블록 행렬

1. 개요

블록 행렬은 행렬을 여러 개의 블록, 즉 소행렬로 분할하여 표현한 것이다. 블록 행렬은 덧셈, 곱셈, 전치 등의 연산이 가능하며, 특히 블록 곱셈은 왼쪽 행렬의 열 분할과 오른쪽 행렬의 행 분할이 일치해야 한다. 블록 대각 행렬, 블록 삼각 행렬, 블록 삼대각 행렬, 블록 토플리츠 행렬, 블록 한켈 행렬 등 다양한 종류가 있으며, 행렬식, 역행렬 등을 계산하는 데 유용하게 사용된다.

2. 정의

체 $K$ 위의 $m\; \backslash times\; n$ 행렬 $M\; \backslash in\; \backslash operatorname\{Mat\}(m,\; n;\; K)$가 주어졌을 때,
:$m\; =\; m\_1\; +\; m\_2\; +\; \backslash cdots\; +\; m\_p$
:$n\; =\; n\_1\; +\; n\_2\; +\; \backslash cdots\; +\; n\_q\; \backslash qquad\; (m\_i,\; n\_i\; \backslash in\; \backslash mathbb\{Z\}^+)$
라고 하면, $M$은 다음과 같은 블록 행렬로 나타낼 수 있다.
:$M\; =$
\begin{pmatrix}
M_{11} & M_{12} & \cdots & M_{1q} \\
M_{21} & M_{22} & \cdots & M_{2q} \\
\vdots & \vdots & & \vdots \\
M_{p1} & M_{p2} & \cdots & M_{pq}
\end{pmatrix}
여기서 $M\_\{ij\}$는 $m\_i\; \backslash times\; n\_j$ 행렬이다.

예시로, 행렬
:$\backslash mathbf\{P\}\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$
1 & 2 & 2 & 7 \\
1 & 5 & 6 & 2 \\
3 & 3 & 4 & 5 \\
3 & 3 & 6 & 7
\end{bmatrix}
는 다음과 같이 네 개의 블록으로 나눌 수 있다.
:$\backslash mathbf\{P\}\; =\; \backslash left[$
\begin{array}{cc|cc}
1 & 2 & 2 & 7 \\
1 & 5 & 6 & 2 \\
\hline
3 & 3 & 4 & 5 \\
3 & 3 & 6 & 7
\end{array}
\right]
이 분할에 의해, $P$는 다음과 같이 네 개의 2×2 블록으로 분할된다.
:$$
\mathbf{P}_{11} = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
1 & 5
\end{bmatrix},\quad
\mathbf{P}_{12} = \begin{bmatrix}
2 & 7\\
6 & 2
\end{bmatrix},\quad
\mathbf{P}_{21} = \begin{bmatrix}
3 & 3 \\
3 & 3
\end{bmatrix},\quad
\mathbf{P}_{22} = \begin{bmatrix}
4 & 5 \\
6 & 7
\end{bmatrix}

따라서 분할된 행렬은
:$\backslash mathbf\{P\}\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$
\mathbf{P}_{11} & \mathbf{P}_{12} \\
\mathbf{P}_{21} & \mathbf{P}_{22}
\end{bmatrix}
와 같이 쓸 수 있다.

또 다른 예시로, 4개의 행렬
:$$
A=\begin{bmatrix}
2 & -1 & 5 \\
-1 & 4 & 1 \\
8 & 1 & -2
\end{bmatrix}
,\quad
B=\begin{bmatrix}
-3 & 6 \\
1 & 3 \\
4 & 1
\end{bmatrix}
, \quad
C=\begin{bmatrix}
-4 & 2 & 6
\end{bmatrix}
,\quad
D=\begin{bmatrix}
9 & 1
\end{bmatrix}

을 나열하여 만들 수 있는 4 × 5 행렬
:$$
\begin{bmatrix}
A & B\\
C & D
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
2 & -1 & 5 & & -3 & 6\\
-1 & 4 & 1 & & 1 & 3\\
8 & 1 & -2 & & 4 & 1\\
& & & & & \\
-4 & 2 & 6 & & 9 & 1
\end{bmatrix}

에서 A, B, C, D를 블록(또는 소행렬)이라고 부르며, 이러한 블록들로 구성된 행렬을 블록 행렬이라고 한다. 행렬을 블록으로 나누는 것을 구분이라고 한다.

일반적으로 2x2 형태의 블록 행렬 분할이 자주 사용되며, 특히 $A\_\{11\}$이 스칼라인 경우가 많다.
:$A\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$
a_{11} & a_{12}^T \\
a_{21} & A_{22}
\end{bmatrix}

2.1. 분할 방법

$A\; \backslash in\; \backslash mathbb\{C\}^\{m\; \backslash times\; n\}$인 경우, $A$의 분할은 $A$를 다음과 같은 형태로 표현하는 것이다.

:$A\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$
A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1q} \\
A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2q} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{p1} & A_{p2} & \cdots & A_{pq}
\end{bmatrix}

여기서 $A\_\{ij\}\; \backslash in\; \backslash mathbb\{C\}^\{m\_i\; \backslash times\; n\_j\}$는 연속적인 부분 행렬이며, $\backslash sum\_\{i=1\}^\{p\}\; m\_i\; =\; m$이고, $\backslash sum\_\{j=1\}^\{q\}\; n\_j\; =\; n$이다. 이때, 분할의 요소 $A\_\{ij\}$를 블록이라고 부른다.

이 정의에 따르면, 한 열에 있는 모든 블록은 열의 개수가 같아야 하고, 한 행에 있는 블록은 행의 개수가 같아야 한다.

행렬은 다양한 방식으로 분할될 수 있는데, 예를 들어 행렬 $A$를 다음과 같이 나타낼 때 열별 분할되었다고 한다.

:$A\; =\; (a\_1\; \backslash \; a\_2\; \backslash \; \backslash cdots\; \backslash \; a\_n)$

여기서 $a\_j$는 $A$의 $j$번째 열이다.

행렬은 행별 분할될 수도 있다.

:$A\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$
a_1^T \\
a_2^T \\
\vdots \\
a_m^T
\end{bmatrix}

여기서 $a\_i^T$는 $A$의 $i$번째 행이다.

일반적인 구분에서는 행과 열을 각각 몇 개로 분할해도 좋다. $A\_\{ij\}$들을 블록으로 하는 블록 행렬

:$$
\begin{bmatrix}
A_{1 1} & A_{1 2} & \cdots & A_{1 q} \\
A_{2 1} & A_{2 2} & \cdots & A_{2 q} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{p 1} & A_{p 2} & \cdots & A_{p q}
\end{bmatrix}


은 이러한 구분 방법의 일반적인 형태이다. 단, 같은 행에 있는 블록의 행 수는 같아야 하며, 같은 열에 있는 블록의 열 수는 같아야 한다. $A\_\{i\; j\}$가 $m\_i\; \backslash times\; n\_j$ 행렬인 경우, 이 형태의 구분을 ($m\_1$, …, $m\_q$; $n\_1$, …, $n\_r$)형이라고 부른다.

3. 종류

특별한 성질을 만족하는 블록 행렬에는 다음과 같은 종류가 있다.

* 블록 대각 행렬: 대각선 이외의 모든 행렬 블록이 영행렬인 블록 행렬이다. 행과 열의 분할이 자명할 경우 이는 대각 행렬이 된다.
* 블록 상(하)삼각 행렬: 대각선 아래(위)의 모든 행렬 블록이 영행렬인 블록 행렬이다. 행과 열의 분할이 자명할 경우 이는 상(하)삼각 행렬이 된다.

정사각 행렬 P를 다음과 같이 대칭 구분할 수 있다.

:$$
P=\begin{bmatrix}
A_{1 1} & A_{1 2} & \dots & A_{1 r} \\
A_{2 1} & A_{2 2} & \dots & A_{2 r} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{r 1} & A_{r 2} & \dots & A_{r r}
\end{bmatrix}


여기서 주대각선상의 블록 A_{1 1}, A_{2 2}, …, A_{r r}는 모두 정사각 행렬이다.

주대각선 아래의 블록이 모두 영행렬일 경우, P의 행렬식은 다음과 같다.

:$$
|P|=\prod_{k=1}^r |A_{k k}|


따라서, 이러한 P가 가역이기 위한 필요충분 조건은, 주대각선상의 블록이 모두 가역인 것이다.

3.1. 블록 대각 행렬

블록 대각 행렬은 주대각 블록이 정사각 행렬이고 비대각 블록이 모두 영행렬인 블록 행렬이다. 즉, 블록 대각 행렬 A는 다음과 같은 형태를 가진다.

:$\{A\}\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$
{A}_1 & {0} & \cdots & {0} \\
{0} & {A}_2 & \cdots & {0} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{0} & {0} & \cdots & {A}_n
\end{bmatrix}

여기서 A_k는 모든 k = 1, ..., n에 대해 정사각 행렬이다.

행렬 A는 A₁, ..., A_n의 직합으로 볼 수 있으며, A₁ ⊕ A₂ ⊕ ... ⊕ A_n 또는 diag(A₁, A₂, ..., A_n)으로도 나타낼 수 있다(후자는 대각 행렬과 같은 표기법이다). 임의의 정사각 행렬은 단일 블록을 가진 블록 대각 행렬로 생각할 수 있다.

블록 대각 행렬의 행렬식과 대각합은 다음과 같은 성질을 갖는다.

:$\backslash begin\{align\}$
\det{A} &= \det{A}_1 \times \cdots \times \det{A}_n,
\end{align}

:$\backslash begin\{align\}$
\operatorname{tr}{A} &= \operatorname{tr} {A}_1 + \cdots + \operatorname{tr} {A}_n.\end{align}

블록 대각 행렬은 주대각 블록 각각이 가역일 경우에만 가역적이며, 이 경우 역행렬은 다음과 같이 주어진 또 다른 블록 대각 행렬이다.

:$\backslash begin\{bmatrix\}$
{A}_{1} & {0} & \cdots & {0} \\
{0} & {A}_{2} & \cdots & {0} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{0} & {0} & \cdots & {A}_{n}
\end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix}
{A}_{1}^{-1} & {0} & \cdots & {0} \\
{0} & {A}_{2}^{-1} & \cdots & {0} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
{0} & {0} & \cdots & {A}_{n}^{-1}
\end{bmatrix}.


$\{A\}$의 고유값과 고유벡터는 단순히 $\{A\}\_k$들의 고유값과 고유벡터를 결합한 것이다.

3.2. 블록 삼각 행렬

삼각 행렬도 참조

행렬 $A$는 다음과 같이 표현될 때 상부 블록 삼각 행렬(또는 블록 상부 삼각 행렬)이라고 한다.

:$A\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$
A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1k} \\
0 & A_{22} & \cdots & A_{2k} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & A_{kk}
\end{bmatrix}

여기서 모든 $i,\; j\; =\; 1,\; \backslash ldots,\; k$에 대해 $A\_\{ij\}\; \backslash in\; \backslash mathbb\{F\}^\{n\_i\; \backslash times\; n\_j\}$가 성립한다.

행렬 $A$는 다음과 같은 형태를 가질 때 하부 블록 삼각 행렬(또는 블록 하부 삼각 행렬)이라고 한다.

:$A\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$
A_{11} & 0 & \cdots & 0 \\
A_{21} & A_{22} & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{k1} & A_{k2} & \cdots & A_{kk}
\end{bmatrix}

여기서 모든 $i,\; j\; =\; 1,\; \backslash ldots,\; k$에 대해 $A\_\{ij\}\; \backslash in\; \backslash mathbb\{F\}^\{n\_i\; \backslash times\; n\_j\}$이다.

정사각 행렬 P의 구분

:$$
P=\begin{bmatrix}
A_{1 1} & A_{1 2} & \dots & A_{1 r} \\
A_{2 1} & A_{2 2} & \dots & A_{2 r} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{r 1} & A_{r 2} & \dots & A_{r r}
\end{bmatrix}


에서 주대각선상의 블록 A_{1 1}, A_{2 2}, … A_{r r}가 모두 정사각 행렬일 때, 이를 대칭 구분이라고 한다. 특히, 주대각선 아래의 블록이 모두 영행렬일 경우, 그 행렬식에 대해

:$$
|P|=\prod_{k=1}^r |A_{k k}|


이 성립한다. 따라서, 그러한 P가 가역이기 위한 필요충분 조건은, 주대각선상의 블록이 모두 가역인 것이다.

3.3. 블록 삼대각 행렬

블록 삼대각 행렬은 특수한 블록 행렬의 일종으로, 정사각 행렬과 유사하게 하부 대각선, 주대각선, 상부 대각선에 정사각 행렬(블록)을 가지며, 다른 모든 블록은 영행렬이다. 이는 본질적으로 삼대각 행렬이지만 스칼라 대신 부분 행렬을 가진다. 블록 삼대각 행렬 A는 다음과 같은 형태를 가진다.

:$A\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$
B_{1} & C_{1} & & & \cdots & & 0 \\
A_{2} & B_{2} & C_{2} & & & & \\
& \ddots & \ddots & \ddots & & & \vdots \\
& & A_{k} & B_{k} & C_{k} & & \\
\vdots & & & \ddots & \ddots & \ddots & \\
& & & & A_{n-1} & B_{n-1} & C_{n-1} \\
0 & & \cdots & & & A_{n} & B_{n}
\end{bmatrix}

여기서 $A\_\{k\}$, $B\_\{k\}$, $C\_\{k\}$는 각각 하부, 주, 상부 대각선의 정사각 부분 행렬이다.

블록 삼대각 행렬은 전산 유체 역학과 같은 공학 문제의 수치적 해법에서 자주 나타난다. LU 분해를 위한 최적화된 수치적 방법이 있으며, 따라서 블록 삼대각 행렬을 계수 행렬로 갖는 방정식 시스템에 대한 효율적인 해법 알고리즘이 있다. 삼대각 행렬을 포함하는 방정식 시스템의 효율적인 해법에 사용되는 토마스 알고리즘은 행렬 연산을 사용하여 블록 삼대각 행렬에도 적용될 수 있다(블록 LU 분해 참조).

3.4. 블록 토플리츠 행렬

토플리츠 행렬도 참조

블록 토플리츠 행렬은 행렬의 대각선을 따라 반복되는 블록을 포함하는 특수한 블록 행렬이다. 이는 토플리츠 행렬이 대각선을 따라 반복되는 원소를 갖는 것과 유사하다.

행렬 $A$가 블록 토플리츠일 조건은 모든 $k\; -\; i\; =\; l\; -\; j$에 대해 $A\_\{(i,j)\}\; =\; A\_\{(k,l)\}$가 성립하는 것이다. 즉, 다음과 같다.

:$A\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$
A_1 & A_2 & A_3 & \cdots \\
A_4 & A_1 & A_2 & \cdots \\
A_5 & A_4 & A_1 & \cdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots
\end{bmatrix}

여기서 $A\_i\; \backslash in\; \backslash mathbb\{F\}^\{n\_i\; \backslash times\; m\_i\}$이다.

3.5. 블록 한켈 행렬

한켈 행렬

행렬 $A$는 모든 $i\; +\; j\; =\; k\; +\; l$에 대해 $A\_\{(i,j)\}\; =\; A\_\{(k,l)\}$인 경우 블록 한켈 행렬이다. 즉, 반대각선 방향으로 같은 블록이 반복되는 형태이다.

:$A\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$
A_1 & A_2 & A_3 & \cdots \\
A_2 & A_3 & A_4 & \cdots \\
A_3 & A_4 & A_5 & \cdots \\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots
\end{bmatrix}

여기서 $A\_i\; \backslash in\; \backslash mathbb\{F\}^\{n\_i\; \backslash times\; m\_i\}$이다.

4. 성질

블록 행렬의 분할은 주어진 행렬을 연속적인 부분 행렬, 즉 '블록'으로 나누어 표현하는 방법이다. $A\; \backslash in\; \backslash mathbb\{C\}^\{m\; \backslash times\; n\}$인 행렬 $A$의 분할은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$A\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$
A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1q} \\
A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2q} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{p1} & A_{p2} & \cdots & A_{pq}
\end{bmatrix}

여기서 $A\_\{ij\}\; \backslash in\; \backslash mathbb\{C\}^\{m\_i\; \backslash times\; n\_j\}$는 블록을 나타내며, $\backslash sum\_\{i=1\}^\{p\}\; m\_i\; =\; m$이고, $\backslash sum\_\{j=1\}^\{q\}\; n\_j\; =\; n$이다. 이때, 한 열에 있는 모든 블록은 열의 개수가 같아야 하고, 한 행에 있는 블록은 행의 개수가 같아야 한다.

블록 행렬의 연산은 다음과 같이 이루어진다.

* 전치: 블록 행렬의 전치 행렬은 각 블록을 전치하고, 블록의 위치를 행과 열을 바꾸어 배열한다. $A$의 전치 행렬은 다음과 같다.

:$A^T\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$
A_{11}^T & A_{21}^T & \cdots & A_{p1}^T \\
A_{12}^T & A_{22}^T & \cdots & A_{p2}^T \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{1q}^T & A_{2q}^T & \cdots & A_{pq}^T
\end{bmatrix}

켤레 전치 행렬에 대해서도 동일한 식이 성립한다.

* 덧셈: 블록 행렬의 덧셈은 크기가 같은 블록끼리 더하는 방식으로 수행된다.
* 곱셈: 블록 행렬의 곱셈은 일반적인 행렬 곱셈과 유사하게 수행되지만, 블록 간의 곱셈이 정의되도록 "적합" 분할이 필요하다.
* 역행렬: 블록 행렬의 역행렬은 블록별 반전 공식을 통해 구할 수 있다. 이 공식은 Schur 보수를 이용하여 유도할 수 있다.
* 행렬식: 블록 행렬의 행렬식은 블록의 크기와 위치에 따라 다양한 공식을 사용하여 계산할 수 있다.
* $A$가 가역적이라면, 다음이 성립한다.
:
* $D$가 가역적이라면, 다음이 성립한다.
:
* $C$와 $D$가 교환하는 경우(즉, $CD=DC$인 경우) 다음과 같다.
:
* $A\; =\; D$이고 $B=C$인 경우, 다음 공식이 성립한다. ($A$와 $B$가 교환하지 않더라도)
:

각 연산에 대한 자세한 내용은 해당 항목(덧셈, 곱셈, 역행렬, 행렬식)을 참고할 수 있다.

4.1. 덧셈

행렬 $A$와 $B$가 다음과 같이 주어졌다고 하자.

:$A\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$
A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1q} \\
A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2q} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{p1} & A_{p2} & \cdots & A_{pq}
\end{bmatrix}

:$B\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$
B_{11} & B_{12} & \cdots & B_{1s} \\
B_{21} & B_{22} & \cdots & B_{2s} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
B_{r1} & B_{r2} & \cdots & B_{rs}
\end{bmatrix}

여기서 $B_{ij} \in \mathbb{C}^{m_i \times n_j}$이다.

만약 $p = r$, $q = s$, $k_i = m_i$, $\ell_j = n_j$라면, $A$와 $B$의 덧셈은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:$A\; +\; B\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$
A_{11} + B_{11} & A_{12} + B_{12} & \cdots & A_{1q} + B_{1q} \\
A_{21} + B_{21} & A_{22} + B_{22} & \cdots & A_{2q} + B_{2q} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{p1} + B_{p1} & A_{p2} + B_{p2} & \cdots & A_{pq} + B_{pq}
\end{bmatrix}

4.2. 곱셈

행렬 곱셈은 블록 행렬을 통해 나타낼 수 있다. 블록 행렬 곱셈에서는 왼쪽 행렬의 열 분할 방법과 오른쪽 행렬의 행 분할 방법이 같아야 한다. 이는 일반 행렬 곱셈에서 왼쪽 행렬의 열 수와 오른쪽 행렬의 행 수가 같아야 하는 것과 같은 조건이다.

$M\backslash in\backslash operatorname\{Mat\}(m,n;K)$가 체 $K$ 위의 $m\backslash times\; n$ 행렬이고, 임의의 $i\backslash in\backslash \{1,\backslash dots,q\backslash \}$ 및 $j\backslash in\backslash \{1,\backslash dots,r\backslash \}$에 대하여 블록 $M\_\{ij\}$가 $m\_i\backslash times\; n\_j$ 행렬이라고 하자. 마찬가지로, $N\backslash in\backslash operatorname\{Mat\}(n,p;K)$가 $K$ 위의 $n\backslash times\; p$ 행렬이고, 임의의 $i\backslash in\backslash \{1,\backslash dots,q\backslash \}$ 및 $j\backslash in\backslash \{1,\backslash dots,s\backslash \}$에 대하여 블록 $N\_\{ij\}$가 $n\_i\backslash times\; p\_j$ 행렬이라고 하자. 그렇다면, 곱 $MN$의 각 블록 $(MN)\_\{ij\}$는 다음과 같은 $m\_i\backslash times\; p\_j$ 행렬이다.

:$(MN)\_\{ij\}=\backslash sum\_\{k=1\}^rM\_\{ik\}N\_\{kj\}\backslash qquad(i\backslash in\backslash \{1,\backslash dots,q\backslash \},j\backslash in\backslash \{1,\backslash dots,s\backslash \})$

이를 행렬 기호로 쓰면 다음과 같다.

:$$
\begin{pmatrix}
M_{11}&M_{12}&\cdots&M_{1r}\\
M_{21}&M_{22}&\cdots&M_{2r}\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
M_{q1}&M_{q2}&\cdots&M_{qr}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
N_{11}&N_{12}&\cdots&N_{1s}\\
N_{21}&N_{22}&\cdots&N_{2s}\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
N_{r1}&N_{r2}&\cdots&N_{rs}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\sum_{k=1}^rM_{1k}N_{k1}&\sum_{k=1}^rM_{1k}N_{k2}&\cdots&\sum_{k=1}^rM_{1k}N_{ks}\\
\sum_{k=1}^rM_{2k}N_{k1}&\sum_{k=1}^rM_{2k}N_{k2}&\cdots&\sum_{k=1}^rM_{2k}N_{ks}\\
\vdots&\vdots&&\vdots\\
\sum_{k=1}^rM_{qk}N_{k1}&\sum_{k=1}^rM_{qk}N_{k2}&\cdots&\sum_{k=1}^rM_{qk}N_{ks}
\end{pmatrix}


블록 분할된 행렬 곱셈에서는 인수의 부분 행렬에 대한 대수 연산만 포함할 수 있다. 그러나 인수의 분할은 임의적이지 않으며, 두 행렬 $A$와 $B$ 사이에 사용될 모든 부분 행렬 곱셈이 정의되도록 "적합" 분할이 필요하다.

두 블록 행렬
:$$
A=\begin{bmatrix}
A_{1 1} & A_{1 2} & \cdots & A_{1 q} \\
A_{2 1} & A_{2 2} & \cdots & A_{2 q} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{p 1} & A_{p 2} & \cdots & A_{p q}
\end{bmatrix}
,\quad
B=\begin{bmatrix}
B_{1 1} & B_{1 2} & \cdots & B_{1 r} \\
B_{2 1} & B_{2 2} & \cdots & B_{2 r} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
B_{q 1} & B_{q 2} & \cdots & B_{q r}
\end{bmatrix}

의 분할이 각각 (l₁, …, l_p; m₁, …, m_q) 형, (m₁, …, m_q; n₁, …, n_r) 형일 때, 그 곱 AB의 (l₁, …, l_p; n₁, …, n_r) 형 분할
:$$
A B=\begin{bmatrix}
C_{1 1} & C_{1 2} & \cdots & C_{1 r} \\
C_{2 1} & C_{2 2} & \cdots & C_{2 r} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
C_{p 1} & C_{p 2} & \cdots & C_{p r}
\end{bmatrix}

의 각 블록은
:$C\_\{ij\}=\backslash sum\_\{k=1\}^q\; A\_\{i\; k\}\; B\_\{k\; j\}$
로 주어진다. 즉, 블록 행렬의 곱은 (적절하게 블록 분할되어 있다면) 각 블록을 마치 행렬의 성분처럼 간주하여 계산할 수 있다.

4.3. 전치

다음과 같이 정의한다.

:$A\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$
A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1q} \\
A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2q} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{p1} & A_{p2} & \cdots & A_{pq}
\end{bmatrix}

여기서 $A\_\{ij\}\; \backslash in\; \backslash mathbb\{C\}^\{k\_i\; \backslash times\; \backslash ell\_j\}$이다. 그러면 이 행렬의 전치 행렬은 다음과 같다.

:$A^T\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$
A_{11}^T & A_{21}^T & \cdots & A_{p1}^T \\
A_{12}^T & A_{22}^T & \cdots & A_{p2}^T \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{1q}^T & A_{2q}^T & \cdots & A_{pq}^T
\end{bmatrix}

전치 행렬을 켤레 전치 행렬로 대체해도 동일한 식이 성립한다.

블록 행렬에 대해서도 행렬 전치의 특별한 형태를 정의할 수 있으며, 여기서 개별 블록은 재정렬되지만 전치되지는 않는다. $A=(B\_\{ij\})$를 $m\; \backslash times\; n$ 블록 $B\_\{ij\}$를 갖는 $k\; \backslash times\; l$ 블록 행렬이라고 할 때, $A$의 블록 전치는 $m\; \backslash times\; n$ 블록 $\backslash left(A^\backslash mathcal\{B\}\backslash right)\_\{ij\}\; =\; B\_\{ji\}$를 갖는 $l\; \backslash times\; k$ 블록 행렬 $A^\backslash mathcal\{B\}$이다. 일반적인 대각합 연산자와 마찬가지로 블록 전치는 $(A\; +\; C)^\backslash mathcal\{B\}\; =\; A^\backslash mathcal\{B\}\; +\; C^\backslash mathcal\{B\}$인 선형 사상이다. 그러나 일반적으로 $A$와 $C$의 블록이 교환 가능하지 않으면 $(A\; C)^\backslash mathcal\{B\}\; =\; C^\backslash mathcal\{B\}\; A^\backslash mathcal\{B\}$ 속성은 성립하지 않는다.

4.4. 역행렬

다음 항등식들이 성립한다. (단, 우변의 각 역행렬이 존재해야 한다.)

:$\backslash begin\{pmatrix\}$
A_{m\times m}&B_{m\times n}\\
C_{n\times m}&D_{n\times n}
\end{pmatrix}
^{-1}=
\begin{pmatrix}
A^{-1}+A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}&-A^{-1}B(D-CA^{-1}B)^{-1}\\
-(D-CA^{-1}B)^{-1}CA^{-1}&(D-CA^{-1}B)^{-1}\end{pmatrix}

블록 LDU 분해를 사용한 자세한 내용과 유도는 Schur 보수를 참조하면 된다.

행렬이 네 개의 블록으로 분할된 경우, 다음과 같이 블록별로 반전될 수 있다.

:$\{P\}\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$
{A} & {B} \\
{C} & {D}
\end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix}
{A}^{-1} + {A}^{-1}{B}\left({D} - {CA}^{-1}{B}\right)^{-1}{CA}^{-1} &
-{A}^{-1}{B}\left({D} - {CA}^{-1}{B}\right)^{-1} \\
-\left({D}-{CA}^{-1}{B}\right)^{-1}{CA}^{-1} &
\left({D} - {CA}^{-1}{B}\right)^{-1}
\end{bmatrix},


여기서 A와 D는 임의의 크기를 가진 정사각 블록이고, B와 C는 분할에 맞게 적합된다. 또한, A와 P에서 A의 Schur 보수는 가역적이어야 한다.

동등하게, 블록을 순열하면 다음과 같다.

:$\{P\}\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$
{A} & {B} \\
{C} & {D}
\end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix}
\left({A} - {BD}^{-1}{C}\right)^{-1} &
-\left({A}-{BD}^{-1}{C}\right)^{-1}{BD}^{-1} \\
-{D}^{-1}{C}\left({A} - {BD}^{-1}{C}\right)^{-1} &
\quad {D}^{-1} + {D}^{-1}{C}\left({A} - {BD}^{-1}{C}\right)^{-1}{BD}^{-1}
\end{bmatrix}.


여기서 D와 P에서 D의 Schur 보수는 가역적이어야 한다.

A와 D가 모두 가역적이면 다음과 같이 된다.

:$$
\begin{bmatrix}
{A} & {B} \\
{C} & {D}
\end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix}
\left({A} - {B} {D}^{-1} {C}\right)^{-1} & {0} \\
{0} & \left({D} - {C} {A}^{-1} {B}\right)^{-1}
\end{bmatrix} \begin{bmatrix}
{I} & -{B} {D}^{-1} \\
-{C} {A}^{-1} & {I}
\end{bmatrix}.


Weinstein–Aronszajn 항등식에 의해, 블록 대각 행렬의 두 행렬 중 하나가 가역적일 때 다른 행렬도 정확히 가역적이다.

A는 정칙 행렬, D는 정방 행렬일 때, 구분 행렬
:$$
P=\begin{bmatrix}
A & B \\
C & D
\end{bmatrix}

의 역행렬을 구하면 다음과 같다.

먼저, 행렬식에 대해
:$|P|=|A||D-C\; A^\{-1\}B|\backslash ,$
이 성립한다. 따라서, P가 정칙 행렬이 되기 위한 필요충분 조건은, D − CA⁻¹B도 정칙 행렬이 되는 것이며, 이 때 역행렬은
:$$
\begin{bmatrix}
A & B \\
C & D
\end{bmatrix}^{-1}
=\begin{bmatrix}
A^{-1} + A^{-1} B (D-C A^{-1} B)^{-1} C A^{-1} & -A^{-1} B (D-C A^{-1} B)^{-1} \\
-(D-C A^{-1} B)^{-1}C A^{-1} & (D-C A^{-1} B)^{-1}
\end{bmatrix}

로 주어진다. D도 정칙 행렬인 경우에는
:$$
\begin{bmatrix}
A & B \\
C & D
\end{bmatrix}^{-1}
=\begin{bmatrix}
(A-B D^{-1}C)^{-1} & -A^{-1} B (D-C A^{-1} B)^{-1} \\
-(D-C A^{-1} B)^{-1}C A^{-1} & (D-C A^{-1} B)^{-1}
\end{bmatrix}

로 나타낼 수 있다. 또한 C가 영행렬 O와 같은 경우에는
:$\backslash begin\{bmatrix\}$
A & B \\
O & D
\end{bmatrix}^{-1}
=\begin{bmatrix}
A^{-1} & -A^{-1} B D^{-1} \\
O & D^{-1}
\end{bmatrix}

이 된다.

4.5. 행렬식

다음과 같은 항등식들이 성립한다. (단, 우변의 각 역행렬이 존재해야 한다.)

:$\backslash det$
\begin{pmatrix}
A_{m\times m}&B_{m\times n}\\
C_{n\times m}&D_{n\times n}
\end{pmatrix}
=\det(D)\det(A-BD^{-1}C)=\det(A)\det(D-CA^{-1}B)

위의 $2\; \backslash times\; 2$ 행렬의 행렬식 공식은 네 개의 부분 행렬 $A,\; B,\; C,\; D$로 구성된 행렬에도 적용 가능하다. (단, 추가적인 가정이 필요하다.) 이 공식은 라이프니츠 공식이나 슈어 보수를 포함하는 인수 분해를 사용하여 증명할 수 있으며 다음과 같다.

:

이 공식을 이용하면 와 의 특성 다항식이 같고, $A$와 $D$의 특성 다항식의 곱과 같다는 것을 알 수 있다. 또한 또는 가 대각화 가능하면 $A$와 $D$도 대각화 가능하다. 그러나 역은 성립하지 않는다. (을 예로 들 수 있다.)

$A$가 가역적이라면, 다음이 성립한다.

:

$D$가 가역적이라면, 다음이 성립한다.

:

블록이 같은 크기의 정사각 행렬인 경우 추가 공식이 성립한다. 예를 들어, $C$와 $D$가 교환하는 경우(즉, $CD=DC$인 경우) 다음과 같다.

:

이 공식은 $AB=BA$, $AC=CA$ 인 경우에도 성립한다. 이 공식은 개별 블록 간의 적절한 교환 조건 하에 $2\; \backslash times\; 2$ 블록보다 많은 행렬로 구성된 행렬로 일반화되었다.

$A\; =\; D$이고 $B=C$인 경우, 다음 공식이 성립한다. ( $A$와 $B$가 교환하지 않더라도)

:

정사각 행렬 P가 다음과 같이 구분되어 있다고 하자.

:$$
P=\begin{bmatrix}
A_{1 1} & A_{1 2} & \dots & A_{1 r} \\
A_{2 1} & A_{2 2} & \dots & A_{2 r} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
A_{r 1} & A_{r 2} & \dots & A_{r r}
\end{bmatrix}


이때 주대각선상의 블록 A_{1 1}, A_{2 2}, …, A_{r r}가 모두 정사각 행렬이면, 이를 대칭 구분이라고 한다. 특히, 주대각선 아래의 블록이 모두 영행렬일 경우, 행렬식은 다음과 같이 계산된다.

:$$
|P|=\prod_{k=1}^r |A_{k k}|


따라서, 그러한 P가 가역이기 위한 필요충분 조건은, 주대각선상의 블록이 모두 가역인 것이다.

또한 다음이 성립한다.
:$|P|=|A||D-C\; A^\{-1\}B|\backslash ,$

따라서, P가 정칙 행렬이 되기 위한 필요충분 조건은, D − CA⁻¹B도 정칙 행렬이 되는 것이다.

5. 예시

다음은 블록 행렬의 예시이다.

행렬
:$P=$
\begin{pmatrix}
2&1&0&0&0\\
0&2&0&0&0\\
0&0&1&1&0\\
0&0&0&1&1\\
0&0&0&0&1
\end{pmatrix}

는 다음과 같이 블록 행렬로 나타낼 수 있다.
:$P=$
\begin{pmatrix}
J_{2\times 2}(2)\\
&J_{3\times 3}(1)
\end{pmatrix}

여기서
:$J\_\{n\backslash times\; n\}(\backslash lambda)=$
\begin{pmatrix}
\lambda_1&1\\
&\lambda_2&1\\
&&\ddots&\ddots\\
&&&\lambda_{n-1}&1\\
&&&&\lambda_n
\end{pmatrix}
\qquad(\lambda_1=\cdots=\lambda_n=\lambda)
이다. 따라서, $P$는 블록 대각 행렬이다.

다른 예시로, 행렬

:$\backslash mathbf\{P\}\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$
1 & 2 & 2 & 7 \\
1 & 5 & 6 & 2 \\
3 & 3 & 4 & 5 \\
3 & 3 & 6 & 7
\end{bmatrix}

는 다음과 같이 네 개의 블록으로 나눌 수 있다.

:$\backslash mathbf\{P\}\; =\; \backslash left[$
\begin{array}{cc|cc}
1 & 2 & 2 & 7 \\
1 & 5 & 6 & 2 \\
\hline
3 & 3 & 4 & 5 \\
3 & 3 & 6 & 7
\end{array}
\right].

수평선과 수직선은 특별한 수학적 의미를 갖지는 않지만, 분할을 시각화하는 일반적인 방법이다. 이 분할에 의해, $P$는 다음과 같이 네 개의 2×2 블록으로 분할된다.

:$$
\mathbf{P}_{11} = \begin{bmatrix}
1 & 2 \\
1 & 5
\end{bmatrix},\quad
\mathbf{P}_{12} = \begin{bmatrix}
2 & 7\\
6 & 2
\end{bmatrix},\quad
\mathbf{P}_{21} = \begin{bmatrix}
3 & 3 \\
3 & 3
\end{bmatrix},\quad
\mathbf{P}_{22} = \begin{bmatrix}
4 & 5 \\
6 & 7
\end{bmatrix}.


따라서 분할된 행렬은 다음과 같이 쓸 수 있다.

:$\backslash mathbf\{P\}\; =\; \backslash begin\{bmatrix\}$
\mathbf{P}_{11} & \mathbf{P}_{12} \\
\mathbf{P}_{21} & \mathbf{P}_{22}
\end{bmatrix}.