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콤팩트 공간

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목차

1. 개요

콤팩트 공간은 위상 공간의 한 종류로, 다양한 정의와 특징을 갖는다. 콤팩트 공간은 열린 덮개에 대해 유한 부분 덮개를 가지는 공간으로 정의되며, 유클리드 공간에서는 닫힌 유계 집합과 동치이다. 콤팩트성은 완비성과 전유계성, 점렬 콤팩트성 등과도 관련이 있으며, 콤팩트 공간의 연속적인 상은 콤팩트하고, 하우스도르프 공간의 콤팩트 부분 집합은 닫힌 집합이다. 콤팩트 공간은 콤팩트 하우스도르프 공간에서 닫힌 집합과 동치 관계를 가지며, 콤팩트 공간의 곱공간은 콤팩트하다는 티호노프 정리가 성립한다. 콤팩트 공간의 개념은 국소 콤팩트, 시그마 콤팩트, 린델뢰프, 파라콤팩트 등 다양한 관련 개념으로 확장되어 연구된다.

2. 정의

위상 공간 X에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이며, 이 조건들을 만족시키는 위상 공간을 '''콤팩트 공간'''이라고 한다.


  • X의 모든 열린 덮개는 유한 부분 덮개를 갖는다. 즉, X의 임의의 열린 집합들의 집합 \mathcal U에 대하여, 만약 \bigcup\mathcal U=X라면, \bigcup\mathcal U' = X인 유한 집합 \mathcal U'\subset\mathcal U가 존재한다.
  • 임의의 닫힌집합들의 집합 \mathcal C\subset\mathcal P(X)에 대하여, 만약 \mathcal C가 유한 교집합 성질을 만족한다면 (즉, 임의의 유한 집합 \mathcal C'\subset\mathcal C에 대하여 \bigcap\mathcal C'\ne\varnothing이라면), \bigcap\mathcal C\ne\varnothing이다.
  • X의 열린 덮개가 사슬이라면, 유한 부분 덮개를 갖는다.
  • 모든 열린 덮개 \mathcal U\subset\mathcal S가 유한 부분 덮개를 갖는 부분 기저 \mathcal S\subset\mathcal P(X)가 존재한다.
  • 임의의 필터 \mathcal F\subset\mathcal P(X)에 대하여, (하나 이상의 점으로) 수렴하는 필터 \mathcal F'\supset\mathcal F가 존재한다.
  • X 위의 모든 그물은 수렴 부분 그물을 갖는다.
  • X 위의 모든 필터는 집적점을 갖는다.
  • X 위의 모든 그물은 집적점을 갖는다.
  • X 위의 모든 극대 필터는 (하나 이상의 점으로) 수렴한다.
  • X 위의 모든 극대 그물은 (하나 이상의 점으로) 수렴한다.
  • X는 린델뢰프 공간이며 가산 콤팩트 공간이다.
  • 임의의 위상 공간 Y에 대하여, 사영 함수 X\times Y\to Y는 (정의역에 곱위상을 부여하였을 때) 닫힌 함수이다.
  • 임의의 정규 하우스도르프 공간 Y에 대하여, 사영 함수 X\times Y\to Y는 (정의역에 곱위상을 부여하였을 때) 닫힌 함수이다.
  • 모든 무한 집합 S\subseteq X는 완비 집적점을 갖는다.


모든 유한 공간은 콤팩트 공간이다. 각 점에 대해 그 점을 포함하는 열린 집합을 선택하여 유한 부분 덮개를 얻을 수 있다. 콤팩트 공간의 비자명한 예시는 실수의 (닫힌) 단위 구간이다. 단위 구간에서 무한히 많은 수의 서로 다른 점을 선택하면, 이 구간 내에 이러한 점들 중 일부 집적점이 있어야 한다. 예를 들어, 수열 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{3}{4},\frac{1}{5},\frac{5}{6},\frac{1}{7},\frac{7}{8},\dots의 홀수 번째 항들은 0에 임의로 가까워지고, 짝수 번째 항들은 1에 임의로 가까워진다. 주어진 예시 수열은 경계 점을 포함하는 것이 얼마나 중요한지를 보여준다. 왜냐하면 극한점은 공간 자체 안에 있어야 하기 때문이다. — 실수의 열린 (또는 반 열린) 구간은 콤팩트하지 않다. 또한 구간이 유계인 것도 중요한데, [0,\infty) 구간에서는 수열 0, 1, 2, 3, \dots을 선택할 수 있으며, 이 수열의 부분 수열은 임의의 주어진 실수에 임의로 가까워지지 않는다.

2차원에서는 닫힌 원판이 콤팩트 공간인데, 원판에서 추출된 무한히 많은 점에 대해, 해당 점들의 일부 부분 집합은 원판 내부의 점이나 경계의 점에 임의로 가까워져야 하기 때문이다. 그러나 열린 원판은 콤팩트하지 않은데, 점의 수열이 경계로 향할 수 있고, 내부의 어떤 점에도 임의로 가까워지지 않기 때문이다. 마찬가지로, 구는 콤팩트하지만, 한 점이 없는 구는 콤팩트하지 않은데, 점의 수열이 여전히 빠진 점으로 향할 수 있고, 그럼으로써 공간 ''내부''의 어떤 점에도 임의로 가까워지지 않기 때문이다. 선과 평면은 콤팩트하지 않은데, 임의의 방향으로 등간격으로 배치된 점들의 집합을 선택할 수 있으며, 이는 어떤 점에도 접근하지 않는다.

위상 공간 X의 부분 집합 K는 부분 공간 위상으로서 콤팩트하면 콤팩트하다고 한다. 즉, K는 X의 열린 부분 집합들의 임의의 모임 C에 대해 다음을 만족하면 콤팩트하다.

:K \subseteq \bigcup_{S \in C} S

이때 다음을 만족하는 '''유한''' 부분 모임 F \subseteq C가 존재한다.

:K \subseteq \bigcup_{S \in F} S

콤팩트성은 위상 불변이므로, 부분 집합의 콤팩트성은 부분 집합에 유도된 부분 공간 위상에만 의존한다. 따라서 K \subset Z \subset Y이고, 부분 집합 Z가 부분 공간 위상을 갖는다면, K는 Z에서 콤팩트할 필요충분조건은 K가 Y에서 콤팩트하다는 것이다.

2. 1. 유클리드 공간의 콤팩트 집합

유클리드 공간의 부분 집합이 콤팩트이기 위한 필요충분조건은 닫힌 집합이면서 유계 집합인 것이다. 이는 볼차노-바이어슈트라스 정리에 따라, 집합의 무한 수열은 집합 내의 점으로 수렴하는 부분 수열을 가진다는 것을 의미한다. 수열 콤팩트 및 극한점 콤팩트와 같이 콤팩트성에 대한 다양한 동치 개념은 일반적인 거리 공간에서 개발될 수 있다.[3]

하이네-보렐 정리에 따르면 유클리드 공간 \mathbb R^n의 부분 집합 S가 콤팩트 집합이 되기 위한 필요충분조건은 S가 닫힌 집합이며 유계 집합인 것이다.

2. 2. 거리 공간에서의 콤팩트성

거리 공간 (X, d)의 부분 집합이 콤팩트하면, d-유계이다. 콤팩트 개념은 다음 두 가지 성질과 동치이다. (두 성질 중 적어도 하나를 만족하면, 다른 하나도 만족한다.)

1. (유향점족에 대한) 볼차노-바이어슈트라스 성질: 볼차노-바이어슈트라스 정리를 \mathbb{R}^n의 유계 폐집합에 대해 확장한 것이다. 이 성질은 점열의 확장 개념인 유향점족의 극한이 발산하지 않음을 의미한다.

콤팩트 공간에서는 유향점족이 X 밖으로 "발산"하지 않고, X 내에서 "수렴"하거나 "진동"한다.[21] 따라서 임의의 유향점족은 수렴하는 부분열을 가진다. 이 사실로 콤팩트성을 엄밀하게 정의한다.

콤팩트 공간은 "밖으로 발산하는 유향점족이 없다"는 점에서 폐집합보다 더 "닫힌" 공간이다. 실제로 하우스도르프 공간에서 콤팩트 부분 집합은 항상 폐집합이다. 이러한 이유로 콤팩트 다양체를 "폐다양체"라고 부르기도 한다.[22]

2. 3. 다른 정의들

위상 공간 X에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 '''콤팩트 공간'''이라고 한다.

  • X의 모든 열린 덮개는 유한 부분 덮개를 갖는다.
  • 임의의 닫힌집합들의 집합 \mathcal C\subset\mathcal P(X)에 대하여, 만약 \mathcal C가 유한 교집합 성질을 만족한다면, \bigcap\mathcal C\ne\varnothing이다.
  • X의 열린 덮개가 사슬이라면, 유한 부분 덮개를 갖는다.
  • 모든 열린 덮개가 유한 부분 덮개를 갖는 부분 기저가 존재한다.
  • 임의의 필터 \mathcal F\subset\mathcal P(X)에 대하여, (하나 이상의 점으로) 수렴하는 필터 \mathcal F'\supset\mathcal F가 존재한다.


모든 유한 공간은 콤팩트 공간이다. 각 점에 대해 그 점을 포함하는 열린 집합을 선택하여 유한 부분 덮개를 얻을 수 있다. 콤팩트 공간의 비자명한 예시는 실수의 (닫힌) 단위 구간이다. 단위 구간에서 무한히 많은 수의 서로 다른 점을 선택하면, 이 구간 내에 이러한 점들 중 일부 집적점이 있어야 한다. 예를 들어, 수열 1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{3}{4},\frac{1}{5},\frac{5}{6},\frac{1}{7},\frac{7}{8},\dots의 홀수 번째 항들은 0에 임의로 가까워지고, 짝수 번째 항들은 1에 임의로 가까워진다. 주어진 예시 수열은 경계 점을 포함하는 것이 얼마나 중요한지를 보여준다. 왜냐하면 극한점은 공간 자체 안에 있어야 하기 때문이다. — 실수의 열린 (또는 반 열린) 구간은 콤팩트하지 않다. 또한 구간이 유계인 것도 중요한데, [0,\infty) 구간에서는 수열 0, 1, 2, 3, \dots을 선택할 수 있으며, 이 수열의 부분 수열은 임의의 주어진 실수에 임의로 가까워지지 않는다.

2차원에서는 닫힌 원판이 콤팩트 공간인데, 원판에서 추출된 무한히 많은 점에 대해, 해당 점들의 일부 부분 집합은 원판 내부의 점이나 경계의 점에 임의로 가까워져야 하기 때문이다. 그러나 열린 원판은 콤팩트하지 않은데, 점의 수열이 경계로 향할 수 있고, 내부의 어떤 점에도 임의로 가까워지지 않기 때문이다. 마찬가지로, 구는 콤팩트하지만, 한 점이 없는 구는 콤팩트하지 않은데, 점의 수열이 여전히 빠진 점으로 향할 수 있고, 그럼으로써 공간 ''내부''의 어떤 점에도 임의로 가까워지지 않기 때문이다. 선과 평면은 콤팩트하지 않은데, 임의의 방향으로 등간격으로 배치된 점들의 집합을 선택할 수 있으며, 이는 어떤 점에도 접근하지 않는다.

위상 공간 X의 부분 집합 K는 부분 공간(부분 공간 위상)으로서 콤팩트하면 콤팩트하다고 한다. 즉, K는 X의 열린 부분 집합들의 임의의 모임 C에 대해 다음을 만족하면 콤팩트하다.

:K \subseteq \bigcup_{S \in C} S

이때 다음을 만족하는 '''유한''' 부분 모임 F \subseteq C가 존재한다.

:K \subseteq \bigcup_{S \in F} S

콤팩트성은 위상 불변이므로, 부분 집합의 콤팩트성은 부분 집합에 유도된 부분 공간 위상에만 의존한다. 따라서 K \subset Z \subset Y이고, 부분 집합 Z가 부분 공간 위상을 갖는다면, K는 Z에서 콤팩트할 필요충분조건은 K가 Y에서 콤팩트하다는 것이다.

2. 3. 1. 볼차노-바이어슈트라스 성질에 의한 정의

콤팩트 공간은 다음의 동치인 성질 중 하나(따라서 둘 다)를 만족하는 공간으로 정의할 수 있다.

  • (유향점족에 대한) 볼차노-바이어슈트라스 성질Bolzano–Weierstrass property영어: 이 성질은 볼차노-바이어슈트라스 정리의 결론을 확장한 것으로, 직관적으로 유향점족의 극한이 발산하지 않는다는 것을 의미한다. 콤팩트 공간에서는 유향점족이 공간 "밖"으로 "발산"하지 않으므로, 공간 내에서 "수렴"하거나 "진동"한다.[21] 따라서 임의의 유향점족에는 수렴하는 부분열을 취할 수 있으며, 엄밀히 말하면 이 사실로 콤팩트성을 정의한다.


콤팩트 공간은 "밖으로 발산하는 유향점족이 없다"는 의미에서 폐집합보다 더 "닫힌" 공간이라고 할 수 있다. 실제로 하우스도르프 공간에서는 콤팩트 부분 집합은 반드시 폐집합이 된다. 이러한 이유로 콤팩트 공간에는 "폐"라는 접두사를 붙여 부르는 경우가 있으며, 예를 들어 콤팩트 다양체는 "폐다양체"라고 불린다.[22]

2. 3. 2. 하이네-보렐 성질에 의한 정의

위상 공간 X가 다음 조건을 만족시키면 '''콤팩트 공간'''이라고 한다.

  • X의 모든 열린 덮개는 유한 부분 덮개를 갖는다. 즉, X의 임의의 열린 집합들의 집합 \mathcal U에 대하여, 만약 \bigcup\mathcal U=X라면, \bigcup\mathcal U' = X인 유한 집합 \mathcal U'\subset\mathcal U가 존재한다.


콤팩트를 특징짓는 이 성질은 '''하이네-보렐 성질'''이라고 하며, 이는 \mathbb{R}^n의 유계 폐집합에 대한 하이네-보렐의 덮개 정리의 결론 부분에 해당한다.

학부 수준의 교과서에서는 하이네-보렐 성질을 콤팩트의 정의로 채택하고 있는 경우가 많다.[26]

2. 3. 3. 기타 특징

위상 공간 X에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 위상 공간을 콤팩트 공간이라고 한다.

3. 성질

콤팩트 공간의 닫힌 집합은 콤팩트하다.[16] 콤팩트 집합들의 유한 합집합은 콤팩트하다.

하우스도르프 공간의 콤팩트 부분 집합은 닫힌 집합이다.[17] 그러나 이는 하우스도르프 공간이 아닌 공간에서는 성립하지 않을 수 있다.

어떤 합집합에 의해 보존되는 성질이 콤팩트 공간에서 국소적으로 성립한다면, 이는 대역적으로도 성립한다.[53]

임의의 수의 콤팩트 공간들의 곱공간은 콤팩트하다 (티호노프 정리).

콤팩트 공간에서 하우스도르프 공간으로의 연속 전단사 함수는 동형 사상이다.

콤팩트 하우스도르프 공간은 정규 공간이고 정칙 공간이다.

3. 1. 함수와 콤팩트 공간

콤팩트 공간의 연속 함수의 상은 콤팩트하므로, 그러한 공간에 대해 최댓값 정리가 성립한다. 즉, 비어 있지 않은 콤팩트 공간 위의 연속 실수 값 함수는 위로 유계이며 상한에 도달한다.[18]

콤팩트 공간은 "밖으로 발산하는 유향점족이 없다"는 의미에서 폐집합보다 더욱 "닫힌" 공간이라고 할 수 있으며, 실제로 하우스도르프 공간에서는 콤팩트 부분 집합은 반드시 폐집합이 된다는 사실이 알려져 있다.

하이네-보렐 정리는 정리 증명 등에서 공간 $X$의 각 점 $x$의 근방 $O_x$에서 국소적으로 증명된 성질을 $X$ 전체로 확장할 때 사용된다.

구체적으로는 다음 정리 (하이네-칸토어 정리)의 증명을 바탕으로 하이네-보렐 성질의 사용법을 설명한다.

이 정리는 하이네-보렐 성질을 이용하여 다음과 같이 증명한다. 먼저 $f$의 연속성에 의해 임의로 $\varepsilon > 0$을 고정할 때, $X$의 각 점 $x$의 어떤 $\delta_x$-근방이 $f(B_{\delta_x}(x))\subset B_{\varepsilon}(f(x))$를 만족한다. 여기서 $B_{\varepsilon}(y)$는 점 $y$의 $\varepsilon$-근방을 나타낸다.

이 $\delta_x$는 $x$에 의존하지만, 만약 양수 $\varepsilon$을 주었을 때 $f(B_{\delta}(x))\subset B_{\varepsilon}(f(x))$를 만족하는 양수 $\delta$를 점 $x$에 의존하지 않고 선택할 수 있다면 $f$의 $X$에서의 균등 연속성을 말할 수 있다.

그래서 하이네-보렐 성질을 사용하여 열린 덮개 $\mathcal{S}=\{B_{\delta_x/2}(x)|x\in X\}$의 유한 부분 덮개 $\mathcal{T}=\{B_{\delta_{x_i}/2}(x_i)|i=1,\ldots,n\}$를 선택하고,

$\delta=\min_{i}\delta_{x_i}/4$

로 하면 $\delta_{x_i}$의 '''개수는 유한개이므로''' $\delta>0$임이 보장된다.

게다가 $\mathcal{T}$가 $X$를 덮고 있으므로, 임의의 $x \in X$에 대해, $x\in B_{\delta_{x_i}}(x_i)$가 되는 $x_i$가 존재하여,

$

f(B_{\delta}(x))\subset f(B_{\delta_i}(x))\subset B_{\varepsilon}(f(x))

$

가 되므로 $f$의 $X$에서의 균등 연속성을 말할 수 있다.

4. 예

5. 관련 개념

콤팩트 공간의 성질을 더 잘 이해하고 그와 유사한 공간들을 다루기 위해 여러 가지 콤팩트 개념이 개발되었다. 뇌터 공간, 국소 콤팩트 공간, 가산콤팩트 공간, 극한점 콤팩트 공간, 린델뢰프 공간, 점렬 콤팩트 공간, 파라콤팩트 공간, 유사콤팩트 공간, 메조콤팩트 공간, 메타콤팩트 공간, 직교 콤팩트 공간, 시그마 콤팩트 공간, 반콤팩트 공간, 초콤팩트 공간, 희박 콤팩트 공간, 준파라콤팩트 공간 등이 그 예시이다.[19]

실수의 비어있지 않은 콤팩트 부분 집합은 최댓값과 최솟값을 갖는다. 전순서 집합에 순서 위상을 부여했을 때, 이 공간이 콤팩트일 필요충분조건은 모든 부분 집합이 상한과 하한을 갖는 완비 격자인 것이다.[19]

5. 1. 개념들 간의 함의 관계

개념함의 관계
뇌터 공간뇌터 공간 → 콤팩트 공간
초콤팩트 공간초콤팩트 공간 → 콤팩트 공간
콤팩트 공간콤팩트 공간 → 국소 콤팩트 공간
콤팩트 공간콤팩트 공간 → 반콤팩트 공간 → 시그마 콤팩트 공간 → 린델뢰프 공간
린델뢰프 공간이면서 가산콤팩트 공간인 경우린델뢰프 공간이면서 가산콤팩트 공간 → 콤팩트 공간
국소 콤팩트 공간이면서 린델뢰프 공간인 경우국소 콤팩트 공간이면서 린델뢰프 공간 → 반콤팩트 공간
콤팩트 공간콤팩트 공간 → 가산콤팩트 공간 → 유사콤팩트 공간
점렬 콤팩트 공간점렬 콤팩트 공간 → 가산콤팩트 공간 → 극한점 콤팩트 공간
제1 가산 가산콤팩트 공간제1 가산 가산콤팩트 공간 → 점렬 콤팩트 공간
T1 공간T1 공간에서 점렬 콤팩트 공간, 가산콤팩트 공간, 극한점 콤팩트 공간은 동치.
T4 유사콤팩트 공간T4 유사콤팩트 공간 → 가산콤팩트 공간
콤팩트 공간콤팩트 공간 → 희박 콤팩트 공간 → 유사콤팩트 공간
희박 콤팩트 공간이면서 파라콤팩트 공간인 경우희박 콤팩트 공간이면서 파라콤팩트 공간 → 콤팩트 공간
유사콤팩트 공간이면서 완비 정칙 공간인 경우유사콤팩트 공간 완비 정칙 공간 → 희박 콤팩트 공간
거리화 가능 공간거리화 가능 공간에서 콤팩트 공간, 가산콤팩트 공간, 점렬 콤팩트 공간, 극한점 콤팩트 공간, 유사콤팩트 공간, 희박 콤팩트 공간은 동치.
린델뢰프 공간이면서 정칙 공간인 경우린델뢰프 공간 정칙 공간 → 파라콤팩트 공간 (모리타의 정리)
콤팩트 공간콤팩트 공간 → 파라콤팩트 공간 → 메조콤팩트 공간 → 메타콤팩트 공간 → 직교 콤팩트 공간
파라콤팩트 공간이면서 정칙 공간인 경우파라콤팩트 공간 정칙 공간 → 준파라콤팩트 공간


5. 2. 콤팩트화

모든 위상 공간은 알렉산드로프 일점 콤팩트화에 의해, 원래 공간보다 최대 한 점 더 많은 콤팩트 공간의 열린 조밀한 부분 공간이 된다. 같은 구성을 통해, 모든 국소 콤팩트 하우스도르프 공간은 원래 공간보다 최대 한 점 더 많은 콤팩트 하우스도르프 공간의 열린 조밀한 부분 공간이 된다.[27]

6. 역사

모리스 르네 프레셰가 1906년에 '콤팩트'라는 용어를 처음 도입했다.[6]

한때 '콤팩트'는 '점렬 콤팩트'(모든 점렬이 수렴하는 부분 점렬을 갖는 성질)를 의미하기도 했다. 이는 거리화 가능 공간에서는 콤팩트와 점렬 콤팩트가 같기 때문이었다. 그러나 더 일반적인 위상 공간이 연구되면서 덮개를 이용한 정의가 중요해졌고, 함수 공간 연구 등에 유용하게 쓰였다.

니콜라 부르바키 등 일부 학자들은 '준콤팩트'(quasicompact영어)라는 용어를 사용하고, '콤팩트'는 하우스도르프이면서 콤팩트한 공간을 가리킬 때 사용한다.

19세기에는 콤팩트성의 결과로 밝혀진 여러 수학적 성질들이 연구되었다. 베르나르트 볼차노는 1817년에 경계가 있는 점의 수열은 극한점에 가까워지는 부분 수열을 가진다는 것을 증명했다.[4] 볼차노의 정리와 증명 방법은 카를 바이어슈트라스에 의해 재발견되기 전까지 거의 50년 동안 주목받지 못했다.

1880년대에는 볼차노-바이어슈트라스 정리와 유사한 결과가 함수 공간에 대해서도 공식화될 수 있다는 것이 밝혀졌다. 함수를 일반화된 공간의 점으로 보는 아이디어는 줄리오 아스콜리와 체사레 아르젤라의 연구에서 시작되었다.[5] 아르젤라-아스콜리 정리는 연속 함수 집합에 대한 볼차노-바이어슈트라스 정리의 일반화로, 균등 수렴하는 함수 수열을 추출할 수 있다는 결론을 제시했다. 20세기 초, 다비트 힐베르트와 에르하르트 슈미트는 적분 방정식 분야에서 아르젤라-아스콜리 정리와 유사한 성질을 연구하여 콤팩트 연산자 개념으로 이어졌다. 모리스 프레셰는 1906년에 이 현상을 '콤팩트성'이라고 명명했다.

19세기 말, 연속체 연구에서 콤팩트성의 또 다른 개념이 나타났다. 1870년, 에두아르트 하이네는 닫힌 유계 구간에서 정의된 연속 함수가 균등 연속임을 보였다. 에밀 보렐은 이 보조 정리를 일반화했고, 피에르 쿠쟁과 앙리 르베그에 의해 임의의 간격 집합으로 확장되었다. 하이네-보렐 정리는 실수의 닫힌 유계 집합이 가지는 중요한 성질이다.

이 성질은 집합에 대한 국소적 성질에서 전역적인 정보로의 전환을 가능하게 했다. 앙리 르베그는 이 아이디어를 그의 이름을 딴 적분 개발에 활용했다. 파벨 알렉산드로프와 파벨 우리손은 하이네-보렐 콤팩트성을 위상 공간의 현대적 개념에 적용할 수 있게 공식화했다. 이들은 프레셰의 콤팩트성 버전이 유한 부분 덮개의 존재 측면에서 공식화된 콤팩트성 버전으로부터 유도될 수 있음을 보였다.

7. 범주론적/집합론적 성질

선택 공리를 비롯한 추가적인 공리를 가정하지 않을 경우, 콤팩트 공간의 정의로서 사용되는 여러 조건들은 체르멜로-프렝켈 집합론에서 더 이상 동치가 아니게 된다.[54]

체르멜로-프렝켈 집합론에서, 위상 공간 X에 대하여 다음 조건들을 고려한다.


  • (A) 모든 열린 덮개가 유한 부분 덮개를 갖는다. (⇔모든 필터가 집적점을 갖는다.)
  • (B) 모든 극대 필터가 수렴한다.
  • (C) 모든 덮개 \mathcal U\subset\mathcal S가 유한 부분 덮개 \mathcal U'\subset\mathcal U를 갖게 되는 부분 기저 \mathcal S\subset\mathcal P(X)가 존재한다.
  • (D) 모든 사슬인 열린 덮개가 유한 부분 덮개를 갖는다.
  • (F) 모든 무한 집합이 완비 집적점을 갖는다.


이 조건들 사이에는 다음과 같은 함의 관계가 성립한다.[54]

  • (A) ⇒ (C) ⇒ (B)
  • (A) ⇒ (D) ⇒ 가산 콤팩트 공간
  • (A) ⇒ 극한점 콤팩트 공간
  • (F) ⇒ 극한점 콤팩트 공간


다음 명제들은 서로 동치이다.[55]

  • 선택 공리
  • 조건 (A)와 (F)는 서로 동치이다.
  • 조건 (B)와 (F)는 서로 동치이다.
  • 조건 (C)와 (F)는 서로 동치이다.
  • 조건 (A), (B), (C), (D), (F)는 서로 동치이다.
  • 조건 (A)를 만족시키는 위상 공간들의 곱공간은 조건 (A)를 만족시킨다.
  • 조건 (F)를 만족시키는 위상 공간들의 곱공간은 조건 (F)를 만족시킨다.
  • 위상이 유한한 위상 공간들의 곱공간은 조건 (A)를 만족시킨다.
  • 유한 개의 조건 (F)를 만족시키는 위상 공간들의 곱공간은 조건 (F)를 만족시킨다.
  • 임의의 기수 \kappa에 대하여, 두 점 이산 공간의 곱공간 2^\kappa는 조건 (F)를 만족시킨다.
  • 조건 (F)를 만족시키는 하우스도르프 공간의 범주는 하우스도르프 공간의 범주 \operatorname{Haus}의 전반사 부분 범주이다.


다음 명제들은 서로 동치이다.[55]

다음 명제들은 서로 동치이다.[55]

  • 선택 공리가 성립하거나, 아니면 모든 극대 필터는 주 필터이다.
  • 조건 (B)를 만족시키는 위상 공간들의 곱공간은 조건 (B)를 만족시킨다.

7. 1. 범주론적 성질

콤팩트 하우스도르프 공간과 닫힌 연속 함수는 범주 \operatorname{CommpHaus}를 이룬다. 이 범주에서, 전사 사상은 전사 함수인 연속 함수이다.

7. 2. 집합론적 성질

선택 공리를 비롯한 추가적인 공리를 가정하지 않을 경우, 콤팩트 공간의 정의로서 사용되는 여러 조건들은 체르멜로-프렝켈 집합론에서 더 이상 동치가 아니게 된다.[54]

체르멜로-프렝켈 집합론 속에서, 위상 공간 X에 대하여 다음 조건들을 생각하자.

  • (A) 모든 열린 덮개가 유한 부분 덮개를 갖는다. (⇔모든 필터가 집적점을 갖는다.)
  • (B) 모든 극대 필터가 수렴한다.
  • (C) 모든 덮개 \mathcal U\subset\mathcal S가 유한 부분 덮개 \mathcal U'\subset\mathcal U를 갖게 되는 부분 기저 \mathcal S\subset\mathcal P(X)가 존재한다.
  • (D) 모든 사슬인 열린 덮개가 유한 부분 덮개를 갖는다.
  • (F) 모든 무한 집합이 완비 집적점을 갖는다.


그렇다면 다음 함의 관계가 성립한다.[54]

  • (A) ⇒ (C) ⇒ (B)
  • (A) ⇒ (D) ⇒ 가산 콤팩트 공간
  • (A) ⇒ 극한점 콤팩트 공간
  • (F) ⇒ 극한점 콤팩트 공간


다음은 서로 동치이다.[55]

  • 선택 공리
  • 조건 (A)와 (F)는 서로 동치이다.
  • 조건 (B)와 (F)는 서로 동치이다.
  • 조건 (C)와 (F)는 서로 동치이다.
  • 조건 (A), (B), (C), (D), (F)는 서로 동치이다.
  • 조건 (A)를 만족시키는 위상 공간들의 곱공간은 조건 (A)를 만족시킨다.
  • 조건 (F)를 만족시키는 위상 공간들의 곱공간은 조건 (F)를 만족시킨다.
  • 위상이 유한한 위상 공간들의 곱공간은 조건 (A)를 만족시킨다.
  • 유한 개의 조건 (F)를 만족시키는 위상 공간들의 곱공간은 조건 (F)를 만족시킨다.
  • 임의의 기수 \kappa에 대하여, 두 점 이산 공간의 곱공간 2^\kappa는 조건 (F)를 만족시킨다.
  • 조건 (F)를 만족시키는 하우스도르프 공간의 범주는 하우스도르프 공간의 범주 \operatorname{Haus}의 전반사 부분 범주(epireflective subcategory영어)이다.


다음은 서로 동치이다.[55]

다음은 서로 동치이다.[55]

  • 선택 공리가 성립하거나, 아니면 모든 극대 필터는 주 필터이다.
  • 조건 (B)를 만족시키는 위상 공간들의 곱공간은 조건 (B)를 만족시킨다.

참조

[1] encyclopedia Compactness https://www.britanni[...] 2019-11-25
[2] book General Topology PWN
[3] 웹사이트 Sequential compactness http://www-groups.mc[...] 2019-11-25
[4] harvnb Kline 1990
[5] harvnb Kline 1990
[6] 간행물 "Generalisation d'un theorem de Weierstrass" 1904
[7] 웹사이트 Compact Space http://mathworld.wol[...] 2019-11-25
[8] 문서 Here, "collection" means "[[set (mathematics)|set]]" but is used because "collection of open subsets" is less awkward than "set of open subsets". Similarly, "subcollection" means "subset".
[9] harvnb Kelley 1955
[10] harvnb Bourbaki 2007
[11] harvnb Bourbaki 2007
[12] harvnb Arkhangel'skii 1990
[13] harvnb Willard 1970
[14] harvnb Gillman 1976
[15] harvnb Robinson 1996
[16] harvnb Arkhangel'skii 1990
[17] harvnb Arkhangel'skii 1990
[18] harvnb Arkhangel'skii 1990
[19] harvnb Steen 1995
[20] 웹사이트 Cambridge English Dictionary https://dictionary.c[...] 2021-01-19
[21] 문서 この部分の議論はコンパクト化の概念を定義する事により、厳密化する事ができる
[22] 문서 なお、閉多様体という言葉は書籍により意味の違いがあり、コンパクトな多様体を閉多様体と呼ぶものと、コンパクトで縁のない多様体を閉多様体と呼ぶものが有る
[23] 문서 "[[#Kelly]] pp.65-66."
[24] 문서 より厳密に言うと、有向集合{{math|(''Λ'',≤)}}と、{{mvar|Λ}}から{{mvar|X}}への写像{{math|''x'' : ''Λ''→''X''}}の組の事を{{mvar|Λ}}を添字集合とする有向点族と呼ぶ
[25] 문서 [[位相空間#Schechter|#Schechter]] 7.6
[26] 문서 [[コンパクト空間#Kelly|#Kelly]] pp.135-136.
[27] 문서 [[コンパクト空間#Schechter|#Schechter]] p.461.
[28] 문서 [[コンパクト空間#Kelly|#Kelly]] p.141.
[29] 문서 [[コンパクト空間#内田|#内田]] p.146
[30] 문서 [[コンパクト空間#内田|#内田]] pp.145-146.なお、この文献では必要性しか示されていないが、十分性に関しても以下のアイデアで示せる：\bar{X}を{{mvar|X}}の完備化とすると、仮定より\bar{X}上の点列はコーシー列を部分列に持ち、\bar{X}は完備なのでこのコーシー列は収束する。すなわち\bar{X}は点列コンパクトである。点列コンパクトは全有界かつ完備である事と同値なので、\bar{X}は全有界であり、したがって{{mvar|X}}も全有界である。
[31] 문서 単に「ボルツァーノ・ワイエルシュトラス性」といったとき有向点族に対するものを指すのか点列に対するものを指すのかは書籍により異なるので注意が必要である。
[32] 문서 [[一様空間#Kelly|#Kelly]] p.198.
[33] 문서 [[一様空間#Schechter|#Schechter]] pp.505-506.
[34] 문서 [[コンパクト空間#Schechter|#Schechter]] p.507
[35] 문서 [[コンパクト空間#Heil|#Heil]] p.3.
[36] 문서 位相空間#内田 p.95
[37] 문서 コンパクト空間#内田 p.118
[38] 문서 コンパクト空間#Schechter p.470
[39] 문서 コンパクト空間#Kelly p.162
[40] 문서 コンパクト空間#Schechter p.468
[41] 문서 コンパクト空間#Kelly pp.156-161
[42] 문서 コンパクト空間#Kelly pp.126,128
[43] 문서 コンパクト空間#Kelly p.171
[44] 문서 コンパクト空間#Willard2004、Theorem 16.9, p. 111
[45] 문서 コンパクト空間#Willard2004、Theorem 16.11, p. 112
[46] 문서 #コンパクト空間の直積#松島，p. 86
[47] 문서 コンパクト空間#Kelly p.172
[48] 문서 コンパクト空間#Kelly p.171
[49] 문서 コンパクト空間#Schechter p.449ではパラコンパクト性質の条件としてハウスドルフではなくそれより弱い「preregular」を課しているが、この意味でのパラコンパクト性を満たせばハウスドルフになる事が示されているので定義は同値である
[50] 문서 コンパクト空間#Schechter p.445
[51] 문서 コンパクト空間#Schechter p.449
[52] 문서 なおコンパクト空間#Schechter p.449.ではハウスドルフではなくそれより弱い「preregular」(同文献p.439-440参照)をこの定理に課しているが別の注釈ですでに述べたようにパラコンパクトな空間ではpreregularならハウスドルフである
[53] 서적 Topology Springer 1984
[54] 저널 Products of compact spaces and the axiom of choice II http://statweb.stanf[...] 2003
[55] 저널 Compactness and the Axiom of Choice 1996


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