전치 행렬

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1. 개요
2. 전치 행렬
3. 전치 선형 변환
- 3.1. 정의
- 3.2. 성질
4. 활용
참조

1. 개요

전치 행렬은 m × n 행렬 M의 전치 행렬 M^T는 n × m 행렬이며, 선형 변환 T: V → W의 전치 선형 변환 T^T: W* → V*를 의미한다. 행렬의 전치는 대합 선형 반대 동형이며, 행렬의 합, 스칼라 곱, 곱에 대한 여러 성질을 갖는다. 전치 연산은 대합이며 선형성을 만족한다. 전치 행렬은 대칭 행렬, 반대칭 행렬, 직교 행렬과 같은 특별한 행렬을 정의하는 데 사용되며, 선형 변환을 행렬로 표현할 때 원래 선형 변환의 행렬의 전치 행렬이 된다.

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전치 행렬
개요
행렬의 전치
정의	행렬의 전치는 주대각선을 기준으로 행과 열을 뒤집어 얻는 연산이다.
표기법	A
정의
m × n 행렬 A의 전치 행렬	m × n 행렬 A의 전치 행렬 A는 다음과 같이 정의된다. (A)(i, j) = A(j, i)
크기 변화	m × n 행렬의 전치는 n × m 행렬이다.
예시
2×3 행렬의 전치	예시 행렬의 전치 행렬은 다음과 같다.
특징	전치 행렬은 행렬의 크기를 바꾼다.
성질
전치의 전치	(A) = A
스칼라 곱의 전치	(cA) = c(A) (여기서 c는 스칼라)
합의 전치	(A + B) = A + B
곱의 전치	(AB) = BA
역행렬의 전치	(A) = (A)
특수한 행렬
대칭 행렬	A = A
반대칭 행렬	A = -A
직교 행렬	A = A

2. 전치 행렬

transpose matrix|전치 행렬^영어은 주어진 행렬의 행과 열을 서로 바꾼 행렬이다. $m\times n$ 행렬 $M$ 의 전치 행렬 $M^\operatorname T$ 은 $n\times m$ 행렬이며, 다음과 같이 정의된다.

: $M^\operatorname T_{ij}=M_{ji}$

행렬의 전치는 대합 선형 반대 동형이다. 즉, $m\times n$ 행렬 $M,N$ 및 스칼라 $c$ 에 대하여, 다음이 성립한다.

: $(M+N)^\operatorname T=M^\operatorname T+N^\operatorname T$

: $(cM)^\operatorname T=cM^\operatorname T$

: $M^{\operatorname T\operatorname T}=M$

$m\times n$ 행렬 $M$ 및 $n\times p$ 행렬 $N$ 에 대하여, 다음이 성립한다.

: $(MN)^\operatorname T=N^\operatorname TM^\operatorname T$

서로 전치 행렬의 계수, 대각합, 행렬식은 서로 같다.

: $\operatorname{rank}M^\operatorname T=\operatorname{rank}M$

: $\operatorname{tr}M^\operatorname T=\operatorname{tr}M$

: $\operatorname{det}M^\operatorname T=\operatorname{det}M$

특히, $n\times n$ 행렬 $M$ 과 그 전치 행렬의 가역성은 같으며, 이 둘이 가역 행렬일 경우 다음이 성립한다.

: $(M^\operatorname T)^{-1}=(M^{-1})^\operatorname T$

행렬 $M$ 을 반대각선을 축으로 반사하여 얻는 행렬은 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[14]

: $JM^\operatorname TJ\qquad(J_{ij}=\delta_{n+1-i,j})$

2. 1. 정의

transpose matrix|전치 행렬^영어은 행렬의 행과 열을 서로 바꾼 것이다. 즉, m × n 행렬 A의 전치 행렬 Aᵀ는 n × m 행렬로, Aᵀ의 (i, j)번째 원소는 A의 (j, i)번째 원소와 같다. 즉, Aᵀᵢⱼ = Aⱼᵢ이다.^[14]

예를 들어,

:

A = \begin{bmatrix}a_{1,1} &\cdots &a_{1,n} \\\vdots  & \ddots &\vdots \\a_{m,1} &\cdots &a_{m,n}\end{bmatrix}

와 같은 행렬 A의 전치 행렬 Aᵀ는

:

A^\operatorname{T} = \begin{bmatrix}a_{1,1} &\cdots &a_{m,1} \\\vdots  & \ddots &\vdots \\a_{1,n} &\cdots &a_{m,n}\end{bmatrix}

와 같이 정의되며, Aᵀ는 n × m 행렬이다.

행렬 A의 전치 행렬은 Aᵀ, ^⊤A, A^⊤,

A^{\intercal}

, A′, A^tr, ^tA 또는 A^t로 표기한다.

전치 행렬은 다음 세 가지 방법 중 하나로 구성할 수 있다.

# A를 주대각선(왼쪽 위에서 오른쪽 아래로 뻗어 나가는)에 대해 반사하여 Aᵀ를 얻는다.

# A의 행을 Aᵀ의 열로 쓴다.

# A의 열을 Aᵀ의 행으로 쓴다.

2. 2. 성질

대합 선형 반대 동형이다. 즉,

m\times n

행렬

M,N

및 스칼라

c

에 대하여, 다음이 성립한다.

:

(M+N)^\operatorname T=M^\operatorname T+N^\operatorname T

:

(cM)^\operatorname T=cM^\operatorname T

:

M^{\operatorname T\operatorname T}=M

m\times n

행렬

M

및

n\times p

행렬

N

에 대하여, 다음이 성립한다.

:

(MN)^\operatorname T=N^\operatorname TM^\operatorname T

서로 전치 행렬의 계수, 대각합, 행렬식은 서로 같다.

:

\operatorname{rank}M^\operatorname T=\operatorname{rank}M

:

\operatorname{tr}M^\operatorname T=\operatorname{tr}M

:

\operatorname{det}M^\operatorname T=\operatorname{det}M

특히,

n\times n

행렬

M

과 그 전치 행렬의 가역성은 같으며, 이 둘이 가역 행렬일 경우 다음이 성립한다.

:

(M^\operatorname T)^{-1}=(M^{-1})^\operatorname T

행렬

M

을 반대각선을 축으로 반사하여 얻는 행렬은 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[14]

:

JM^\operatorname TJ\qquad(J_{ij}=\delta_{n+1-i,j})

행렬 '''A'''와 '''B'''가 있고, 스칼라라고 하자.

$\left(\mathbf{A}^\operatorname{T} \right)^\operatorname{T} = \mathbf{A}.$ ^[10]
: 전치 연산은 자체-역원이다.
$\left(\mathbf{A} + \mathbf{B}\right)^\operatorname{T} = \mathbf{A}^\operatorname{T} + \mathbf{B}^\operatorname{T}.$ ^[10]
: 전치는 덧셈을 따른다.
$\left(c \mathbf{A}\right)^\operatorname{T} = c \mathbf{A}^\operatorname{T}.$ ^[10]
: 스칼라의 전치는 동일한 스칼라이다. 앞선 속성과 함께, 이것은 전치가 행렬의 공간에서 행렬의 공간으로의 선형 맵임을 의미한다.
$\left(\mathbf{A B}\right)^\operatorname{T} = \mathbf{B}^\operatorname{T} \mathbf{A}^\operatorname{T}.$ ^[10]
: 인자의 순서가 반전된다. 귀납법에 의해, 이 결과는 여러 행렬의 일반적인 경우로 확장된다.
$\det \left(\mathbf{A}^\operatorname{T}\right) = \det(\mathbf{A}).$ ^[12]
: 정사각 행렬의 행렬식은 전치의 행렬식과 같다.
두 열 벡터 와 의 내적은 행렬 곱의 단일 항목으로 계산될 수 있다. $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^{\operatorname{T}} \mathbf{b}.$
만약 가 실수 항목만 가지고 있다면, 는 양의 반정부호 행렬이다.
$\left(\mathbf{A}^\operatorname{T} \right)^{-1} = \left(\mathbf{A}^{-1} \right)^\operatorname{T}.$ ^[11]
: 가역 행렬의 전치 행렬도 가역이며, 그 역행렬은 원래 행렬의 역행렬의 전치 행렬이다. 표기법 는 때때로 이러한 등가 표현 중 하나를 나타내는 데 사용된다.
만약 가 정사각 행렬이면, 그 고유값은 전치 행렬의 고유값과 같다. 왜냐하면 그들은 같은 특성 다항식을 공유하기 때문이다.
임의의 체 $k$ 에 대해, 정사각 행렬 $\mathbf{A}$ 는 $\mathbf{A}^\operatorname{T}$ 와 유사하다.
: 이것은 $\mathbf{A}$ 와 $\mathbf{A}^\operatorname{T}$ 가 동일한 불변 인자를 가지고, 이는 다른 속성들 중에서 동일한 최소 다항식, 특성 다항식 및 고유값을 공유한다는 것을 의미한다.
: 이 속성에 대한 증명은 다음 두 가지 관찰을 사용한다.
:* $\mathbf{A}$ 와 $\mathbf{B}$ 가 어떤 기본 체 $k$ 에 대한 $n\times n$ 행렬이고, $L$ 이 $k$ 의 체 확장이라고 하자. 만약 $\mathbf{A}$ 와 $\mathbf{B}$ 가 $L$ 에 대한 행렬로 유사하다면, 그러면 그들은 $k$ 에 대해 유사하다. 특히 이것은 $L$ 이 $k$ 의 대수적 폐포일 때 적용된다.
:*만약 $\mathbf{A}$ 가 어떤 기저에 관하여 조르당 정규 형식인 대수적으로 닫힌 체에 대한 행렬이라면, 그러면 $\mathbf{A}$ 는 $\mathbf{A}^\operatorname{T}$ 와 유사하다. 이것은 $\mathbf{A}$ 가 단일 조르당 블록일 때 동일한 사실을 증명하는 것으로 더 축소되는데, 이는 간단한 연습문제이다.

만약 가 행렬이고, 가 전치 행렬이라면, 이 두 행렬의 행렬 곱셈 결과는 두 개의 정사각 행렬을 생성한다: 는 이고, 는 이다. 또한, 이러한 곱들은 대칭 행렬이다.

가 대칭임을 증명하는 간단한 방법은 이 행렬이 자신의 전치 행렬이라는 사실을 이용하는 것이다.

:

\left(\mathbf{A} \mathbf{A}^\operatorname{T}\right)^\operatorname{T} = \left(\mathbf{A}^\operatorname{T}\right)^\operatorname{T} \mathbf{A}^\operatorname{T}= \mathbf{A} \mathbf{A}^\operatorname{T} .

^[7]

2. 3. 예시

다음은 전치 행렬의 예시이다.

$\begin{pmatrix}1&2\end{pmatrix}^\operatorname T=\begin{pmatrix}1\\2\end{pmatrix}$

$\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}^\operatorname T$

=\begin{pmatrix}1&3\\2&4\end{pmatrix}

$\begin{pmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{pmatrix}^\operatorname T$

=\begin{pmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{pmatrix}

여인자 행렬의 전치 행렬은 고전적 수반 행렬이다.

2. 4. 특별한 행렬

다음은 전치 행렬을 이용하여 정의되는 특별한 행렬들이다.^[13]

대칭 행렬: 전치 행렬이 원래 행렬과 같은 정사각 행렬이다. 즉, 행렬 $\mathbf{A}$ 가 다음을 만족하면 대칭 행렬이다.

:

\mathbf{A}^{\operatorname{T}} = \mathbf{A}.

반대칭 행렬: 전치 행렬이 원래 행렬에 -1을 곱한 것과 같은 정사각 행렬이다. 즉, 행렬 $\mathbf{A}$ 가 다음을 만족하면 반대칭 행렬이다.

:

\mathbf{A}^{\operatorname{T}} = -\mathbf{A}.

직교 행렬: 전치 행렬이 역행렬과 같은 정사각 행렬이다. 즉, 행렬 $\mathbf{A}$ 가 다음을 만족하면 직교 행렬이다.

:

\mathbf{A}^{\operatorname{T}} = \mathbf{A}^{-1}.

유니타리 행렬: 전치 켤레 행렬이 역행렬과 같은 정사각 복소수 행렬이다. 즉, 행렬 $\mathbf{A}$ 가 다음을 만족하면 유니타리 행렬이다.

:

\mathbf{A}^{\operatorname{T}} = \overline{\mathbf{A}^{-1}}.

에르미트 행렬: 전치 켤레 행렬이 원래 행렬과 같은 정사각 복소수 행렬이다. 즉, 행렬 $\mathbf{A}$ 가 다음을 만족하면 에르미트 행렬이다.

:

\mathbf{A}^{\operatorname{T}} = \overline{\mathbf{A}}.

반 에르미트 행렬: 전치 켤레 행렬이 원래 행렬에 -1을 곱한 것과 같은 정사각 복소수 행렬이다. 즉, 행렬 $\mathbf{A}$ 가 다음을 만족하면 반 에르미트 행렬이다.

:

\mathbf{A}^{\operatorname{T}} = -\overline{\mathbf{A}}.

3. 전치 선형 변환

선형 변환 $T\colon V\to W$ 의 전치 선형 변환은 쌍대 공간 사이에서 정의되는 변환으로, 다음 관계를 갖는다.

: $\ker T^\operatorname T=T(V)^\circ$

여기서 $T(V)^\circ$ 는 $T(V)$ 의 쌍대 공간에서의 영공간(annihilator)을 의미한다.

만약 $V$ 와 $W$ 가 유한 차원 벡터 공간일 경우, 다음이 추가로 성립한다.

: $T^\operatorname T(W^*)=(\ker T)^\circ$

또한, $T\colon V\to W$ 의 기저 $B\subseteq V$ 및 $B'\subseteq W$ 에 대한 행렬이 $M$ 이라고 하면, 전치 선형 변환 $T^\operatorname T$ 의 쌍대 기저 ${B'}^*\subseteq W^*$ 및 $B^*\subseteq V^*$ 에 대한 행렬은 $M^\operatorname T$ 이다. 즉, 전치 선형 변환은 행렬 표현에서 전치 행렬에 대응된다.

3. 1. 정의

선형 변환

T\colon V\to W

의 '''전치 선형 변환'''(transposed linear map^영어)

T^\operatorname T\colon W^*\to V^*

은 다음과 같이 정의된다.

:

(T^\operatorname Tg)(v)=gTv\qquad\forall g\in W^*,\;v\in V

여기서

V^*

와

W^*

는 각각

V

와

W

의 쌍대 공간이다.

가군

X

의 대수적 쌍대 공간을

X^\#

로 표기한다.

X

와

Y

를

R

-가군이라고 하자. 만약

u : X \rightarrow Y

가 선형 사상이라면, 그 '''대수적 수반''' 또는 '''쌍대'''는

f \mapsto f \circ u

에 의해 정의된 사상

u^\# : Y^\# \rightarrow X^\#

이다. 결과적인 함수

u^\#(f)

는

u

에 의해

f

의 '''당김'''이라고 불린다. 다음의 관계는

u

의 대수적 수반을 특징짓는다.^[8]

:모든

f \in Y^\#

와

x \in X

에 대해

\langle u^\#(f), x\rangle = \langle f, u(x)\rangle

여기서

\langle \cdot, \cdot \rangle

는 자연 쌍대 (즉,

\langle h, z \rangle := h(z)

에 의해 정의됨)이다. 이 정의는 왼쪽 가군과 벡터 공간에도 변경 없이 적용된다.^[9]

m \times n

행렬

A

를

n

차원 벡터 공간

V

에서

m

차원 벡터 공간

W

로의 선형 사상

f : V \rightarrow W

로 간주할 때,

A

의 전치 행렬

A

에는

f

의 전치 사상

f

가 대응한다. 이는

W

의 쌍대 공간

W^*

에서

V

의 쌍대 공간

V^*

으로의 선형 사상

f : W^* \rightarrow V^*

이며,

y^* \in W^*

에 대해

:

f = y^* \circ f

로 정의된다. 이 정의는

y \in W

와

y^* \in W^*

의 자연스러운 페어링을

1 = y^*(y) = \langle y, y^* \rangle

로 표기하면,

x \in V

에 대해

:

\langle f(x), y^* \rangle = \langle x, f (y^*) \rangle

라는 관계식으로 다시 쓸 수도 있다.

3. 2. 성질

다음이 성립한다.

$\left(\mathbf{A}^\operatorname{T} \right)^\operatorname{T} = \mathbf{A}.$
: 전치 연산은 자체-역원이다.
$\left(\mathbf{A} + \mathbf{B}\right)^\operatorname{T} = \mathbf{A}^\operatorname{T} + \mathbf{B}^\operatorname{T}.$
: 전치는 덧셈을 따른다.
$\left(c \mathbf{A}\right)^\operatorname{T} = c \mathbf{A}^\operatorname{T}.$ ^[8]
: 스칼라의 전치는 동일한 스칼라이다. 앞선 속성과 함께, 이것은 전치가 행렬의 공간에서 행렬의 공간으로의 선형 맵임을 의미한다.
$\left(\mathbf{A B}\right)^\operatorname{T} = \mathbf{B}^\operatorname{T} \mathbf{A}^\operatorname{T}.$
: 인자의 순서가 반전된다. 귀납법에 의해, 이 결과는 여러 행렬의 일반적인 경우로 확장된다.
: $(\mathbf{A}_1\mathbf{A}_2...\mathbf{A}_{k-1}\mathbf{A}_k)^\operatorname{T} = \mathbf{A}_k^\operatorname{T}\mathbf{A}_{k-1}^\operatorname{T}…\mathbf{A}_2^\operatorname{T}\mathbf{A}_1^\operatorname{T}.$
$\det \left(\mathbf{A}^\operatorname{T}\right) = \det(\mathbf{A}).$
: 정사각 행렬의 행렬식은 전치의 행렬식과 같다.
두 열 벡터 $\mathbf{a}$ 와 $\mathbf{b}$ 의 내적은 행렬 곱의 단일 항목으로 계산될 수 있다.
: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^{\operatorname{T}} \mathbf{b}.$
만약 $\mathbf{A}$ 가 실수 항목만 가지고 있다면, $\mathbf{A}^\operatorname{T}\mathbf{A}$ 는 양의 반정부호 행렬이다.
$\left(\mathbf{A}^\operatorname{T} \right)^{-1} = \left(\mathbf{A}^{-1} \right)^\operatorname{T}.$
: 가역 행렬의 전치 행렬도 가역이며, 그 역행렬은 원래 행렬의 역행렬의 전치 행렬이다. 표기법 $\mathbf{A}^{-T}$ 는 때때로 이러한 등가 표현 중 하나를 나타내는 데 사용된다.
만약 $\mathbf{A}$ 가 정사각 행렬이면, 그 고유값은 전치 행렬의 고유값과 같다. 왜냐하면 그들은 같은 특성 다항식을 공유하기 때문이다.
임의의 체 $k$ 에 대해, 정사각 행렬 $\mathbf{A}$ 는 $\mathbf{A}^\operatorname{T}$ 와 유사하다.
: 이것은 $\mathbf{A}$ 와 $\mathbf{A}^\operatorname{T}$ 가 동일한 불변 인자를 가지고, 이는 다른 속성들 중에서 동일한 최소 다항식, 특성 다항식 및 고유값을 공유한다는 것을 의미한다.
: 이 속성에 대한 증명은 다음 두 가지 관찰을 사용한다.
:* $\mathbf{A}$ 와 $\mathbf{B}$ 가 어떤 기본 체 $k$ 에 대한 $n\times n$ 행렬이고, $L$ 이 $k$ 의 체 확장이라고 하자. 만약 $\mathbf{A}$ 와 $\mathbf{B}$ 가 $L$ 에 대한 행렬로 유사하다면, 그들은 $k$ 에 대해 유사하다. 특히 이것은 $L$ 이 $k$ 의 대수적 폐포일 때 적용된다.
:* 만약 $\mathbf{A}$ 가 어떤 기저에 관하여 조르당 정규 형식인 대수적으로 닫힌 체에 대한 행렬이라면, $\mathbf{A}$ 는 $\mathbf{A}^\operatorname{T}$ 와 유사하다. 이것은 $\mathbf{A}$ 가 단일 조르당 블록일 때 동일한 사실을 증명하는 것으로 더 축소되는데, 이는 간단한 연습문제이다.

선형 변환

T\colon V\to W

에 대하여, 다음이 성립한다.

:

\ker T^\operatorname T=T(V)^\circ

만약

V

와

W

가 유한 차원 벡터 공간일 경우, 반대로 다음 역시 성립한다.

:

T^\operatorname T(W^*)=(\ker T)^\circ

만약

V

와

W

가 유한 차원 벡터 공간일 경우,

T\colon V\to W

의 기저

B\subseteq V

및

B'\subseteq W

에 대한 행렬이

M

이라고 하면, 전치 선형 변환

T^\operatorname T

의 쌍대 기저

{B'}^*\subseteq W^*

및

B^*\subseteq V^*

에 대한 행렬은

M^\operatorname T

이다.

4. 활용

전치는 다양한 분야에서 활용되는 중요한 개념이다.

'''데이터 분석''': 주성분 분석(PCA) 등에서 데이터 행렬의 전치를 사용하여 공분산 행렬을 계산하고, 차원 축소를 수행한다.
'''컴퓨터 그래픽스''': 3차원 변환(회전, 이동 등)을 나타내는 행렬의 전치를 사용하여 역변환을 계산하거나, 법선 벡터를 변환한다.
'''신호 처리''': 이산 푸리에 변환(DFT) 행렬의 전치(또는 켤레 전치)를 사용하여 역변환을 계산한다.

참조

_[1] 웹사이트 The transpose of a matrix https://mathinsight.[...] 2020-09-08
_[2] 간행물 A memoir on the theory of matrices https://books.google[...] Philosophical Transactions of the Royal Society of London 1858-01-01
_[3] 서적 Introduction to Linear Algebra, 2nd edition https://books.google[...] CRC Press 1991-04-01
_[4] 웹사이트 Transpose of a Matrix Product (ProofWiki) https://proofwiki.or[...] 2021-02-04
_[5] 웹사이트 What is the best symbol for vector/matrix transpose? https://tex.stackexc[...] 2021-02-04
_[6] 웹사이트 Transpose https://mathworld.wo[...] 2020-09-08
_[7] 서적 Linear Algebra and its Applications Thomson Brooks/Cole 2006-01-01
_[8] 서적 1974-01-01
_[9] 서적 1989-01-01
_[10] 문서 斎藤2017 p.31
_[11] 문서 斎藤2017 p.32
_[12] 문서 斎藤2017 p.90
_[13] 문서 斎藤2017 p.74
_[14] arXiv Fuchsian equations of type DN 2007-01-31

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