초구

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
4. 구면 좌표계
5. 스테레오그래픽 투영
6. 확률 분포
7. 예
참조

1. 개요

초구는 n+1차원 유클리드 공간에서 원점으로부터 일정한 거리에 있는 점들의 부분 공간으로 정의되는 n차원 리만 다양체이다. 수학적으로는 n차원 실수 공간에서 원점으로부터의 거리가 1인 점들의 집합으로 표현된다. 0차원 초구는 두 점, 1차원 초구는 원, 2차원 초구는 일반적인 구, 3차원 초구는 4차원 유클리드 공간에서의 3차원 구를 의미한다. 초구의 넓이와 부피는 감마 함수를 이용하여 표현되며, 호몰로지와 호모토피는 복잡한 성질을 갖는다. 초구는 세포 복합체 구조를 가지며, 리 군과 미분 동형인 경우도 존재한다. 또한, 구면 좌표계와 스테레오그래픽 투영을 통해 표현될 수 있으며, 확률 분포를 통해 임의의 점을 생성하는 알고리즘이 존재한다.

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초구
정의
차원	n
설명	n차원 유클리드 공간에서 주어진 점으로부터 일정한 거리 r만큼 떨어진 점들의 집합
명칭
영어	n-sphere
기타 명칭	초구 초평면의 구면판
예시
n=0	점들의 집합 (2개의 점)
n=1	원
n=2	구
n=3	3차원 구
성질
위상수학적 성질	단일 연결 공간 (n ≥ 2일 때)
곡률	정곡률

2. 정의

n^영어차원 '''초구'''(Sⁿ^영어)는 n+1^영어차원 유클리드 공간에서, 원점으로부터 일정한 거리에 있는 점들의 부분 공간이다. 이는 유클리드 공간으로부터 리만 계량을 이어받아 n^영어차원 리만 다양체를 이룬다.

: $\mathbb S^n = \{x\in\mathbb R^{n+1}\colon \|x\|=1\}$

이는 다음과 같이 직교군 또는 스핀 군에 대한 동차 공간으로 나타낼 수 있다.

: $\mathbb S^n \cong \operatorname{SO}(n+1)/\operatorname{SO}(n) \cong \operatorname{Spin}(n+1)/\operatorname{Spin}(n)$

임의의 자연수 n^영어에 대해, 반지름 r^영어의 n^영어-구는 (n+1)^영어-차원 유클리드 공간에서 어떤 고정된 점 '''c'''^영어로부터 거리가 r^영어인 점들의 집합이다. 여기서 r^영어은 임의의 양의 실수이고, '''c'''^영어는 (n+1)^영어-차원 공간의 임의의 점이다.

0-구는 두 점 {c - r, c + r^영어}로 구성되며, 선분(1^영어-공)의 경계이다.
-구는 '''c'''^영어를 중심으로 하는 반지름 r^영어의 원이며, 원판(2-공)의 경계이다.
-구는 3^영어-차원 유클리드 공간에서 일반적인 2^영어-차원 구이며, 일반적인 구(3-공)의 경계이다.
-구는 4^영어-차원 유클리드 공간에서의 3^영어-차원 구이다.

n^영어-차원 구면 Sⁿ^영어을 정의하는 -차원 공간 내의 점 전체의 집합은 방정식

:

r^2=\sum_{i=1}^{n+1} (x_i - c_i)^2

으로 표현된다. 여기서 는 중심이고 r^영어은 반지름이다.

위의 n^영어 차원 구면은 (n^영어 + 1)차원 유클리드 공간에 존재하며, n^영어차원 다양체의 한 예이다. 반지름 r^영어의 n^영어차원 구면의 체적 형식 ω^영어는

:

\omega = {1 \over r} \sum_{j=1}^{n+1} (-1)^{j-1} x_j \,dx_1 \wedge \cdots \wedge dx_{j-1} \wedge dx_{j+1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1} = * \; dr

로 주어지며, 여기서 *는 호지 스타 연산자이다. 인 경우의 공식 증명과 논의는 을 참조하라. 결과적으로,

dr \wedge \omega = dx_1 \wedge \cdots \wedge dx_{n+1}.

(n+1)차원 구는 n^영어차원 구면으로 둘러싸인 유계 영역이며 n^영어-ball이라고 불린다. (n^영어 + 1)차원 구는 n^영어차원 구면을 포함하면 폐집합이고, 포함하지 않으면 개집합이다.

구체적인 예:

'''1차원 구'''는 통상 선분이라고 불린다. 0차원 구면을 이루는 두 점을 잇는 선분이라는 의미에서 0차원 구면의 내부로 이해할 수 있다.
'''2차원 구'''는 통상 원판이라고 불리며, 원주 (1차원 구면)가 둘러싸는 영역이다.
'''3차원 구'''는 단순히 구라고 하면 보통 이것을 말하며, 통상적인 구면 (2차원 구면)의 내부이다.
'''4차원 구'''는 3차원 구면의 내부이다.

위상수학적으로, n^영어차원 구는 n^영어차원 유클리드 공간의 1점 콤팩트화로 구성할 수 있다. 간단히 말해, n^영어차원 구는

\mathbb{S}^n = \mathbb{R}^n \cup \{ \infty \}

로 나타낼 수 있으며, 이는 n^영어차원 유클리드 공간에 모든 방향에서 무한대를 나타내는 점을 더한 것이다. 특히, 한 점이 n^영어차원 구에서 제거되면

\mathbb{R}^n

와 동형이 된다. 이는 입체 투영의 원리이다.^[10]

3. 성질

''n''차원 구면은 (''n'' + 1)차원 유클리드 공간에 존재하며, ''n''차원 다양체의 한 예이다. 반지름 ''r''인 ''n''차원 구면의 체적 형식 ω는 다음과 같이 주어진다.

: $\omega = {1 \over r} \sum_{j=1}^{n+1} (-1)^{j-1} x_j \,dx_1 \wedge \cdots \wedge dx_{j-1} \wedge dx_{j+1}\wedge \cdots \wedge dx_{n+1} = * \; dr$

여기서 *는 호지 스타 연산자이다. 결과적으로, $dr \wedge \omega = dx_1 \wedge \cdots \wedge dx_{n+1}$ 이다.

''n''차원 구면으로 둘러싸인 유계 영역은 (''n'' + 1)차원 구 (n-ball)라고 불린다. (''n'' + 1)차원 구는 ''n''차원 구면을 포함하면 폐집합이고, 포함하지 않으면 개집합이다.

'''1차원 구'''는 통상 선분이라고 불리며, 0차원 구면을 이루는 두 점을 잇는 선분이라는 의미에서 0차원 구면의 내부로 이해할 수 있다.
'''2차원 구'''는 통상 원판이라고 불리며, 원주 (1차원 구면)가 둘러싸는 영역이다.
'''3차원 구'''는 단순히 구라고 하며, 통상적인 구면 (2차원 구면)의 내부이다.
'''4차원 구'''는 3차원 구면의 내부이다.

일반적으로, n차원 유클리드 공간 내 n차원 구체 및 (n+1)차원 유클리드 공간 내 n차원 구면의 n차원 부피는 모두 반지름 R의 n승에 비례한다. 반지름 R의 (n+1)차원 구체의 경계가 되는 n차원 구면의 겉넓이(n차원 부피)는 (n+1)차원 부피와 다음과 같은 관계를 갖는다.

:

S_{n}R^{n}=\frac{dV_{n+1}R^{n+1}}{dR}={(n+1)V_{n+1}R^{n}}

(n+2)차원 단위 구면은 각 부분이 모두 원(1차원 구면)과 n차원 구면의 곱으로 얻어지는 (n+1)차원 토러스의 합집합으로 나타낼 수 있다.

위의 관계식들을 정리하면 다음과 같다.

:

V_0=1,\,V_{n+1}=S_n/(n+1),

:

S_0=2,\,S_{n+1}=2\pi V_n

이 점화식에서

V_{n+2} = \frac{2\pi V_n}{n+2}

이며, 귀납적으로 다음이 성립한다.

:

V_{2k} = \frac{\pi^k}{k!},\, V_{2k+1} = \frac{2(2\pi)^k}{(2k+1)!!} = \frac{2 k! (4\pi)^k}{(2k+1)!}

(단, !!는 이중 계승)

V_n

에 대한 점화 관계는 2차원 극좌표계에서의 적분을 통해 증명할 수 있다.

n은 유클리드 공간의 차원이며, 부피는 구체의 내재적 차원이지만, 표면적은 구면의 내재적 차원보다 1 크다. 굽은 빨간색 화살표는 서로 다른 n에 대한 공식 간의 관계를 나타낸다. 화살표가 가리키는 공식은 시작점의 공식에 화살표 머리의 인수를 곱한 것과 같다. 아래 화살표 방향을 반대로 하면, 화살표 머리는 2π/(n-2)를 곱하는 것을 나타낸다. 즉, n+2 차원 공간 내 구면의 표면적 S_n+1은 n 차원 공간 내 구면에 의해 둘러싸인 부피 V_n에 2πR을 곱한 것이다.

3. 1. 넓이와 부피

n차원 초구의 겉넓이와 부피는 감마 함수를 사용하여 계산할 수 있다.

반지름이

r

인 ''n''차원 초구의 초부피는

:

V_n={\pi^\frac{n}{2}\over \frac{n}{2} \Gamma(\frac{n}{2})} r^n ={C_n r^n}

이고, 겉부피는

:

S_{n-1} ={ {2\pi^ } \over {\Gamma \left( \right)}  } r^{n-1}

이다. 여기서

\Gamma

는 감마 함수이다.

일반적으로,

S_{n-1}

과

V_n

은 다음과 같은 닫힌 형식으로 표현된다.

:

S_{n-1} = \frac{2 \pi^{n/2}}{\Gamma\bigl(\frac{n}{2}\bigr)}, \quadV_n     = \frac{\pi^{n/2}}{\Gamma\bigl(\frac{n}{2} + 1\bigr)}

n

이 무한대로 갈 때, 단위

n

-공의 부피는 0으로 수렴한다.^[2]

n

-차원 구면

S^{n}

을 정의하는

(n+1)

-차원 공간 내의 점

(x_1, x_2, \dots, x_{n+1})

전체의 집합은 방정식

:

r^2=\sum_{i=1}^{n+1} (x_i - c_i)^2

으로 표시되며, 여기서

c = (c_1, c_2, \dots, c_{n+1})

는 중심이고

r

은 반지름이다.

저차원인 경우의 예
차원	값	도형	설명
영차원	$V_0=1$	단위 구체: 원점	영차원 하우스도르프 측도는 집합 내 점의 수
영차원	$S_0 = 2$	단위 구면: 두 점 $\{-1, 1\}$	영차원 하우스도르프 측도는 집합 내 점의 수
일차원	$V_1 = 2$	단위 구체: 닫힌 구간 $[-1, 1]$	$[-1, 1]$ 의 길이 (일차원 측도)
일차원	$S_1 = 2\pi$	단위 구면: 단위 원	단위 원의 원주 길이
이차원	$V_2 = \pi$	단위 구체: 단위 원판	단위 원판의 면적 (이차원 측도)
이차원	$S_2 = 4\pi$	단위 구면	3차원 공간 내의 이차원 단위 구면의 표면적
삼차원	$V_3 = \frac{4\pi}{3}$	단위 구체	이차원 구면이 둘러싸는 부피 (삼차원 측도)
삼차원	……

3. 2. 호몰로지와 호모토피

초구의 특이 호몰로지와 특이 코호몰로지는 다음과 같다.

:

\operatorname H_i(\mathbb S^n) \cong \begin{cases}\mathbb Z& i \in\{0,n\} \\0 & i \not \in \{0,n\}\end{cases}

:

\operatorname H^i(\mathbb S^n) \cong \begin{cases}\mathbb Z& i \in\{0,n\} \\0 & i \not \in \{0,n\}\end{cases}

드람 코호몰로지에서, 이 코호몰로지류는 상수 함수 및 부피 형식의 상수배에 의하여 대표된다.

초구의 호모토피 군은 일반적으로 매우 복잡하며, 아직 완전히 계산되지 못했다.

	π₁	π₂	π₃	π₄	π₅	π₆	π₇	π₈	π₉	π₁₀	π₁₁	π₁₂	π₁₃	π₁₄	π₁₅
S⁰	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
S¹	ℤ	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
S²	0	ℤ	ℤ	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₁₂	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₃	ℤ₁₅	ℤ₂	ℤ₂²	ℤ₁₂×ℤ₂	ℤ₈₄×ℤ₂²	ℤ₂²
S³	0	0	ℤ	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₁₂	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₃	ℤ₁₅	ℤ₂	ℤ₂²	ℤ₁₂×ℤ₂	ℤ₈₄×ℤ₂²	ℤ₂²
S⁴	0	0	0	ℤ	ℤ₂	ℤ₂	ℤ×ℤ₁₂	ℤ₂²	ℤ₂²	ℤ₂₄×ℤ₃	ℤ₁₅	ℤ₂	ℤ₂³	ℤ₁₂₀×ℤ₁₂×ℤ₂	ℤ₈₄×ℤ₂⁵
S⁵	0	0	0	0	ℤ	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₂₄	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₃₀	ℤ₂	ℤ₂³	ℤ₇₂×ℤ₂
S⁶	0	0	0	0	0	ℤ	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₂₄	0	ℤ	ℤ₂	ℤ₆₀	ℤ₂₄×ℤ₂	ℤ₂³
S⁷	0	0	0	0	0	0	ℤ	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₂₄	0	0	ℤ₂	ℤ₁₂₀	ℤ₂³
S⁸	0	0	0	0	0	0	0	ℤ	ℤ₂	ℤ₂	ℤ₂₄	0	0	ℤ₂	ℤ×ℤ₁₂₀

3. 3. 세포 복합체 구조

n차원 초구는 세포 복합체 구조에서 표준적으로 하나의 0차원 세포와 하나의 n차원 세포를 갖는다.

3. 4. 리 군과의 관계

리 군과 미분 동형인 초구는 다음이 전부이다.

$\mathbb S^0 \cong \operatorname{Cyc}(2)$ (2차 순환군)
$\mathbb S^1 \cong \operatorname{U}(1)$ (원군)
$\mathbb S^3 \cong \operatorname{SU}(2)$ (2차 특수 유니터리 군)

1차원 이하의 경우는 자명하다. 2차원 이상의 초구는 콤팩트 단일 연결 공간이다. 콤팩트 단일 연결 리 군은 단순 리 군들의 직접곱이며, 단순 리 군의 3차 코호몰로지는 항상 자명하지 않다. 따라서 가능한 경우는 3차원 초구 밖에 없다. (이 경우는 SU(2)와 미분 동형이다.)

초구

\mathbb S^n

가 다음과 같이 리 군으로 표현된다고 하자.

:

\mathbb S^n \cong G / H

여기서

$\cong$ 은 미분 동형이다. (이를 호모토피 동치로 약화시켜도 이 분류는 마찬가지로 성립한다.)
$G$ 는 연결 콤팩트 리 군이다.
$H$ 는 $G$ 의 닫힌 부분군이다.
$G$ 는 $\mathbb S^n$ 위의 유효 작용을 가지며, 이는 기약 작용이다.

그렇다면, 이러한 표현은 다음이 전부이다.^[14]

G	H	초구의 차원
SO(n+1)	SO(n)	n
SU(k)	SU(k-1)	2k-1 (k≥2)
Sp(k)	Sp(k-1)	4k-1 (k≥2)
G₂	SU(3)	6
Spin(7)	G₂	7
Spin(9)	Spin(7)	15

특히, $\mathbb S^n = \operatorname{SO}(n+1)/\operatorname{SO}(n)$ 이므로, 모든 초구는 대칭 공간이다.

4. 구면 좌표계

n^영어차원 유클리드 공간에서 구면 좌표계는 반지름 좌표 과 개의 각 좌표 }로 구성된다. 여기서 }는 라디안 ( 도) 범위를 가지고, 다른 각도들은 라디안 ( 도) 범위를 가진다.

직교 좌표 가 주어졌을 때, }로부터 을 계산하는 공식은 다음과 같다.^[3]

: $\begin{align}x_1 &= r \cos(\phi_1) \\x_2 &= r \sin(\phi_1) \cos(\phi_2) \\x_3 &= r \sin(\phi_1) \sin(\phi_2) \cos(\phi_3) \\&\vdots\\x_{n-1} &= r \sin(\phi_1) \cdots \sin(\phi_{n-2}) \cos(\phi_{n-1}) \\x_n &= r \sin(\phi_1) \cdots \sin(\phi_{n-2}) \sin(\phi_{n-1}) \,.\end{align}$

역변환은 다음과 같이 주어진다.

: $\begin{align}r &= \sqrt{x_n^2 + x_{n-1}^2 + \cdots + x_2^2 + x_1^2} \\\phi_1 &= \operatorname{atan2} \left({\textstyle \sqrt{x_n^2 + x_{n-1}^2 + \cdots + x_2^2}}, x_{1}\right) \\\phi_2 &= \operatorname{atan2} \left({\textstyle \sqrt{x_n^2 + x_{n-1}^2 + \cdots + x_3^2}}, x_{2}\right) \\&\vdots\\\phi_{n-2} &= \operatorname{atan2} \left({\textstyle \sqrt{x_n^2 + x_{n-1}^2}}, x_{n-2}\right) \\\phi_{n-1} &= \operatorname{atan2} \left(x_n, x_{n-1}\right)\end{align}$

여기서 }는 두 개의 인수를 갖는 아크탄젠트 함수이다. 만약 어떤 에 대해 이 모두 0이면, 는 정의되지 않는다. 이 경우 를 0으로 선택할 수 있다.

n^영어차원 유클리드 공간의 부피 요소는 다음과 같이 주어진다.

: $\begin{align}d^nV & =\left|\det\frac{\partial (x_i)}{\partial(r,\phi_j)}\right|dr\,d\phi_1 \, d\phi_2\cdots d\phi_{n-1} \\& = r^{n-1}\sin^{n-2}(\phi_1)\sin^{n-3}(\phi_2)\cdots \sin(\phi_{n-2})\,dr\,d\phi_1 \, d\phi_2\cdots d\phi_{n-1}\end{align}$

반지름 인 차원 구의 표면적 요소는 다음과 같다.

: $d_{S^{n-1}}V = R^{n-1}\sin^{n-2}(\varphi_1)\sin^{n-3}(\varphi_2)\cdots \sin(\varphi_{n-2})\, d\varphi_1 \, d\varphi_2\cdots d\varphi_{n-1}.$

각 좌표에 대한 직교 기저는 에 대해 게겐바우어 다항식의 곱으로 주어지고, 에 대해서는 구면 조화 함수와 일치하는 }이다.
다구면 좌표계표준 구면 좌표계는 을 }의 곱으로 표현하여 얻어진다. 다구면 좌표계는 이 구성을 일반화한 것이다.^[4] 와 가 를 만족하는 양의 정수라고 할 때, 로 분할할 수 있다.

는 다음과 같이 쓸 수 있다.

: $\mathbf{x} = (x_1, \dots, x_n) = (y_1, \dots, y_p, z_1, \dots, z_q) = (\mathbf{y}, \mathbf{z}).$

이를 혼합 극-데카르트 좌표계로 변환하면 다음과 같다.

: $\mathbf{x} = ((r\sin \theta)\hat\mathbf{y}}, (r\cos \theta)\hat\mathbf{z}}).$

여기서 }와 }는 }와 }에 관련된 단위 벡터이다. 역변환은 다음과 같다.

: $\begin{align}r &= \lVert\mathbf{x}\rVert, \\\theta &= \arcsin\frac{\lVert\mathbf{y}\rVert}{\lVert\mathbf{x}\rVert}= \arccos\frac{\lVert\mathbf{z}\rVert}{\lVert\mathbf{x}\rVert}= \arctan\frac{\lVert\mathbf{y}\rVert}{ \lVert\mathbf{z}\rVert}.\end{align}$

이 분할을 반복하면 다구면 좌표계를 얻을 수 있다. 다구면 좌표계의 좌표는 음이 아닌 반지름과 개의 각도이다.

다구면 좌표는 특수 직교군의 관점에서도 해석할 수 있다. 분할 는 부분군 을 결정한다.

5. 스테레오그래픽 투영

스테레오그래픽 투영의 n-차원 버전을 사용하여 n-구를 n-차원 초평면에 매핑할 수 있다. 예를 들어, 반지름 1의 2차원 구 위의 점 [x, y, z]는 xy-평면 위의 점 $\left[\frac{x}{1-z},\frac{y}{1-z}\right]$ 로 매핑된다. 즉, 다음과 같다.

: $[x,y,z] \mapsto \left[\frac{x}{1-z},\frac{y}{1-z}\right].$

마찬가지로, 반지름 1의 n-구 Sⁿ의 스테레오그래픽 투영은 x_n-축에 수직인 (n-1)-차원 초평면 R^n-1으로 다음과 같이 매핑된다.

: $[x_1,x_2,\ldots,x_n] \mapsto \left[\frac{x_1}{1-x_n},\frac{x_2}{1-x_n},\ldots,\frac{x_{n-1}}{1-x_n}\right].$ ^[1]

6. 확률 분포

정규 편차의 n차원 벡터를 생성하여 (n-1)-구(즉, 단위 n-공의 표면)에서 균일하게 분포된 임의의 점을 생성할 수 있다. 마르살리아(Marsaglia)는 다음 알고리즘을 제시하였다.^[6]

1. 정규 분포를 따르는 n차원 벡터 $\mathbf{x}=(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ 을 생성한다. (N(0, 1)을 사용하는 것으로 충분하다.)

2. 이 점의 "반지름" $r=\sqrt{x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2}$ 을 계산한다.

3. 벡터 $\frac{1}{r} \mathbf{x}$ 는 단위 n-공의 표면에 균일하게 분포되어 있다.

마르살리아가 제시한 또 다른 대안은 다음과 같다.

1. 각 $x_i$ 를 (-1, 1)에서 균등 분포에서 독립적으로 표본 추출하여 단위 n-입방체에서 점 $\mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 를 균일하게 무작위로 선택한다.

2. 위에서와 같이 r을 계산하고, $r \geq 1$ 인 경우(즉, 점이 n-공 안에 없는 경우) 점을 거부하고 다시 표본 추출한다.

3. 공 안의 점이 얻어지면 요인 $\frac{1}{r}$ 로 구 표면으로 확장한다. 그러면 다시 $\frac{1}{r} \mathbf{x}$ 가 단위 n-공의 표면에 균일하게 분포된다.

이 방법은 차원이 높아질수록 매우 비효율적이다. 10차원에서는 입방체의 2% 미만이 구로 채워지므로 일반적으로 50번 이상의 시도가 필요하다. 70차원에서는 입방체의 $10^{-24}$ 미만이 채워지므로 일반적으로 수십억 쿼드릴리온 번의 시도가 필요하다.^[5]

단위 (n-1)-구의 표면에서 균일하게 임의의 점을 선택하면(예: Marsaglia의 알고리즘 사용), 단위 n-구 내부에서 균일하게 임의의 점을 얻기 위해 반지름만 필요하다. 만약 u가 구간 [0, 1]에서 균일하게 임의로 생성된 숫자이고 $\mathbf{x}$ 가 단위 (n-1)-구에서 균일하게 임의로 선택된 점이라면, $u^{1/n} \mathbf{x}$ 는 단위 n-구 내에서 균일하게 분포된다.

또는, 단위 (n+1)-구에서 축소를 통해 단위 n-구 내부에서 점을 균일하게 샘플링할 수 있다. 특히, 만약 $(x_1, x_2, \ldots, x_{n+2})$ 가 단위 (n+1)-구에서 균일하게 선택된 점이라면, $(x_1, x_2, \ldots, x_n)$ 는 단위 n-구 내에서 균일하게 분포된다(즉, 두 개의 좌표를 단순히 버림으로써).

만약 n이 충분히 크면, n-구의 부피 대부분은 표면에 매우 가까운 영역에 포함될 것이므로, 그 부피에서 선택된 점 또한 아마도 표면에 가까울 것이다. 이는 일부 수치적 및 기타 응용 분야에서 발생하는 이른바 차원의 저주를 초래하는 현상 중 하나이다.

$y = x_1^2$ 가 (n-1)-구에서 균일하게 무작위로 추출된 점의 첫 번째 좌표의 제곱이라고 하면, $y \in [0, 1]$ 에 대한 확률 밀도 함수는 다음과 같다.

: $\rho(y) = \frac{\Gamma\bigl(\frac{n}{2} \bigr)}{\sqrt\pi \; \Gamma\bigl(\frac{n-1}{2}\bigr)} (1-y)^{(n-3)/2}y^{-1/2}.$

$z = y/N$ 이 적절하게 스케일링된 버전이라고 하면, $N \to \infty$ 극한에서 $z$ 의 확률 밀도 함수는 $(2\pi ze^z)^{-1/2}$ 로 수렴한다. 이것은 때때로 포터-토마스 분포라고 불린다.^[6]

7. 예

0차원 초구 ( $S^0$ )는 두 점으로 이루어진 이산 공간이다. 경로 연결되어 있지 않으며, 유일하게 평행화 가능하다.^[11]
1차원 초구는 원이다. 기본군이 자명하지 않다. 가환 리 군 구조 (원군)을 가지며, 실수 투영선과 위상 동형이다. 평행화 가능하다.
2차원 초구는 일반적인 구이다. 복소 구조는 리만 구를 참고한다. 복소 투영선과 위상 동형이다.
3차원 초구는 평행화 가능하며, 리 군 SU(2)와 동형이다. 호프 올뭉치에 등장하며, 2차원 초구 위의 주 원 다발이다.
4차원 초구는 사원수 투영선과 위상 동형이다.
5차원 초구는 복소 투영 공간 위의 주 원 다발이다.
6차원 초구는 순수 단위 팔원수 집합에서 파생된 거의 복소 구조를 가진다.
7차원 초구는 단위 팔원수 집합으로서 위상적 준군 구조를 가지며, 4차원 초구 위의 주 Sp(1) 다발이고, 평행화 가능하다. 최초의 이국적인 구가 발견된 차원이다.^[7]
8차원 초구는 팔원수 투영선과 위상 동형이다.
23차원 초구는 고도로 조밀한 구 포장이 가능한데, 이는 24차원 공간에서 리치 격자의 고유한 특성과 관련이 있다.

팔면체 초구-노름을 사용하여 정의되는 초구이다.

:

S^n = \left\{ x \in \R^{n+1} : \left\| x \right\|_1 = 1 \right\}

일반적으로 교차 다포체의 형태를 띤다.

팔면체 1차원 초구는 정사각형(내부 제외)이다.
팔면체 2차원 초구는 정팔면체이다.
팔면체 n차원 초구는 $n+1$ 쌍의 고립된 점들의 위상 조인이다.^[9]

참조

_[1] 서적 Homology theory Springer 1994
_[2] 논문 How Small Is a Unit Ball? https://www.jstor.or[...]
_[3] 논문 A Derivation of n-Dimensional Spherical Coordinates 1960
_[4] 서적 Representation of Lie groups and special functions, Vol. 2: Class I representations, special functions, and integral transforms Kluwer Acad. Publ., Dordrecht 1992
_[5] 간행물 Efficiently sampling vectors and coordinates from the n-sphere and n-ball http://compneuro.uwa[...] Centre for Theoretical Neuroscience
_[6] Citation One Pager on Eigenvectors https://doi.org/10.1[...] Springer International Publishing 2023-05-19
_[7] citation Classical Topology and Combinatorial Group Theory https://books.google[...] Springer
_[8] 논문 On the history of the Hopf problem
_[9] 논문 The Clique Complex and Hypergraph Matching 2001-01-01
_[10] 서적 Homology theory Springer 1994
_[11] 웹사이트 http://math.stackexc[...]
_[12] 저널 18 lectures on K-Theory 2010-08
_[13] 저널 K-theory, reality, and orbifolds 1999
_[14] 저널 Almost transitive actions on spaces with the rational homotopy of sphere products http://www.helderman[...] 2005

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