천 특성류

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1. 개요

천 특성류는 매끄러운 다양체 위의 복소 벡터 다발에 대해 정의되는 불변량으로, 대수적 위상수학, 미분 기하학, 대수 기하학 등 다양한 방법으로 정의될 수 있다. 코쥘 접속과 곡률을 사용하여 정의되며, 천 특성류의 원소는 테일러 급수의 계수로 주어진다. 천 특성류는 벡터 다발의 단면에서 '필수적으로 나타나는 영점'과 관련 있으며, 털 공 정리와 같은 예시를 통해 직관적으로 이해할 수 있다. 천 특성류는 휘트니 합 공식, 천 지표, 천 수 등 관련 개념들과 함께 리만-로흐 정리, 아티야-싱어 지표 정리, 천-사이먼스 이론, 대수 기하학 등 다양한 분야에 응용된다.

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천 특성류
개요
분류	위상수학
분야	대수적 위상수학, 미분기하학
관련 개념	벡터 다발, 코호몰로지, 특성류
정의
정의	벡터 다발의 코호몰로지류
기호	cᵢ(E)
성질
공리적 성질	정규화 휘트니 합 공식
응용
응용 분야	글로벌 해석학 열핵 정리
역사
명명 유래	천싱선
참고 문헌
참고 문헌	MathWorld: Chern Class nLab: Chern class

2. 정의

매끄러운 다양체 $M$ 위의 복소 벡터 다발 $E$ 에 대해, 천 특성류는 코쥘 접속과 곡률을 이용하여 정의된다.

천 특성류는 특성류의 일종으로, 위상 불변량이다. 이는 두 벡터 다발이 같은지 판별하는 데 사용될 수 있다. 만약 두 벡터 다발의 천 특성류가 일치하지 않으면, 그 벡터 다발은 서로 다르다. 그러나 역은 성립하지 않는다.

천 특성류는 리만-로흐 정리와 아티야-싱어 지표 정리를 통해, 벡터 다발이 얼마나 많은 선형 독립적인 단면을 가지고 있는지에 대한 정보를 제공한다. 또한, 실제로 계산이 가능하며, 미분기하학에서는 곡률 형식의 계수에 대한 다항식으로 표현될 수 있다.

위상 공간 ''X'' 위의 복소 벡터 다발 ''E''의 '''전체 천 클래스'''는 다음과 같이 정의된다.

$c(E) = c_0(E) + c_1(E) + c_2(E) + \cdots .$

이때, ''c_k''(''E'')는 ''E''의 '''''k''번째 천 클래스'''를 나타내며, ''X''의 정수 계수를 갖는 코호몰로지의 원소이다.

$H^{2k}(X;\Z),$

선속의 경우, 비자명한 차원류는 첫 번째 차원류뿐이며, 이는 선속의 오일러류와 같다. 위상수학적으로, 첫 번째 천 특성류는 복소 선속의 분류에 사용되는 전단사가 존재한다.^[15]

미분 가능 다양체 M 위의 복소 랭크 (복소 계수) n인 에르미트인 복소 벡터 다발 V가 주어지면, V의 각 차원 차수 c_k(V)는 V의 곡률 형식 Ω의 특성 다항식을 계수로 표현할 수 있다.

: $\det \left(\frac {it\Omega}{2\pi} +I\right) = \sum_k c_k(V) t^k$

2. 1. 코쥘 접속을 이용한 정의

매끄러운 다양체

M

위의 복소 벡터 다발

E

를 생각하자. 벡터 다발에 임의의 코쥘 접속

A

와 그 곡률

R_A

를 정의하면, 다음과 같은 다항식을 정의할 수 있다.

:

C(t;A)=\det(1+itR_A/2\pi)

.

여기서

t

는 형식적인 변수다. (

R_A

는 2-형식이고, 짝수 차원의 미분형식은 가환하므로 행렬식을 정의할 수 있다.)

C

는 닫혀 있으며, 코호몰로지류

:

c(t,A)=[C(t;A)]

는 코쥘 접속

A

에 관계없이 일정하다. 즉,

:

c(t,A)=c(t)

이다. 천 특성류의 원소

c_k

는

c(t)

의 테일러 급수

:

c(t)=\sum_kc_kt^k

의 계수이다.

2. 2. 대수적 천 특성류

대수기하학에서 천 특성류는 비특이 대수다양체에 대해 정의되며, 저우 환의 원소가 된다.^[20] 비특이 준사영 대수다양체

X

위의 국소 자유 가군층

\mathcal E

에 대해, 천 특성류는 다음과 같이 정의된다.

:

c^\bullet(\mathcal E)\in A^\bullet(X)

이는 (정수 계수) 저우 환

A^\bullet(X)

의 원소이다. 마찬가지로, '''(대수적) 천 지표'''^[20]는 다음과 같이 유리수 계수 저우 환 속에 정의할 수 있다.

:

\operatorname{ch}(\mathcal E)\in A^\bullet(X)\otimes_{\mathbb Z}\mathbb C

천 특성류는 초우 환에 값을 갖도록 구성할 수도 있다.^[12]

3. 성질

천 특성류는 벡터 다발의 단면이 존재하기 어렵게 만드는 방해 조건을 나타낸다. 복소다양체의 접다발의 최고차 천 특성류는 오일러 특성류와 같다. 자명한 복소수 벡터 다발의 천 특성류는 항상 0이다.^[21] 벡터 다발의 쌍대다발의 천 특성류는 원래 벡터 다발의 천 특성류의 -1배이다.

천 특성류는 다음 네 가지 공리를 만족한다.

모든 ''E''에 대해 $c_0(E) = 1$ 이다.
자연성: $f : Y \to X$ 가 연속이고 ''f*E''가 ''E''의 벡터 다발 당겨오기이면, $c_k(f^* E) = f^* c_k(E)$ 이다.
정규화: $\mathbb{CP}^k$ 위의 타우토로지 선형 다발의 전체 천 특성류는 1−''H''이며, 여기서 ''H''는 푸앵카레 쌍대로 초평면 $\mathbb{CP}^{k - 1} \subseteq \mathbb{CP}^k$ 이다.
휘트니 합 공식: 두 복소수 벡터 다발 $E$ 와 $F$ 의 직합 $E \oplus F$ 의 천 특성류는 다음과 같이 주어진다.

:

c(E \oplus F) = c(E) \smile c(F)

:즉,

:

c_k(E \oplus F) = \sum_{i = 0}^k c_i(E) \smile c_{k - i}(F)

이다.

이러한 특성은 천 특성류를 고유하게 특징짓는다.

''n''이 ''V''의 복소수 계수일 경우, 모든 ''k'' > ''n''에 대해 $c_k(V) = 0$ 이다. 따라서 총 천 특성류는 종결된다.
''V''의 최고차 천 특성류 (즉, ''n''이 ''V''의 계수인 $c_n(V)$ )는 항상 기본 실수 벡터 다발의 오일러 특성류와 같다.

3. 1. 휘트니 합 공식

두 복소수 벡터 다발

E

와

F

의 직합

E \oplus F

의 천 특성류는 다음과 같이 주어진다.^[18]

:

c(V \oplus W) = c(V) \smile c(W)

즉,

:

c_k(V \oplus W) = \sum_{i = 0}^k c_i(V) \smile c_{k - i}(W)

이다.

4. 구성 방법

천 특성류는 여러 가지 방법으로 구성될 수 있으며, 각 방법은 서로 다른 측면에 초점을 맞춘다.

원래 천 특성류는 대수적 위상수학을 통해 접근했다. 이는 호모토피 이론을 사용하여 벡터 다발을 분류 공간(무한 그래스만 다양체)으로 매핑하는 방식이었다.

천은 미분 기하학을 사용하여 곡률 접근 방식을 통해 천 특성류를 정의하였고, 이전의 정의와 자신의 정의가 동등함을 보였다.

알렉산더 그로텐디크는 선다발의 경우만 정의하면 된다는 것을 공리적으로 보였다.

대수 기하학에서도 천 특성류가 자연스럽게 나타난다. 여기서는 임의의 비특이 대수다양체 위의 벡터 다발 (또는 국소 자유층)에 대해 일반화된 천 특성류를 정의할 수 있으며, 이때 벡터 다발이 복소수일 필요는 없다.

이러한 접근 방식과 관계없이, 천 특성류는 벡터 다발의 단면의 '필요한 영점'과 관련이 있다는 직관적인 의미를 가진다. 예를 들어, 털 공 정리와 같이, 실수 벡터 다발에 대한 질문을 복소수나 다른 체 위의 1차원 사영 공간으로 일반화할 수 있다.

4. 1. 호모토피 이론

천 특성류는 호모토피 이론을 통해 나타나는데, 이는 벡터 다발을 분류 공간(이 경우 무한 그래스만 다양체)으로 매핑하는 방법을 제공한다.^[3] 다양체 ''M'' 위의 임의의 복소수 벡터 다발 ''V''에 대해, 다발 ''V''가 분류 공간 위의 보편 다발의 ''f''에 의한 당김과 같도록 ''M''에서 분류 공간으로의 사상 ''f''가 존재한다. 따라서 ''V''의 천 특성류는 보편 다발의 천 특성류의 당김으로 정의될 수 있다. 이러한 보편 천 특성류는 슈베르트 사이클을 사용하여 명시적으로 작성할 수 있다.

''M''에서 분류 공간으로의 두 사상 ''f'', ''g''에 대해, 이들의 당김이 동일한 다발 ''V''인 경우, 해당 사상은 호모토픽해야 함을 보일 수 있다. 따라서, 임의의 보편 천 특성류의 ''f'' 또는 ''g''에 의한 당김이 ''M''의 코호몰로지류가 되어야 한다. 이는 ''V''의 천 특성류가 잘 정의되었음을 보여준다.

4. 2. 미분 기하학 (천-베유 이론)

Chern–Weil^영어 이론은 곡률 형식을 사용하여 천 특성류를 정의한다. 미분 가능 다양체 ''M'' 위에 정의된 복소수 에르미트 벡터 다발 ''V''의 각 천 클래스('''천 형식''')

c_k(V)

의 대표는 ''V''의 곡률 형식

\Omega

의 특성 다항식의 계수로 주어진다.

:

\det \left(\frac {it\Omega}{2\pi} +I\right) = \sum_k c_k(V) t^k

여기서 행렬식은 ''M'' 위의 짝수 복소 미분 형식의 가환 대수에서 계수를 갖는 ''t''의 다항식인

n \times n

행렬의 환에서 계산된다. 곡률 형식

\Omega

는 다음과 같이 정의된다.

:

\Omega = d\omega+\frac{1}{2}[\omega,\omega]

여기서 ω는 접속 형식이고 ''d''는 외미분이며, ω가 ''V''의 게이지군에 대한 게이지장인 동일한 표현식을 통해 정의되기도 한다. 스칼라 ''t''는 여기서 행렬식으로부터 합을 생성하기 위한 미정 변수로만 사용되며, ''I''는

n \times n

항등 행렬을 나타낸다.

주어진 표현식이 천 클래스의 '대표'라고 말하는 것은 여기서 '클래스'가 정확한 미분 형식의 덧셈까지의 의미를 갖는다는 것을 나타낸다. 즉, 천 클래스는 드람 코호몰로지의 의미에서 코호몰로지 클래스이다. 천 형식의 코호몰로지 클래스는 ''V''의 접속의 선택에 의존하지 않는다는 것을 보일 수 있다.

행렬 항등식

\mathrm{tr}(\ln(X))=\ln(\det(X))

으로부터

\det(X) =\exp(\mathrm{tr}(\ln(X)))

가 성립한다. 이제

\ln(X+I)

에 대한 매클로린 급수를 적용하면, 천 형식에 대한 다음 표현식을 얻는다.

:

\sum_k c_k(V) t^k = \left[ I + i \frac{\mathrm{tr}(\Omega)}{2\pi} t + \frac{\mathrm{tr}(\Omega^2)-\mathrm{tr}(\Omega)^2}{8\pi^2} t^2 + i \frac{-2\mathrm{tr}(\Omega^3)+3\mathrm{tr}(\Omega^2)\mathrm{tr}(\Omega)-\mathrm{tr}(\Omega)^3}{48\pi^3} t^3 + \cdots \right].

4. 3. 대수 기하학 (그로텐디크)

알렉산더 그로텐디크는 공리적으로 선다발의 경우만 정의하면 된다는 것을 보였다.^[14]

그는 레레이-허쉬 정리를 사용하여 임의의 유한 랭크 복소 벡터 다발의 전체 천 클래스가 자명하게 정의된 선형 번들의 첫 번째 천 클래스의 관점에서 정의될 수 있음을 보였다.

5. 예

천 특성류의 몇 가지 예를 살펴보자.

V가 선다발인 경우, 자명하지 않은 유일한 천 특성류는 첫 번째 천 특성류이며, 이는 X의 이차 코호몰로지 군의 원소이자 해당 선다발의 오일러류와 같다.^[1]

위상수학적으로, 첫 번째 천 특성류는 복소 선다발을 분류하는 데 사용되는 완비 불변량이다.^[15] 즉, X 위의 선다발의 동형류와 H²(X;Z)의 원소 사이에는 전단사가 존재하며, 첫 번째 천 특성류를 통해 선다발을 이와 결합시킨다.^[15]

대수 기하학에서, 첫 번째 천 특성류를 이용한 복소 선다발의 분류는 인자의 선형 동치류를 이용한 정칙 선다발의 분류와 매우 유사하다.

하지만 차원이 1보다 큰 복소 벡터 다발의 경우에는 천 특성류가 완비 불변량이 아니다.

미분 가능 다양체 M 위에 에르미트 계량을 갖는 복소 랭크 n인 복소 벡터 다발 V가 주어졌을 때, V의 각 차원 차수 c_k(V) (차른 형식)는 V의 곡률 형식 Ω의 특성 다항식을 통해 계수로 표현된다.

: $\det \left(\frac {it\Omega}{2\pi} +I\right) = \sum_k c_k(V) t^k$

이 행렬식은 M 위의 짝수 복소 미분 형식의 가환 대수를 계수로 갖는 t에 대한 다항식을 각 원소로 하는 n × n 행렬의 환이다. 여기서 V의 곡률 형식 Ω는 다음과 같이 정의된다.

: $\Omega=d\omega+\tfrac{1}{2}[\omega,\omega]$

여기서 ω는 접속 형식이고, d는 외미분이다. ω는 V의 게이지군의 게이지 형식으로 표현될 수 있다. 스칼라 t는 행렬식에서 합을 생성하는 부정원이며, I는 n × n 단위 행렬이다.

차른 형식이 차른 차수를 '''나타낸다'''는 것은, 완전 형식을 추가하는 것차이를 제외하고 "차수"를 의미하며, 차른 차수는 드 람 코호몰로지의 의미에서 코호몰로지 차수이다. 차른 형식의 코호몰로지 차수는 V의 접속 선택에 의존하지 않는다.

행렬 등식 tr(ln(X))=ln(det(X))과 ln(X + I)의 매클로린 급수를 이용하면, 차른 차수는 다음과 같이 전개된다.

: $\sum_k c_k(V) t^k = \left[ I+ i \frac{\mathrm{tr}(\Omega)}{2\pi} t+ \frac{\mathrm{tr}(\Omega^2)-\mathrm{tr}(\Omega)^2}{8\pi^2} t^2+ i \frac{-2\mathrm{tr}(\Omega^3)+3\mathrm{tr}(\Omega^2)\mathrm{tr}(\Omega)-\mathrm{tr}(\Omega)^3}{48\pi^3} t^3+ \cdots\right]\ .$

5. 1. 리만 곡면

리만 곡면

\Sigma

위의 선다발

\mathcal L(D)

의 천 수는 그 차수

\deg D

와 같으며, 다음 식으로 표현된다.^[1]

:

c(\mathcal L(D))=1+(\deg D)[\Sigma]\in H^\bullet(\Sigma;\mathbb Z)

여기서

D

는 인자이다.

특히, 리만 곡면의 접다발

\operatorname T\Sigma

및 표준 선다발(=공변접다발)

\operatorname T^*\Sigma

의 차수는 각각

\chi(\Sigma)=2-2g

및

-\chi(\Sigma)=2g-2

이므로, 이들의 천 특성류는 다음과 같다.

:

c(\operatorname T\Sigma)=1+\chi(\Sigma)[\Sigma]

:

c(\operatorname T^*\Sigma)=1-\chi(\Sigma)[\Sigma]

g=1

인 경우, 즉 원환면 (복소수 타원 곡면)의 경우, 접다발 및 표준 선다발은 자명한 선다발이다.

g\ne1

일 경우, 리만 곡면 위의 모든 벡터장

V

는 적어도 하나의 영점을 가지며, 이는 푸앵카레-호프 정리의 한 예이다.

:

\sum_{z\colon V(z)=0}\operatorname{index}_zV=\chi(\Sigma)

5. 2. 복소수 사영 공간

복소수 사영 공간

\mathbb{CP}^n

의 접다발의 천 특성류는 오일러 완전열을 통해 계산할 수 있다.^[4]

:

0\to\mathcal O_{\mathbb{CP}^n}\to\mathcal O_{\mathbb{CP}^n}(1)^{\oplus(n+1)}\to\operatorname T\mathbb{CP}^n\to0

여기서

\mathcal O_{\mathbb{CP}^n}

은 구조층이며, 자명한 선다발이다.

\mathcal O_{\mathbb{CP}^n}(1)

은 세르 뒤틀림층이다.

복소수 사영 공간의 접다발의 천 특성류는 다음과 같이 계산된다.

:

c(\operatorname T\mathbb{CP}^n)=c(\mathcal O_{\mathbb{CP}^n}(1))^{n+1}=(1+c_1(\mathcal O_{\mathbb CP^n}(1)))^{n+1}

총 천 특성(total Chern class) ''c'' = 1 + ''c''₁ + ''c''₂ + … 의 가법성 (휘트니 합 공식)에 의해,

:

c(\mathbb{C}P^n) \overset{\mathrm{def}}= c(T\mathbb{C}P^n) = c(\mathcal{O}_{\mathbb{C}P^n}(1))^{n+1}= (1+a)^{n+1}

이 성립한다. 여기서 ''a''는 코호몰로지 군

H^2(\mathbb{C}P^n, \mathbb{Z})

의 표준 생성자이다.

특히, 임의의 ''k'' ≥ 0에 대해,

:

c_k(\mathbb{C} P^n) = \binom{n+1}{k} a^k

이 된다.^[16]

5. 3. 초평면 다발

''V''가 선 다발인 경우, 유일하게 0이 아닌 천 클래스는 첫 번째 천 클래스이며, 이는 ''X''의 두 번째 코호몰로지 군의 원소이다. 이는 다발의 오일러 클래스와 같다.^[1]

첫 번째 천 클래스는 복소수 선 다발을 분류하는 완전 불변량이다. 즉, ''X'' 위의 선 다발의 동형 사상 클래스와

H^2(X;\Z)

의 원소 사이에는 전단사가 존재하며, 이는 선 다발을 첫 번째 천 클래스와 연관시킨다.^[15]

:

c_1(L \otimes L') = c_1(L) + c_1(L');

복소수 선 다발의 텐서 곱은 두 번째 코호몰로지 군의 덧셈에 해당한다.^[2]

대수 기하학에서 첫 번째 천 클래스에 의한 복소수 선 다발의 (동형 사상 클래스) 분류는 divisor의 선형 동치 클래스에 의한 (동형 사상 클래스) 정칙 선 다발의 분류에 대한 근사이다.

1보다 큰 차원의 복소수 벡터 다발의 경우, 천 클래스는 완전 불변량이 아니다.

다음과 같은 층/번들의 완전열이 존재한다:^[4]

:

0 \to \mathcal{O}_{\mathbb{CP}^n} \to \mathcal{O}_{\mathbb{CP}^n}(1)^{\oplus (n+1)} \to T\mathbb{CP}^n \to 0

여기서

\mathcal{O}_{\mathbb{CP}^n}

는 구조 층(자명한 선다발),

\mathcal{O}_{\mathbb{CP}^n}(1)

는 세르 뒤틀린 층(초평면 다발), 마지막 비영항은 접다발이다.

총 천 클래스

c = 1 + c_1 + c_2 + \cdots

의 가법성에 의해 (휘트니 합 공식),

:

c(\Complex\mathbb{P}^n) \overset{\mathrm{def}}= c(T\mathbb{CP}^n) = c(\mathcal{O}_{\Complex\mathbb{P}^n}(1))^{n+1} = (1+a)^{n+1},

여기서 ''a''는 코호몰로지 군

H^2(\Complex\mathbb{P}^n, \Z )

의 정규 생성원이다. 즉, 자명한 선다발

\mathcal{O}_{\Complex\mathbb{P}^n}(-1)

의 첫 번째 천 클래스의 음수이다 (

c_1(E^*) = -c_1(E)

where

E^*

는 ''E''의 쌍대).

특히, 모든

k\ge  0

에 대해,

:

c_k(\Complex\mathbb{P}^n) = \binom{n+1}{k} a^k.

6. 관련 개념

체른 다항식은 체른 특성류 및 관련 개념을 체계적으로 다루는 편리한 방법이다. 복소 벡터 다발 ''E''에 대해 체른 다항식 ''c''_''t''는 다음과 같이 정의된다.^[6]

: $c_t(E) =1 + c_1(E) t + \cdots + c_n(E) t^n.$

여기서 ''t''는 형식적인 변수로, ''c''_''k''(''E'')의 차수를 나타낸다. ''E''의 총 체른 특성류는 $c(E) =1 + c_1(E) + \cdots + c_n(E)$ 이며, $c_t(E)$ 는 총 체른 특성류에 의해 완전히 결정되고 그 반대도 성립한다.

체른 특성류의 공리 중 하나인 휘트니 합 공식에 따르면, ''c''_''t''는 가법적이다. 즉,

: $c_t(E \oplus E') = c_t(E) c_t(E').$

$E = L_1 \oplus \cdots \oplus L_n$ 이 복소 선 다발의 직접 합이라면, 합 공식에 의해 다음과 같이 표현할 수 있다.

: $c_t(E) = (1+a_1(E) t) \cdots (1+a_n(E) t)$

여기서 $a_i(E) = c_1(L_i)$ 는 첫 번째 체른 특성류이다. $a_i(E)$ 는 체른 근이라고 불리며, 이 근들은 다항식의 계수를 결정한다. 즉, 다음과 같다.

: $c_k(E) = \sigma_k(a_1(E), \ldots, a_n(E))$

여기서 σ_''k''는 기본 대칭 다항식이다. ''a''_''i''를 형식적인 변수로 생각하면 ''c''_''k''는 "σ_''k''"가 된다. 대칭 다항식의 기본적인 성질에 따라, ''t''_''i''의 대칭 다항식은 ''t''_''i''의 기본 대칭 다항식의 다항식으로 표현 가능하다. 분해 원리에 의해, 모든 체른 다항식은 코호몰로지 환을 확장한 후 선형 인수로 인수분해될 수 있다. ''E''는 선 다발의 직접 합일 필요는 없다.

결론적으로, "σ_''k''의 다항식으로 ''f''를 작성한 다음 σ_''k''를 ''c''_''k''(''E'')로 대체하여 복소 벡터 다발 ''E''에서 임의의 대칭 다항식 ''f''를 평가할 수 있다."

예를 들어, 다음과 같은 다항식 ''s''_''k''가 있다.

: $t_1^k + \cdots + t_n^k = s_k(\sigma_1(t_1, \ldots, t_n), \ldots, \sigma_k(t_1, \ldots, t_n))$

여기서 $s_1 = \sigma_1, s_2 = \sigma_1^2 - 2 \sigma_2$ 등이며, 이는 뉴턴 항등식을 통해 얻을 수 있다.

''E''의 토드 특성류는 다음과 같다.

: $\operatorname{td}(E) = \prod_1^n {a_i \over 1 - e^{-a_i}} = 1 + {1 \over 2} c_1 + {1 \over 12} (c_1^2 + c_2) + \cdots.$

체른 특성류는 기본 대칭 다항식을 이용하여 정의할 수도 있다. $G_n$ 을 ''n''차원 복소 벡터 공간의 무한 그래스만 다양체라고 하면, 이 공간에는 $n$ 차수의 자명한 벡터 다발 $E_n \to G_n$ 이 존재한다. $G_n$ 은 순위 $n$ 벡터 다발의 분류 공간이다. ''X'' 위의 순위 ''n''의 복소 벡터 다발 ''E''가 주어지면, 다음과 같은 연속 사상

: $f_E: X \to G_n$

이 존재하고, $f_E$ 를 따라 $X$ 로의 $E_n$ 의 당겨짐이 $E$ 와 동형이며, 이 사상 $f_E$ 는 호모토피까지 유일하다. 보렐 정리에 따르면 $G_n$ 의 코호몰로지 환은 기본 대칭 다항식 σ_''k''의 다항식으로 이루어진 대칭 다항식의 환이다. 따라서 ''f''_''E''의 당겨짐은 다음과 같다.

: $f_E^*: \Z [\sigma_1, \ldots, \sigma_n] \to H^*(X, \Z ).$

그러면 다음과 같이 정의할 수 있다.

: $c_k(E) = f_E^*(\sigma_k).$

모든 특성류는 체른 특성류의 다항식으로 표현 가능하다. 그 이유는 다음과 같다. $\operatorname{Vect}_n^{\Complex}$ 를 CW 복합체 ''X''에 할당하는 공변 반대자 함수라고 하자. 이 함수는 ''X'' 위의 순위 ''n''의 복소 벡터 다발의 동형 클래스 집합과 사상에 해당 당겨짐을 할당한다. 정의에 따라, 특성류는 $\operatorname{Vect}_n^{\Complex } = [-, G_n]$ 에서 코호몰로지 함수 $H^*(-, \Z ).$ 로의 자연 변환이다. 코호몰로지 환의 환 구조 때문에 특성류는 환을 형성한다. 요네다 보조정리에 따르면 이러한 특성류의 환은 $G_n$ 의 코호몰로지 환과 같다.

: $\operatorname{Nat}([-, G_n], H^*(-, \Z )) = H^*(G_n, \Z ) = \Z [\sigma_1, \ldots, \sigma_n].$

6. 1. 천 지표

'''천 지표'''(Chern character)는 공간의 위상 K-이론에서 (완비된) 유리 코호몰로지로의 환 준동형을 구성하는 데 사용된다.^[13] 선다발 ''L''에 대해, 천 지표 ch는 다음과 같이 정의된다.

:

\operatorname{ch}(L) = \exp(c_{1}(L)) := \sum_{m=0}^\infty \frac{c_1(L)^m}{m!}.

더 일반적으로,

V = L_1 \oplus \cdots \oplus L_n

이 선다발의 직합이고, 첫 번째 천 특성류가

x_i = c_1(L_i)

일 때, 천 지표는 가산적으로 다음과 같이 정의된다.

:

\operatorname{ch}(V)  = e^{x_1} + \cdots + e^{x_n} :=\sum_{m=0}^\infty \frac{1}{m!}(x_1^m + \cdots + x_n^m).

이는 다음과 같이 다시 쓸 수 있다.

:

\operatorname{ch}(V) = \operatorname{rk}(V) + c_1(V) + \frac{1}{2}(c_1(V)^2 - 2c_2(V)) + \frac{1}{6} (c_1(V)^3 - 3c_1(V)c_2(V) + 3c_3(V)) + \cdots.

분할 원리를 이용하여 정당화된 이 마지막 표현은 임의의 벡터 다발 ''V''에 대한 ''ch(V)''의 정의로 사용된다.

만약 기저가 다양체일 때 천 특성류를 정의하기 위해 연결을 사용하면 (즉, 천-베일 이론), 천 지표의 명시적 형태는 다음과 같다.

:

\operatorname{ch}(V)=\left[\operatorname{tr}\left(\exp\left(\frac{i\Omega}{2\pi}\right)\right)\right]

여기서 Ω는 연결의 곡률이다.

천 지표는 특히 텐서 곱의 천 특성류를 계산하는 데 유용하다. 구체적으로, 다음과 같은 항등식을 따른다.

:

\operatorname{ch}(V \oplus W) = \operatorname{ch}(V) + \operatorname{ch}(W)

:

\operatorname{ch}(V \otimes W) = \operatorname{ch}(V) \operatorname{ch}(W).

위에서 언급했듯이, 천 특성류에 대한 그로텐디크 가산성 공리를 사용하여, 이 항등식 중 첫 번째 것은 ''ch''가 K-이론 ''K''(''X'')에서 ''X''의 유리 코호몰로지로의 아벨 군의 준동형임을 나타내도록 일반화될 수 있다. 두 번째 항등식은 이 준동형이 또한 ''K''(''X'')에서 곱을 존중한다는 사실을 확립하며, 따라서 ''ch''는 환의 준동형이다.

천 지표는 히르제브루흐-리만-로흐 정리에서 사용된다.

6. 2. 천 수

는 가향 다양체의 체른 특성류를 이용하여 정의되는 정수 불변량이다.^[6]

2n

차원 가향 다양체에서 총 차수가

2n

인 모든 체른 특성류의 곱(곱에 있는 체른 특성류들의 지수 합이

n

이어야 함)은 방향 호몰로지류와 쌍을 이루어(또는 "다양체에 대해 적분") 정수를 제공하며, 이는 벡터 다발의 '''천 수'''가 된다.^[6] 예를 들어, 다양체의 차원이 6차원인 경우

c_1^3

,

c_1 c_2

,

c_3

으로 주어진 세 개의 선형 독립적인 천 수가 있다. 일반적으로 다양체의 차원이

2n

인 경우 가능한 독립적인 천 수의 개수는

n

의 정수 분할의 개수와 같다.

복소 다양체 또는 거의 복소 다양체의 접다발의 천 수는 다양체의 천 수라고 불리며, 중요한 불변량이다.

6. 3. 일반화된 코호몰로지 이론

일반 코호몰로지 이론에서 천 특성류를 정의할 수 있다. 이러한 일반화가 가능한 이론을 복소수 가향이라고 한다. 천 특성류의 형식적 성질은 동일하게 유지되지만, 한 가지 중요한 차이점이 있다. 즉, 선다발의 텐서 곱의 첫 번째 천 특성류를 인자의 첫 번째 천 특성류를 사용하여 계산하는 규칙은 (일반적인) 덧셈이 아니라 형식 군 법칙이다.

7. 역사

천싱선이 1946년에 도입하였다.^[22]

8. 응용

천 특성류는 여러 분야에 응용된다. 리만-로흐 정리는 다양체의 오일러 지표를 계산하는 데 사용되며, 아티야-싱어 지표 정리는 미분 연산자의 해석적 지표와 위상적 지표 사이의 관계를 설명할 때 천 특성류가 중요한 역할을 한다.

8. 1. 리만-로흐 정리

리만-로흐 정리는 천 특성류를 이용하여 다양체의 오일러 지표를 계산하는 데 사용된다.

8. 2. 아티야-싱어 지표 정리

아티야-싱어 지표 정리는 미분 연산자의 해석적 지표와 위상적 지표 사이의 관계를 설명하며, 여기서 천 특성류가 중요한 역할을 한다.

8. 3. 대수기하학

대수기하학에는 벡터 다발의 천 특성류와 유사한 이론이 있다. 천 특성류가 속하는 군에 따라 몇 가지 변형이 있다.

복소 다양체의 경우 천 특성류는 위에서 언급한 것처럼 보통 코호몰로지에서 값을 가질 수 있다.
일반적인 체 위의 다양체의 경우 천 특성류는 에탈 코호몰로지 또는 l-adic 코호몰로지와 같은 코호몰로지 이론에서 값을 가질 수 있다.
일반적인 체 위의 다양체 ''V''의 경우 천 특성류는 또한 초우 군 CH(V)의 준동형 사상에서 값을 가질 수 있다. 예를 들어, 다양체 ''V'' 위의 선다발의 첫 번째 천 특성류는 CH(''V'')에서 CH(''V'')로의 준동형 사상으로, 차수를 1만큼 감소시킨다. 이는 초우 군이 일종의 호몰로지 군의 아날로그이고, 코호몰로지 군의 원소가 캡 곱을 사용하여 호몰로지 군의 준동형 사상으로 생각할 수 있다는 사실에 해당한다.

참조

_[1] 서적 Differential forms in algebraic topology Springer 1995
_[2] 웹사이트 Vector Bundles and K-theory https://pi.math.corn[...]
_[3] 문서
_[4] 문서
_[5] 간행물
_[6] 문서
_[7] 간행물
_[8] 간행물
_[9] 간행물
_[10] 간행물
_[11] 문서
_[12] 간행물
_[13] 문서
_[14] 문서
_[15] 서적 Differential forms in algebraic topology Springer 1995
_[16] 문서
_[17] 문서
_[18] 문서
_[19] 문서
_[20] 서적
_[21] 서적
_[22] 논문

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