복소수 벡터 다발

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1. 개요
2. 정의
3. 연산
- 3.1. 켤레 벡터 다발
- 3.2. 복소화
4. 추가 구조
- 4.1. 에르미트 계량
- 4.2. 에르미트 접속
5. 성질
참조

1. 개요

복소수 벡터 다발은 매끄러운 다양체 위의 매끄러운 벡터 다발에 복소 구조를 부여하여 얻는 구조이다. 복소 구조는 벡터 다발 사상 J: E → E이며, J² = -1을 만족한다. 복소수 벡터 다발은 켤레 복소수 벡터 다발, 복소화 등의 연산을 통해 새로운 다발을 생성할 수 있으며, 에르미트 계량과 에르미트 접속과 같은 추가적인 구조를 가질 수 있다. 접다발이 복소수 벡터 다발의 구조를 갖는 다양체를 개복소다양체라고 하며, 복소수 벡터 다발에 대해서는 천 특성류와 오일러 특성류를 정의할 수 있다.

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복소수 벡터 다발
개요
분야	미분기하학, 대수기하학, 위상수학
정의	각 점에서의 벡터 공간이 매끄럽게 변하는 공간
역사 및 관련 개념
관련 개념	주다발, 벡터 다발, 접다발, 스칼라의 제한, 복소화

2. 정의

매끄러운 벡터 다발 $E \twoheadrightarrow M$ 위의 '''복소구조'''는 다음 조건을 만족하는 벡터 다발 사상 $J \colon E \to E$ 이다.

$J^2 = -1$

임의의 점

x\in M

에서,

E

의 올

E_x

에 다음과 같이 복소수 벡터 공간의 구조를 줄 수 있다.

:

(a+\mathrm ib) = (a + bJ) v

이러한 복소구조를 갖춘 매끄러운 벡터 다발을 '''복소수 벡터 다발'''이라고 한다.

복소수 벡터 다발은 실수 벡터 다발에 추가적인 구조인 '복소 구조'를 추가하여 얻을 수 있다. 복소 구조는 실수 벡터 다발

E

와 그 자신 사이의 다발 사상이다.

:

J: E \to E

이 때

J

는 각 올 위에서

-1

의 제곱근

\mathrm i

로 작용한다. 즉,

J_x: E_x \to E_x

가 올 수준의 사상일 때, 선형 사상으로

J_x^2 = -1

이다.

만약

E

가 복소수 벡터 다발이면, 복소 구조

J

는

J_x

를

\mathrm i

에 의한 스칼라 곱으로 설정하여 정의할 수 있다. 반대로, 만약

E

가 복소 구조

J

를 가진 실수 벡터 다발이면, 임의의 실수

a

,

b

와 올

E_x

의 실수 벡터

v

에 대해,

:

(a + \mathrm ib) v = a v + J(b v).

를 설정하여

E

를 복소수 벡터 다발로 만들 수 있다.

예를 들어, 실수 다양체

M

의 접다발에 대한 복소 구조는 보통 근 복소 구조라고 불린다. 뉴랜더-니렌버그 정리에 따르면, 근 복소 구조

J

가 복소 다양체의 구조에 의해 유도된다는 의미에서 "적분 가능"하려면

J

를 포함하는 특정 텐서가 사라져야 한다.

3. 연산

주어진 복소수 벡터 다발에 대해 켤레 복소수 벡터 다발, 복소화 등 다양한 연산을 수행할 수 있다.

매끄러운 다양체 $M$ 위의 복소수 벡터 다발 $(E,J)$ 이 주어졌을 때, 켤레 복소수 벡터 다발은 $\bar E$ 로 표기한다. $E$ 가 에르미트 계량을 가진다면, 켤레 다발 $\overline{E}$ 는 계량을 통해 쌍대 다발 $E^* = \operatorname{Hom}(E, \mathcal{O})$ 와 동형이다. 여기서 $\mathcal{O}$ 는 자명한 복소수 선 다발을 나타낸다.

만약 $E$ 가 실수 벡터 다발이라면, $E$ 의 복소화의 기저 실수 벡터 다발은 $E$ 의 두 복사본의 직합이다. 복소수 벡터 다발 $E$ 가 실수 벡터 다발 $E'$ 의 복소화이면, $E'$ 는 $E$ 의 실수 형태라고 불리며, $E$ 는 실수 위에서 정의되었다고 말한다.

3. 1. 켤레 벡터 다발

매끄러운 다양체

M

위의 복소수 벡터 다발

(E,J)

이 주어졌을 때,

(E,-J)

역시 복소수 벡터 다발이다. 이를

(E,J)

의 '''켤레 복소수 벡터 다발'''(conjugate complex vector bundle^영어)이라고 하며, 보통

\bar E

로 표기한다.

켤레 복소수 벡터 다발의 천 특성류는 다음과 같다.

:

\operatorname c_k(\bar E) = (-)^k \operatorname c_k(E)

만약

E

가 복소수 벡터 다발이라면, 켤레 다발

\overline{E}

는 복소수의 켤레 복소수를 통해 복소수가 작용하도록 하여 얻어진다. 따라서, 기저 실수 벡터 다발의 항등 사상

E_{\mathbb{R}} \to \overline{E}_\mathbb{R} = E_{\mathbb{R}}

는 켤레 선형이며,

E

와 그 켤레

\overline{E}

는 실수 벡터 다발로서 서로 동형이다.

\overline{E}

의

k

번째 천 클래스는 다음과 같다.

:

c_k(\overline{E}) = (-1)^k c_k(E)

.

특히,

E

와

\overline{E}

는 일반적으로 서로 동형이 아니다.

만약

E

가 에르미트 계량을 가진다면, 켤레 다발

\overline{E}

는 계량을 통해 쌍대 다발

E^* = \operatorname{Hom}(E, \mathcal{O})

와 동형이다. 여기서

\mathcal{O}

는 자명한 복소수 선 다발을 나타낸다.

3. 2. 복소화

매끄러운 다양체

M

위의 매끄러운 벡터 다발

E

가 주어졌을 때, 다음을 정의하여 복소수 벡터 다발을 만들 수 있다.

:

E^{\mathbb C} = E\oplus E

:

J = \begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix} \colon E^{\mathbb C} \to E^{\mathbb C}

이를

E

의 '''복소화'''(complexification^영어)라고 한다.

실수 벡터 다발의 복소화

E^{\mathbb C}

는 항상

E^{\mathbb C} \cong \overline{E^{\mathbb C}}

이다. 즉, 스스로의 켤레와 동형이 아닌 복소수 벡터 다발은 실수 벡터 다발의 복소화가 될 수 없다.

만약

E

가 실수 벡터 다발이면,

E

의 복소화 아래에 있는 실수 벡터 다발은

E

의 두 개의 복사본의 직합이다.

:

(E \otimes \mathbb{C})_{\mathbb{R}} =  E \oplus E

(임의의 실수 벡터 공간

V

에 대해 ''V''⊗_'''R''''''C''' = ''V''⊕''i''''V''이기 때문이다). 복소 벡터 다발

E

가 실수 벡터 다발

E'

의 복소화이면,

E'

는

E

의 실형식이라고 불리며,

E

는 실수상에서 정의되었다고 말한다.

4. 추가 구조

매끄러운 다양체 $M$ 위의 (실수) 매끄러운 벡터 다발 $E \twoheadrightarrow M$ 위의 '''복소구조'''는 다음 조건을 만족시키는 벡터 다발 사상이다.

$J \colon E \to E$
$J^2 = -1$

이에 따라 임의의

x\in M

에 대해,

E

의 올

E_x

는 유한 차원 복소수 벡터 공간 구조를 갖는다.

:

(a+\mathrm ib) = (a + bJ) v

이러한 복소구조를 갖춘 매끄러운 벡터 다발을 '''복소수 벡터 다발'''이라고 한다. 복소수 벡터 다발에는 에르미트 계량과 같은 추가적인 구조를 부여할 수 있다.

4. 1. 에르미트 계량

매끄러운 벡터 다발

\pi\colon E\twoheadrightarrow M

위의 '''에르미트 계량'''(Hermitian metric^영어)은 매끄러운 벡터 다발

\bar E^* \otimes_{\mathbb R} E^*

의 매끄러운 단면 가운데, 각 점

x\in M

에서

E_x

에 양의 정부호 에르미트 형식을 이루는 것이다.

에르미트 계량이 주어지면, 켤레 벡터 다발

\bar E

는 표준적으로 쌍대 벡터 다발

E^*

과 동형이다.

4. 2. 에르미트 접속

에르미트 계량을 보존하는 벡터 다발 접속이다. 임의의 두 매끄러운 단면

s

,

t

에 대해

d \langle s,t \rangle = \langle \nabla s,t \rangle + \langle s, \nabla t \rangle

를 만족한다. 파라콤팩트성에 의해, 모든 복소수 벡터 다발은 에르미트 접속을 갖는다.

5. 성질

복소수 벡터 다발은 추가적인 구조인 '''복소 구조'''를 가진 실수 벡터 다발로 생각할 수 있다. 복소 구조는 실수 벡터 다발 ''E''와 그 자체 사이의 다발 사상이다.

: $J\colon E \to E$

여기서 ''J''는 각 올 위에서 -1의 제곱근 ''i''로 작용한다. 즉, $J_x\colon E_x \to E_x$ 가 올 수준의 사상일 때, 선형 사상으로 $J_x^2 = -1$ 이다. 만약 ''E''가 복소수 벡터 다발이면, 복소 구조 ''J''는 $J_x$ 를 $i$ 에 의한 스칼라 곱으로 설정하여 정의할 수 있다. 반대로, 만약 ''E''가 복소 구조 ''J''를 가진 실수 벡터 다발이면, 다음을 설정하여 ''E''를 복소수 벡터 다발로 만들 수 있다. 임의의 실수 ''a'', ''b''와 올 ''E''_''x''의 실수 벡터 ''v''에 대해,

: $(a + ib) v = a v + J(b v).$

예를 들어 실수 다양체 ''M''의 접다발에 대한 복소 구조는 보통 개복소 구조라고 불린다. 뉴랜더-니렌버그 정리에 따르면, 개복소 구조 ''J''가 복소 다양체의 구조에 의해 유도된다는 의미에서 "적분 가능"하려면 ''J''를 포함하는 특정 텐서가 사라져야 한다.

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