부울 도메인

2. 일반화

부울 도메인 {0, 1}은 0과 1 사이의 모든 실수 값을 포함하는 단위 구간 [0, 1]으로 확장될 수 있다. 이렇게 하면 참과 거짓의 두 값만 사용하는 대신, 0과 1을 포함한 그 사이의 무한히 많은 값을 통해 '정도'를 표현할 수 있게 된다.

이러한 확장은 기존의 부울 대수 연산을 새로운 방식으로 정의하게 한다. 부정(NOT), 논리곱(AND), 논리합(OR) 연산은 각각 대수적인 형태로 대체되어 [0, 1] 구간의 값들에 적용될 수 있다.

이렇게 확장된 값 체계를 논리적인 진리값으로 해석하면, 참과 거짓만으로는 표현하기 어려운 모호하거나 불확실한 상황을 다룰 수 있는 다치 논리가 된다. 이는 퍼지 논리나 확률적 논리와 같은 분야의 이론적 기초를 제공하며, 여기서 값은 명제가 참인 '정도' 또는 참일 '확률' 등으로 해석된다.

2. 1. 기본 연산의 대체

• 부정(NOT) 연산은 $1-x$로 대체된다.
• 논리곱(AND) 연산은 곱셈 $xy$로 대체된다.
• 논리합(OR) 연산은 드 모르간의 법칙을 통해 $1-(1-x)(1-y)\; =\; x+y-xy$로 정의된다.

2. 2. 다치 논리

• 부정 (NOT): $1-x$
• 논리곱 (AND): $xy$
• 논리합 (OR): 드 모르간의 법칙에 따라 $1-(1-x)(1-y)\; =\; x+y-xy$

2. 3. 퍼지 논리 및 확률론적 논리

• 부정 (NOT)은 $1-x$로 대체된다.
• 논리곱 (AND)은 곱셈 $xy$로 대체된다.
• 논리합 (OR)은 드 모르간의 법칙을 통해 $1-(1-x)(1-y)\; =\; x+y-xy$로 정의된다.

참조

_[1] 서적 Logic and Structure Springer 2004
_[2] 서적 Sets, Logic and Maths for Computing Springer 2008
_[3] 서적 Computability and Logic Cambridge University Press 1980
_[4] 서적 Introduction to Mathematical Logic (4th. ed.) Chapman & Hall/CRC 1997
_[5] 서적 A Practical Theory of Programming Springer 1993
_[6] 서적 Circuit Complexity and Neural Networks https://archive.org/[...] MIT Press
_[7] 서적 Logic Synthesis for Asynchronous Controllers and Interfaces https://archive.org/[...] Springer Science & Business Media