부대칭 행렬

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1. 개요

부대칭 행렬은 체 K 위의 정사각 행렬 M에 대해 정의되는 특별한 형태의 행렬들을 지칭한다. 부전치, 부켤레 전치 연산을 통해 부대칭 행렬, 쌍대칭 행렬, 부반대칭 행렬, 부직교 행렬, 부에르미트 행렬, 부반에르미트 행렬, 부유니터리 행렬, 부정규 행렬과 같은 여러 종류의 행렬을 정의할 수 있다. 또한 준대칭 행렬은 행렬의 특정 성질을 나타내며, 교환 행렬을 사용하여 표현될 수 있다. 대칭 행렬식은 대칭 행렬의 행렬식으로, 토플리츠 행렬과도 관련이 있다.

부대칭 행렬

개요

정의	주대각선을 기준으로 대칭인 정방 행렬
다른 이름	이차 대칭 행렬 퍼시메트릭 행렬 기울기-대각선 대칭 행렬

예시

이미지 준비중입니다.

부대칭 행렬의 예.

속성

크기	정방 행렬
대칭성	주대각선에 대한 대칭
고유값	실수

관련 행렬	대칭 행렬

2. 정의

체 K 위의 n × n 정사각 행렬 M ∈ Mat(n;K)의 부전치(副轉置, secondary transpose^영어)는 JM^⊤J이다. 여기서 M^⊤은 전치 행렬이다. 이는 M을 부대각선에 대하여 전치한 것과 같다. 즉, 각 i, j에 대하여 (JM^⊤J)_ij = M_n+1-j,n+1-i이다.

부전치를 사용하여 정의되는 행렬의 종류는 다음과 같다.

* 부대칭 행렬: JM^⊤J = M인 행렬
* 쌍대칭 행렬: 대칭 행렬이면서 부대칭 행렬인 행렬
* 부반대칭 행렬: JM^⊤J = -M인 행렬
* 부직교 행렬: JM^⊤J = M^-1인 행렬

2차 자기 동형 $\bar{\quad}$ 을 갖는 체 K 위의 n × n 정사각 행렬 M ∈ Mat(n;K)의 부켤레 전치(副-轉置, secondary conjugate transpose^영어)는 JM^†J이다. 여기서 M^†는 켤레 전치이다. 이는 M을 부대각선에 대하여 켤레 전치한 것과 같다. 즉, 각 i, j에 대하여 (JM^†J)_ij = $\overline{M_{n+1-j,n+1-i}}$ 이다.

부켤레 전치를 사용하여 정의되는 행렬의 종류는 다음과 같다.

* 부에르미트 행렬: JM^†J = M인 행렬
* 부반에르미트 행렬: JM^†J = -M인 행렬
* 부유니터리 행렬: JM^†J = M^-1인 행렬
* 부정규 행렬: M(JM^†J) = (JM^†J)M인 행렬

2.1. 교환 행렬

2.2. 부전치

2.3. 부켤레 전치

2.4. 관련 행렬

체 $K$ 위의 $n \times n$ 정사각 행렬 $M \in \operatorname{Mat}(n;K)$ 의 부전치는 $JM^\top J$ 이다. 여기서 $M^\top$ 은 전치 행렬이며, $J$ 는 교환 행렬이다. 이는 $M$ 을 부대각선에 대하여 전치한 것과 같다. $M$ 의 부전치를 사용하여 정의되는 행렬은 다음과 같다.

* 부대칭 행렬: $JM^\top J=M$ 인 행렬
* 쌍대칭 행렬: 대칭 행렬이면서 부대칭 행렬인 행렬
* 부반대칭 행렬: $JM^\top J=-M$ 인 행렬
* 부직교 행렬: $JM^\top J=M^{-1}$ 인 행렬

2차 자기 동형 $\bar{\quad}$ 을 갖는 체 $K$ 위의 $n\times n$ 정사각 행렬 $M\in\operatorname{Mat}(n;K)$ 의 부켤레 전치는 $JM^\dagger J$ 이다. 여기서 $M^\dagger$ 는 켤레 전치이다. 이는 $M$ 을 부대각선에 대하여 켤레 전치한 것과 같다. $M$ 의 부켤레 전치를 사용하여 정의되는 행렬은 다음과 같다.

* 부에르미트 행렬: $JM^\dagger J=M$ 인 행렬
* 부반에르미트 행렬: $JM^\dagger J=-M$ 인 행렬
* 부유니터리 행렬: $JM^\dagger J=M^{-1}$ 인 행렬
* 부정규 행렬: $M(JM^\dagger J)=(JM^\dagger J)M$ 인 행렬

3. 성질

3.1. 연산에 대한 닫힘

쌍대칭 행렬의 합, 곱, 역행렬, 전치 행렬, 부전치는 쌍대칭 행렬이다.

4. 준대칭 행렬의 정의와 표현 (Definition of Persymmetric Matrix)

를 행렬이라고 하자. 모든 에 대해 $a_{ij} = a_{n-j+1,\,n-i+1}$ 가 성립하면, A를 준대칭 행렬이라고 정의한다. 예를 들어 5 × 5 준대칭 행렬은 다음과 같은 형태를 가진다.
$A = \begin{bmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{14} \\a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{23} & a_{13} \\a_{41} & a_{42} & a_{32} & a_{22} & a_{12} \\a_{51} & a_{41} & a_{31} & a_{21} & a_{11}\end{bmatrix}.$

이는 로 표현될 수 있으며, 여기서 는 교환 행렬이다. 또는 를 180도 회전한 것이 와 같음을 보여주는

A = J A^\mathsf{T} J.

와 같이 표현 할 수 있다. 대칭 행렬은 북서쪽에서 남동쪽 대각선에 대해 값이 대칭인 행렬이며, 이를 90° 회전하면 준대칭 행렬이 된다. 대칭 준대칭 행렬은 때때로 쌍대칭 행렬이라고 불린다.

토마스 뮤어의 정의에 따르면, 정사각 행렬 에서 가 에만 의존하는 경우, 이 행렬은 대칭 행렬이 된다. 이러한 의미의 대칭 행렬은 보통 행켈 행렬이라고 불리며, 다음과 같은 형태를 갖는다.

A = \begin{bmatrix}r_1 & r_2 & r_3 & \cdots & r_n \\r_2 & r_3 & r_4 & \cdots & r_{n+1} \\r_3 & r_4 & r_5 & \cdots & r_{n+2} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\r_n & r_{n+1} & r_{n+2} & \cdots & r_{2n-1}\end{bmatrix}.

대칭 행렬식은 이러한 대칭 행렬의 행렬식을 의미한다.

주 대각선에 평행한 각 선의 값이 일정한 행렬은 토플리츠 행렬이라고 한다.

4.1. 정의 1

A = (a_ij)를 n × n 행렬이라고 하자. 모든 i, j에 대해 a_ij = a_{n-j+1, n-i+1} 가 성립하면, A를 준대칭 행렬이라고 정의한다. 예를 들어 5 × 5 준대칭 행렬은 다음과 같은 형태를 가진다.

이는 AJ = JA^T로 표현될 수 있으며, 여기서 J는 교환 행렬이다. 또는 A^T를 180도 회전한 것이 A와 같음을 보여주는 A = JA^TJ 와 같이 표현 할 수 있다. 대칭 행렬은 북서쪽에서 남동쪽 대각선에 대해 값이 대칭인 행렬이며, 이를 90° 회전하면 준대칭 행렬이 된다. 대칭 준대칭 행렬은 때때로 쌍대칭 행렬이라고 불린다.

4.2. 정의 2

토마스 뮤어의 정의에 따르면, 정사각 행렬 A = (a_ij)에서 a_ij가 i + j에만 의존하는 경우, 이 행렬은 대칭 행렬이 된다. 이러한 의미의 대칭 행렬은 보통 행켈 행렬이라고 불리며, 다음과 같은 형태를 갖는다.

$A = \begin{bmatrix}r_1 & r_2 & r_3 & \cdots & r_n \\r_2 & r_3 & r_4 & \cdots & r_{n+1} \\r_3 & r_4 & r_5 & \cdots & r_{n+2} \\\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\r_n & r_{n+1} & r_{n+2} & \cdots & r_{2n-1}\end{bmatrix}.$

대칭 행렬식은 이러한 대칭 행렬의 행렬식을 의미한다.

주 대각선에 평행한 각 선의 값이 일정한 행렬은 토플리츠 행렬이라고 한다.

4.3. 동치 표현

4.4. 행렬식

대칭 행렬식은 대칭 행렬의 행렬식이다. 토마스 뮤어의 정의에 따르면 정사각 행렬 A = (a_ij)는 a_ij가 오직 i + j에 의존할 경우 대칭적이라고 한다. 이러한 의미의 대칭 행렬은 흔히 행켈 행렬이라고 불린다. 주 대각선에 평행한 각 선의 값이 일정한 행렬은 토플리츠 행렬이라고 한다.

4.5. 토플리츠 행렬과의 관계

토플리츠 행렬은 주 대각선에 평행한 각 선의 값이 일정한 행렬이다. 토플리츠 행렬은 준대칭 행렬과 관련이 있다.