보르수크-울람 정리

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1. 개요

보르수크-울람 정리는 임의의 연속 함수 f: S^n → R^n에 대해 f(x) = f(-x)인 점 x가 존재한다는 정리이다. 이 정리는 스타니스와프 울람이 추측하고 카롤 보르수크가 1933년에 증명했으며, 기함수, 되돌림, 터커의 보조정리 등과 동치 명제를 갖는다. 1차원 경우의 증명은 중간값 정리를 사용하며, 일반적인 경우 대수적 위상수학 또는 조합론적 증명이 가능하다. 이 정리의 따름정리로는 R^n의 어떤 부분 집합도 S^n과 위상 동형이 아니라는 것과 햄 샌드위치 정리가 있다. 보르수크-울람 정리는 일반화될 수 있으며, 대칭 부분 집합의 경계 또는 리만 다양체에서도 성립한다.

보르수크-울람 정리

분야	대수적 위상수학
설명	n-차원 구에서 n-차원 유클리드 공간으로 가는 연속 함수는 반드시 반대 지점으로 같은 값을 갖는 점을 갖는다.
관련 항목	고정점 정리

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1. 개요
2. 정의
3. 역사
4. 동치 명제
- 4.1. 기함수
- 4.2. 되돌림(Retraction)
5. 증명
- 5.1. 1차원 경우
- 5.2. 일반적인 경우
  - 5.2.1. 대수적 위상수학적 증명
  - 5.2.2. 조합론적 증명
6. 따름정리(결과)
7. 동치인 결과들
8. 일반화

2. 정의

연속함수 $f\colon S^n\to\mathbb R^n$ 에 대하여,
: $f(x)=f(-x)$
인 점 $x\in S^n\subset\mathbb R^{n+1}$ 이 존재한다. 여기서 $-x$ 는 $x$ 의 대척점이다.

3. 역사

이 정리는 스타니스와프 울람이 추측했고, 카롤 보르수크가 1933년에 증명했다.

4. 동치 명제

다음 명제들은 보르수크-울람 정리와 동치이다.

4.1. 기함수

어떤 함수 $g$ 가 모든 $x$ 에 대해 $g(-x)=-g(x)$ 를 만족하면, 이 함수를 "기함수"(또는 "대척점", "대척점 보존" 함수)라고 부른다.

보르수크-울람 정리는 다음과 같은 명제와 동치이다: $n$ 차원 구에서 유클리드 공간 $n$ 차원으로의 연속적인 기함수는 영점을 갖는다.

이에 대한 증명은 다음과 같다:

* 만약 보르수크-울람 정리가 참이라면, 기함수에 대해서도 참이어야 한다. 기함수의 경우 $g(-x)=-g(x)$ 이므로, $g(x)=0$ 인 점이 존재해야 한다. 따라서 모든 기함수 연속 함수는 영점을 갖는다.

* 임의의 연속 함수 $f$ 에 대해, $g(x)=f(x)-f(-x)$ 로 정의된 함수 $g$ 는 연속이며 기함수이다. 만약 모든 기함수 연속 함수가 영점을 갖는다면, $g$ 는 영점을 가져야 하고, 이는 곧 $f(x)=f(-x)$ 임을 의미한다. 따라서 보르수크-울람 정리가 성립한다.

4.2. 되돌림(Retraction)

되돌림(Retraction)을 함수 $h: S^n \to S^{n-1}$ 으로 정의한다. 보르수크-울람 정리는 다음 주장과 동등하다: 연속적인 홀수 되돌림은 없다.

증명: 만약 정리가 옳다면, $S^n$ 에서 모든 연속적인 홀수 함수는 0을 범위에 포함해야 한다. 그러나 $0 \notin S^{n-1}$ 이므로 범위가 $S^{n-1}$ 인 연속적인 홀수 함수는 존재할 수 없다.

반대로, 만약 정리가 틀리다면, 0을 갖지 않는 연속적인 홀수 함수 $g: S^n \to \Bbb{R}^n$ 이 존재한다. 그러면 다음과 같이 또 다른 홀수 함수 $h: S^n \to S^{n-1}$ 을 구성할 수 있다.

: $h(x)=\frac{g(x)}$

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g

는 0을 갖지 않으므로

h

는 잘 정의되고 연속적이다. 따라서 연속적인 홀수 되돌림을 갖게 된다.

5. 증명

중간값 정리를 사용하면 1차원 경우를 쉽게 증명할 수 있다. 함수 $g$ 를 $g(x) = f(x) - f(-x)$ 로 정의하면, 이 함수는 원 위의 홀수 실수 연속 함수가 된다. 임의의 점 $x$ 에 대해 $g(x) = 0$ 이면 증명이 완료된다. 그렇지 않고, $g(x) > 0$ 이라고 가정하면, $g(-x) < 0$ 이 된다. 따라서 중간값 정리에 의해 $g(y) = 0$ 인 점 $y$ 가 존재한다.

일반적인 경우, 보르수크-울람 정리는 다음과 같이 증명할 수 있다.

* n > 2 인 경우, 홀수 연속 함수 $h: S^n \to S^{n-1}$ 에 대해, 대척점에 대한 작용 하에서 궤도로 이동하면 실수 사영 공간 사이에서 유도된 연속 함수 $h': \mathbb{RP}^n \to \mathbb{RP}^{n-1}$ 을 얻게 되며, 이는 기본군에서 동형을 유도한다.
* 후레비츠 정리에 의해, $\mathbb F_2$ 계수를 갖는 환 준동형 사상에 유도된 코호몰로지에서 b는 a로 보내진다. 하지만 그러면 $b^n = 0$ 이 $a^n \neq 0$ 으로 보내지게 되므로 모순이다.
* 임의의 홀수 사상 $S^{n-1} \to S^{n-1}$ 이 홀수의 차수를 갖는다는 더 강한 명제를 보일 수도 있으며, 이 결과를 통해 정리를 추론할 수 있다.
* 터커의 보조정리를 통해서도 보르수크-울람 정리를 증명할 수 있다.

5.1. 1차원 경우

중간값 정리를 사용하면 1차원 경우를 쉽게 증명할 수 있다.

$g$ 를 $g(x)=f(x)-f(-x)$ 로 정의된 원 위의 홀수 실수 연속 함수라고 하자. 임의의 $x$ 를 선택한다. 만약 $g(x)=0$ 이면 증명이 완료된 것이다. 그렇지 않고, 일반성을 잃지 않고 $g(x)>0$ 이라고 가정하자. 그러면 $g(-x)<0$ 이다. 따라서 중간값 정리에 의해 $g(y)=0$ 인 점 $y$ 가 존재한다.

5.2. 일반적인 경우

일반적인 경우 보르수크-울람 정리는 다음과 같이 증명할 수 있다.

* n > 2 인 경우, 홀수 연속 함수 $h: S^n \to S^{n-1}$ 에 대해, 대척점에 대한 작용 하에서 궤도로 이동하면 실수 사영 공간 사이에서 유도된 연속 함수 $h': \mathbb{RP}^n \to \mathbb{RP}^{n-1}$ 을 얻게 되며, 이는 기본군에서 동형을 유도한다.
* 후레비츠 정리에 의해, $\mathbb F_2$ 계수를 갖는 환 준동형 사상에 유도된 코호몰로지에서 b는 a로 보내진다. 하지만 그러면 $b^n = 0$ 이 $a^n \neq 0$ 으로 보내지게 되므로 모순이다.
* 임의의 홀수 사상 $S^{n-1} \to S^{n-1}$ 이 홀수의 차수를 갖는다는 더 강한 명제를 보일 수도 있으며, 이 결과를 통해 정리를 추론할 수 있다.
* 터커의 보조정리를 통해서도 보르수크-울람 정리를 증명할 수 있다.
* 연속적인 홀함수 $g : S^n \to \R^n$ 에 대해, g는 콤팩트 공간 영역에서 연속이므로 균등 연속이다.
* 길이가 최대 $\delta$ 인 가장자리를 갖는 $S_n$ 의 삼각화를 정의하고, 각 꼭짓점 $v$ 에 라벨 $l(v)\in {\pm 1, \pm 2, \ldots, \pm n}$ 을 부여한다.
* 터커의 보조정리에 의해 반대 라벨을 가진 인접한 두 꼭짓점 $u, v$ 가 존재한다.
* 삼각화 구성에 의해 $g(u)$ 와 $g(v)$ 사이의 거리는 최대 $\epsilon$ 이므로, $|g(u)_1 - g(v)_1| = |g(u)_1| + |g(v)_1| \leq \epsilon$ 이다.
* $|g(u)| \leq c_n \epsilon$ 이며, 여기서 $c_n$ 은 선택한 노름 $|\cdot|$ 과 $n$ 에 의존하는 상수이다.
* 위는 모든 $\epsilon > 0$ 에 대해 참이고, $S_n$ 은 콤팩트이므로 $|g(u)|=0$ 인 점 $u$ 가 존재한다.

5.2.1. 대수적 위상수학적 증명

$h: S^n \to S^{n-1}$ 이 $n > 2$ 인 홀수 연속 함수라고 가정한다(경우 $n = 1$ 은 위에서 다루었고, 경우 $n = 2$ 는 기본적인 덮개 이론을 사용하여 처리할 수 있다). 대척점에 대한 작용 하에서 궤도로 이동하면, 실수 사영 공간 사이에서 유도된 연속 함수 $h': \mathbb{RP}^n \to \mathbb{RP}^{n-1}$ 을 얻게 되며, 이는 기본군에서 동형을 유도한다. 후레비츠 정리에 의해, $\mathbb F_2$ 계수를 갖는 환 준동형 사상에 유도된 코호몰로지에서 [여기서 $\mathbb F_2$ 는 두 원소를 갖는 체를 나타낸다],

: $\mathbb F_2[a]/a^{n+1} = H^*\left(\mathbb{RP}^n; \mathbb{F}_2\right) \leftarrow H^*\left(\mathbb{RP}^{n-1}; \mathbb F_2\right) = \mathbb F_2[b]/b^{n},$

는 $b$ 를 $a$ 로 보낸다. 하지만 그러면 $b^n = 0$ 이 $a^n \neq 0$ 으로 보내지게 되므로 모순이다.

임의의 홀수 사상 $S^{n-1} \to S^{n-1}$ 이 홀수의 차수를 갖는다는 더 강한 명제를 보일 수도 있으며, 이 결과를 통해 정리를 추론할 수 있다.

5.2.2. 조합론적 증명

터커의 보조정리를 통해 보르수크-울람 정리를 증명할 수 있다.

$g : S^n \to \R^n$ 를 연속적인 홀함수라고 가정하자. g는 콤팩트 공간 영역에서 연속이므로 균등 연속이다. 따라서 모든 $\epsilon > 0$ 에 대해, $S_n$ 에서 서로 $\delta$ 이내에 있는 두 점의 g에 대한 상(image)은 서로 $\epsilon$ 이내에 있다.

길이가 최대 $\delta$ 인 가장자리를 갖는 $S_n$ 의 삼각화를 정의하고, 각 꼭짓점 $v$ 에 라벨 $l(v)\in {\pm 1, \pm 2, \ldots, \pm n}$ 을 다음과 같이 부여한다.

* 라벨의 절댓값은 g에서 절댓값이 가장 큰 좌표의 인덱스이다: $|l(v)| = \arg\max_k (|g(v)_k|)$ .
* 라벨의 부호는 g의 부호와 같다: $l(v) = \sgn (g(v)) |l(v)|$ .

g가 홀함수이므로 라벨링도 홀함수이다: $l(-v) = -l(v)$ . 터커의 보조정리에 의해 반대 라벨을 가진 인접한 두 꼭짓점 $u, v$ 가 존재한다. 일반성을 잃지 않고 $l(u)=1, l(v)=-1$ 이라고 가정하면, l의 정의에 의해 $g(u)$ 와 $g(v)$ 모두 좌표 #1이 가장 큰 좌표이다. $g(u)$ 에서는 이 좌표가 양수이고 $g(v)$ 에서는 음수이다. 삼각화 구성에 의해 $g(u)$ 와 $g(v)$ 사이의 거리는 최대 $\epsilon$ 이므로, $|g(u)_1 - g(v)_1| = |g(u)_1| + |g(v)_1| \leq \epsilon$ 이다. ( $g(u)_1$ 과 $g(v)_1$ 은 반대 부호를 가지므로) 또한 $|g(u)_1| \leq \epsilon$ 이다. $g(u)$ 의 가장 큰 좌표가 #1이므로, 모든 $1 \leq k \leq n$ 에 대해 $|g(u)_k| \leq \epsilon$ 이다. 따라서 $|g(u)| \leq c_n \epsilon$ 이며, 여기서 $c_n$ 은 선택한 노름 $|\cdot|$ 과 $n$ 에 의존하는 상수이다.

위는 모든 $\epsilon > 0$ 에 대해 참이고, $S_n$ 은 콤팩트이므로 $|g(u)|=0$ 인 점 u가 존재한다.

6. 따름정리(결과)

* Rⁿ^영어의 어떤 부분 집합도 Sⁿ^영어과 위상 동형이 아니다.
* 햄 샌드위치 정리: Rⁿ^영어에 있는 모든 콤팩트 집합 A₁, ..., A_n에 대해, 항상 각 집합을 같은 크기의 두 부분 집합으로 나누는 초평면을 찾을 수 있다.

7. 동치인 결과들

우리는 위에서 터커의 보조정리로부터 보르수크-울람 정리를 증명하는 방법을 보였다. 역도 또한 성립한다. 즉, 보르수크-울람 정리로부터 터커의 보조정리를 증명하는 것이 가능하다. 따라서 이 두 정리는 서로 동치이다.

세 가지 동치 변형으로 제공되는 몇 가지 고정점 정리가 있다. 대수적 위상수학 변형, 조합론적 변형 및 집합 덮개 변형이다. 각 변형은 완전히 다른 논증을 사용하여 개별적으로 증명할 수 있지만, 각 변형은 또한 행의 다른 변형으로 축소될 수 있다. 또한, 맨 위 행의 각 결과는 동일한 열에서 그 아래에 있는 결과로부터 추론될 수 있다.

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대수적 위상수학	조합론	집합 덮개
브라우어 고정점 정리	스퍼너의 보조정리	크나스터-쿠라토프스키-마주르키에비츠 보조정리
보르수크-울람 정리	터커의 보조정리	러스터닉-슈니렐만 정리

8. 일반화

함수 f의 정의역은 원래 단위 n-구(단위 n-공의 경계)이다. 일반적으로, f의 정의역이 원점을 포함하는 $\R^n$ 의 열린 유계 대칭 부분 집합의 경계일 때도 마찬가지이다. 여기서 대칭은 x가 부분 집합에 속하면 -x도 부분 집합에 속한다는 것을 의미한다.

더 일반적으로, $M$ 이 콤팩트한 n차원 리만 다양체이고 $f: M \rightarrow \mathbb{R}^n$ 이 연속 함수라면, 임의의 주어진 $\delta > 0$ 에 대해 $f(x) = f(y)$ 이고 x와 y가 길이 $\delta$ 의 측지선으로 연결되는 점 x와 y가 $M$ 에 존재한다.

점을 그 대척점으로 매핑하는 함수 A를 고려하면, $A(x) = -x$ 이고 $A(A(x))=x$ 이다. 원래 정리에서는 $f(A(x))=f(x)$ 인 점 x가 존재한다고 주장한다. 일반적으로, 이것은 $A(A(x))=x$ 인 모든 함수 A에 대해서도 참이다. 그러나, 일반적으로 다른 함수 A에 대해서는 이것이 참이 아니다.