부대칭 행렬

2. 정의

체 ''K'' 위의 ''n'' × ''n'' 정사각 행렬 ''M'' ∈ Mat(''n'';''K'')의 부전치(副轉置, secondary transpose^영어)는 ''JM''^⊤''J''이다. 여기서 ''M''^⊤은 전치 행렬이다. 이는 ''M''을 부대각선에 대하여 전치한 것과 같다. 즉, 각 ''i'', ''j''에 대하여 (''JM''^⊤''J'')_''ij'' = ''M''_{''n''+1-''j'',''n''+1-''i''}이다.^[3][4]

부전치를 사용하여 정의되는 행렬의 종류는 다음과 같다.

• '''부대칭 행렬''': ''JM''^⊤''J'' = ''M''인 행렬^[3][4]
• '''쌍대칭 행렬''': 대칭 행렬이면서 부대칭 행렬인 행렬^[4]
• '''부반대칭 행렬''': ''JM''^⊤''J'' = -''M''인 행렬^[4]
• '''부직교 행렬''': ''JM''^⊤''J'' = ''M''^-1인 행렬

• '''부에르미트 행렬''': ''JM''^†''J'' = ''M''인 행렬^[4]
• '''부반에르미트 행렬''': ''JM''^†''J'' = -''M''인 행렬
• '''부유니터리 행렬''': ''JM''^†''J'' = ''M''^-1인 행렬
• '''부정규 행렬''': ''M''(''JM''^†''J'') = (''JM''^†''J'')''M''인 행렬

2. 1. 교환 행렬

2. 2. 부전치

2. 3. 부켤레 전치

2. 4. 관련 행렬

• '''부대칭 행렬''': $JM^\backslash top\; J=M$인 행렬
• '''쌍대칭 행렬''': 대칭 행렬이면서 부대칭 행렬인 행렬
• '''부반대칭 행렬''': $JM^\backslash top\; J=-M$인 행렬
• '''부직교 행렬''': $JM^\backslash top\; J=M^\{-1\}$인 행렬

• '''부에르미트 행렬''': $JM^\backslash dagger\; J=M$인 행렬
• '''부반에르미트 행렬''': $JM^\backslash dagger\; J=-M$인 행렬
• '''부유니터리 행렬''': $JM^\backslash dagger\; J=M^\{-1\}$인 행렬
• '''부정규 행렬''': $M(JM^\backslash dagger\; J)=(JM^\backslash dagger\; J)M$인 행렬

4. 준대칭 행렬의 정의와 표현 (Definition of Persymmetric Matrix)

를 행렬이라고 하자. 모든 에 대해 $$a\_\{ij\}\; =\; a\_\{n-j+1,\backslash ,n-i+1\}$$ 가 성립하면, ''A''를 준대칭 행렬이라고 정의한다.^[1] 예를 들어 5 × 5 준대칭 행렬은 다음과 같은 형태를 가진다.

$$A\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$$

a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} \\

a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{14} \\

a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{23} & a_{13} \\

a_{41} & a_{42} & a_{32} & a_{22} & a_{12} \\

a_{51} & a_{41} & a_{31} & a_{21} & a_{11}

\end{bmatrix}.

이는 로 표현될 수 있으며, 여기서 는 교환 행렬이다. 또는 를 180도 회전한 것이 와 같음을 보여주는 $$A\; =\; J\; A^\backslash mathsf\{T\}\; J.$$ 와 같이 표현 할 수 있다. 대칭 행렬은 북서쪽에서 남동쪽 대각선에 대해 값이 대칭인 행렬이며, 이를 90° 회전하면 준대칭 행렬이 된다. 대칭 준대칭 행렬은 때때로 쌍대칭 행렬이라고 불린다.

토마스 뮤어의 정의에 따르면,^[2] 정사각 행렬 에서 가 에만 의존하는 경우, 이 행렬은 대칭 행렬이 된다. 이러한 의미의 대칭 행렬은 보통 행켈 행렬이라고 불리며, 다음과 같은 형태를 갖는다.^[2]

$$A\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$$

r_1 & r_2 & r_3 & \cdots & r_n \\

r_2 & r_3 & r_4 & \cdots & r_{n+1} \\

r_3 & r_4 & r_5 & \cdots & r_{n+2} \\

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

r_n & r_{n+1} & r_{n+2} & \cdots & r_{2n-1}

\end{bmatrix}.

대칭 행렬식은 이러한 대칭 행렬의 행렬식을 의미한다.^[2]

주 대각선에 평행한 각 선의 값이 일정한 행렬은 토플리츠 행렬이라고 한다.

4. 1. 정의 1

''A'' = (''a_ij'')를 ''n'' × ''n'' 행렬이라고 하자. 모든 ''i'', ''j''에 대해 a_ij = a_{n-j+1, n-i+1} 가 성립하면, ''A''를 준대칭 행렬이라고 정의한다.^[1] 예를 들어 5 × 5 준대칭 행렬은 다음과 같은 형태를 가진다.

이는 ''AJ'' = ''JA''^T로 표현될 수 있으며, 여기서 ''J''는 교환 행렬이다. 또는 A^T를 180도 회전한 것이 A와 같음을 보여주는 A = JA^TJ 와 같이 표현 할 수 있다. 대칭 행렬은 북서쪽에서 남동쪽 대각선에 대해 값이 대칭인 행렬이며, 이를 90° 회전하면 준대칭 행렬이 된다. 대칭 준대칭 행렬은 때때로 쌍대칭 행렬이라고 불린다.

4. 2. 정의 2

토마스 뮤어의 정의에 따르면,^[2] 정사각 행렬 ''A'' = (''a''_''ij'')에서 ''a''_''ij''가 ''i'' + ''j''에만 의존하는 경우, 이 행렬은 대칭 행렬이 된다. 이러한 의미의 대칭 행렬은 보통 행켈 행렬이라고 불리며, 다음과 같은 형태를 갖는다.^[2]

$$A\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$$

r_1 & r_2 & r_3 & \cdots & r_n \\

r_2 & r_3 & r_4 & \cdots & r_{n+1} \\

r_3 & r_4 & r_5 & \cdots & r_{n+2} \\

\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\

r_n & r_{n+1} & r_{n+2} & \cdots & r_{2n-1}

\end{bmatrix}.

대칭 행렬식은 이러한 대칭 행렬의 행렬식을 의미한다.^[2]

주 대각선에 평행한 각 선의 값이 일정한 행렬은 토플리츠 행렬이라고 한다.

4. 3. 동치 표현

4. 4. 행렬식

대칭 행렬식은 대칭 행렬의 행렬식이다.^[2] 토마스 뮤어의 정의에 따르면 정사각 행렬 ''A'' = (''a''_''ij'')는 ''a''_''ij''가 오직 ''i'' + ''j''에 의존할 경우 대칭적이라고 한다. 이러한 의미의 대칭 행렬은 흔히 행켈 행렬이라고 불린다.^[2] 주 대각선에 평행한 각 선의 값이 일정한 행렬은 토플리츠 행렬이라고 한다.

4. 5. 토플리츠 행렬과의 관계

토플리츠 행렬은 주 대각선에 평행한 각 선의 값이 일정한 행렬이다.^[2] 토플리츠 행렬은 준대칭 행렬과 관련이 있다.