베르트랑의 상자 역설
1. 개요
베르트랑의 상자 역설은 확률과 관련된 역설로, 상자에서 금화를 꺼낼 확률에 대한 직관적인 추론과 실제 확률 간의 불일치를 보여준다. 문제 상황은 세 개의 상자 중 하나를 선택하여, 금화가 있는 서랍을 열었을 때 다른 서랍의 동전이 금화일 확률을 묻는 것으로 구성된다. 확률이 1/2라는 직관적인 추론과 2/3이라는 정확한 확률 간의 차이가 역설의 핵심이다. 이 역설은 경우의 수를 단순히 세는 것만으로는 확률 문제를 해결할 수 없음을 보여주며, 관찰된 결과를 생성하는 경우의 확률을 고려해야 함을 강조한다. 유사한 확률 문제로 소년 또는 소녀 역설, 몬티 홀 문제 등이 있다.
| 이름 | 베르트랑의 상자 역설 |
|---|---|
| 유형 | 확률론의 역설 |
| 고안자 | 조제프 베르트랑 |
| 발표 시기 | 1889년 |
| 문제 | 상자 세 개가 있다. 하나의 상자에는 금화 2개, 다른 상자에는 은화 2개, 마지막 상자에는 금화 1개와 은화 1개가 들어 있다. 상자를 임의로 선택한 후 동전을 하나 꺼냈는데 금화였다. 다른 동전도 금화일 확률은 얼마인가? |
|---|---|
| 흔한 오답 | 1 |
| 정답 | 2 |
| 유사 문제 | 수면 미녀 문제 |
2. 문제 설명
이 문제는 세 개의 상자를 이용해 설명할 수 있다. 각 상자는 양쪽에 서랍이 하나씩 있고, 각 서랍에는 동전이 하나씩 들어 있다.
* 한 상자(GG)는 양쪽 서랍 모두에 금화가 들어 있다.
* 다른 한 상자(SS)는 양쪽 서랍 모두에 은화가 들어 있다.
* 나머지 한 상자(GS)는 한쪽 서랍에는 금화가, 다른 쪽 서랍에는 은화가 들어 있다.
이제 무작위로 상자 하나를 선택하고, 그 상자에서 무작위로 서랍 하나를 열었더니 금화가 나왔다고 가정하자. 이때, 선택한 상자의 다른 쪽 서랍에도 금화가 들어 있을 [[확률]]은 얼마일까?
이 문제에 대해 두 가지 다른 추론 방식이 존재한다.
첫 번째 추론 (확률 1/2)
1. 처음에는 세 상자(GG, SS, GS) 모두 선택될 확률이 동일하게 1/3이다.
2. 서랍을 열어 금화를 확인했으므로, 선택된 상자는 양쪽 모두 은화만 있는 SS 상자일 수 없다.
3. 따라서 선택된 상자는 GG 또는 GS 둘 중 하나여야 한다.
4. 남은 두 상자(GG, GS)가 선택되었을 가능성은 동일해 보인다.
5. 그러므로, 선택한 상자가 GG 상자이고 다른 쪽 서랍에도 금화가 있을 확률은 1/2이다.
두 번째 추론 (확률 2/3)
1. 처음에는 총 여섯 개의 서랍(GG 상자의 두 서랍, SS 상자의 두 서랍, GS 상자의 한 금화 서랍과 한 은화 서랍) 각각이 선택될 확률이 동일하게 1/6이다.
2. 서랍을 열어 금화를 확인했으므로, 이 금화는 SS 상자의 두 서랍이나 GS 상자의 은화 서랍에서 나온 것일 수 없다.
3. 따라서 이 금화는 GG 상자의 두 금화 서랍 중 하나이거나, GS 상자의 금화 서랍에서 나온 것이어야 한다. 즉, 금화가 나올 수 있는 경우는 다음 세 가지이다.
* GG 상자의 첫 번째 서랍 (금화)
* GG 상자의 두 번째 서랍 (금화)
* GS 상자의 금화 서랍
4. 이 세 가지 경우는 모두 동일한 확률을 가진다.
5. 이 세 가지 경우 중 두 가지 경우가 GG 상자에 해당한다. 즉, 다른 쪽 서랍에도 금화가 있는 경우이다.
6. 따라서, 금화를 확인했을 때 그 상자가 GG 상자일 확률(즉, 다른 쪽 서랍에도 금화가 있을 조건부 확률)은 2/3이다.
조제프 베르트랑이 이 예시를 제시한 이유는 단순히 가능한 경우의 수를 세는 것만으로는 확률을 올바르게 계산할 수 없으며, 관찰된 결과(여기서는 금화를 뽑았다는 사실)를 만들어낼 수 있는 각 근원 사건(여기서는 특정 상자의 특정 서랍을 여는 것)의 확률을 정확히 고려하고 합산해야 함을 보여주기 위해서였다.
3. 역설의 해결
이 문제를 해결하는 한 가지 방법은, 같은 상자에서 또 다른 금화를 뽑을 확률을 각 경우에 대해 계산하는 것이다. (a) 금/은 상자(GS)에서 금화를 뽑은 경우, 다른 쪽은 은화이므로 확률은 0이다. (b)와 (c) 양쪽 금화 상자(GG)에서 금화를 뽑은 경우, 다른 쪽은 항상 금화이므로 확률은 1이다. 가능한 세 가지 금화 뽑기 시나리오(GS 상자의 금화, GG 상자의 첫 번째 금화, GG 상자의 두 번째 금화)는 모두 동일한 확률(1/3)을 가지므로, 첫 번째로 금화를 뽑았다는 조건 하에 두 번째도 금화를 뽑을 전체 확률은 각 시나리오의 확률을 더한 0/3 + 1/3 + 1/3 = 2/3가 된다.
이 문제는 상자를 각각 양쪽에 서랍이 하나씩 있는 것으로 묘사하여 다시 구성할 수도 있다. 각 서랍에는 동전이 들어 있다. 한 상자는 양쪽에 금화가 있고(GG), 다른 상자는 양쪽에 은화가 있으며(SS), 나머지 한 상자는 한쪽에 금화가, 다른 쪽에 은화가 있다(GS). 상자를 무작위로 선택하고, 무작위로 서랍을 열어 금화를 발견했을 때, 반대편 서랍의 동전이 금화일 확률은 얼마인가?
다음과 같은 추론은 확률이 1/2이라고 잘못된 결론을 내릴 수 있다.
* 원래, 세 상자 모두 선택될 확률은 동일했다.
* 선택된 상자는 양쪽 모두 은화인 상자(SS)일 수 없다. 금화를 발견했기 때문이다.
* 따라서 선택된 상자는 양쪽 금화 상자(GG) 또는 금/은 상자(GS)여야 한다.
* 남은 두 상자(GG, GS)가 선택될 가능성은 동일해 보인다. 따라서 상자가 GG이고 다른 동전도 금화일 확률은 1/2이라고 생각할 수 있다.
그러나 올바른 2/3 확률을 도출하는 추론은 다음과 같다.
* 원래, 세 상자의 여섯 개 서랍(또는 동전) 모두 선택될 확률은 동일했다(1/6).
* 우리가 금화를 발견했으므로, 선택된 동전은 상자 GS의 은화가 있는 서랍이나 상자 SS의 두 서랍 중 하나일 수 없다.
* 따라서 우리가 발견한 금화는 상자 GS의 금화 서랍 또는 상자 GG의 두 서랍 중 하나에서 나온 것이어야 한다.
* 이 세 가지 남은 가능성(GS의 G, GG의 G1, GG의 G2)은 각각 동일한 초기 확률(1/6)을 가졌으므로, 현재 조건(금화 발견) 하에서도 여전히 동일한 상대적 확률을 가진다.
* 이 세 가지 가능한 시나리오 중 두 가지는 상자 GG에 해당한다. 따라서 우리가 연 서랍이 상자 GG에 속할 확률, 즉 다른 쪽 서랍에도 금화가 있을 확률은 2/3이다.
베르트랑이 이 예시를 통해 보여주고자 했던 것은, 단순히 가능한 결과의 경우의 수를 세는 것만으로는 확률을 올바르게 계산하기에 항상 충분하지 않다는 점이다. 대신, 관찰된 결과를 만들어낼 수 있는 각각의 경우가 발생할 확률을 고려하여 합산해야 한다.
4. 역설의 의의 및 교육적 활용
심리학 개론 확률론 강좌를 수강하는 신입생들을 대상으로 베르트랑의 상자 역설과 유사한 '세 카드 문제'에 대한 해결 능력을 평가하는 설문 조사가 실시되었다. 세 카드 문제는 다음과 같다: 세 장의 카드가 모자에 들어있다. 한 장은 양면이 모두 빨간색, 한 장은 양면이 모두 흰색, 나머지 한 장은 한 면은 빨간색이고 다른 면은 흰색이다. 모자에서 카드 한 장을 꺼내 확인했을 때 보이는 면이 빨간색이라면, 그 카드의 다른 면도 빨간색일 확률은 2/3이다.
설문 조사에 참여한 53명의 학생들에게 다른 면이 빨간색일 확률을 질문한 결과, 35명은 1/2이라고 잘못 응답했으며, 단 3명만이 정답인 2/3을 맞혔다. 이는 많은 사람들이 조건부 확률 문제를 직관적으로 해결하는 데 어려움을 겪음을 보여주며, 이러한 유형의 문제가 확률 교육에서 중요한 사례로 활용될 수 있음을 시사한다.
5. 심리학적 관점
심리학 개론 확률론 강좌를 수강하는 신입생들을 대상으로 유사한 세 카드 문제에 대한 해결 방안을 평가하는 설문 조사가 실시되었다. 세 카드 문제에서는 세 장의 카드가 모자에 들어있다. 한 장은 양면이 모두 빨간색이고(RR), 다른 한 장은 양면이 모두 흰색이며(WW), 나머지 한 장은 한 면은 빨간색, 다른 면은 흰색이다(RW). 모자에서 꺼낸 카드의 보이는 면이 빨간색일 때, 다른 면도 빨간색일 확률은 2/3이다.
이 설문 조사에는 53명의 학생들이 참여했으며, 보이는 면이 빨간색일 때 다른 면도 빨간색일 확률을 묻는 질문을 받았다. 그 결과, 35명의 학생들은 1/2이라고 잘못 응답했으며, 단 3명만이 정답인 2/3를 맞혔다.