 켤레이다. 허비츠 사원수의 노름은 항상 정수이다.

사원수 곱셈은 결합적이고 실수는 다른 사원수와 교환하므로, 사원수의 곱의 노름은 노름의 곱과 같다.

:

\mathrm{N}(\alpha\beta)=\alpha\beta(\overline{\alpha\beta})=\alpha\beta\bar{\beta}\bar\alpha=\alpha \mathrm{N}(\beta)\bar\alpha=\alpha\bar\alpha \mathrm{N}(\beta)= \mathrm{N}(\alpha) \mathrm{N}(\beta).

임의의

\alpha\ne0

에 대해

\alpha^{-1}=\bar\alpha\mathrm N(\alpha)^{-1}

이다.

\alpha

가 허비츠 사원수 환의 단위원일 필요충분조건은

\mathrm N(\alpha)=1

이다.

오일러의 네 제곱수 항등식에 의해 라그랑주의 네 제곱수 정리가 두 수에 대해 성립하면 두 수의 곱에 대해서도 성립한다. 임의의 자연수는 소수의 거듭제곱으로 인수분해될 수 있으므로, 소수에 대해 정리를 증명하는 것으로 충분하다.

2 = 1^2 + 1^2 + 0^2 + 0^2

는 네 제곱수의 합으로 표현 가능하다. 홀수 소수 p에 대해 증명하기 위해,

(p,0,0,0)

로 나타내고, 이것이 허비츠 기약원소가 아니라고 가정한다. 즉, 두 개의 단위가 아닌 허비츠 사원수로 인수분해될 수 있다.

:

p = \alpha\beta.

p,\alpha,\beta

의 노름은 다음과 같은 정수이다.

:

\mathrm N(p)=p^2=\mathrm N(\alpha\beta)=\mathrm N(\alpha)\mathrm N(\beta)

\mathrm N(\alpha),\mathrm N(\beta) > 1

이므로,

\mathrm N(\alpha)

와

\mathrm N(\beta)

는 모두 p와 같다. 따라서 p는 네 제곱수의 합이다.

:

p=\mathrm N(\alpha)=a_0^2+a_1^2+a_2^2+a_3^2.

선택된

\alpha

가 반정수 계수를 가지는 경우, 다른 허비츠 사원수로 대체될 수 있다.

\gamma \equiv \omega + \alpha

가 짝수 정수 계수를 갖도록

\omega = (\pm 1\pm\mathbf{i}\pm\mathbf{j} \pm\mathbf{k})/2

를 선택한다. 그러면

:

p=(\bar\gamma-\bar\omega)\omega\bar\omega(\gamma-\omega)=(\bar\gamma\omega-1)(\bar\omega\gamma-1).

\gamma

가 짝수 정수 계수를 가지므로,

(\bar\omega\gamma-1)

은 정수 계수를 가지며 원래의

\alpha

대신 사용하여 네 제곱수의 합으로 p의 표현을 제공할 수 있다.

p가 허비츠 기약원소가 아님을 보이기 위해, 라그랑주는 임의의 홀수 소수 p가

u=1+l^2+m^2

형태의 적어도 하나의 수를 나눈다는 것을 증명했다.^[7] p가 소수이므로, 정수

a,b

에 대해

a^2\equiv b^2\pmod p

가 성립하는 것은

a\equiv\pm b\pmod p

일 때에만 가능하다. 따라서 제곱의 집합

X=\{0^2,1^2,\dots,((p-1)/2)^2\}

은 p를 법으로 하는

(p+1)/2

개의 서로 다른 잉여류를 포함한다. 마찬가지로,

Y=\{-(1+x):x\in X\}

는

(p+1)/2

개의 잉여류를 포함한다. 총 잉여류는 p개이고

|X|+|Y| = p+1>p

이므로, 집합 X와 Y는 교차해야 한다.

수 u는 허비츠 사원수로 인수분해될 수 있다.

:

1+l^2+m^2=(1+l\;\mathbf{i}+m\;\mathbf{j})(1-l\;\mathbf{i}-m\;\mathbf{j}).

허비츠 사원수의 노름은 유클리드 성질을 만족한다. 유리 계수를 갖는 임의의 사원수

\alpha=a_0+a_1\mathbf{i}+a_2\mathbf{j}+a_3\mathbf{k}

에 대해

\mathrm{N}(\alpha-\beta)<1

이 되도록 허비츠 사원수

\beta=b_0+b_1\mathbf{i}+b_2\mathbf{j}+b_3\mathbf{k}

를 선택할 수 있다. 먼저

|a_0-b_0| \leq 1/4

가 되도록

b_0

를 선택하고,

i = 1,2,3

에 대해

|a_i-b_i| \leq 1/2

가 되도록

b_1, b_2, b_3

를 선택한다. 그러면 다음을 얻는다.

:

\begin{align}\mathrm{N}(\alpha-\beta) & =(a_0-b_0)^2+(a_1-b_1)^2+(a_2-b_2)^2+(a_3-b_3)^2 \\& \leq \left(\frac{1}{4} \right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2+\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{13}{16} < 1.\end{align}

\alpha \neq 0

인 임의의 허비츠 사원수

\alpha,\beta

에 대해

:

\mathrm N(\beta-\alpha\gamma)<\mathrm N(\alpha).

인 허비츠 사원수

\gamma

가 존재한다.

허비츠 사원수의 환 H는 교환적이지 않으므로, 유클리드 정역이 아니며, 유일 인수분해를 갖지 않는다. 그럼에도 불구하고, 위의 성질은 모든 오른쪽 이상이 주이상임을 의미한다. 따라서

:

\alpha H = p H + (1-l\;\mathbf{i}-m\;\mathbf{j}) H.

인 허비츠 사원수

\alpha

가 존재한다.

특히, 어떤 허비츠 사원수

\beta

에 대해

p=\alpha\beta

이다. 만약

\beta

가 단위원이라면,

1-l\;\mathbf{i}-m\;\mathbf{j}

는 p의 배수가 될 것이지만,

p>2

에 대해

1/p-l/p\;\mathbf{i}-m/p\;\mathbf{j}

가 허비츠 사원수가 아니므로 이것은 불가능하다. 마찬가지로, 만약

\alpha

가 단위원이라면,

:

(1+l\;\mathbf{i}+m\;\mathbf{j})H = (1+l\;\mathbf{i}+m\;\mathbf{j})p H+(1+l\;\mathbf{i}+m\;\mathbf{j})(1-l\;\mathbf{i}-m\;\mathbf{j})H \subseteq p H

이므로 p는

1+l\;\mathbf{i}+m\;\mathbf{j}

를 나누는데, 이것은

1/p-l/p\;\mathbf{i}-m/p\;\mathbf{j}

가 허비츠 사원수가 아니라는 사실과 모순된다. 따라서, p는 허비츠 기약원소가 아니다.

4. 역사

디오판토스의 《산술(Αριθμητικα)》에서 처음으로 그 내용이 나타났고, 1621년 프랑스의 클로드 가스파르 바셰가 이 책을 라틴어로 번역하여 유럽 수학계에 알려졌지만, 이에 대한 제대로 된 증명은 없었다. '''바셰의 추측'''으로 불리다가 조제프루이 라그랑주가 1770년에 완전히 증명하였다.^[1]

아드리앵 마리 르장드르는 1797년~1798년에 그의 삼제곱수 정리를 통해 이 정리를 확장하여, 양의 정수가 세 제곱수의 합으로 표현될 수 있는 것은 $4^k(8m+7)$ (k와 m은 정수)의 꼴이 아닌 경우에만 가능함을 증명하였다. 1834년 카를 구스타프 야코프 야코비는 그의 사제곱수 정리를 통해 정수를 네 제곱수의 합으로 나타내는 방법의 수에 대한 간단한 공식을 발견하였다.^[2]

5. 일반화 및 확장

라마누잔은 일반화된 형태의 방정식 $n=ax_1^2+bx_2^2+cx_3^2+dx_4^2$ 에서, 모든 양의 정수 $n$ 에 대해 해를 갖는 $(a, b, c, d)$ 의 조합이 54가지임을 증명했다. ( $a=1,b=2,c=5,d=5$ 인 경우는 $n=15$ 일 때 해가 없어 제외)^[8]^[9] 라그랑주 네 제곱수 정리는 페르마의 다각수 정리와 와링의 문제의 특수한 경우이다.

모든 자연수는 최대 네 개의 양의 제곱수의 합으로 나타낼 수 있다. 하지만 2²ⁿ⁺¹과 같은 수는 네 개의 양의 제곱수의 합으로 표현할 수 없다.^[17] 1, 3, 5, 9, 11, 17, 29, 41 역시 네 개의 양의 제곱수의 합으로 나타낼 수 없다.^[17] 그러나 34 이상의 모든 자연수는 다섯 개의 양의 제곱수의 합으로 나타낼 수 있다.

6. 알고리즘

마이클 O. 라빈(Michael O. Rabin)과 제프리 샬릿(Jeffrey Shallit)^[10]은 1986년에 주어진 정수 n에 대해 $n=x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2$ 꼴의 표현을 하나 계산하는 확률적 다항 시간 알고리즘을 제안했다. 이 알고리즘의 예상 실행 시간은 $\mathrm{O}(\log(n)^2)$ 였다. 2018년에는 폴 폴락(Paul Pollack)과 엔리케 트레비뇨(Enrique Treviño)가 이 알고리즘을 개선하여 실행 시간을 $\mathrm{O}(\log(n)^2 \log(\log(n))^{-1})$ 로 단축시켰다.^[11]

7. 표현의 수

자연수 ''n''을 네 제곱수의 합으로 나타내는 방법의 수를 ''r''₄(''n'')로 나타낸다. 야코비의 네 제곱수 정리에 따르면, ''n''이 홀수이면 이 값은 ''n''의 약수의 합의 8배이고, ''n''이 짝수이면 ''n''의 홀수 약수의 합의 24배이다(약수 함수 참조).^[12] 즉, 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $r_4(n)=\begin{cases}8\sum\limits_{m\mid n}m&\text{if }n\text{ is odd}\\[12pt]24\sum\limits_{\begin{smallmatrix} m|n \\ m\text{ odd} \end{smallmatrix}}m&\text{if }n\text{ is even}.\end{cases}$

이는 4로 나누어지지 않는 모든 약수의 합의 8배와 같다.

: $r_4(n)=8\sum_{m\,:\, 4\nmid m\mid n}m.$

다른 표현으로는 다음과 같다.

: $r_4(n) = 8 \sigma(n) -32 \sigma(n/4) \ ,$

여기서 두 번째 항은 ''n''이 4로 나누어지지 않을 경우 0으로 간주한다.

특히, 소수 ''p''에 대해 다음과 같은 명시적 공식이 있다.^[12]

: $r_4(p) = 8(p+1)$

몇몇 ''r''₄(''n'') 값은 무한히 자주 나타나는데, ''n''이 짝수일 때 $r_4(n) = r_4(2^m n)$ 이다. ''r''₄(''n'')/''n''의 값은 임의로 클 수 있다. 실제로, ''r''₄(''n'')/''n''은 무한히 자주 8 $\sqrt{\log n}$ 보다 크다.^[12]

예를 들어, ''r''₄(12)를 구해보면,

: $r_4(12)=8\left(1+2+3+6\right)=96$

이다. 실제로 12를 최대 네 개의 제곱수의 합으로 나타내는 방법은 다음과 같으며, 부호와 순서를 구별하면 96개가 된다.

: $\begin{align}12&=(\pm2)^2+(\pm2)^2+(\pm2)^2+0^2\\&=(\pm2)^2+(\pm2)^2+0^2+(\pm2)^2\\&=(\pm2)^2+0^2+(\pm2)^2+(\pm2)^2\\&=0^2+(\pm2)^2+(\pm2)^2+(\pm2)^2\\&=(\pm3)^2+(\pm1)^2+(\pm1)^2+(\pm1)^2\\&=(\pm1)^2+(\pm3)^2+(\pm1)^2+(\pm1)^2\\&=(\pm1)^2+(\pm1)^2+(\pm3)^2+(\pm1)^2\\&=(\pm1)^2+(\pm1)^2+(\pm1)^2+(\pm3)^2\\\end{align}$

8. 유일성

음이 아닌 정수의 제곱 네 개의 합으로 나타낼 수 있는 방법이 오직 하나뿐인(순서를 고려하지 않고) 양의 정수들의 수열은 다음과 같다.

: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 11, 14, 15, 23, 24, 32, 56, 96, 128, 224, 384, 512, 896 ...

이러한 정수들은 홀수 1, 3, 5, 7, 11, 15, 23과 2(4^k), 6(4^k) 또는 14(4^k) 꼴의 모든 수로 구성된다.

0이 아닌 정수의 제곱 네 개의 합으로 나타낼 수 없는 양의 정수들의 수열은 다음과 같다.

: 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 14, 17, 24, 29, 32, 41, 56, 96, 128, 224, 384, 512, 896 ...

이러한 정수들은 홀수 1, 3, 5, 9, 11, 17, 29, 41과 2(4^k), 6(4^k) 또는 14(4^k) 꼴의 모든 수로 구성된다.

참조

_[1] 논문
_[2] 논문
_[3] 논문
_[4] 논문
_[5] 논문
_[6] 문서
_[7] 논문
_[8] 논문
_[9] 논문
_[10] 논문
_[11] 논문
_[12] 논문
_[13] 논문
_[14] 논문
_[15] 서적 Number Theory Dover Publications
_[16] 웹사이트 Wolfram Mathworld: Lagrange's Four-Square Theorem http://mathworld.wol[...]
_[17] 웹사이트 On-Line Encyclopedia of Integer Sequences: A123069 http://www.research.[...]
_[18] 서적 정수론

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