변형 수축

1. 개요

변형 수축은 위상 공간 X의 부분 공간 A에 대해 정의되는 개념으로, X에서 A로의 연속 함수가 특정 조건을 만족시키는 경우를 말한다. 약한 변형 수축과 강한 변형 수축으로 구분되며, 약한 변형 수축은 A가 X와 호모토피 동치임을 의미한다. 변형 수축은 호모토피 동치, 축약 가능 공간 등과 관련이 있으며, 유클리드 공간 등에서 예시를 찾을 수 있다. 이 개념은 1930년 카롤 보르수크에 의해 처음 도입되었다.

2. 정의

위상 공간 $X$의 부분 공간 $i\backslash colon\; A\backslash hookrightarrow\; X$에 대하여, 연속 함수 $r\backslash colon\; X\backslash to\; A$가 다음 두 조건을 만족시키면, $r$를 $X$에서 $A$로의 변형 수축이라고 한다.

*$r\backslash circ\; i=\backslash operatorname\{id\}\_A$
* $i\backslash circ\; r\backslash simeq\backslash operatorname\{id\}\_X$

변형 수축에는 약한 변형 수축과 강한 변형 수축이 있다.

2.1. 약한 변형 수축

위상 공간 $X$의 부분 공간 $i\backslash colon\; A\backslash hookrightarrow\; X$에 대하여, 연속 함수 $r\backslash colon\; X\backslash to\; A$가 다음 두 조건을 만족시키면, $r$를 $X$에서 $A$로의 약한 변형 수축이라고 한다.

* $r\backslash circ\; i=\backslash operatorname\{id\}\_A$
* $i\backslash circ\; r\backslash simeq\backslash operatorname\{id\}\_X$

이는 그림으로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$\backslash begin\{matrix\}$
A&\stackrel i\hookrightarrow&X\\
{\scriptstyle\operatorname{id}}\downarrow&=&\downarrow{\scriptstyle\operatorname{id}}\\
A&\xleftarrow[r]{}&X
\end{matrix}\qquad\begin{matrix}
A&\stackrel i\hookrightarrow&X\\
{\scriptstyle\operatorname{id}}\uparrow&\simeq&\uparrow{\scriptstyle\operatorname{id}}\\
A&\xleftarrow[r]{}&X
\end{matrix}


즉, 다음 조건들을 만족시키는 호모토피 $h\backslash colon\; X\backslash times[0,1]\backslash to\; A$가 존재해야 한다.

:$h(x,0)=x\backslash qquad\backslash forall\; x\backslash in\; X$
:$h(x,1)\backslash in\; A\backslash qquad\backslash forall\; x\backslash in\; X$
:$h(x,1)=r(x)\backslash qquad\backslash forall\; x\backslash in\; X$
:$r(a)=a\backslash qquad\backslash forall\; a\backslash in\; A$

2.2. 강한 변형 수축

위상 공간 $X$의 부분 공간 $i\backslash colon\; A\backslash hookrightarrow\; X$에 대하여, 연속 함수 $r\backslash colon\; X\backslash to\; A$가 다음 두 조건을 만족시키면, $r$를 $X$에서 $A$로의 강한 변형 수축(strong deformation retract^영어)이라고 한다.
*$r\backslash circ\; i=\backslash operatorname\{id\}\_A$
* $i\backslash circ\; r\backslash simeq\backslash operatorname\{id\}\_X\backslash quad(\backslash operatorname\{rel\}A)$

즉, 아래 그림과 같다.
:$\backslash begin\{matrix\}$
A&\stackrel i\hookrightarrow&X\\
{\scriptstyle\operatorname{id}}\downarrow&=&\downarrow{\scriptstyle\operatorname{id}}\\
A&\xleftarrow[r]{}&X
\end{matrix}\qquad\begin{matrix}
A&\stackrel i\hookrightarrow&X\\
{\scriptstyle\operatorname{id}}\uparrow&\simeq\operatorname{rel}A&\uparrow{\scriptstyle\operatorname{id}}\\
A&\xleftarrow[r]{}&X
\end{matrix}


즉, 다음 조건들을 만족시키는 호모토피 $h\backslash colon\; X\backslash times[0,1]\backslash to\; A$가 존재해야 한다.
:$h(x,0)=x\backslash qquad\backslash forall\; x\backslash in\; X$
:$h(x,1)\backslash in\; A\backslash qquad\backslash forall\; x\backslash in\; X$
:$h(x,1)=r(x)\backslash qquad\backslash forall\; x\backslash in\; X$
:$h(a,t)=a\backslash qquad\backslash forall\; a\backslash in\; A,\backslash ;t\backslash in[0,1]$

3. 성질

위상 공간 $X$에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.
* $X$는 축약 가능 공간이다.
* $\backslash \{x\backslash \}$가 $X$의 약한 변형 수축을 이루는 $x\backslash in\; X$가 존재한다.

그러나 한 점으로 강하게 변형 수축할 수 없는 축약 가능 공간이 존재한다.

3.1. 호모토피 동치와의 관계

위상 공간 $X$의 약한 변형 수축 $A\backslash subseteq\; X$가 주어졌을 때, $A$는 $X$와 (강하게) 호모토피 동치이다.

일반적으로, 위상 공간 $X$ 및 $Y$에 대하여 다음 조건들이 서로 동치이다.
* $X$와 $Y$가 (강하게) 호모토피 동치이다.
* 어떤 위상 공간 $Z$ 및 포함 사상 $X\backslash hookrightarrow\; Z$ 및 $Y\backslash hookrightarrow\; Z$에 의하여, $X$와 $Y$는 둘 다 $Z$의 약한 변형 수축이다.
* 어떤 위상 공간 $Z$ 및 포함 사상 $X\backslash hookrightarrow\; Z$ 및 $Y\backslash hookrightarrow\; Z$에 의하여, $X$와 $Y$는 둘 다 $Z$의 강한 변형 수축이다.

위상 공간 $X$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.
* $X$는 축약 가능 공간이다.
* $\backslash \{x\backslash \}$가 $X$의 약한 변형 수축을 이루는 $x\backslash in\; X$가 존재한다.

그러나 한 점으로 강하게 변형 수축할 수 없는 축약 가능 공간이 존재한다.

3.2. 축약 가능 공간과의 관계

위상 공간 $X$의 약한 변형 수축 $A\backslash subseteq\; X$가 주어졌을 때, $A$는 $X$와 (강하게) 호모토피 동치이다.

일반적으로, 위상 공간 $X$ 및 $Y$에 대하여 다음 조건들은 서로 동치이다.
* $X$와 $Y$가 (강하게) 호모토피 동치이다.
* 어떤 위상 공간 $Z$ 및 포함 사상 $X\backslash hookrightarrow\; Z$ 및 $Y\backslash hookrightarrow\; Z$에 의하여, $X$와 $Y$는 둘 다 $Z$의 약한 변형 수축이다.
* 어떤 위상 공간 $Z$ 및 포함 사상 $X\backslash hookrightarrow\; Z$ 및 $Y\backslash hookrightarrow\; Z$에 의하여, $X$와 $Y$는 둘 다 $Z$의 강한 변형 수축이다.

위상 공간 $X$에 대하여 다음 두 조건은 서로 동치이다.
* $X$는 축약 가능 공간이다.
* $\backslash \{x\backslash \}$가 $X$의 약한 변형 수축을 이루는 $x\backslash in\; X$가 존재한다.

그러나 한 점으로 강하게 변형 수축할 수 없는 축약 가능 공간이 존재한다.

4. 예

유클리드 공간에서 변형 수축의 예를 들 수 있다.

4.1. 유클리드 공간에서의 변형 수축

Euclidean space^영어 유클리드 공간 $\backslash mathbb\; R^n\backslash setminus\backslash \{0\backslash \}$의 부분 공간인 $n-1$차원 초구
:$S^\{n-1\}=\backslash \{\backslash mathbf\; x\backslash in\backslash mathbb\; R^n\backslash setminus\backslash \{0\backslash \}\backslash colon\backslash |\backslash mathbf\; x\backslash |=1\backslash \}$
는 다음과 같은 호모토피를 통해 강한 변형 수축을 이룬다.
:$h\backslash colon\backslash left(\backslash mathbb\; R^n\backslash setminus\backslash \{0\backslash \}\backslash right)\backslash times[0,1]\backslash to\backslash mathbb\; R^n\backslash setminus\backslash \{0\backslash \}$
:$h\backslash colon(\backslash mathbf\; x,t)\backslash mapsto\backslash |\backslash mathbf\; x\backslash |^\{-t\}\backslash mathbf\; x$

5. 역사

카롤 보르수크가 1930년 박사 학위 논문에서 도입하였다.