다치 논리

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1. 개요
2. 역사
3. 다치 논리의 종류
4. 고전 논리 및 직관주의 논리와의 관계
5. 응용
6. 컴퓨터 과학과의 관련성
참조

1. 개요

다치 논리는 배중률을 완전히 받아들이지 않는 논리 체계로, 20세기 초 얀 우카시에비치에 의해 '가능'을 포함하는 제3의 진리값을 도입하면서 개념이 등장했다. 다치 논리는 진리값의 개수와 연산 규칙에 따라 다양한 종류로 분류되며, 3치 논리, 4치 논리, 괴델 논리, 우카시에비치 논리 등이 있다. 다치 논리는 이진 문제를 해결하고 전자 회로 설계를 개선하는 데 응용되며, 다중 출력 불 함수 표현, 프로그래머블 로직 어레이 설계, 유한 상태 기계 최적화 등에 활용된다. 또한, 다치 메모리, 산술 회로, FPGA 설계에도 적용되며, NAND형 플래시 메모리의 MLC 기술과 삼진법 컴퓨터 세툰이 대표적인 사례이다. 퍼지 논리는 0과 1 사이의 실수 집합을 진리값으로 사용하는 다치 논리의 일종이며, 컴퓨터 시스템에서는 트라이스테이트 소자의 하이 임피던스 상태나 "don't care" 값 등 다치 논리와 유사한 개념이 활용된다.

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다치 논리

2. 역사

배중률을 모든 경우에 적용해야 하는지에 대한 고민은 고대 그리스의 아리스토텔레스까지 거슬러 올라간다. 아리스토텔레스는 일반적으로 고전 논리의 아버지로 여겨지지만, 미래에 일어날 사건에 대한 명제에 대해서는 이진성 원칙(참 또는 거짓 중 하나여야 한다는 원칙)이 적용되지 않을 수 있다고 보았다(''De Interpretatione'', ch. IX).^[2] 하지만 그는 이러한 생각을 바탕으로 별도의 다치 논리 체계를 만들지는 않았다.^[1] 이후 오랫동안 서양 논리학은 아리스토텔레스의 기본적인 틀 안에서 배중률을 받아들이는 방향으로 발전했다.

20세기에 들어서면서 다치 논리의 개념이 본격적으로 연구되기 시작했다. 폴란드의 논리학자이자 철학자인 얀 우카시에비치는 1920년, 아리스토텔레스가 제기했던 미래 우연성 문제(예: '내일 해전이 일어날 것이다'라는 명제의 진리값 문제)를 해결하기 위해 '참'과 '거짓' 외에 '가능'이라는 세 번째 진리값을 도입한 3치 논리 체계를 제안했다. 비슷한 시기인 1921년, 미국의 수학자 에밀 포스트 역시 독자적으로 진리값이 ''n''개(''n'' ≥ 2)인 다치 논리 체계를 연구하고 발표했다. 이후 우카시에비치는 알프레트 타르스키와 함께 진리값이 ''n''개(''n'' ≥ 2)인 논리 체계를 더욱 발전시켰다.

1932년에는 한스 라이헨바흐가 확률 개념과 연관지어 진리값이 무한히 많다고 보는 다치 논리(''n''→∞)를 제안했다. 같은 해, 쿠르트 괴델은 직관주의 논리가 유한 다치 논리로 표현될 수 없음을 증명했으며, 고전 논리와 직관주의 논리 사이에 위치하는 새로운 논리 체계인 괴델 논리를 정의했다. 이러한 괴델 논리는 중간 논리의 한 예로 알려져 있다.

3. 다치 논리의 종류

다치 논리는 고전 논리의 핵심 원칙 중 하나인 배중률이나 모든 명제가 참 또는 거짓 중 하나여야 한다는 이진성 원칙을 넘어서는 논리 체계를 의미한다. 고대 아리스토텔레스는 미래 사건과 같은 특정 경우에는 이진성 원칙이 적용되지 않을 수 있다고 보았지만^[2], 이를 위한 별도의 논리 체계를 만들지는 않았다.^[1]

본격적인 다치 논리 연구는 20세기에 활발히 이루어졌다. 1920년 폴란드의 논리학자 얀 우카시에비치는 아리스토텔레스가 제기한 미래 우연성 문제를 다루기 위해 '참', '거짓' 외에 '가능'이라는 세 번째 진리값을 갖는 3치 논리를 제안했다. 비슷한 시기 미국의 수학자 에밀 포스트는 1921년 진리값의 개수가 ''n''개 (''n'' ≥ 2)인 일반적인 다치 논리 공식을 도입했다. 이후 우카시에비치는 알프레트 타르스키와 함께 ''n''개의 진리값을 갖는 논리를, 한스 라이헨바흐는 1932년 무한히 많은 진리값을 갖는 논리를 공식화했다. 쿠르트 괴델 역시 1932년 직관주의 논리가 유한 다치 논리가 아님을 보이며, 고전 논리와 직관주의 논리 사이에 위치하는 괴델 논리 체계를 정의했다.^[6]

이처럼 다치 논리는 사용하는 진리값의 개수, 진리값의 종류, 그리고 논리 연산 규칙에 따라 매우 다양하게 분류된다. 대표적인 다치 논리의 종류는 다음과 같다.

3치 논리: '참', '거짓' 외에 '불명', '정의되지 않음', '모순' 등 세 번째 진리값을 도입하는 논리 체계이다. 스티븐 콜 클리니(K₃), 그레이엄 프라이스트(P₃), 드미트리 보흐바르(B₃^I) 등이 대표적인 예시이다.^[3]^[5]
4치 논리: 누엘 벨냅이 제안한 논리(B₄)로, '참', '거짓', '참이면서 거짓(과잉결정)', '참도 거짓도 아님(과소결정)'의 네 가지 진리값을 사용한다.
괴델 논리 (G_k, G_∞): 쿠르트 괴델이 정의한 논리 체계로, 유한 개(k개) 또는 무한 개의 진리값을 가지며, 주로 구간 [0, 1] 사이의 값으로 표현된다. 직관주의 논리와 관련이 깊다.^[6]
우카시에비치 논리 (L_v, L_∞): 얀 우카시에비치가 제안한 논리 체계로, 3치 논리에서 확장되어 유한 개(v개) 또는 무한 개의 진리값을 사용한다. 괴델 논리와는 다른 방식으로 논리 연산을 정의한다.^[7]
곱 논리: 진리값으로 구간 [0, 1]을 사용하며, 수학적 곱셈을 기반으로 논리곱 연산을 정의하는 것이 특징이다.^[8]
포스트 논리 (P_m): 에밀 포스트가 제안한 체계로, m개의 이산적인 진리값을 사용하며 독특한 부정 연산 방식을 갖는다.
격자 기반 논리: 앨런 로즈 등이 제안한 방식으로, 진리값들이 격자 구조를 형성하는 시스템을 다룬다.^[9]

이 외에도 다양한 철학적, 수학적, 응용적 목적에 따라 수많은 다치 논리 체계가 연구되고 발전해왔다.

3. 1. 3치 논리

3치 논리는 '참', '거짓' 외에 '불명' 또는 '불확정'과 같은 제3의 진리값을 도입하는 대표적인 다치 논리 체계이다.

클리니의 "(강한) 불확정성 논리"

K_3

(때로는

K_3^S

로 표기)와 프리스트의 "역설의 논리"

P_3

는 세 번째 진리값으로 "정의되지 않음" 또는 "불확정"을 의미하는

I

를 추가한다. 부정 (¬), 논리곱 (∧), 논리합 (∨), 함의 (

\rightarrow_K

), 쌍조건문 (

\leftrightarrow_K

)에 대한 진리 함수는 다음과 같다.^[3]

{|

|

¬	width="25" \|
$T$	$F$
$I$	$I$
$F$	$T$

|

|

|

∧	$T$	$I$	$F$
$T$	$T$	$I$	$F$
$I$	$I$	$I$	$F$
$F$	$F$	$F$	$F$

|

|

|

∨	$T$	$I$	$F$
$T$	$T$	$T$	$T$
$I$	$T$	$I$	$I$
$F$	$T$	$I$	$F$

|

|

|

$\rightarrow_K$	$T$	$I$	$F$
$T$	$T$	$I$	$F$
$I$	$T$	$I$	$I$
$F$	$T$	$T$	$T$

|

|

|

$\leftrightarrow_K$	$T$	$I$	$F$
$T$	$T$	$I$	$F$
$I$	$I$	$I$	$I$
$F$	$F$	$I$	$T$

|}

두 논리의 주요 차이점은 동어반복이 정의되는 방식에 있다. $K_3$ 에서는 $T$ (참)만이 지정된 진리값이지만, $P_3$ 에서는 $T$ 와 $I$ 둘 다 지정된 진리값이다. (논리식이 지정된 진리값으로 평가될 때 동어반복으로 간주된다). 클레이니의 논리에서 $I$ 는 '결정되지 않음', 즉 참도 거짓도 아닌 상태로 해석될 수 있다. 반면 프리스트의 논리에서 $I$ 는 '과잉 결정됨', 즉 참이면서 동시에 거짓인 상태로 해석될 수 있다. $K_3$ 에는 동어반복이 존재하지 않지만, $P_3$ 는 고전적인 2치 논리와 동일한 동어반복을 가진다.^[4]

또 다른 3치 논리로는 드미트리 보흐바르(Dmitry Bochvar)의 "내부" 3치 논리 $B_3^I$ 가 있으며, 이는 클레이니의 약한 3치 논리라고도 불린다. 부정과 쌍조건문을 제외하고, 논리곱( $\land_+$ ), 논리합( $\lor_+$ ), 함의( $\rightarrow_+$ )의 진리표는 위의 $K_3$ , $P_3$ 와 다르다.^[5]

{|

|

$\land_+$	$T$	$I$	$F$
$T$	$T$	$I$	$F$
$I$	$I$	$I$	$I$
$F$	$F$	$I$	$F$

|

|

|

$\lor_+$	$T$	$I$	$F$
$T$	$T$	$I$	$T$
$I$	$I$	$I$	$I$
$F$	$T$	$I$	$F$

|

|

|

$\rightarrow_+$	$T$	$I$	$F$
$T$	$T$	$I$	$F$
$I$	$I$	$I$	$I$
$F$	$T$	$I$	$T$

|}

보흐바르의 "내부" 논리에서 중간 진리값 $I$ 는 다른 변수의 값에 관계없이 공식 전체로 전파되는 특징을 가지므로 "전염성(infectious)"이 있다고 설명할 수 있다.^[5]

3. 2. 4치 논리

벨냅의 논리 ''B''₄는 ''K''₃와 ''P''₃를 결합한 것이다. 이 논리 체계에서는 네 가지 진리값을 사용한다.

T: 참 (True)
F: 거짓 (False)
B: 과잉결정 (Both) - 참이면서 동시에 거짓인 상태를 나타낸다.
N: 과소결정 (Neither) - 참도 거짓도 아닌 불확정 상태를 나타낸다.

각 논리 연산(부정 ¬, 논리곱 ∧, 논리합 ∨)에 대한 진리표는 다음과 같다.

{|

|

f_¬	width="25" \|
T	F
B	B
N	N
F	T

|

|

|

f_∧	T	B	N	F
T	T	B	N	F
B	B	B	F	F
N	N	F	N	F
F	F	F	F	F

|

|

|

f_∨	T	B	N	F
T	T	T	T	T
B	T	B	T	B
N	T	T	N	N
F	T	B	N	F

|}

3. 3. 괴델 논리 (Gk, G∞)

1932년 괴델은 유한한 개수의 진리값을 갖는 다치 논리족

G_k

를 정의했다.^[23]^[6] 여기서 진리값은

k

개의 원소

0, \tfrac{1}{k - 1}, \tfrac{2}{k - 1}, \ldots, \tfrac{k - 2}{k - 1}, 1

로 구성된다. 예를 들어,

G_3

는 진리값

0, \tfrac{1}{2}, 1

을 가지며,

G_4

는

0, \tfrac{1}{3}, \tfrac{2}{3}, 1

을 갖는다. 이와 유사하게, 괴델은 무한히 많은 진리값을 갖는 논리

G_\infty

도 정의했는데, 이 논리의 진리값은 구간

[0, 1]

에 있는 모든 실수이다. 이들 논리에서 지정된 진리값(designated truth value)은 1이다.

논리 연산자인 논리곱(

\wedge

)과 논리합(

\vee

)은 피연산자의 최소값과 최대값으로 각각 정의된다.

:

\begin{align}u \wedge v &:= \min\{u, v\} \\u \vee v &:= \max\{u, v\}\end{align}

부정(

\neg_G

)과 함축(

\xrightarrow[G]{}

)은 다음과 같이 정의된다.

:

\begin{align}\neg_G u &= \begin{cases}1, & \text{if }u = 0 \\0, & \text{if }u > 0\end{cases} \\[3pt]u \mathrel{\xrightarrow[G]{}} v &= \begin{cases}1, & \text{if }u \leq v \\v, & \text{if }u > v\end{cases}\end{align}

괴델 논리는 완전히 공리화될 수 있다. 즉, 모든 타당 명제(tautology)를 증명할 수 있는 논리적 계산법(calculus)을 정의하는 것이 가능하다. 이 함축 연산은 상한과 하한 연산이 무한 분배 법칙을 만족하는 완비 격자(complete lattice)를 형성한다는 사실로부터 정의되는 유일한 헤이팅 함축이며, 이는 해당 격자에 대한 유일한 완비 헤이팅 대수 구조를 정의한다. 괴델은 이러한 논리 체계를 통해 직관주의 논리가 유한 다치 논리가 아님을 보였으며, 고전 논리와 직관주의 논리 사이에 위치하는 중간 논리의 한 예를 제시했다.

3. 4. 우카시에비치 논리 (Lv, L∞)

얀 우카시에비치는 함의(

\xrightarrow[L]{}

)와 부정(

\underset{L}{\neg}

) 연산자를 다음과 같은 함수로 정의했다.^[7]

:

\begin{align}\underset{L}{\neg} u &:= 1 - u \\u \mathrel{\xrightarrow[L]{}} v &:= \min\{1, 1 - u + v\}\end{align}

우카시에비치는 1920년에 처음으로 이 정의를 사용하여 진리값으로

0, \frac{1}{2}, 1

을 갖는 3치 논리

L_3

를 만들었다. 이후 1922년에는 진리값이 구간

[0, 1]

의 실수 전체에 해당하는 무한히 많은 값을 갖는 논리

L_\infty

를 개발했다. 이 두 논리 모두에서 지정된 진리값, 즉 '참'으로 간주되는 값은 1이었다.^[7]

또한, 괴델 논리에서처럼 진리값을

0, \tfrac{1}{v-1}, \tfrac{2}{v-1}, \ldots, \tfrac {v-2} {v-1}, 1

과 같이 유한하게 나누어 정의함으로써, 유한한 개수의 진리값을 갖는 논리들의 계열인

L_v

를 만들 수 있다. 이 계열에는 앞서 언급된

L_\infty

와, 진리값이 구간

[0, 1]

사이의 유리수로 주어지는 논리

L_{\aleph_0}

도 포함된다.

L_\infty

와

L_{\aleph_0}

에서 항진 명제(타우톨로지)가 되는 명제들의 집합은 서로 동일하다.

3. 5. 기타 다치 논리

곱 논리는 진리값으로 구간

[0,1]

을 사용하며, 결합 연산

\odot

과 함축 연산

\xrightarrow [\Pi]{}

을 다음과 같이 정의한다.^[8]

:

\begin{align}u \odot v &:= uv \\u \mathrel{\xrightarrow[\Pi]{}} v &:=\begin{cases}1, & \text{if } u \leq v \\\frac{v}{u}, & \text{if } u > v\end{cases}\end{align}

또한 '거짓'을 나타내는 특별한 값

\overline{0}

을 사용하여 부정 연산

\underset{\Pi}{\neg}

과 또 다른 결합 연산

\underset{\Pi}{\wedge}

을 정의할 수 있다.

:

\begin{align}\underset{\Pi}{\neg} u &:=u \mathrel{\xrightarrow[\Pi]{}} \overline{0} \\u \mathbin{\underset{\Pi}{\wedge}} v &:=u \odot \left(u \mathrel{\xrightarrow[\Pi]{}} v\right)\end{align}

여기서

u \mathbin{\underset{\Pi}{\wedge}} v = \min\{u, v\}

가 성립한다.

1921년 포스트는

m

개의 진리값

0, \tfrac 1 {m-1}, \tfrac 2 {m-1}, \ldots, \tfrac {m-2} {m-1}, 1

을 갖는 포스트 논리 체계

P_m

을 제안했다. 이 체계의 부정

\underset{P}{\neg}

, 결합

\underset{P}{\wedge}

, 분리

\underset{P}{\vee}

연산은 다음과 같다.

:

\begin{align}\underset{P}{\neg} u &:= \begin{cases}1, & \text{if } u = 0 \\u - \frac{1}{m - 1}, & \text{if } u \not= 0\end{cases} \\[6pt]u \mathbin{\underset{P}{\wedge}} v &:= \min\{u,v\} \\[6pt]u \mathbin{\underset{P}{\vee}} v &:= \max\{u,v\}\end{align}

1951년에는 앨런 로즈가 진리값들이 격자 구조를 이루는 논리 체계를 정의했다.^[9]

다치 논리는 전통적인 '참'과 '거짓'이라는 두 가지 진리값 외에 다른 가능성을 인정하는 아이디어에서 출발했다. 예를 들어 '알 수 없음' 또는 '불명확함'과 같은 세 번째 진리값을 도입하는 3치 논리가 대표적이다. 더 나아가 4치 논리처럼 네 개의 진리값을 갖는 체계나, 그보다 더 많은 유한 개 또는 무한 개의 진리값을 갖는 체계들도 연구되었다. 무한 진리값 체계의 경우, 진리값의 집합을 자연수 전체, 실수 전체, 또는 0과 1 사이의 실수 구간으로 설정하는 방식 등이 고려되었다.

4. 고전 논리 및 직관주의 논리와의 관계

논리는 일반적으로 명제의 변환 과정에서 특정 의미론적 속성을 보존하기 위한 규칙 체계이다. 고전 논리에서는 이 보존되는 속성이 '진리'이다. 즉, 타당한 논증 과정에서는 전제가 모두 참일 경우 결론 역시 참임이 보장된다.

반면, 다치 논리는 '지명성(designatedness)'이라는 속성을 보존하도록 설계되었다. 다치 논리에는 두 개 이상의 진리값이 존재하므로, 추론 규칙은 단순히 참/거짓에 해당하는 것 이상을 보존할 수 있다. 예를 들어, 세 개의 진리값을 가지는 3치 논리에서는 가장 큰 두 개의 진리값(숫자로 표현 시)이 '지정된' 값으로 간주되고, 추론 규칙은 이 지정된 값들을 보존하도록 작동한다. 즉, 타당한 논증에서 전제들이 가지는 값은 결론이 가지는 값보다 항상 크거나 같지 않다 (동등하거나 더 작다).

직관주의 논리는 이러한 다치 논리와 관련지어 생각해 볼 수 있다. 직관주의 논리에서 보존되는 속성은 '정당성(justification)'이다. 명제는 참 또는 거짓이 아니라 '정당하다' 또는 '결함이 있다'로 평가된다. 여기서 고전 논리와의 중요한 차이점은 배중률이 성립하지 않는다는 점이다. 어떤 명제가 결함이 없다고 해서 반드시 정당한 것은 아니며, 단지 그 명제가 결함이 있다는 증명이 아직 이루어지지 않았음을 의미할 뿐이다. 즉, 어떤 명제 P에 대해 P가 정당하다는 증명도, P가 결함이 있다는 증명도 불가능할 수 있다. 직관주의 논리의 타당한 논증은 이러한 '정당성'을 보존하므로, 정당한 명제로부터 도출된 결론 역시 정당하다. 하지만 고전 논리에서 배중률에 의존하는 증명 방식은 직관주의 논리에서는 사용할 수 없다.

진리값들의 집합을 대수적으로 구조화하여 연구하기도 하는데, 이를 린덴바움-타르스키 대수라고 한다. 이러한 관점에서 고전 논리는 진리값 집합을 완비 부울 대수(complete Boolean algebra, cBa)로 간주한다. 전통적으로는 2값 논리로 여겨졌지만, 현대 수리논리학에서는 반드시 진리값이 두 개일 필요는 없다. 반면, 직관주의 논리는 진리값 집합을 완비 헤이팅 대수(complete Heyting algebra, cHa)로 본다. 완비 부울 대수는 완비 헤이팅 대수의 특별한 경우이므로, 직관주의 논리는 배중률을 인정하지 않는다는 점과 더불어 어떤 의미에서는 다치 논리의 한 종류로 볼 수 있다.

5. 응용

다치 논리의 적용은 크게 두 그룹으로 나눌 수 있다.^[25]^[14]

첫 번째 그룹은 다치 논리를 사용하여 이진 문제를 더 효율적으로 해결하는 방식이다. 예를 들어, 여러 개의 출력을 가진 불 함수를 표현할 때, 출력 부분을 하나의 다치(다값) 변수로 취급하고 이를 단일 출력을 가지는 특성함수(특히 지시 함수)로 변환하는 접근법이 있다.^[14] 이 외에도 입력 디코더를 사용하는 프로그래머블 로직 어레이(PLA) 설계, 유한 상태 기계의 최적화, 디지털 회로의 테스트 및 검증 등 다양한 분야에서 활용된다.^[14]

두 번째 그룹은 다치 메모리, 산술 회로, FPGA와 같이 신호 레벨이 두 개 이상인 전자 회로 설계 자체를 목표로 한다.^[25]^[14] 다치 회로는 표준 이진 회로에 비해 몇 가지 이론적인 장점을 가진다. 회로 내 신호가 4개 이상의 레벨을 사용하면 칩 내부 및 외부의 상호 연결 배선 수를 줄일 수 있다.^[14] 메모리 설계에서는 메모리 셀 하나당 1비트 대신 2비트 이상의 정보를 저장함으로써 동일한 다이 크기에서 메모리 밀도를 크게 높일 수 있다.^[14] 산술 회로의 경우, 잉여 진법^[15]과 같은 이진법 외의 수 체계를 사용하면 덧셈이나 뺄셈 시 발생하는 리플 캐리 전파를 줄이거나 제거하여 고속 연산을 가능하게 할 수 있으며, 이러한 수 체계는 다치 회로로 자연스럽게 구현될 수 있다.^[14] 그러나 이러한 잠재적 장점들이 실제로 유용하게 쓰이기 위해서는 현재 표준으로 사용되는 이진 기술과 호환되거나 경쟁할 수 있는 회로 구현 기술의 발전이 중요하다.^[14]

전자 회로 설계 지원 외에도, 다치 논리는 회로의 결함이나 오류를 테스트하는 데 광범위하게 사용된다. 거의 모든 알려진 자동 테스트 패턴 생성(ATG) 알고리즘은 5가지 값(0, 1, x, D, D')을 사용하는 논리 시뮬레이터를 필요로 한다.^[16] 여기서 추가된 값 x는 '알 수 없음' 또는 '초기화되지 않음' 상태를, D는 '정상 1이어야 할 신호가 0이 된 결함' 상태를, D'는 '정상 0이어야 할 신호가 1이 된 결함' 상태를 나타낸다.^[16]

현재 논리 회로는 대부분 이진법을 기반으로 한 디지털 회로로 구현되지만, 이를 4진법이나 8진법 등으로 확장하면 하나의 신호선이나 게이트로 더 많은 정보를 처리하여 고성능화를 이룰 가능성이 있다. 이러한 이유로 연구 수준에서는 다치 논리 회로가 활발히 연구되어 왔지만^[19], 현실적으로는 이진 컴퓨터의 성능이 충분히 뛰어나고 비용 효율적이기 때문에 실제 하드웨어 구현보다는 이진 컴퓨터를 이용한 시뮬레이션이 더 선호되는 경향이 있다.^[19] 그럼에도 불구하고 일부 실용화된 사례도 등장하고 있는데, 대표적으로 MLC(Multi Level Cell) 기술을 적용한 NAND형 플래시 메모리가 있다.^[19] 또한, 삼진법 컴퓨터의 예로는 세툰이 알려져 있다.^[19] 실제 컴퓨터 시스템에서는 전기 신호로서 H(High)와 L(Low)뿐만 아니라, 트라이스테이트 등으로 불리는 "접속을 끊은 상태"인 하이 임피던스(기호 Z) 등이 버스 등에서 다용되고 있으며, 설계 시에는 "어떤 값이라도 좋다"(don't care)는 값(기호 U) 등, 실제로는 일종의 다치 논리가 이미 활용되고 있다.^[20]

퍼지 논리는 진리값으로 0과 1 사이의 모든 실수 값을 사용하는 다치 논리의 한 형태로, 연구 단계의 퍼지 컴퓨터 중에는 이를 하드웨어로 직접 구현하려는 시도도 있다.^[19]

6. 컴퓨터 과학과의 관련성

현재 일반적으로 사용되는 컴퓨터의 논리 회로는 이진법과 이치 논리를 전자 회로로 구현한 디지털 회로이다. 하지만 실제 컴퓨터 시스템에서는 단순히 참과 거짓의 두 가지 값만 사용하는 것은 아니다. 예를 들어, 여러 장치를 연결하는 버스 등에서는 전기 신호로 H(High)와 L(Low) 외에도 '연결을 끊은 상태'를 나타내는 트라이스테이트(Tri-state) 또는 하이 임피던스(High Impedance, 기호로는 Z가 사용되는 경우가 많음) 상태가 사용된다. 이는 사실상 다치 논리 개념이 활용되는 사례라고 볼 수 있다.^[20] 또한 시스템 설계 과정에서는 특정 조건 하에서 어떤 값이든 상관없음을 나타내는 'don't care'(기호로는 U 등이 사용됨) 값을 사용하기도 하는데, 이 역시 다치 논리적인 요소로 간주될 수 있다.

이론적으로 논리 회로를 4진법이나 8진법과 같은 다치 논리 기반으로 구현할 경우, 하나의 신호선이나 게이트를 통해 더 많은 정보를 처리할 수 있게 되어 컴퓨터의 성능을 높일 잠재력이 있다. 이러한 가능성 때문에 다치 논리 컴퓨터는 연구 수준에서는 활발하게 다루어져 왔다.^[19] 그러나 현실적으로는 이진법 기반 컴퓨터의 성능이 이미 충분히 발전했고, 새로운 다치 논리 하드웨어를 개발하고 생산하는 것보다 기존의 이진 컴퓨터를 이용해 다치 논리 시스템을 시뮬레이션하는 것이 더 빠르고 비용 효율적인 경우가 많다.

그럼에도 불구하고 일부 분야에서는 다치 논리 기술이 실용화되어 사용되고 있다. 대표적인 예로는 여러 단계의 전압 레벨을 이용하여 하나의 셀에 더 많은 데이터를 저장하는 MLC(Multi-Level Cell) 방식의 NAND형 플래시 메모리가 있다. 또한 역사적으로는 소련에서 개발된 삼진법 컴퓨터인 세툰(Setun)과 같은 실제 다치 논리 컴퓨터 구현 사례도 존재한다.

퍼지 논리는 진리값으로 0과 1 사이의 실수 값을 사용하는 다치 논리의 한 종류이다. 이를 직접 하드웨어로 구현하려는 시도인 퍼지 컴퓨터에 대한 연구도 진행되고 있다.

참조

_[1] 서적 A Concise Introduction to Logic 2006
_[2] 서적 Necessity or Contingency Stanford 1996
_[3] 문서 2005
_[4] 서적 The Connectives https://archive.org/[...] The MIT Press 2011
_[5] 문서 2008
_[6] 저널 Zum intuitionistischen Aussagenkalkül 1932
_[7] 서적 Nichtklassische Logik. Eine Einführung Akademie-Verlag 1990
_[8] 간행물 Fuzzy Logic http://plato.stanfor[...] 2009
_[9] 저널 Systems of logic whose truth-values form lattices 1951-12
_[10] 서적 Logic: The Laws of Truth Princeton University Press 2012
_[11] 서적 Many-Valued Logics Clarendon Press 1993
_[12] 웹사이트 Introduction to Mathematical Logic https://books.google[...] Princeton University Press 1996
_[13] 저널 Introduction to a General Theory of Elementary Propositions 1921
_[14] 간행물 Multiple-Valued Logic Synthesis and Optimization http://dl.acm.org/ci[...] Kluwer Academic Publishers 2002
_[15] 저널 50 Years of CORDIC: Algorithms, Architectures and Applications http://core.ac.uk/do[...] 2009-09-09
_[16] 서적 Digital Systems Testing and Testable Design https://archive.org/[...] Computer Science Press 1994
_[17] 웹사이트 IEEE International Symposium on Multiple-Valued Logic (ISMVL) http://www.informati[...]
_[18] 웹사이트 MVLSC home http://www.oldcitypu[...] 2011-08-12
_[19] 문서
_[20] 문서
_[21] 서적 A Treatise on Many-Valued Logics. Research Studies Press 2001
_[22] 문서 2008
_[23] 저널 Zum intuitionistischen Aussagenkalkül 1932
_[24] 서적 Nichtklassische Logik. Eine Einführung Akademie-Verlag 1990
_[25] 간행물 Multiple-Valued Logic Synthesis and Optimization http://dl.acm.org/ci[...] Kluwer Academic Publishers 2002

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