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복소수 벡터 다발

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1. 개요

복소수 벡터 다발은 매끄러운 다양체 위의 매끄러운 벡터 다발에 복소 구조를 부여하여 얻는 구조이다. 복소 구조는 벡터 다발 사상 J: E → E이며, J² = -1을 만족한다. 복소수 벡터 다발은 켤레 복소수 벡터 다발, 복소화 등의 연산을 통해 새로운 다발을 생성할 수 있으며, 에르미트 계량과 에르미트 접속과 같은 추가적인 구조를 가질 수 있다. 접다발이 복소수 벡터 다발의 구조를 갖는 다양체를 개복소다양체라고 하며, 복소수 벡터 다발에 대해서는 천 특성류와 오일러 특성류를 정의할 수 있다.

복소수 벡터 다발
개요
분야미분기하학, 대수기하학, 위상수학
정의각 점에서의 벡터 공간이 매끄럽게 변하는 공간
역사 및 관련 개념
관련 개념주다발, 벡터 다발, 접다발, 스칼라의 제한, 복소화
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목차

2. 정의

매끄러운 벡터 다발 E \twoheadrightarrow M 위의 복소구조는 다음 조건을 만족하는 벡터 다발 사상 J \colon E \to E이다.
* J^2 = -1

임의의 점 x\in M에서, E의 올 E_x에 다음과 같이 복소수 벡터 공간의 구조를 줄 수 있다.
:(a+\mathrm ib) = (a + bJ) v

이러한 복소구조를 갖춘 매끄러운 벡터 다발을 복소수 벡터 다발이라고 한다.

복소수 벡터 다발은 실수 벡터 다발에 추가적인 구조인 '복소 구조'를 추가하여 얻을 수 있다. 복소 구조는 실수 벡터 다발 E와 그 자신 사이의 다발 사상이다.
:J: E \to E
이 때 J는 각 올 위에서 -1의 제곱근 \mathrm i로 작용한다. 즉, J_x: E_x \to E_x가 올 수준의 사상일 때, 선형 사상으로 J_x^2 = -1이다.

만약 E가 복소수 벡터 다발이면, 복소 구조 J는 J_x를 \mathrm i에 의한 스칼라 곱으로 설정하여 정의할 수 있다. 반대로, 만약 E가 복소 구조 J를 가진 실수 벡터 다발이면, 임의의 실수 a, b와 올 E_x의 실수 벡터 v에 대해,
:(a + \mathrm ib) v = a v + J(b v).
를 설정하여 E를 복소수 벡터 다발로 만들 수 있다.

예를 들어, 실수 다양체 M의 접다발에 대한 복소 구조는 보통 근 복소 구조라고 불린다. 뉴랜더-니렌버그 정리에 따르면, 근 복소 구조 J가 복소 다양체의 구조에 의해 유도된다는 의미에서 "적분 가능"하려면 J를 포함하는 특정 텐서가 사라져야 한다.

3. 연산

주어진 복소수 벡터 다발에 대해 켤레 복소수 벡터 다발, 복소화 등 다양한 연산을 수행할 수 있다.

매끄러운 다양체 M 위의 복소수 벡터 다발 (E,J)이 주어졌을 때, 켤레 복소수 벡터 다발은 \bar E로 표기한다. E가 에르미트 계량을 가진다면, 켤레 다발 \overline{E}는 계량을 통해 쌍대 다발 E^* = \operatorname{Hom}(E, \mathcal{O})와 동형이다. 여기서 \mathcal{O}는 자명한 복소수 선 다발을 나타낸다.

만약 E가 실수 벡터 다발이라면, E의 복소화의 기저 실수 벡터 다발은 E의 두 복사본의 직합이다. 복소수 벡터 다발 E가 실수 벡터 다발 E'의 복소화이면, E'는 E의 실수 형태라고 불리며, E는 실수 위에서 정의되었다고 말한다.

3.1. 켤레 벡터 다발

매끄러운 다양체 M 위의 복소수 벡터 다발 (E,J)이 주어졌을 때, (E,-J) 역시 복소수 벡터 다발이다. 이를 (E,J)의 켤레 복소수 벡터 다발(conjugate complex vector bundle영어)이라고 하며, 보통 \bar E로 표기한다.

켤레 복소수 벡터 다발의 천 특성류는 다음과 같다.
:\operatorname c_k(\bar E) = (-)^k \operatorname c_k(E)

만약 E가 복소수 벡터 다발이라면, 켤레 다발 \overline{E}는 복소수의 켤레 복소수를 통해 복소수가 작용하도록 하여 얻어진다. 따라서, 기저 실수 벡터 다발의 항등 사상 E_{\mathbb{R}} \to \overline{E}_\mathbb{R} = E_{\mathbb{R}}는 켤레 선형이며, E와 그 켤레 \overline{E}는 실수 벡터 다발로서 서로 동형이다.

\overline{E}의 k번째 천 클래스는 다음과 같다.
:c_k(\overline{E}) = (-1)^k c_k(E).

특히, E와 \overline{E}는 일반적으로 서로 동형이 아니다.

만약 E가 에르미트 계량을 가진다면, 켤레 다발 \overline{E}는 계량을 통해 쌍대 다발 E^* = \operatorname{Hom}(E, \mathcal{O})와 동형이다. 여기서 \mathcal{O}는 자명한 복소수 선 다발을 나타낸다.

3.2. 복소화

매끄러운 다양체 M 위의 매끄러운 벡터 다발 E가 주어졌을 때, 다음을 정의하여 복소수 벡터 다발을 만들 수 있다.

:E^{\mathbb C} = E\oplus E
:J = \begin{pmatrix}
0&-1\\
1&0
\end{pmatrix} \colon E^{\mathbb C} \to E^{\mathbb C}

이를 E의 복소화(complexification영어)라고 한다.

실수 벡터 다발의 복소화 E^{\mathbb C}는 항상 E^{\mathbb C} \cong \overline{E^{\mathbb C}}이다. 즉, 스스로의 켤레와 동형이 아닌 복소수 벡터 다발은 실수 벡터 다발의 복소화가 될 수 없다.

만약 E가 실수 벡터 다발이면, E의 복소화 아래에 있는 실수 벡터 다발은 E의 두 개의 복사본의 직합이다.
:(E \otimes \mathbb{C})_{\mathbb{R}} = E \oplus E
(임의의 실수 벡터 공간 V에 대해 V⊗RC = V⊕iV이기 때문이다). 복소 벡터 다발 E가 실수 벡터 다발 E'의 복소화이면, E'는 E의 실형식이라고 불리며, E는 실수상에서 정의되었다고 말한다.

4. 추가 구조

매끄러운 다양체 M 위의 (실수) 매끄러운 벡터 다발 E \twoheadrightarrow M 위의 복소구조는 다음 조건을 만족시키는 벡터 다발 사상이다.
* J \colon E \to E
* J^2 = -1

이에 따라 임의의 x\in M에 대해, E의 올 E_x는 유한 차원 복소수 벡터 공간 구조를 갖는다.
:(a+\mathrm ib) = (a + bJ) v

이러한 복소구조를 갖춘 매끄러운 벡터 다발을 복소수 벡터 다발이라고 한다. 복소수 벡터 다발에는 에르미트 계량과 같은 추가적인 구조를 부여할 수 있다.

4.1. 에르미트 계량

매끄러운 벡터 다발 \pi\colon E\twoheadrightarrow M 위의 에르미트 계량(Hermitian metric영어)은 매끄러운 벡터 다발 \bar E^* \otimes_{\mathbb R} E^*의 매끄러운 단면 가운데, 각 점 x\in M에서 E_x에 양의 정부호 에르미트 형식을 이루는 것이다.

에르미트 계량이 주어지면, 켤레 벡터 다발 \bar E는 표준적으로 쌍대 벡터 다발 E^*과 동형이다.

4.2. 에르미트 접속

에르미트 계량을 보존하는 벡터 다발 접속이다. 임의의 두 매끄러운 단면 s, t에 대해 d \langle s,t \rangle = \langle \nabla s,t \rangle + \langle s, \nabla t \rangle 를 만족한다. 파라콤팩트성에 의해, 모든 복소수 벡터 다발은 에르미트 접속을 갖는다.

5. 성질

복소수 벡터 다발은 추가적인 구조인 복소 구조를 가진 실수 벡터 다발로 생각할 수 있다. 복소 구조는 실수 벡터 다발 E와 그 자체 사이의 다발 사상이다.

:J\colon E \to E

여기서 J는 각 올 위에서 -1의 제곱근 i로 작용한다. 즉, J_x\colon E_x \to E_x가 올 수준의 사상일 때, 선형 사상으로 J_x^2 = -1이다. 만약 E가 복소수 벡터 다발이면, 복소 구조 J는 J_x를 i에 의한 스칼라 곱으로 설정하여 정의할 수 있다. 반대로, 만약 E가 복소 구조 J를 가진 실수 벡터 다발이면, 다음을 설정하여 E를 복소수 벡터 다발로 만들 수 있다. 임의의 실수 a, b와 올 Ex의 실수 벡터 v에 대해,

:(a + ib) v = a v + J(b v).

예를 들어 실수 다양체 M의 접다발에 대한 복소 구조는 보통 개복소 구조라고 불린다. 뉴랜더-니렌버그 정리에 따르면, 개복소 구조 J가 복소 다양체의 구조에 의해 유도된다는 의미에서 "적분 가능"하려면 J를 포함하는 특정 텐서가 사라져야 한다.