기본군

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1. 개요

기본군은 위상 공간과 기점(base point)을 입력으로 받아, 그 공간의 1차원 구멍의 구조를 측정하는 군이다. 위상 공간 X와 기점 x₀가 주어질 때, x₀에서 시작하고 끝나는 연속 함수(고리)들을 호모토피 관계를 통해 동일시하여 얻는 군으로, $\pi_1(X,x_0)$ 로 표기한다. 기본군은 호모토피 유형의 불변량이며, 공간의 곱, 쐐기합, 그리고 자이페르트-판 캄펜 정리를 통해 계산할 수 있다. 원의 기본군은 정수군, 2차원 구의 기본군은 자명군이며, 원환면의 기본군은 ℤ², 8자 모양의 공간의 기본군은 자유군이다. 기본군은 고차 호모토피 군, 루프 공간, 기본 군범주, 국소 계, 에탈 기본군, 단순 집합 등과 관련이 있으며, 모든 군은 2차원 이상의 CW-복합체의 기본군으로 실현될 수 있다.

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기본군
기본 정보
분야	수학
학문	대수적 위상수학
영어	Fundamental group
프랑스어	Groupe fondamental
독일어	Fundamentalgruppe
정의
정의	어떤 주어진 점을 고정한 공간에서, 닫힌 경로들의 호모토피 동치류들의 모임
연산	경로 연결
성질	군
응용	공간의 구멍 감지 위상 공간 분류
역사
창시자	앙리 푸앵카레
관련 개념
관련 개념	호모토피 올림 성질 피복 공간 기본군
참고 문헌
참고 문헌	곽진호, 이재운, 조합적 곡면위상론, 경문사, 2007 James R. Munkres, Topology, 2판, Prentice Hall, 2000 Allen Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, 2006

2. 정의

위상 공간 X와 그 안의 한 점 x₀ (기점)이 주어졌을 때, x₀에서 시작하고 끝나는 모든 연속적인 경로(고리)들을 생각한다. 두 고리는 연속적으로 변형될 수 있으면 (호모토피) 동일한 것으로 간주한다.

'''호모토피'''는 두 고리 사이의 연속적인 보간이다. 더 정확하게 말해, (같은 점

x_0

을 기준으로 하는) 두 고리

\gamma, \gamma' \colon [0, 1] \to X

사이의 호모토피는 다음과 같은 연속 사상이다.

:

h \colon [0, 1] \times [0, 1] \to X,

이때,

모든 $t \in [0, 1]$ 에 대해 $h(0, t) = x_0$ 이다. 즉, 호모토피의 시작점은 모든 ''t''에 대해 $x_0$ 이다(이는 종종 시간 매개변수로 생각된다).
모든 $t \in [0, 1]$ 에 대해 $h(1, t) = x_0$ 이다. 즉, 유사하게 끝점도 모든 ''t''에 대해 $x_0$ 에 머물러 있다.
모든 $r \in [0, 1]$ 에 대해 $h(r, 0) = \gamma(r),\, h(r, 1) = \gamma'(r)$ 이다.

이러한 호모토피 ''h''가 존재하면,

\gamma

와

\gamma'

는 ''호모토픽''하다고 한다.

이러한 고리들의 집합에 고리끼리의 곱셈(경로 이음) 연산을 정의하고, 호모토피 동치 관계를 부여하면 군을 이루는데, 이를 기본군이라고 한다.

x_0

를 기점으로 하는 고리( 연속 함수

\gamma \colon [0, 1] \to X

,

\gamma(0)

=

\gamma(1)

=

x_0

) 들의 호모토피 동치류 집합을

\pi_1(X, x_0)

로 표기한다.

:

\pi_1(X, x_0) := \{ \text{모든 고리 }\gamma \text{는 }x_0\text{를 기준으로 } \} / \text{호모토피}

.

이 집합은 기저점

x_0

에서 위상 공간 ''X''의 ''기본군''이라고 한다.

두 고리의 곱은, 첫번째 고리를 따라 이동하고, 두번째 고리를 따라 이동하는 것으로 정의 된다.

:

(f \ast g) (t) = \begin{cases} f(2t) & 0 \leq t \leq \tfrac{1}{2} \\ g(2t-1) & \tfrac{1}{2} \leq t \leq 1 \end{cases} .

따라서 루프 ''f'' ∗ ''g''는 먼저 루프 ''f''를 "2배의 속도"로 돌고, 다음에 루프 ''g''를 2배의 속도로 돈다.

x_0

을 기점으로 하는 루프의 모든 호모토피류의 집합에 상기의 곱을 생각한 것이, 점

x_0

에서의

X

의 '''기본군'''을 이루고, 이 기본군을

:

\pi_1(X,x_0),

혹은 단순히

\pi_1(X, x_0)

으로 쓴다. 단위원은 기점에 머무르는 상수 사상이며, 루프 ''f''의 역원은 ''g''(''t'') = ''f''(1 − ''t'')로 정의되는 루프 ''g''이다. 즉, ''g''는 ''f''의 역방향의 루프이다.

만약

X

가 경로 연결 공간일 경우에는

x_0

에 상관없이 기본군이 모두 동형이며,^[43] 따라서

\pi_1(X)

와 같이 쓴다. 기본군이 자명군인 경로 연결 공간을 '''단일 연결 공간'''이라고 한다.

2. 1. 경로곱

위상 공간

X

의 두 경로

f\colon[0,1]\to X

와

g\colon[0,1]\to X

가

f(1)=g(0)

을 만족시킨다고 할 때, 이 두 경로의 '''경로곱'''

f*g\colon[0,1]\to X

는 다음과 같다.^[44]

:

f*g\colon t\mapsto\begin{cases}f(2t)&t\le1/2\\g(2t-1)&t\ge1/2\end{cases}

이는 경로의 호모토피류에 대하여 불변이며, 따라서 경로 호모토피류의 집합 위에도 경로곱

[f][g]=[f*g]

를 정의할 수 있다.

경로의 경로곱은 결합 법칙을 만족시키지 않지만,

(f*g)*h

와

f*(g*h)

사이에는 호모토피가 존재하며, 이에 따라 경로 호모토피류의 경로곱은 결합 법칙을 만족시킨다.

2. 2. 기본 준군

위상 공간

X

의 '''기본 준군'''(fundamental groupoid^영어)

\Pi_1(X)

은 다음과 같이 정의된다.^[44]

$\Pi_1(X)$ 의 대상 집합은 $X$ 이다. 즉, $\Pi_1(X)$ 의 대상은 $X$ 의 점이다.
임의의 두 점 $x,y\in X$ 에 대하여, 사상 집합 $\hom_{\Pi_1(X)}(x,y)$ 는 $x$ 에서 $y$ 로 가는 경로들의 경로 호모토피류의 집합이다.
사상의 합성은 경로 호모토피류의 곱이다. 즉, 두 사상 $[f]\in\hom_{\Pi_1(X)}(x,y)$ , $[g]\in\hom_{\Pi_1(X)}(y,z)$ 의 합성은 $[g]\circ[f]=[f*g]$ 이다.
점 $x\in X$ 에서의 항등 사상 $\operatorname{id}_x$ 은 $x$ 값의 상수 함수인 경로 $[0,1]\to X$ , $t\mapsto x$ 의 호모토피류이다.
역사상은 경로의 순서의 반전이다. 즉, 사상 $[f]\in\hom_{\Pi_1(X)}(x,y)$ 을 경로 $f\colon[0,1]\to X$ , $f(0)=x$ , $f(1)=y$ 로 나타낸다고 하자. 함수 $i\colon[0,1]\to[0,1]$ 을 $i(t)=1-t$ 로 정의하면, $[f]$ 의 역사상은 $[f]^{-1}=[f\circ i]\in\hom(y,x)$ 이다.

2. 3. 기본군

임의의 점

x_0\in X

에 대하여, 준군

\Pi_1(X)

가운데, 자기 사상 집합

\hom_{\Pi_1(X)}(x_0, x_0)

은 군을 이룬다. 이를

X

의

x_0

에서의 '''기본군'''

\pi_1(X;x_0)

이라고 한다.^[43] 만약

X

가 경로 연결 공간일 경우에는

x_0

에 상관없이 기본군이 모두 동형이며,^[43] 따라서

\pi_1(X)

와 같이 쓴다.

기본군이 자명군인 경로 연결 공간을 '''단일 연결 공간'''이라고 한다.

기본군

\pi_1(X,x_0)

은 고리 공간

\Omega(X,x_0)

의 호모토피에 대한 몫공간이다. 고리 공간에 콤팩트-열린집합 위상을 부여하면, 기본군은 그 몫공간으로서 위상 공간을 이룬다. 이는 일반적으로 위상군이 아니다 (곱셈 연산이 연속 함수가 아닐 수 있다). 다만, 임의의

g\in\pi_1(X,x_0)

에 대하여

g\cdot\colon \pi_1(X,x_0)\to \pi_1(X,x_0)

는 연속 함수이다.^[46]

기본군은 점을 가진 공간과 점을 보존하는 연속 함수의 범주

\operatorname{Top}_\bullet

와 군의 범주

\operatorname{Grp}

사이의 함자

\pi_1\colon\operatorname{Top}_\bullet\to\operatorname{Grp}

를 정의한다. 구체적으로, 점을 보존하는 연속 함수

:

f\colon(X,x_0)\to(Y,f(x_0))

는 정의역과 공역의 기본군 사이에 다음과 같은 군 준동형을 유도한다.

:

\pi_1(f)\colon\pi_1(X,x_0)\to\pi_1(Y,f(x_0))

:

\pi_1(f)\colon[a]\mapsto[f\circ a]

예로

f

가 상수 함수이면

f\circ a

역시 상수 함수가 되고,

\pi_1(f)

는 항상

\pi_1(Y, f(x_0))

의 항등원으로 가는 자명한 군 준동형이다.

기본군 함자는 임의의 곱과 유한 쌍대곱을 보존한다. 즉, 곱공간의 기본군은 기본군의 직접곱이며, 쐐기합의 기본군은 기본군의 자유곱이다.

:

\pi_1\biggl(\prod_{i\in I}(X_i,x_i)\biggr)=\prod_{i\in I}\pi_1(X_i,x_i)

:

\pi_1((X,x_0)\vee(Y,y_0))=\pi_1(X,x_0)*\pi_1(Y,y_0)

임의의 점을 가진 공간

(X,x_0)

에 대하여, 만약 그 기본군이 이산 공간이라면

X

는 반국소 단일 연결 공간이다.^[46]

점을 가진 국소 경로 연결 공간

(X,x_0)

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[46]

$\pi_1(X,x_0)$ 은 이산 공간이다.
$X$ 는 반국소 단일 연결 공간이다.

어떤 공간(예: 곡면)과 그 안의 한 점을 시작점으로 하여, 이 점에서 시작하고 끝나는 모든 고리, 즉 이 점에서 시작하여 이리저리 돌아다니다가 결국 시작점으로 돌아오는 경로들을 생각해보자. 두 고리는 명백한 방법으로 결합될 수 있다. 첫 번째 고리를 따라 이동한 다음, 두 번째 고리를 따라 이동한다.

두 고리는 서로 끊어지지 않고 변형될 수 있다면 동치로 간주한다. 이러한 결합 방법과 이들 간의 동치 관계를 갖는 모든 고리들의 집합이 특정 공간에 대한 기본군이다.

X

를 위상 공간,

x_0

를

X

의 점으로 한다.

x_0

을 '''기점'''으로 하는 루프라고 불리는 연속 사상

:

f\colon [0,1]\to X,\quad f(0)=x_0=f(1)

의 집합에 주목한다. '''기점

x_0

를 가지는

X

의 기본군'''은 이 집합을 호모토피

h

로 나눈 집합

:

\{f\colon [0,1]\to X : f(0)=x_0=f(1)\} / h

에, 군의 곱셈을 다음과 같이 부여한 것이다.

:

(f \ast g) (t) = \begin{cases} f(2t) & 0 \leq t \leq \tfrac{1}{2} \\ g(2t-1) & \tfrac{1}{2} \leq t \leq 1 \end{cases} .

따라서 루프

f

*

g

는 먼저 루프

f

를 "2배의 속도"로 돌고, 다음에 루프

g

를 2배의 속도로 돈다. 두 루프의 호모토피류 [

f

]와 [

g

]의 곱은, [

f

*

g

]로 정의되며, 이 곱은 대표원의 선택에 의존하지 않음을 보일 수 있다.

x_0

을 기점으로 하는 루프의 모든 호모토피류의 집합에 상기의 곱을 생각한 것이, 점

x_0

에서의

X

의 '''기본군'''을 이루고, 이 기본군을

:

\pi_1(X,x_0),

혹은 단순히

\pi_1(X, x_0)

으로 쓴다. 단위원은 기점에 머무르는 상수 사상이며, 루프

f

의 역원은

g(t) = f(1 - t)

로 정의되는 루프

g

이다. 즉,

g

는

f

의 역방향의 루프이다.

기본군은 일반적으로는 기점의 선택에 의존하지만, 공간

X

가 호상 연결인 한, 동형까지 이 선택은 아무런 차이를 만들지 않는다. 따라서 호상 연결 공간에 대해서는

\pi_1(X, x_0)

대신

\pi_1(X)

로 표기할 수 있다.

3. 성질

기본군은 호모토피 불변량이다. 즉, 두 위상 공간이 같은 호모토피 유형을 가지면, 기본군은 동형이다.^[43] 예를 들어, 원환면의 기본군은 $\mathbb Z\oplus\mathbb Z$ 와 동형이며, 원을 두 개 이어붙인 도형의 기본군은 생성원이 두 개인 자유군이 된다.

두 곡면이 위상동형일 필요충분조건은 곡면의 1차 호몰로지군 (기본군의 아벨화)이 서로 동형인 것이다.^[43]

어떤 주어진 공간의 기본군을 직접 구하는 것은 많은 경우 쉽지 않다. 하지만, 자이페르트-판 캄펀 정리나 후레비츠 정리 등을 통해 기본군을 쉽게 계산할 수 있다. 공간의 기본군의 아벨화는 공간의 첫 번째 호몰로지 군과 동일시될 수 있다. 후레비츠 정리에 따르면, 첫 번째 특이 호몰로지 군 $H_1(X)$ 는 아벨 군을 통해 기본군에 가장 근접한 근사값이다. ''X''가 경로 연결되어 있다면, 기본군에서 첫 번째 특이 호몰로지 군으로 가는 준동형사상은 전사 함수이고 그 커널은 기본군의 교환자 부분군이므로 $H_1(X)$ 는 기본군의 아벨화와 동형이다.^[9]

3. 1. 함자성

기본군은 점을 가진 공간과 점을 보존하는 연속 함수의 범주에서 군의 범주로 가는 함자를 정의한다.^[43] 이 함자를 $\pi_1\colon\operatorname{Top}_\bullet\to\operatorname{Grp}$로 표현한다. 구체적으로, 점을 보존하는 연속 함수 $f\colon(X,x_0)\to(Y,f(x_0))$는 정의역과 공역의 기본군 사이에 다음과 같은 군 준동형을 유도한다.^[43]

:

\pi_1(f)\colon\pi_1(X,x_0)\to\pi_1(Y,f(x_0))

:

\pi_1(f)\colon[a]\mapsto[f\circ a]

예를 들어 $f$가 상수 함수이면 $f\circ a$ 역시 상수 함수가 되고, $\pi_1(f)$는 항상 $\pi_1(Y, f(x_0))$의 항등원으로 가는 자명한 군 준동형이다.

기본군 함자는 임의의 곱과 유한 쌍대곱을 보존한다. 즉, 곱공간의 기본군은 기본군의 직접곱이며, 쐐기합의 기본군은 기본군의 자유곱이다.^[43]

:

\pi_1\biggl(\prod_{i\in I}(X_i,x_i)\biggr)=\prod_{i\in I}\pi_1(X_i,x_i)

:

\pi_1((X,x_0)\vee(Y,y_0))=\pi_1(X,x_0)*\pi_1(Y,y_0)

붙임 공간의 경우 자이페르트-판 캄펜 정리를 특수하게 이용하여 쉽게 그 기본군을 구할 수 있다.^[43]

4. 계산

주어진 공간의 기본군을 직접 계산하는 것은 일반적으로 쉽지 않다. 곱위상이나 쐐기합으로 표현될 경우, 기본군은 각각의 기본군의 직접곱과 자유곱으로 계산된다.

# $\pi_1 (X\times Y) \cong \pi_1(X) \times \pi_1(Y) \,$

# $\pi_1 (X\vee Y) \cong \pi_1(X) * \pi_1(Y). \,$

예를 들어 원환면의 기본군은 $\mathbb Z\oplus\mathbb Z$ 와 동형이며, 원을 두 개 이어붙인 도형의 기본군은 생성원이 두 개인 자유군이다.

자이페르트-판 캄펀 정리는 공간을 열린 집합으로 분해하여 기본군을 계산하는 방법을 제공한다. 어떤 공간 X가 A∪B = X를 만족하고 A, B, A∩B가 모두 경로 연결 공간인 열린 집합일 때, x₀ ∈ A∩B에 대해 이들의 기본군 간에는 다음 관계식이 성립한다.^[43]

$\pi_1 (X, x_0) \cong \pi_1 (A, x_0) *_{\pi_1 (A \cap B, x_0)} \pi_1 (B, x_0).$

이 정리를 이용하면 2차원 구의 기본군이 자명군임을 쉽게 보일 수 있다. 붙임 공간의 경우에도 이 정리를 특수하게 적용하여 기본군을 계산할 수 있다.

4. 1. 위상

기본군

\pi_1(X,x_0)

은 고리 공간

\Omega(X,x_0)

의 호모토피에 대한 몫공간이다. 고리 공간에 콤팩트-열린집합 위상을 부여하면, 기본군은 그 몫공간으로서 위상 공간을 이룬다. 이는 일반적으로 위상군이 아니다 (곱셈 연산이 연속 함수가 아닐 수 있다). 다만, 임의의

g\in\pi_1(X,x_0)

에 대하여

g\cdot\colon \pi_1(X,x_0)\to \pi_1(X,x_0)

는 연속 함수이다.^[46]

임의의 점을 가진 공간

(X,x_0)

에 대하여, 만약 그 기본군이 이산 공간이라면

X

는 반국소 단일 연결 공간이다.^[46]

점을 가진 국소 경로 연결 공간

(X,x_0)

에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이다.^[46]

$\pi_1(X,x_0)$ 은 이산 공간이다.
$X$ 는 반국소 단일 연결 공간이다.

5. 예

다음은 대표적인 공간들의 기본군이다.

공간	기본군	주석
원 ( $S^1$ )	정수군 $\mathbb Z$	^[43]
초구 $S^n$ ( $n\ge2$ )	1 (자명군)
원환면 $T^n=(S^1)^n$	$\mathbb Z^n$
실수 사영 평면 $\mathbb{RP}^2$	$\mathbb Z/2$

원은 1차원 구로, 단순 연결이 아니다. 원의 각 호모토피류는 주어진 횟수만큼 원을 감는 모든 루프로 구성된다. 감는 횟수는 양수 또는 음수가 될 수 있다. ''m''번 감는 루프와 ''n''번 감는 루프의 곱은 ''m'' + ''n''번 감는 루프이다. 따라서 원의 기본군은 정수의 덧셈군과 동형이다.

8자 모양의 기본군은 두 생성원 ''a''와 ''b''에 대한 자유군이다.

8자 모양의 기본군은 두 문자에 대한 자유군이다. 두 원이 만나는 점을 밑점으로 선택하면, 모든 루프

\gamma

는 다음과 같이 분해할 수 있다.

:

\gamma = a^{n_1} b^{m_1} \cdots a^{n_k} b^{m_k}

여기서 ''a''와 ''b''는 8자 모양의 각 반쪽을 감는 두 루프이고, 지수

n_1, \dots, n_k, m_1, \dots, m_k

는 정수이다. 8자 모양의 기본군은 가환군이 아니다. ''a''와 ''b''를 합성하는 두 가지 방법은 서로 호모토픽하지 않다.

:

[a] \cdot [b] \ne [b] \cdot [a].

그래프의 기본군은 자유군이다.

매듭군은 매듭

K

의 여집합의 기본군이다. 매듭 매듭의 매듭군은 브레이드 군

B_3

이다.

6. 역사

앙리 푸앵카레는 1895년 논문 "Analysis situs"(Analysis situs|아날리시스 시투스^la, 위상수학의 옛말)에서 기본군을 정의했다.^[1]^[47] 이 개념은 베른하르트 리만, 푸앵카레, 펠릭스 클라인의 리만 곡면 이론 연구를 통해 등장했다. 이는 복소수 값을 갖는 함수의 모노드로미 특성을 설명하며, 완전한 위상적 닫힌 곡면의 분류를 제공한다.

7. 관련 개념

공간의 곱을 일반화한 개념은 올뭉치이다. 올뭉치는 다음과 같은 형태로 표현된다.

: $F \to E \to B.$

여기서 전체 공간 E는 밑 공간 B와 올(fiber) F의 "꼬임한 곱"과 유사하다. 일반적으로 B, E, F의 기본군은 고차 호모토피 군을 포함하는 올 공간의 장 완전열의 항이다. 공간이 모두 연결되어 있을 때, 다음과 같은 기본군 관련 결과를 얻는다.

F가 단일 연결이면, π₁(B)와 π₁(E)는 동형이다.
E가 가역이면, π_n+1(B)와 π_n(F)는 동형이다.

위상 공간 X의 기본군은 1차 특이 호몰로지 군과 관련이 있는데, 이는 루프가 특이 1-사이클이기 때문이다. 기점 x₀에서 각 루프의 호모토피류를 루프의 호몰로지류로 보내는 것은 기본군 π₁(X, x₀)에서 호몰로지 군 H₁(X)로의 준동형사상을 만든다. X가 호상 연결이면 이 준동형사상은 전사 함수이며, 그 핵은 π₁(X, x₀)의 교환자 부분군이다. 따라서 H₁(X)는 π₁(X, x₀)의 아벨화와 동형이다. 이는 대수적 위상수학의 후르비츠 정리의 한 경우이다.

7. 1. 고차 호모토피 군

기본군은 공간의 1차원적인 구멍을 감지하지만, 2차원 구와 같은 고차원 구멍은 감지하지 못한다. 이러한 "고차원 구멍"은 고차 호모토피 군

\pi_n(X)

를 사용하여 감지할 수 있으며, 이는

S^n

에서 ''X''로의 (밑점을 보존하는) 사상의 호모토피류로 구성된다.^[27] 예를 들어, 후레비츠 정리에 따르면 모든

n \ge 1

에 대해 ''n''-구의 ''n''차 호모토피 군은 다음과 같다.^[27]

:

\pi_n(S^n) = \Z.

기본군은 공간의 1차원 구멍의 구조를 측정한다. "고차원 구멍" 연구를 위해서는 호모토피 군이 사용된다. X의 n-호모토피 군의 원소는 '''S'''ⁿ에서 X로의 (기점을 보존하는) 사상의 호모토피류이다.

7. 2. 루프 공간

기저점을 가진 고리들의 집합은 (호모토피를 고려하지 않고) 콤팩트 열린 위상을 갖춘 점 있는 공간 ''X''에서 루프 공간으로 불리며,

\Omega X

로 표기한다. ''X''의 기본군은 루프 공간의 경로 연결 성분 집합과 일대일 대응 관계에 있다.^[28]

:

\pi_1(X) \cong \pi_0(\Omega X).

7. 3. 기본 군범주

기본군은 기준점

x_0 \in X

의 선택이 바람직하지 않은 상황에서 유용한 기본군의 변형이다. 먼저

X

의 경로의 범주를 고려하여 정의한다. 즉, 다음의 연속 함수이다.

:

\gamma \colon [0, r] \to X

.

여기서 ''r''은 임의의 음이 아닌 실수이다. 이 접근 방식에서 길이 ''r''은 가변적이므로 이러한 경로는 (즉, 호모토피까지가 아닌) 그대로 연결될 수 있으므로 범주를 생성한다.^[29] 동일한 끝점과 길이 ''r''과 ''r'''을 갖는 두 경로

\gamma, \gamma'

은

r + u = r' + v

이고

\gamma_u, \gamma'_v \colon [0, r + u] \to X

가 끝점을 기준으로 호모토피적이면 동등한 것으로 간주된다. 여기서

\gamma_u (t) = \begin{cases} \gamma(t), & t \in [0, r] \\ \gamma(r), & t \in [r, r + u]. \end{cases}

이다.^[30]^[31]

이 동치 관계까지의 경로 범주는

\Pi (X)

로 표시된다.

\Pi (X)

의 각 사상은 동형 사상이며, 역은 반대 방향으로 이동하는 동일한 경로로 주어진다. 이러한 범주는 군군이라고 한다. 이것은 다음을 통해 기본군을 재현한다.

:

\pi_1(X, x_0) = \mathrm{Hom}_{\Pi(X)}(x_0, x_0)

.

더 일반적으로, 상황의 기하학에 따라 선택된 기준점 집합 ''A''에 대한 기본군군을 고려할 수 있다. 예를 들어, 교집합이 두 개의 구성 요소를 갖는 두 개의 연결된 열린 집합의 합집합으로 표현할 수 있는 원의 경우, 각 구성 요소에 하나의 기준점을 선택할 수 있다. 판 캄펜 정리는 예를 들어,

S^1

의 기본군(군)을 계산하는 또 다른 방법을 제공하는 기본군군에 대한 버전을 허용한다.^[32]

공간 내의 "모든" 경로의 호모토피류를 고려할 수도 있다(시점과 종점은 고정). 이것은 군이 아니라 군범주이며, 공간의 '''기본 군범주'''가 된다.

더 일반적으로는, 기하학적 상황에 따른 선택을 한 기점의 집합 A 위의 기본 군범주를 생각할 수 있는데, 예를 들어 원의 경우에는, 공통 부분이 2개의 연결 성분을 가지는 2개의 연결 열린 집합의 합으로 표현할 수 있으므로, 각 성분으로부터 하나씩 기점을 선택할 수 있다.

7. 4. 국소 계(Local systems)

일반적으로, 표현은 다른 수학적 대상, 종종 벡터 공간에 대한 작용을 통해 군의 특징을 나타내는 데 사용될 수 있다. 기본군의 표현은 매우 기하학적인 의미를 갖는다. 즉, 임의의 ''X'' 상의 ''국소 계''(즉, ''X''의 임의의 점의 충분히 작은 근방 ''U''에서

\mathcal F|_U = \Q^n

형태의 상수층인 층

\mathcal F

)는 소위 모노드로미 표현을 생성하는데, 이는 ''n''-차원

\Q

-벡터 공간에서의 기본군의 표현이다. 역으로, 경로 연결 공간 ''X'' 상의 그러한 표현은 이러한 방식으로 발생한다.^[33]

\pi_1(X)

의 표현과 국소 계 사이의 이러한 범주 동치는 예를 들어 미분 방정식, 특히 크니즈니크-자몰로드치코프 방정식 연구에 사용된다.

7. 5. 에탈 기본군

대수기하학에서, 소위 에탈 기본군은 기본군을 대체하는 데 사용된다.^[34] 대수적 다양체 또는 스킴 ''X''에 대한 자리스키 위상은 예를 들어

\R^n

의 열린 부분 집합의 위상보다 훨씬 거칠기 때문에, 구간에서 ''X''로의 연속 사상을 고려하는 것은 더 이상 의미가 없다. 대신, 그로텐디크가 개발한 접근 방식은 ''X''의 모든 유한 에탈 덮개를 고려하여

\pi_1^\text{et}

을 구성하는 것으로 이루어진다. 이는 유한한 올을 가진 덮개의 대수 기하학적 유사체 역할을 한다.

이것은 고전적인 위상적 직관이 전혀 적용되지 않는 상황, 예를 들어 유한체 위에 정의된 다양체에 적용 가능한 이론을 산출한다. 또한, 체의 에탈 기본군은 그 체의 (절대) 갈루아 군이다. 반면에, 복소수 위의 매끄러운 다양체 ''X''에 대해, 에탈 기본군은 고전적인 기본군에 내재된 많은 정보를 유지한다. 즉, 전자는 후자의 프로유한 완비이다.^[35]

7. 6. 단순 집합의 기본군

칸 복합체의 경우, 1-단순체 사이의 호모토피 관계를 통해 기본군을 정의할 수 있다.^[38] 칸 복합체의

\pi_1

은 1-단순체의 호모토피류 집합으로 정의할 수 있다. 임의의 단순 집합의 기본군은 그 위상적 실현

|X|

의 호모토피 군으로 정의된다. 즉, ''X''의 단순 집합 구조에 의해 규정된 대로 위상적 단순체를 접착하여 얻은 위상 공간이다.^[39]

8. 실현성

모든 군은 2차원 이상의 연결된 CW-복합체의 기본군으로 실현될 수 있다.^[26] 그러나 1차원 CW-복합체(그래프)의 기본군으로는 자유군만 나타날 수 있다.

모든 유한 표시군은 4차원 이상의 콤팩트 연결 매끄러운 다양체의 기본군으로 실현될 수 있다.^[41] 그러나 낮은 차원 다양체의 기본군으로는 어떤 군이 나타나는지에 대한 제약이 있다. 예를 들어, 랭크 4 이상의 자유 아벨 군은 3차원 이하 다양체의 기본군으로 실현될 수 없다.^[42]

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