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백만각형

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목차

1. 개요

정백만각형은 모든 변의 길이와 모든 각의 크기가 같은 백만 개의 변을 가진 정다각형이다. 슐레플리 기호 {1,000,000}으로 나타내며, 내각은 약 179.99964°이다. 자와 컴퍼스를 사용하여 작도할 수 없으며, 종이접기 또한 불가능하다. 정백만각형은 Dih1,000,000 이면체 대칭을 가지며, 철학적 개념을 설명하는 예시로 사용되기도 한다. 또한, 백만 개의 변을 가진 별 다각형인 메가그램도 존재한다.

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백만각형
기본 정보
종류다각형
변의 수1,000,000 (백만)
슐레플리 기호{1,000,000}
성질
내부 각의 합179,999,996°
각 내부 각179.999996°

2. 정백만각형

정정 백만각형은 모든 변의 길이와 모든 각의 크기가 같은 백만각형이다. 슐레플리 기호 {1,000,000}으로 표시되며, 절단된 500,000각형, t{500,000}, 두 번 절단된 250,000각형, tt{250,000}, 세 번 절단된 125,000각형, ttt{125,000}, 또는 네 번 절단된 62,500각형, tttt{62,500}, 다섯 번 절단된 31,250각형, }, 또는 여섯 번 절단된 15,625각형, }으로 구성할 수 있다.

정 백만각형의 내각은 179°59'58.704" 또는 3.14158637 라디안이다.[2] 변의 길이가 ''a''인 정 백만각형의 넓이는 다음과 같다.

:A = 250,000 ''a''2 cot π/1,000,000.

단위 원에 내접하는 정 백만각형의 둘레는 다음과 같다.

:2,000,000 sinπ/1,000,000,

이는 2π에 매우 가깝다. 실제로, 지구의 적도 크기인 둘레가 40,075킬로미터인 원의 경우, 이러한 원에 내접하는 백만각형의 한 변의 길이는 40미터가 약간 넘는다. 내접하는 백만각형의 둘레와 이 원의 둘레의 차이는 1/16밀리미터 미만이다.[3]

1,000,000 = 26 × 56이므로, 변의 수는 서로 다른 페르마 소수와 2의 거듭제곱의 곱이 아니다. 따라서 정 백만각형은 작도 가능한 다각형이 아니다. 실제로, 변의 수가 서로 다른 피어폰트 소수의 곱도 아니고, 2와 3의 거듭제곱의 곱도 아니므로, 각의 삼등분선을 사용하여도 작도할 수 없다.

정백만각형에서 중심각과 외각은 0.00036°이며, 내각은 179.99964°이다. 한 변의 길이가 a인 정백만각형의 면적 S는 다음과 같다.

:S = 250000a2 cot π/1000000

2. 1. 기하학적 성질

정백만각형은 슐레플리 기호로 {1000000}으로 표현되며, 절단된 500000각형, t{500000}으로 구성할 수 있다.[2] 내각은 179°59'58.704" 또는 3.14158637 라디안이다.[2] 변의 길이가 ''a''인 정백만각형의 넓이는 다음과 같다.

:A = 250,000 \ a^2 \cot \frac{\pi}{1,000,000}.

단위 원에 내접하는 정백만각형의 둘레는 2,000,000 \ \sin\frac{\pi}{1,000,000}이며, 이는 2π에 매우 가깝다. 둘레가 40,075킬로미터인 원의 경우, 내접하는 백만각형의 한 변의 길이는 40미터가 약간 넘고, 둘레의 차이는 1/16밀리미터 미만이다.[3]

1,000,000 = 26 × 56이므로, 정백만각형은 작도 가능한 다각형이 아니며, 각의 삼등분선을 사용하여도 작도할 수 없다.

정백만각형에서 중심각과 외각은 0.00036°이며, 내각은 179.99964°이다. 한 변의 길이가 a인 정백만각형의 면적 S는 다음과 같다.

:S = 250000a^2 \cot \frac{\pi}{1000000}

2. 2. 작도 가능성

정백만각형은 자와 컴퍼스를 이용한 작도가 불가능한 도형이다.

정백만각형은 종이접기에 의해 작도가 불가능한 도형이다.

3. 대칭성

정백만각형은 1,000,000개의 반사선으로 표현되는 Dih1,000,000 이면체 대칭을 가지며, 그 차수는 2,000,000이다.[12] Dih1,000,000은 48개의 이면체 부분군과 49개의 순환군 부분군을 가진다.

존 호턴 콘웨이는 이러한 하위 대칭을 문자로 표시하고, 대칭 차수는 문자를 따르도록 표기했다.[12] '''r2000000'''은 전체 대칭, '''a1'''은 대칭 없음, 정점을 통과하는 거울 선은 '''d'''(대각선), 변을 통과하는 거울 선은 '''p'''(수직), 정점과 변 모두를 통과하는 거울 선은 '''i''', 회전 대칭은 '''g'''로 나타낸다.[12]

이러한 하위 대칭은 불규칙 백만각형을 정의하는데, '''g1000000''' 부분군만이 자유도가 없지만, 이는 방향 모서리로 볼 수 있다.[12]

4. 철학적 응용

르네 데카르트의 킬리아곤 예시처럼, 백만각형은 시각화할 수 없는 잘 정의된 개념의 예시로 사용되어 왔다.[4][5][6][7][8][9][10] 백만각형은 정다각형이 원으로 수렴하는 것을 보여주는 예시로도 사용된다.[11]

5. 메가그램

메가그램은 백만 개의 변을 가진 별 다각형이다. 형태가 {1000000/''n''}인 슐래플리 기호로 표시되는 199,999개의 정규 형태가 있는데, 여기서 ''n''은 2와 500,000 사이의 정수이며 1,000,000과 상호소수이다. 나머지 경우에는 300,000개의 정규 별 도형이 있다.

참조

[1] 서적 College Algebra and Trigonometry https://books.google[...] Addison-Wesley 1999
[2] 서적 The Universal Book of Mathematics: From Abracadabra to Zeno's Paradoxes https://books.google[...] Wiley 2004-10-28
[3] 서적 An Elementary Treatise on the Differential Calculus https://books.google[...] Forgotten Books
[4] 서적 Scholastic Metaphysics: Being, its division and causes https://books.google[...] Loyola University Press 1928
[5] 서적 Philosophy and Journalism https://books.google[...] Longman 1983
[6] 서적 An Introduction to Philosophical Analysis https://books.google[...] Psychology Press 1997
[7] 서적 Key Terms in Philosophy of Mind https://books.google[...] A&C Black 2010-05-13
[8] 서적 The Rise of Modern Philosophy: A New History of Western Philosophy https://books.google[...] OUP Oxford 2006-06-29
[9] 서적 Fundamental Philosophy https://books.google[...] Sadlier 1856
[10] 서적 On Understanding Understanding: A Philosophy of Knowledge https://books.google[...] Fordham University Press 1994
[11] 서적 History of Western Philosophy https://books.google[...] Psychology Press 2004
[12] 문서 The Symmetries of Things Chapter 20
[13] 서적 College Algebra and Trigonometry https://books.google[...] Addison-Wesley 1999
[14] 서적 The universal book of mathematics: from Abracadabra to Zeno's paradoxes https://books.google[...] John Wiley & Sons 2004
[15] 서적 An Elementary Treatise on the Differential Calculus https://books.google[...] Longmans, Green, and Co. 1899
[16] 서적 Scholastic Metaphysics https://books.google[...] Loyola University Press 1928
[17] 서적 Philosophy and Journalism https://books.google[...] Longman 1983
[18] 서적 An Introduction to Philosophical Analysis https://books.google[...] Routledge 1997
[19] 서적 Key Terms in Philosophy of Mind https://books.google[...] Continuum International Publishing Group 2010
[20] 서적 The Rise of Modern Philosophy https://books.google[...] Oxford University Press 2006
[21] 서적 Fundamental Philosophy, Vol II https://books.google[...] Sadlier and Co. 1856
[22] 서적 On Understanding Understanding: A Philosophy of Knowledge https://books.google[...] Fordham University Press 1993


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