오일러의 네 제곱수 항등식

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1. 개요
2. 오일러의 네 제곱수 항등식
- 2.1. 대수적 표현
- 2.2. 사원수를 이용한 증명
3. 사원수와의 관계
4. 후르비츠 정리
5. 피스터의 항등식
참조

1. 개요

오일러의 네 제곱수 항등식은 두 쌍의 네 제곱수의 합의 곱을, 네 제곱수의 합으로 나타내는 항등식이다. 레온하르트 오일러가 1748년에 크리스티안 골드바흐에게 보낸 편지에서 처음 언급했으며, 기본 대수학으로 증명할 수 있다. 이 항등식은 조제프루이 라그랑주가 라그랑주의 네 제곱수 정리를 증명하는 데 사용했다. 이 항등식은 실수 집합에서 두 사원수의 곱의 절댓값이 그들의 절댓값의 곱과 같다는 사실을 나타내며, 후르비츠 정리는 이와 유사한 형태의 항등식이 1, 2, 4, 8차원에서만 가능함을 보여준다. 또한, 피스터는 모든 짝수 거듭제곱에 대한 또 다른 제곱 항등식을 발견했다.

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오일러의 네 제곱수 항등식
항등식 정보
이름	오일러 네 제곱수 항등식
다른 이름	오일러의 사원수 항등식 Bachet의 항등식
유형	대수적 항등식
분야	수론
관련 개념	디오판토스 항등식 사원수 합의 제곱 정리
형태
공식	(a₁² + a₂² + a₃² + a₄²)(b₁² + b₂² + b₃² + b₄²) = (a₁b₁ - a₂b₂ - a₃b₃ - a₄b₄)² + (a₁b₂ + a₂b₁ + a₃b₄ - a₄b₃)² + (a₁b₃ - a₂b₄ + a₃b₁ + a₄b₂)² + (a₁b₄ + a₂b₃ - a₃b₂ + a₄b₁)²
설명	두 수 각각이 네 제곱수의 합으로 표현될 수 있다면, 그 곱도 네 제곱수의 합으로 표현될 수 있음을 나타낸다.
일반화 및 확장
일반화	디오판토스 항등식은 두 제곱수의 합에 대한 유사한 공식을 제공한다.
확장	풀비츠의 정리 (노름 나눗셈 대수)는 실수를 포함하는 실수 위의 나눗셈 대수에 적용될 수 있다. 피스터의 정리

2. 오일러의 네 제곱수 항등식

임의의 가환환에서 다음 항등식이 성립한다.

: $\begin{align}& \left(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2\right) \left(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2\right) \\[3mu]&\qquad = \left(a_1 b_1 - a_2 b_2 - a_3 b_3 - a_4 b_4\right)^2+ \left(a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_3 b_4 - a_4 b_3\right)^2 \\[3mu]&\qquad\qquad+ \left(a_1 b_3 - a_2 b_4 + a_3 b_1 + a_4 b_2\right)^2+ \left(a_1 b_4 + a_2 b_3 - a_3 b_2 + a_4 b_1\right)^2.\end{align}$

오일러는 1748년 5월 4일 골드바흐에게 보낸 편지에서 이 항등식에 대해 언급했다.^[1]^[2]

만약 $a_k$ 와 $b_k$ 가 실수라면, 이 항등식은 두 사원수의 곱의 절댓값이 그들의 절댓값의 곱과 같다는 사실을 표현하며, 이는 브라마굽타-피보나치 두 제곱수 항등식이 복소수에 대해 하는 것과 같다. 이 속성은 합성 대수의 결정적인 특징이다.

후르비츠 정리에 따르면,

: $\left(a_1^2+a_2^2+a_3^2+\dots+a_n^2\right)\left(b_1^2+b_2^2+b_3^2+\dots+b_n^2\right) = c_1^2+c_2^2+c_3^2+ \dots + c_n^2$

에서 $c_i$ 가 $a_i$ 와 $b_i$ 의 쌍선형 함수일 때, ''n'' = 1, 2, 4 또는 8일 때만 위와 같은 항등식이 가능하다.

2. 1. 대수적 표현

가환환에서 다음과 같이 대수적으로 표현될 수 있다.

:(a₁² + a₂² + a₃² + a₄²)(b₁² + b₂² + b₃² + b₄²)

:=(a₁b₁ - a₂b₂ - a₃b₃ - a₄b₄)² + (a₁b₂ + a₂b₁ + a₃b₄ - a₄b₃)²

:+(a₁b₃ - a₂b₄ + a₃b₁ + a₄b₂)² + (a₁b₄ + a₂b₃ - a₃b₂ + a₄b₁)²

오일러는 1748년 5월 4일 골드바흐에게 보낸 편지에서 이 항등식에 대해 언급했다.^[1]^[2] (그러나 그는 위와 다른 부호 관례를 사용했다). 이 식은 기본 대수학을 사용하여 확인할 수 있다.

이 항등식은 라그랑주가 네 제곱수 정리를 증명하는 데 사용되었다. 더 구체적으로, 이 정리는 일반적인 정리를 따르는 후에, 소수에 대한 정리를 증명하는 것으로 충분하다는 것을 의미한다. 위에 사용된 부호 관례는 두 개의 사원수를 곱하여 얻은 부호에 해당한다. 다른 부호 관례는 임의의 a_k를 -a_k로, 그리고/또는 임의의 b_k를 -b_k로 변경하여 얻을 수 있다.

만약 a_k와 b_k가 실수라면, 이 항등식은 두 사원수의 곱의 절댓값이 그들의 절댓값의 곱과 같다는 사실을 표현하며, 이는 브라마굽타-피보나치 두 제곱수 항등식이 복소수에 대해 하는 것과 같다. 이 속성은 합성 대수의 결정적인 특징이다.

후르비츠 정리에 따르면, 다음 형식의 항등식은

:(a₁² + a₂² + a₃² + ... + a_n²)(b₁² + b₂² + b₃² + ... + b_n²) = c₁² + c₂² + c₃² + ... + c_n²

(여기서 c_i는 a_i와 b_i의 쌍선형 함수) ''n'' = 1, 2, 4 또는 8일 때만 가능하다.

2. 2. 사원수를 이용한 증명

사원수를 이용하여 항등식을 증명할 수 있다. 두 사원수의 곱의 노름(norm)이 각 사원수 노름의 곱과 같다는 성질을 이용한다.

\alpha = a_1 + a_2 i + a_3 j + a_4 k

와

\beta = b_1 + b_2 i + b_3 j + b_4 k

를 사원수 쌍이라고 하자. 이들의 켤레 사원수는

\alpha^* = a_1 - a_2 i - a_3 j - a_4 k

와

\beta^* = b_1 - b_2 i - b_3 j - b_4 k

이다. 그러면

:

A := \alpha \alpha^* = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 + a_4^2

이고

:

B := \beta \beta^* = b_1^2 + b_2^2 + b_3^2 + b_4^2

이다.

이 둘의 곱은

A B = \alpha \alpha^* \beta \beta^*

인데, 여기서

\beta \beta^*

는 실수이므로 사원수

\alpha^*

와 교환 가능하며, 따라서

:

A B = \alpha \beta \beta^* \alpha^*

가 된다. 사원수는 결합하므로 위에 괄호가 필요하지 않다. 곱의 켤레는 곱의 인자들의 켤레를 교환한 곱과 같으므로,

:

A B = \alpha \beta (\alpha \beta)^* = \gamma \gamma^*

이며, 여기서

\gamma

는

\alpha

와

\beta

의 해밀턴 곱이다.

:

\begin{align}\gamma &= \left( a_1 + \langle a_2, a_3, a_4 \rangle\right) \left(b_1 + \langle b_2, b_3, b_4 \rangle\right) \\[3mu]& = a_1 b_1 + a_1 \langle b_2, \ b_3, \ b_4\rangle + \langle a_2, \ a_3, \ a_4\rangle b_1 + \langle a_2, \ a_3, \ a_4\rangle \langle b_2, \ b_3, \ b_4\rangle \\[3mu]& = a_1 b_1 + \langle a_1 b_2, \ a_1 b_3, \ a_1 b_4\rangle + \langle a_2 b_1, \ a_3 b_1, \ a_4 b_1\rangle \\&\qquad - \langle a_2,\  a_3, \ a_4\rangle \cdot \langle b_2, \ b_3, \ b_4\rangle + \langle a_2, \ a_3, \ a_4\rangle \times \langle b_2, \ b_3, \  b_4\rangle \\[3mu]& = a_1 b_1 + \langle a_1 b_2 + a_2 b_1, \ a_1 b_3 + a_3 b_1, \ a_1 b_4 + a_4 b_1\rangle \\&\qquad - a_2 b_2 - a_3 b_3 - a_4 b_4 + \langle a_3 b_4 - a_4 b_3, \ a_4 b_2 - a_2 b_4, \ a_2 b_3 - a_3 b_2\rangle \\[3mu]& = (a_1 b_1 - a_2 b_2 - a_3 b_3 - a_4 b_4) \\&\qquad + \langle a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_3 b_4 - a_4 b_3, \ a_1 b_3 + a_3 b_1 + a_4 b_2 - a_2 b_4, \ a_1 b_4 + a_4 b_1 + a_2 b_3 - a_3 b_2\rangle \\[3mu]\gamma &= (a_1 b_1 - a_2 b_2 - a_3 b_3 - a_4 b_4) + (a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_3 b_4 - a_4 b_3) i \\&\qquad + (a_1 b_3 + a_3 b_1 + a_4 b_2 - a_2 b_4) j + (a_1 b_4 + a_4 b_1 + a_2 b_3 - a_3 b_2) k.\end{align}

그러면

:

\begin{align}\gamma^* &= (a_1 b_1 - a_2 b_2 - a_3 b_3 - a_4 b_4) - (a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_3 b_4 - a_4 b_3) i \\&\qquad - (a_1 b_3 + a_3 b_1 + a_4 b_2 - a_2 b_4) j - (a_1 b_4 + a_4 b_1 + a_2 b_3 - a_3 b_2) k .\end{align}

만약

\gamma = r + \vec u

이고

r

이 스칼라 부분이고

\vec u = \langle u_1, u_2, u_3\rangle

가 벡터 부분이라면,

\gamma^* = r - \vec u

이므로

:

\begin{align}\gamma \gamma^* &= (r + \vec u) (r - \vec u) = r^2 - r \vec u + r \vec u - \vec u \vec u = r^2 + \vec u \cdot \vec u - \vec u \times \vec u \\&= r^2 + \vec u \cdot \vec u = r^2 + u_1^2 + u_2^2 + u_3^2.\end{align}

따라서,

:

\begin{align}A B = \gamma \gamma^* &= (a_1 b_1 - a_2 b_2 - a_3 b_3 - a_4 b_4)^2 + (a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_3 b_4 - a_4 b_3)^2 \\&\qquad + (a_1 b_3 + a_3 b_1 + a_4 b_2 - a_2 b_4)^2 + (a_1 b_4 + a_4 b_1 + a_2 b_3 - a_3 b_2)^2.\end{align}

3. 사원수와의 관계

오일러의 네 제곱수 항등식은 두 사원수의 곱의 절댓값이 그들의 절댓값의 곱과 같다는 사실을 표현하며, 이는 브라마굽타-피보나치 두 제곱수 항등식이 복소수에 대해 하는 것과 같다.^[1]^[2] 이 속성은 합성 대수의 결정적인 특징이다.

만약 $a_k$ 와 $b_k$ 가 실수라면, 항등식은 다음과 같이 표현된다.

: $\begin{align}& \left(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2\right) \left(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2\right) \\[3mu]&\qquad = \left(a_1 b_1 - a_2 b_2 - a_3 b_3 - a_4 b_4\right)^2+ \left(a_1 b_2 + a_2 b_1 + a_3 b_4 - a_4 b_3\right)^2 \\[3mu]&\qquad\qquad+ \left(a_1 b_3 - a_2 b_4 + a_3 b_1 + a_4 b_2\right)^2+ \left(a_1 b_4 + a_2 b_3 - a_3 b_2 + a_4 b_1\right)^2.\end{align}$

이는 기본 대수학을 사용하여 확인할 수 있다. 위에 사용된 부호 관례는 두 개의 사원수를 곱하여 얻은 부호에 해당한다. 다른 부호 관례는 임의의 $a_k$ 를 $-a_k$ 로, 그리고/또는 임의의 $b_k$ 를 $-b_k$ 로 변경하여 얻을 수 있다.

후르비츠 정리에 따르면, 다음과 같은 형식의 항등식은

: $\left(a_1^2+a_2^2+a_3^2+\dots+a_n^2\right)\left(b_1^2+b_2^2+b_3^2+\dots+b_n^2\right) = c_1^2+c_2^2+c_3^2+ \dots + c_n^2$

여기서 $c_i$ 는 $a_i$ 와 $b_i$ 의 쌍선형 함수이며, ''n'' = 1, 2, 4 또는 8일 때만 가능하다.

4. 후르비츠 정리

후르비츠 정리는 다음 형식의 항등식이 ''n'' = 1, 2, 4 또는 8일 때만 가능하다는 것을 보여준다.

: $\left(a_1^2+a_2^2+a_3^2+\dots+a_n^2\right)\left(b_1^2+b_2^2+b_3^2+\dots+b_n^2\right) = c_1^2+c_2^2+c_3^2+ \dots + c_n^2$

여기서 $c_i$ 는 $a_i$ 와 $b_i$ 의 쌍선형 함수이다.

5. 피스터의 항등식

피스터는 모든 짝수 거듭제곱에 대한 또 다른 제곱 항등식을 발견했다.^[3]

만약 $c_i$ 가 변수 집합의 유리 함수라면, 각 $c_i$ 가 분모를 가지므로, 모든 $n = 2^m$ 에 대해 가능하다.

따라서 또 다른 네 제곱 항등식은 다음과 같다.

: $\begin{align}&\left(a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2\right)\left(b_1^2+b_2^2+b_3^2+b_4^2\right) \\[5mu]&\quad= \left(a_1 b_4 + a_2 b_3 + a_3 b_2 + a_4 b_1\right)^2 + \left(a_1 b_3 - a_2 b_4 + a_3 b_1 - a_4 b_2\right)^2 \\&\quad\qquad+ \left(a_1 b_2 + a_2 b_1 + \frac{a_3 u_1}{b_1^2+b_2^2} - \frac{a_4 u_2}{b_1^2+b_2^2}\right)^2+ \left(a_1 b_1 - a_2 b_2 - \frac{a_4 u_1}{b_1^2+b_2^2} - \frac{a_3 u_2}{b_1^2+b_2^2}\right)^2\end{align}$

여기서 $u_1$ 과 $u_2$ 는 다음과 같다.

: $\begin{align}u_1 &= b_1^2 b_4 - 2 b_1 b_2 b_3 - b_2^2 b_4 \\u_2 &= b_1^2 b_3 + 2 b_1 b_2 b_4 - b_2^2 b_3\end{align}$

덧붙여, 다음 항등식도 성립한다.

: $u_1^2+u_2^2 = \left(b_1^2+b_2^2\right)^2\left(b_3^2+b_4^2\right)$

참조

_[1] 서적 Leonhard Euler: Life, Work and Legacy Elsevier 2007
_[2] 서적 Mathematical Evolutions Math. Assoc. America 2002
_[3] 웹사이트 Pfister's Theorem on Sums of Squares http://www.math.ucon[...]
_[4] 서적 Leonhard Euler: Life, Work and Legacy Elsevier 2007
_[5] 서적 Mathematical Evolutions Math. Assoc. America 2002
_[6] 웹사이트 Pfister's Theorem on Sums of Squares http://www.math.ucon[...]
_[7] 서적 Leonhard Euler: Life, Work and Legacy Elsevier 2007
_[8] 서적 Mathematical Evolutions Math. Assoc. America 2002

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