다각형

3. 분류

다각형은 여러 가지 기준으로 분류할 수 있다.

4. 성질

유클리드 기하학을 가정한다.

다각형은 변의 수만큼의 각을 갖는다. 단순한 ''n''각형의 내각(다각형 내부에 있는 각)의 합은 π(''n''−2) 라디안(혹은 180°(''n''−2))이다. 따라서 정''n''각형의 한 내각의 크기는 π(''n''−2)/''n'' 라디안(혹은 180°(''n''−2)/''n'', 혹은 (''n''−2)/(2''n'') 회전)이다.

• 예를 들어 자전거를 몰고 단순한 ''n''각형을 따라 움직인다고 가정해 보자. 그러면 각 꼭짓점에서 외각만큼 방향을 "틀어야" 할 것이다. 그 ''n''각형을 완전히 돌고 나면 자전거 자신도 완전히 한 바퀴를 돈 것이므로 각 꼭짓점에서 튼 각도의 합은 360°가 되어야 하며, 이것으로부터 위의 식을 쉽게 얻을 수 있다. 180°가 넘는 크기의 내각이 있는 경우에도 마찬가지로 생각할 수 있다.
• 단순한 ''n''각형은 (''n''−2)개의 삼각형을 짜맞추어 만들 수 있으며, 각각의 삼각형의 내각의 크기의 합이 180°인 것으로부터 위의 식을 얻을 수도 있다.

• 볼록: 다각형을 통과하는 임의의 직선(변이나 모서리에 접하지 않는 경우)은 그 경계와 정확히 두 번 만난다. ^[2]
• 비볼록: 경계와 세 번 이상 만나는 직선을 찾을 수 있다.
• 단순: 다각형의 경계가 스스로 교차하지 않는다. 모든 볼록 다각형은 단순하다.
• 오목: 비볼록이면서 단순하다. 180°보다 큰 내각이 하나 이상 있다.
• 별 모양: 내부 전체가 적어도 한 점에서 어떤 변도 교차하지 않고 보입니다.
• 자기교차: 다각형의 경계가 스스로 교차한다.
• 별 다각형: 규칙적인 방식으로 자기 교차하는 다각형. 다각형은 별 모양이면서 동시에 별 다각형일 수 없다.
• 등각: 모든 각이 같다.
• 정변: 모든 변의 길이가 같다.
• 정다각형: 등각이면서 정변이다.
• 주기다각형: 모든 꼭짓점이 하나의 원(외접원이라고 함) 위에 놓여 있다.
• 접다각형: 모든 변이 하나의 내접원에 접한다.
• 직선형: 다각형의 변들이 직각으로 만나는 다각형, 즉 모든 내각이 90도 또는 270도이다.
• 주어진 직선 ''L''에 대해 단조: ''L''에 수직인 모든 직선이 다각형과 두 번 이하로 교차하는 다각형이다.

• '''외각''' – 외각은 내각의 보각이다. 볼록 ''n''각형을 따라 추적하면, 꼭짓점에서 "회전된" 각이 외각 또는 외부각이다. 다각형 전체를 따라 추적하면 한 바퀴 회전하므로, 외각의 합은 360°여야 한다.

• 단순 다각형에 대한 공식을 사용하면, 다각형 내 특정 영역의 면적이 특정 계수(밀도라고 함)만큼 곱해질 수 있다.
• 둘러싸인 영역을 점 집합으로 간주하면, 둘러싸인 점 집합의 면적을 구할 수 있다.

• $\backslash frac\{1\}\{2\}\; \backslash sum\_\{k=1\}^n\; \backslash vec\{p\}\_k\; \backslash times\; \backslash vec\{p\}\_\{k+1\}$

• P, P'에 대해 각각 단순폐곡선 C, C'가 존재하여, 지나는 변의 순서대로 각 변의 길이를 각각 (l₁ , l₂ , … , lₙ), (l'₁ , l'₂ , … , l'ₙ)이라고 하면, l₁ = l'₁ , l₂ = l'₂ , … , lₙ = l'ₙ 이 성립한다.
• P, P'에 대해 각각 단순폐곡선 C, C'가 존재하여, 지나는 꼭짓점의 순서대로 각 꼭짓점의 각의 크기를 각각 (θ₁, θ₂, … , θₙ), (θ'₁, θ'₂, … , θ'ₙ)이라고 하면, θ₁ = θ'₁ , θ₂ = θ'₂ , … , θₙ = θ'ₙ 이 성립한다.

• P, P'에 대해 각각 단순폐곡선 C, C'이 존재하여, 지나는 변의 순서대로 각 변의 길이를 각각 (l₁ , l₂ , … , lₙ), (l'₁ , l'₂ , … , l'ₙ) 이라고 하면, 어떤 상수 k가 존재하여 l₁ = kl'₁ , l₂ = kl'₂ , … , lₙ = kl'ₙ 이 성립한다.
• P, P'에 대해 각각 단순폐곡선 C, C'이 존재하여, 지나는 꼭짓점의 순서대로 각 꼭짓점의 각의 크기를 각각 (θ₁, θ₂, … , θₙ), (θ'₁, θ'₂, … , θ'ₙ) 이라고 하면, θ₁ = θ'₁ , θ₂ = θ'₂ , … , θₙ = θ'ₙ 이 성립한다.

5. 특수한 경우

다각형과 관련하여 특별한 경우는 다음과 같다:

• 이웃하지 않은 두 변이 한 직선 위에 있는 경우
• 모든 변의 길이가 같은 경우 (등변다각형)
• 모든 각의 크기가 같은 경우 (등각다각형)

• 볼록: 다각형을 통과하는 임의의 직선(변이나 모서리에 접하지 않는 경우)은 그 경계와 정확히 두 번 만난다. 모든 내각은 180° 미만이다. 경계상의 두 점을 잇는 선분은 그 끝점 사이의 내부 점만 통과한다.^[2]
• 비볼록: 경계와 세 번 이상 만나는 직선을 찾을 수 있다. 다각형 외부를 통과하는 두 경계점 사이의 선분이 존재한다.
• 단순: 다각형의 경계가 스스로 교차하지 않는다. 모든 볼록 다각형은 단순하다.
• 오목: 비볼록이면서 단순하다. 180°보다 큰 내각이 하나 이상 있다.
• 별 모양: 내부 전체가 적어도 한 점에서 어떤 변도 교차하지 않고 보인다. 단순해야 하며 볼록하거나 오목할 수 있다. 모든 볼록 다각형은 별 모양이다.
• 자기교차: 다각형의 경계가 스스로 교차한다.
• 별 다각형: 규칙적인 방식으로 자기 교차하는 다각형. 별 모양이면서 동시에 별 다각형일 수 없다.
• 등각: 모든 각이 같다.
• 정변: 모든 변의 길이가 같다.
• 정다각형: 등각이면서 정변이다.
• 주기다각형: 모든 꼭짓점이 하나의 원(외접원) 위에 놓여 있다.
• 접다각형: 모든 변이 하나의 내접원에 접한다.
• 등각 또는 꼭짓점-추이: 모든 꼭짓점이 동일한 대칭 궤도에 놓여 있다. 주기적이고 등각이다.
• 이소톡살 또는 변-추이: 모든 변이 동일한 대칭 궤도에 놓여 있다. 정변이고 접한다.

6. 일반화

• 구면 다각형은 구면 위에 있는 대원 호(변)와 꼭짓점들로 이루어진다. 평면에서는 불가능한, 변과 꼭짓점이 각각 두 개인 이각형이 구면에서는 가능하다. 구면 다각형은 지도 제작과 와이토프 구성을 통한 균일 다면체에서 중요한 역할을 한다.
• 비평면 다각형은 평면에 놓여 있지 않고 3차원 이상의 공간에서 지그재그 형태로 나타난다. 정다포체의 페트리 다각형이 대표적인 예이다.
• 무한 다각형은 변과 각의 개수가 무한하며, 양쪽 방향으로 무한히 뻗어 있어 끝이 없다.
• 비평면 무한 다각형은 평면에 놓여 있지 않은 무한 개의 변과 각을 갖는다.
• 구멍이 있는 다각형은 하나의 외부 경계와 하나 이상의 내부 경계(구멍)를 가진, 면적이 연결된 평면 다각형이다.
• 복소 다각형은 일반적인 다각형과 유사하게 구성되지만, 두 개의 실 차원과 두 개의 허 차원으로 이루어진 복소 평면에 존재한다.
• 추상 다각형은 변, 꼭짓점 등 다양한 요소와 그 연결 관계를 나타내는 대수적인 부분 순서 집합이다. 실제 기하학적 다각형은 추상 다각형의 '실현'이라고 할 수 있다. 여기에 설명된 모든 일반화는 매핑을 통해 실현될 수 있다.
• 다면체는 평평한 다각형 면으로 둘러싸인 3차원 입체이며, 2차원 다각형의 3차원 확장으로 볼 수 있다. 4차원 이상의 도형은 다포체라고 부른다.^[15]

7. 역사

8. 컴퓨터 그래픽스

컴퓨터 그래픽스에서 폴리곤(polygon)은 모델링 및 렌더링에 사용되는 기본 요소이다. 폴리곤은 데이터베이스에 정의되며, 정점(기하학적 정점의 좌표뿐만 아니라 색상, 음영 및 질감과 같은 폴리곤의 다른 속성), 연결 정보 및 재질의 배열을 포함한다.^[44][45]

모든 표면은 폴리곤 메시라고 하는 테셀레이션으로 모델링된다. 정사각형 메시가 한 변에 $n+1$개의 점(정점)을 가지는 경우, 메시에는 $n$ 제곱 개의 정사각형이 있거나, 정사각형에 두 개의 삼각형이 있으므로 $2n$ 제곱 개의 삼각형이 있다. 삼각형당 $(n+1)^2\; /\; 2(n^2)$개의 정점이 있다. $n$이 클 경우, 이 값은 1/2에 가까워진다. 또는 정사각형 메시 내부의 각 정점은 네 개의 모서리(선)에 연결된다.

이미징 시스템은 데이터베이스에서 생성될 장면에 필요한 폴리곤의 구조를 호출한다. 이것은 활성 메모리로, 그리고 최종적으로 디스플레이 시스템(화면, TV 모니터 등)으로 전송되어 장면을 볼 수 있게 된다. 이 과정에서 이미징 시스템은 처리된 데이터를 디스플레이 시스템에 전송할 준비가 된 올바른 원근감으로 폴리곤을 렌더링한다. 폴리곤은 2차원이지만, 시스템 컴퓨터를 통해 시각적 장면에 올바른 3차원 방향으로 배치된다.

컴퓨터 그래픽스 및 계산 기하학에서는 주어진 점 $P=(x\_0,\; y\_0)$이 선분의 시퀀스로 주어진 단순 폴리곤 내부에 있는지 여부를 결정해야 하는 경우가 종종 있다. 이것을 점-다각형 포함 여부 판정이라고 한다.^[46]

참조

_[1] 서적 A new universal etymological technological, and pronouncing dictionary of the English language https://books.google[...] Oxford University
_[2] 서적 Noneuclidean tesselations and their groups https://www.scienced[...] Academic Press
_[3] 서적 Beyond measure: a guided tour through nature, myth, and number https://books.google[...] World Scientific
_[4] 간행물 Eine Verallgemeinerung der Inhaltsformel von Heron
_[5] 웹사이트 Calculating The Area And Centroid Of A Polygon https://web.archive.[...] 1988-07-00
_[6] 저널 The Surveyor's Area Formula http://www.maa.org/p[...]
_[7] 서적 Computation of areas of oriented figures D C Heath and Company: Boston, MA
_[8] 웹사이트 An elementary proof of the isoperimetric inequality http://forumgeom.fau[...]
_[9] 저널 Polygons inscribed in a circle
_[10] 저널 The area of cyclic polygons: recent progress on Robbins' conjectures
_[11] 서적 A Distorted View of Geometry Mathematical Association of America
_[12] 웹사이트 Area of a regular polygon – derivation https://www.mathopen[...]
_[13] 문서 A regular polygon with an infinite number of sides is a circle
_[14] 저널 Slaying a geometrical 'Monster': finding the area of a crossed Quadrilateral http://dynamicmathem[...] 2015-01-00
_[15] 서적
_[16] 서적 Lectures on Polytopes Springer
_[17] 웹사이트 Mathworld
_[18] 서적 Are your polyhedra the same as my polyhedra Springer
_[19] 저널 Geodesic nets on the 2-sphere 1996
_[20] 서적 Regular polytopes Dover
_[21] 저널 Constructions Using a Compass and Twice-Notched Straightedge
_[22] 저널 On the construction of the regular hendecagon by marked ruler and compass 2014-05-00
_[23] 서적 The New Elements of Mathematics: Algebra and Geometry https://books.google[...]
_[24] 서적 The Computer Graphics Manual https://books.google[...] Springer Science & Business Media 2011-00-00
_[25] 저널 Nominalism and constructivism in seventeenth-century mathematical philosophy
_[26] 서적 Kant's Metaphysics and Theory of Science https://books.google[...] Manchester University Press
_[27] 서적 The Philosophical Works of David Hume https://books.google[...] Black and Tait
_[28] 서적 Geometry demystified https://archive.org/[...] McGraw-Hill
_[29] 서적 The universal book of mathematics: from Abracadabra to Zeno's paradoxes https://books.google[...] John Wiley & Sons
_[30] 서적 College Algebra and Trigonometry https://books.google[...] Addison-Wesley
_[31] 서적 Scholastic Metaphysics https://books.google[...] Loyola University Press
_[32] 서적 Philosophy and Journalism https://books.google[...] Longman
_[33] 서적 An Introduction to Philosophical Analysis https://books.google[...] Routledge
_[34] 서적 Key Terms in Philosophy of Mind https://books.google[...] Continuum International Publishing Group
_[35] 서적 The Rise of Modern Philosophy https://books.google[...] Oxford University Press
_[36] 서적 Fundamental Philosophy, Vol II https://books.google[...] Sadlier and Co.
_[37] 서적 On Understanding Understanding: A Philosophy of Knowledge https://books.google[...] Fordham University Press
_[38] 서적 History of Western Philosophy https://books.google[...] Routledge
_[39] 웹사이트 Naming Polygons and Polyhedra http://mathforum.org[...] The Math Forum – Drexel University 2015-05-03
_[40] 서적 A History of Greek Mathematics, Volume 1 https://books.google[...] Courier Dover Publications
_[41] 웹아카이브 Cratere with the blinding of Polyphemus and a naval battle https://web.archive.[...] 2013-11-11
_[42] 서적 Regular Polytopes Dover
_[43] 간행물 Regular complex polytopes
_[44] 웹사이트 opengl vertex specification https://www.khronos.[...]
_[45] 웹사이트 direct3d rendering, based on vertices & triangles https://msdn.microso[...] 2021-01-06
_[46] 학회논문 How Reliable Are Practical Point-in-Polygon Strategies? Springer
_[47] 서적 A new universal etymological technological, and pronouncing dictionary of the English language https://books.google[...] Oxford University
_[48] 서적 A History of Greek Mathematics, Volume 1 https://books.google[...] Courier Dover Publications
_[49] 서적 Regular Polytopes Dover
_[50] 간행물 Regular complex polytopes