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대각합

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목차

1. 개요

대각합은 정사각 행렬의 주대각선상에 있는 모든 성분의 합을 의미한다. 대각합은 선형 범함수이며, 전치, 닮음 변환에 불변하고, 행렬의 곱의 순서를 순환적으로 변경해도 값이 변하지 않는 등의 성질을 갖는다. 또한, 행렬의 고윳값의 합과 같으며, 특성 다항식의 한 계수이다. 대각합은 선형 연산자의 행렬 표현의 대각합을 고려하여 정의할 수 있으며, 수치 알고리즘과 응용 분야에서도 활용된다. 특히, 리 대수와 쌍선형 형식 정의에 중요한 역할을 한다.

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대각합
개요
정의행렬의 주대각선 원소들의 합
표기법tr(A), trace(A)
성질
선형성임의의 행렬 A, B와 스칼라 c에 대해 tr(A + B) = tr(A) + tr(B), tr(cA) = c tr(A)가 성립함
순환성행렬 곱셈의 순환성: tr(ABC) = tr(BCA) = tr(CAB)
불변성행렬 A와 가역 행렬 P에 대해 tr(A) = tr(P⁻¹AP) (유사 변환에 불변)
고윳값과의 관계행렬의 대각합은 그 행렬의 모든 고윳값의 합과 같음
활용
행렬식 계산특정 행렬의 행렬식 계산에 활용될 수 있음
그래프 이론그래프의 인접 행렬의 대각합은 그래프 내의 루프의 수를 나타냄
양자역학밀도 행렬의 대각합은 1이며, 이는 확률의 보존을 의미함
다른 이름
한국어대각합
영어trace (트레이스)
독일어Spur (슈푸어)
일본어跡 (세키)

2. 정의

''n'' × ''n'' 정사각 행렬 '''A'''의 '''대각합''' tr('''A''')는 주대각선 위에 있는 성분들의 합으로 정의된다.[1][2][3]

\operatorname{tr}(\mathbf{A}) = \sum_{i=1}^n a_{ii} = a_{11} + a_{22} + \dots + a_{nn}

여기서 ''a''''ii''는 행렬 '''A'''의 ''i''번째 행이자 ''i''번째 열에 위치한 성분을 나타낸다. 행렬의 성분은 실수, 복소수, 또는 더 일반적으로 체 ''F''의 원소일 수 있다. 대각합은 정사각 행렬에 대해서만 정의되며, 정사각 행렬이 아닌 행렬의 대각합은 정의되지 않는다.

대각합은 좌표계의 선택에 의존하지 않는 추상적인 방식으로도 정의할 수 있다. 유한 차원 벡터 공간 ''V''에서 자기 자신으로 가는 선형 변환 ''f'': ''V'' → ''V''가 주어졌을 때, ''V''와 그 쌍대 공간 ''V''* 사이의 텐서곱 ''V''* ⊗ ''V''를 이용하여 대각합을 정의할 수 있다. 구체적으로, 표준적인 쌍선형 형식 ''t''(''w''*, ''v'') = ''w''*(''v'') (''w''* ∈ ''V''*, ''v'' ∈ ''V'')으로부터 유도되는 선형 사상 tr: ''V''* ⊗ ''V'' → ''F''를 대각합이라고 한다.

또한, 체 ''K'' 위의 벡터 공간 ''V'' 상의 선형 변환 ''f''가 유한 차원의 상(image)을 가질 때, ''V''의 원소 ''x''1, …, ''x''''n''과 쌍대 공간 ''V''*의 원소 ''y''1, …, ''y''''n''이 존재하여 모든 ''z'' ∈ ''V''에 대해 ''f''(''z'') = ∑ ''y''''i''(''z'') ''x''''i''로 표현될 수 있다. 이때, 합 ∑ ''y''''i''(''x''''i'')는 ''x''''i''들과 ''y''''i''들의 선택 방식에 관계없이 ''f''에 의해서만 결정되는 값이며, 이를 ''f''의 대각합 tr(''f'')라고 부른다.

벡터 공간 ''V''가 유한 차원이고 기저 {''e''''i''}와 그 쌍대 기저 {''e''''j''}를 선택하면, 선형 변환 ''f''에 대응하는 행렬 '''A''' = (''a''''ij'')는 '''A''' = ∑ ''a''''ij'' ''e''''i'' ⊗ ''e''''j''로 나타낼 수 있다. 이 표현을 사용하여 대각합을 계산하면, 앞서 정의한 행렬의 주대각선 성분들의 합과 일치함을 확인할 수 있다.

\operatorname{tr}(A) = \textstyle\sum\limits_{i,j} a_{ij} \operatorname{tr}(e_i \otimes e^j) = \sum\limits_{i,j} a_{ij}\delta_{ij} = \sum\limits_{i=1}^n a_{ii}

여기서 δ''ij''는 크로네커 델타이다.

2. 1. 예시

행렬 '''A'''가 다음과 같다고 하자.

\mathbf{A} =

\begin{pmatrix}

a_{11} & a_{12} & a_{13} \\

a_{21} & a_{22} & a_{23} \\

a_{31} & a_{32} & a_{33}

\end{pmatrix} =

\begin{pmatrix}

1 & 0 & 3 \\

11 & 5 & 2 \\

6 & 12 & -5

\end{pmatrix}



그렇다면 대각합은 다음과 같이 계산된다.

\operatorname{tr}(\mathbf{A}) = \sum_{i=1}^{3} a_{ii} = a_{11} + a_{22} + a_{33} = 1 + 5 + (-5) = 1

3. 성질

대각합 함수 \operatorname{tr}는 선형 범함수의 성질을 만족한다. 즉, 행렬의 합과 스칼라배에 대해 분배된다.

:\operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B)

:\operatorname{tr}(cA)=c\operatorname{tr}(A)

행렬과 그 전치 행렬은 같은 대각합을 가진다. 이는 행렬을 전치해도 주대각선 성분이 변하지 않기 때문이다.

:\operatorname{tr}(A) = \operatorname{tr}(A^\operatorname{T})

두 행렬 A(m \times n)와 B(n \times m)의 곱 AB와 BA의 대각합은 같다. 이는 행렬 곱의 순환성(cyclic property)이라고도 한다.

:\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)

이 성질로부터 닮음 행렬은 같은 대각합을 가진다는 것을 알 수 있다. 즉, 대각합은 닮음 불변량이다. 임의의 n차 정사각행렬 A와 가역 행렬 P에 대하여 다음이 성립한다.

:\operatorname{tr}(P^{-1}AP)=\operatorname{tr}(A)

또한, 행렬의 대각합은 그 행렬의 고윳값들의 합과 같다 (각 고윳값은 대수적 중복도만큼 더한다).

:\operatorname{tr}(A)=\sum_{\lambda\in\sigma(A)}\lambda

3. 1. 기본 성질

대각합 함수 \operatorname{tr}는 선형 범함수이다. 즉, 임의의 n차 정사각행렬 A, B와 스칼라 c에 대하여 다음이 성립한다.[1][2][3]

:\operatorname{tr}(A+B)=\operatorname{tr}(A)+\operatorname{tr}(B)

:\operatorname{tr}(cA)=c\operatorname{tr}(A)

행렬과 그 전치 행렬은 같은 대각합을 가진다. 이는 행렬을 전치해도 주대각선 성분이 변하지 않기 때문이다.[1][2][3]

:\operatorname{tr}(A) = \operatorname{tr}(A^\operatorname{T})

임의의 m \times n 행렬 A와 n \times m 행렬 B에 대해, 두 곱 AB와 BA의 대각합은 같다. 즉, 행렬 곱의 순서는 대각합 계산에 영향을 주지 않는다. 이는 A와 B가 정사각행렬이 아니더라도 두 곱 AB와 BA가 모두 정의되는 한 성립한다.

:\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)

대각합은 닮음 불변량이다. 즉, 서로 닮음인 행렬들은 같은 대각합을 가진다. 임의의 n차 정사각행렬 A와 가역 행렬 P에 대하여 다음이 성립한다.

:\operatorname{tr}(P^{-1}AP)=\operatorname{tr}(A)

행렬의 대각합은 고윳값들의 합과 같다 (각 고윳값은 대수적 중복도만큼 더한다). 이는 대각합이 행렬의 특성 다항식의 계수 중 하나이기 때문이다.

:\operatorname{tr}(A)=\sum_{\lambda\in\sigma(A)}\lambda

(여기서 \sigma(A)는 A의 고윳값 집합을 나타낸다.)

곱의 순서에 불변인 성질(\operatorname{tr}(XY) = \operatorname{tr}(YX))을 만족하는 선형 범함수는 대각합의 스칼라배뿐이다. 이는 대각합의 중요한 특징 중 하나이다.[15]

3. 2. 행렬 곱의 대각합

임의의 m\times n 행렬 A 와 n\times m 행렬 B 에 대해, 두 행렬의 곱 AB 와 BA 의 대각합은 같다.

:\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)

이는 행렬 곱셈의 순서를 바꾸어도 그 결과 행렬의 대각합은 변하지 않음을 의미한다. 증명은 다음과 같다.

:\operatorname{tr}(AB) = \sum_{i=1}^m (AB)_{ii} = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n A_{ij} B_{ji} = \sum_{j=1}^n \sum_{i=1}^m B_{ji} A_{ij} = \sum_{j=1}^n (BA)_{jj} = \operatorname{tr}(BA)

이 성질은 행렬 곱 AB 와 BA 가 일반적으로 같지 않다는 점(AB \neq BA)과, 각 행렬의 대각합의 곱(\operatorname{tr}(A)\operatorname{tr}(B))이 곱의 대각합(\operatorname{tr}(AB))과 일반적으로 다르다는 점[6]에서 주목할 만하다.

대각합은 닮음 변환에 대해 불변량이다. 즉, 서로 닮음인 행렬은 같은 대각합을 가진다. 임의의 n차 정사각 행렬 A 와 가역 행렬 P 에 대해 다음이 성립한다.

:\operatorname{tr}(P^{-1}AP)=\operatorname{tr}(A)

이는 위에서 설명한 \operatorname{tr}(XY) = \operatorname{tr}(YX) 성질을 이용하여 다음과 같이 증명할 수 있다.

:\operatorname{tr}(P^{-1}AP)=\operatorname{tr}((P^{-1}A)P)=\operatorname{tr}(P(P^{-1}A))=\operatorname{tr}((PP^{-1})A)=\operatorname{tr}(IA) = \operatorname{tr}(A)

두 행렬 곱의 대각합은 각 행렬의 같은 위치에 있는 성분끼리 곱한 것들의 총합과 같다. 즉, 두 개의 m \times n 행렬 \mathbf{A} 와 \mathbf{B} 에 대해 전치 행렬을 이용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.



\operatorname{tr}\left(\mathbf{A}^\mathsf{T}\mathbf{B}\right) =

\operatorname{tr}\left(\mathbf{A}\mathbf{B}^\mathsf{T}\right) =

\operatorname{tr}\left(\mathbf{B}^\mathsf{T}\mathbf{A}\right) =

\operatorname{tr}\left(\mathbf{B}\mathbf{A}^\mathsf{T}\right) =

\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_{ij}b_{ij}



실수 행렬을 벡터화하여 길이 mn의 벡터로 간주하면, \operatorname{tr}(\mathbf{A}^\mathsf{T}\mathbf{B})는 두 벡터의 표준 내적과 같다. 이 내적을 프로베니우스 내적이라고 하며, 이로부터 프로베니우스 노름을 정의할 수 있다.[4][1][2][3][5] 프로베니우스 내적은 복소 행렬에 대해서도 복소 켤레를 이용하여 에르미트 내적으로 확장될 수 있다.

실수 열벡터 \mathbf{a}\in\mathbb{R}^n 및 \mathbf{b}\in\mathbb{R}^n 에 대해, 외적의 대각합은 내적과 같다.

\operatorname{tr}\left(\mathbf{b}\mathbf{a}^\mathsf{T}\right) = \mathbf{a}^\mathsf{T}\mathbf{b}

대각합의 \operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA) 성질은 여러 행렬의 곱으로 확장될 수 있다. 이를 순환 성질(cyclic property)이라고 하며, 곱하는 행렬들의 순서를 순환적으로 바꾸어도 대각합은 변하지 않는다. 예를 들어 네 행렬 \mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}, \mathbf{D} 의 곱의 대각합은 다음과 같이 순서를 순환적으로 바꾸어도 값이 같다.

\operatorname{tr}(\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{C}\mathbf{D}) = \operatorname{tr}(\mathbf{B}\mathbf{C}\mathbf{D}\mathbf{A}) = \operatorname{tr}(\mathbf{C}\mathbf{D}\mathbf{A}\mathbf{B}) = \operatorname{tr}(\mathbf{D}\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{C})

하지만 임의의 순열에 대해서 이 성질이 일반적으로 성립하지는 않는다. 예를 들어, 일반적으로 다음과 같다.

\operatorname{tr}(\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{C}) \ne \operatorname{tr}(\mathbf{A}\mathbf{C}\mathbf{B})

단, 곱해지는 행렬이 세 개의 대칭 행렬일 경우에는 특별히 어떤 순서로 곱해도 대각합이 같다. 즉, \mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C} 가 모두 대칭 행렬이면 다음이 성립한다.

\operatorname{tr}(\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{C}) = \operatorname{tr}(\mathbf{A}\mathbf{C}\mathbf{B})

이는 전치 행렬의 대각합이 원래 행렬의 대각합과 같다는 성질(\operatorname{tr}(X) = \operatorname{tr}(X^\mathsf{T}))과 대칭 행렬의 정의(X = X^\mathsf{T})를 이용하면 증명할 수 있다.

\operatorname{tr}(\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{C}) = \operatorname{tr}\left((\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{C})^{\mathsf T}\right) = \operatorname{tr}(\mathbf{C}^\mathsf{T} \mathbf{B}^\mathsf{T} \mathbf{A}^\mathsf{T}) = \operatorname{tr}(\mathbf{C}\mathbf{B}\mathbf{A})

여기서 순환 성질에 의해 \operatorname{tr}(\mathbf{C}\mathbf{B}\mathbf{A}) = \operatorname{tr}(\mathbf{A}\mathbf{C}\mathbf{B}) 이므로, 결국 \operatorname{tr}(\mathbf{A}\mathbf{B}\mathbf{C}) = \operatorname{tr}(\mathbf{A}\mathbf{C}\mathbf{B}) 가 된다. 이 성질은 행렬이 3개일 때만 해당하며, 3개보다 많은 대칭 행렬의 곱에 대해서는 일반적으로 성립하지 않는다.

3. 3. 크로네커 곱의 대각합

두 행렬의 크로네커 곱의 대각합은 각 대각합의 곱과 같다.

\operatorname{tr}(\mathbf{A} \otimes \mathbf{B}) = \operatorname{tr}(\mathbf{A})\operatorname{tr}(\mathbf{B}).

행렬식의 경우와 달리 일반적인 행렬 곱의 대각합은 각 대각합의 곱과 일치하지 않지만, 크로네커 곱(행렬의 텐서 곱)의 대각합은 각 대각합의 곱과 일치한다: \operatorname{tr}(X \otimes Y) = \operatorname{tr}(X)\operatorname{tr}(Y).

3. 4. 특성 다항식과의 관계

행렬의 대각합은 고윳값들의 합과 같다 (중복도를 고려).

:\operatorname{tr}(A)=\sum_{\lambda\in\sigma(A)}\lambda

또한, 대각합은 행렬의 특성 다항식의 계수와 밀접한 관련이 있다. n \times n 정사각 행렬 A의 특성 다항식 p_A(t) = \det(tI - A) 에서 t^{n-1} 항의 계수는 -\operatorname{tr}(A) 이다.

3. 5. 고윳값과의 관계

행렬의 대각합은 (대수적 중복도를 고려한) 고윳값들의 합과 같다. 이는 대각합이 행렬의 특성 다항식의 계수 중 하나이기 때문이다.

:\operatorname{tr}(A)=\sum_{\lambda\in\sigma(A)}\lambda

임의의 ''n'' × ''n'' 행렬 '''A'''에 대해, 만약 ''λ''1, ..., ''λn''이 '''A'''의 고윳값(대수적 중복도 포함)이라면 다음이 성립한다.

:\operatorname{tr}(\mathbf{A}) = \sum_{i=1}^n \lambda_i

이 성질은 '''A'''가 실수 행렬이고 일부 또는 전체 고윳값이 복소수일 때에도 성립한다. 이는 행렬 '''A'''가 항상 자신의 조르당 표준형과 닮음 행렬이며, 조르당 표준형은 주대각선에 고윳값 ''λ''1, ..., ''λ''n''을 갖는 상삼각 행렬이기 때문이다. 또한, 이는 앞서 언급된 대각합의 닮음 불변성과 관련이 있다.

참고로, 행렬식은 고윳값의 곱으로 표현된다.

:\det(\mathbf{A}) = \prod_i \lambda_i

이러한 대각합과 고윳값의 관계는 대수적으로 닫힌 체의 원소를 성분으로 갖는 모든 정사각 행렬에 대해서도 성립한다.

같은 원리로, 자연수 ''k''에 대해 다음이 성립한다.

:\operatorname{tr} A^k = \sum_{i=1}^n {\lambda_i}^k

3. 6. 교환자의 대각합

두 n × n 행렬 A와 B에 대해, 이들의 교환자 [A, B] = AB - BA의 대각합은 항상 0이다.

:\operatorname{tr}([A, B]) = \operatorname{tr}(AB - BA) = \operatorname{tr}(AB) - \operatorname{tr}(BA) = 0

이는 대각합 연산 \operatorname{tr}가 가지는 순환성(\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA))과 선형성에 따른 직접적인 결과이다.

이 성질은 대각합 연산 \operatorname{tr}가 리 대수 \mathfrak{gl}_n(K)(체 K 상의 n \times n 행렬들로 이루어진 일반 선형 리 대수)에서 스칼라 체 K로 가는 리 대수 사상임을 의미한다. 왜냐하면 스칼라들의 리 괄호는 항상 0이기 때문이다(스칼라는 아벨 리 대수를 이룬다).

특히, 대각합은 닮음 불변량이므로, 단위 행렬 I(대각합이 n으로 0이 아님)는 대각합이 0인 교환자 [A, B]와 닮음 행렬이 될 수 없다. 즉, 어떤 행렬 A, B와 가역 행렬 P에 대해서도 P^{-1}[A, B]P = I가 성립할 수 없다.

역으로, 대각합이 0인 모든 정사각 행렬은 다른 행렬 쌍들의 교환자들의 선형 결합으로 표현될 수 있다.[8] 또한, 대각합이 0인 모든 정사각 행렬은 주대각선 성분이 모두 0인 어떤 정사각 행렬과 유니타리 동치이다.

3. 7. 특수한 행렬의 대각합


  • n \times n 단위 행렬 \mathbf{I}_n의 대각합은 공간의 차원 n과 같다.

\operatorname{tr}(\mathbf{I}_n) = n

  • 에르미트 행렬의 대각합은 항상 실수이다. 이는 에르미트 행렬의 주대각선 성분이 모두 실수이기 때문이다.
  • 순열 행렬의 대각합은 해당 순열에서의 고정점의 개수와 같다. 주대각선 성분 a_{ii}는 i번째 원소가 순열에 의해 고정될 때 1이고, 그렇지 않으면 0이기 때문이다.
  • 투영 행렬 \mathbf{P}_\mathbf{X} = \mathbf{X}(\mathbf{X}^\mathsf{T} \mathbf{X})^{-1} \mathbf{X}^\mathsf{T}의 대각합은 투영 대상 공간의 차원, 즉 행렬의 계수와 같다.

\operatorname{tr}(\mathbf{P}_\mathbf{X}) = \operatorname{rank}(\mathbf{X})

  • 일반적으로, A^2 = A를 만족하는 모든 멱등 행렬 A의 대각합은 자신의 계수와 같다. 투영 행렬은 멱등 행렬의 한 예이다.
  • 멱영 행렬 A (즉, 어떤 자연수 k에 대해 A^k = \mathbf{0}인 행렬)의 대각합은 항상 0이다.
  • * 체의 표수가 0일 경우, 그 역도 성립한다. 즉, 모든 자연수 k \ge 1에 대해 \operatorname{tr}(A^k) = 0이면 A는 멱영 행렬이다.
  • * 그러나 표수가 n > 0인 경우, 역은 성립하지 않을 수 있다. 예를 들어, 표수 n인 체 위의 n \times n 단위 행렬 \mathbf{I}_n은 모든 k \ge 1에 대해 \operatorname{tr}(\mathbf{I}_n^k) = \operatorname{tr}(\mathbf{I}_n) = n \equiv 0 \pmod n이지만, 단위 행렬은 멱영 행렬이 아니다.
  • A가 대칭 행렬이고 B가 반대칭 행렬이면, \operatorname{tr}(AB) = 0이다.
  • 임의의 두 정사각 행렬 A, B에 대해, 그들의 교환자 [A, B] = AB - BA의 대각합은 0이다. 즉, \operatorname{tr}([A, B]) = \operatorname{tr}(AB - BA) = \operatorname{tr}(AB) - \operatorname{tr}(BA) = 0이다.

4. 선형 연산자의 대각합

유한 차원 벡터 공간 V 위의 선형 사상 f : V \to V가 주어졌을 때, 이 사상의 대각합은 f의 행렬 표현의 대각합을 이용하여 정의할 수 있다. 즉, V에 대한 기저를 선택하고 f를 이 기저에 대한 행렬로 나타낸 다음, 이 정사각 행렬의 대각합을 계산한다. 만약 다른 기저를 사용하면 원래 행렬과 닮은 행렬이 생성되는데, 닮은 행렬들은 같은 대각합을 가지므로 이 정의는 선택한 기저에 의존하지 않는다. 따라서 선형 사상의 대각합은 기저 선택과 무관하게 잘 정의된다.

대각합은 좌표를 사용하지 않고 정의할 수도 있다. 벡터 공간 V와 그 쌍대 공간 V^*의 텐서곱 V \otimes V^*는 선형 사상의 공간 \text{End}(V) (즉, V에서 V로 가는 모든 선형 사상의 집합)와 표준적으로 동형이다. 구체적으로, V^* \otimes V \to L(V,V)는 h \otimes v \mapsto (w \mapsto h(w)v)로 정의된다. 여기서 L(V,V)는 \text{End}(V)와 같은 공간이다.

또한, 표준적인 쌍선형 사상 t: V^* \times V \to F;\; t(w^*, v) = w^*(v) (여기서 F는 V의 스칼라 필드)가 존재한다. 텐서곱의 보편성에 의해 이 사상으로부터 선형 사상 \operatorname{tr}: V^* \otimes V \to F가 유도되는데, 이를 대각합(trace)이라고 부른다.

분해 불가능한 텐서 원소 v \otimes g (여기서 v \in V, g \in V^*)의 대각합은 g(v)로 정의된다. 임의의 텐서 원소의 대각합은 이 정의를 선형적으로 확장하여 얻어진다. 그러면 선형 사상 f : V \to V의 대각합은, 위에서 언급한 표준 동형 사상 V \otimes V^* \cong \text{End}(V) 에서 f에 해당하는 V \otimes V^*의 원소의 대각합으로 정의된다. V에 대한 특정 기저와 그에 대응하는 V^*의 쌍대 기저를 사용하면, 이 정의가 행렬 표현의 대각합과 동일한 값을 제공함을 보일 수 있다.

좌표를 사용하여 대각합을 정의할 수도 있다. 스칼라 필드 K 위의 벡터 공간 V 상의 선형 사상 f가 유한 차원의 상(image)을 가질 때, V의 유한 개의 원소 x_1, \dots, x_n과 쌍대 공간 V^*의 원소 y_1, \dots, y_n이 존재하여 모든 z \in V에 대해 f(z) = \sum_{i=1}^n y_i(z) x_i 와 같이 표현할 수 있다. 이때, 합 \sum_{i=1}^n y_i(x_i)는 x_1, \dots, x_n과 y_1, \dots, y_n의 선택에 의존하지 않고 오직 f에 의해서만 결정되는 값이며, 이를 f의 대각합(trace) 또는 지표(distribution character)라 하고 \operatorname{tr}(f)로 표기한다.

V가 유한 차원 벡터 공간일 경우, 기저 \{e_i\}와 그 쌍대 기저 \{e^j\}를 선택하면, 선형 사상 f를 나타내는 행렬 A의 (i, j)-성분 a_{ij}는 f를 e_i \otimes e^j들의 선형 결합으로 표현했을 때의 계수로 볼 수 있다. 즉, A = \sum_{i,j} a_{ij} \, e_i \otimes e^j로 쓸 수 있다. 이 표현을 사용하여 대각합을 계산하면 다음과 같다.

\operatorname{tr}(A) = \sum_{i,j} a_{ij} \operatorname{tr}(e_i \otimes e^j) = \sum_{i,j} a_{ij} e^j(e_i) = \sum_{i,j} a_{ij}\delta_{ij} = \sum_{i=1}^n a_{ii}

여기서 \delta_{ij}는 크로네커 델타이며, e^j(e_i) = \delta_{ij} 관계를 이용했다. 결과적으로 선형 사상의 대각합은 해당 사상을 나타내는 행렬의 대각 성분들의 합과 같다.

5. 수치 알고리즘

대각합은 허친슨 트릭으로 알려진 방법을 사용하여 편향 없이 추정할 수 있다.[9] 이 방법은 다음과 같이 설명된다. 임의의 행렬 W\in \R^{n\times n}와 기댓값 E[uu^T] = I (여기서 I는 항등행렬)를 만족하는 임의의 무작위 벡터 u\in \R^n가 주어졌을 때, E[u^T W u] = tr(W)가 성립한다. 여기서 tr(W)는 행렬 W의 대각합을 의미한다. 증명은 기댓값을 직접 전개하여 확인할 수 있다.

일반적으로 이 추정에 사용되는 무작위 벡터 u는 정규 분포 N(0, I) 또는 라데마허 분포 \{\pm n^{-1/2}\}^n에서 추출하여 사용한다.

허친슨 트릭 외에도 대각합을 추정하기 위한 더 정교한 확률적 방법들이 개발되어 있다.[10]

6. 응용

2x2 실수 행렬의 대각합이 0이면 그 제곱은 대각 행렬이 되는 성질이 있다.

또한 2 × 2 복소 행렬의 대각합은 뫼비우스 변환을 분류하는 데 유용하게 사용된다. 먼저 행렬을 정규화하여 행렬식을 1로 만든다. 그 다음, 대각합의 제곱(\operatorname{tr}^2) 값에 따라 변환의 종류를 다음과 같이 나눌 수 있다.


  • \operatorname{tr}^2 = 4 : 변환은 포물선형(parabolic)이다.
  • 0 \le \operatorname{tr}^2 < 4 : 변환은 타원형(elliptic)이다.
  • \operatorname{tr}^2 > 4 : 변환은 록소드롬형(loxodromic)이다.

더 자세한 분류 기준은 뫼비우스 변환 분류 문서를 참고할 수 있다.

군 표현론에서도 대각합이 활용된다. 만약 두 표현 A, B : G \to GL(V)가 군 G의 동일한 표현이라면, 군의 모든 원소 g \in G에 대해 각 표현에 해당하는 행렬의 대각합이 같다. 즉, \operatorname{tr}(A(g)) = \operatorname{tr}(B(g))가 성립한다.

이 외에도 대각합은 이차 형식의 분포를 분석하는 데 중요한 역할을 한다.

6. 1. 리 대수 (Lie Algebra)

대각합은 리 대수 \mathfrak{gl}_n에서 스칼라의 리 대수 K로 가는 사상 \operatorname{tr}:\mathfrak{gl}_n\to K으로 볼 수 있다. 여기서 \mathfrak{gl}_n은 체 K의 원소를 성분으로 가지는 n \times n 행렬들로 이루어진 리 대수이다. K는 아벨 군이므로 리 괄호 연산이 항상 0이 된다. 대각합이 리 대수 사상이라는 것은 임의의 두 행렬 \mathbf{A}, \mathbf{B} \in \mathfrak{gl}_n에 대해 리 괄호 [\mathbf{A}, \mathbf{B}] = \mathbf{A}\mathbf{B} - \mathbf{B}\mathbf{A}의 대각합이 0이라는 의미이다.

\operatorname{tr}([\mathbf{A}, \mathbf{B}]) = \operatorname{tr}(\mathbf{A}\mathbf{B} - \mathbf{B}\mathbf{A}) = \operatorname{tr}(\mathbf{A}\mathbf{B}) - \operatorname{tr}(\mathbf{B}\mathbf{A}) = 0

이는 \operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA) 성질로부터 직접 유도된다.

이 사상의 핵, 즉 대각합이 0인 행렬들의 집합은 '''무대각합 행렬'''(traceless matrix)이라고 불린다. 이 무대각합 행렬들은 단순 리 대수인 \mathfrak{sl}_n을 형성한다. \mathfrak{sl}_n은 행렬식이 1인 행렬들의 리 군인 특수 선형군 \operatorname{SL}_n의 리 대수이다. 특수 선형군 \operatorname{SL}_n의 원소들이 부피를 보존하는 변환인 것처럼, 그 리 대수인 \mathfrak{sl}_n의 원소들은 무한소적으로 부피를 보존하는 변환으로 해석될 수 있다.

리 대수 \mathfrak{gl}_n은 무대각합 행렬들의 리 대수 \mathfrak{sl}_n과 스칼라 행렬(c\mathbf{I} 형태의 행렬, \mathbf{I}는 단위 행렬)들의 리 대수 K의 직합으로 분해될 수 있다.

\mathfrak{gl}_n = \mathfrak{sl}_n \oplus K

여기서 스칼라 행렬 성분으로의 사영 사상은 대각합을 사용하여 다음과 같이 표현할 수 있다.

\mathbf{A} \mapsto \frac{1}{n}\operatorname{tr}(\mathbf{A})\mathbf{I}

이 관계는 단 완전열로도 표현할 수 있다.

0 \to \mathfrak{sl}_n \to \mathfrak{gl}_n \overset{\operatorname{tr}}{\to} K \to 0

이는 리 군에서의 단 완전열

1 \to \operatorname{SL}_n \to \operatorname{GL}_n \overset{\det}{\to} K^* \to 1

(여기서 K^*=K\setminus\{0\}는 0이 아닌 스칼라들의 곱셈군)과 유사하다. 그러나 리 대수의 경우 대각합 사상이 자연스럽게 분할되어(1/n배를 통해) \mathfrak{gl}_n=\mathfrak{sl}_n\oplus K라는 직합 분해가 가능하지만, 리 군의 경우 행렬식 사상은 일반적으로 분할되지 않아 일반 선형군 \operatorname{GL}_n은 \operatorname{SL}_n과 K^*의 직접곱으로 분해되지 않는다.

\operatorname{GL}_n \neq \operatorname{SL}_n \times K^*

대각합은 행렬식의 미분과 관련이 있다. 특히, 리 군 \operatorname{GL}_n에서의 행렬식 함수의 단위 행렬 \mathbf{I}에서의 미분은 리 대수 \mathfrak{gl}_n에서의 대각합 함수와 같다. 이는 야코비 공식으로 설명될 수 있다. 또한, 행렬 지수 함수를 통해 리 대수에서 리 군으로 대응시킬 때 다음 관계가 성립한다.

\det(\exp(A)) = \exp(\operatorname{tr}(A))

리 대수 연구에서는 다음과 같은 쌍선형 형식도 중요하다.

  • '''킬링 형식''': B(x,y) = \operatorname{tr}(\operatorname{ad}(x)\operatorname{ad}(y)), 여기서 \operatorname{ad}(x)y = [x,y]는 리 괄호이다. 킬링 형식은 리 대수의 분류에 사용된다.
  • '''대각합 쌍선형 형식''': (x, y) \mapsto \operatorname{tr}(xy). 이 형식은 대칭적이고 비퇴화적이며, \operatorname{tr}(x[y,z]) = \operatorname{tr}([x,y]z)를 만족하여 결합성을 가진다. 복소 단순 리 대수에서는 모든 불변 대칭 쌍선형 형식이 킬링 형식의 상수배이다.


두 행렬 x, y에 대해 \operatorname{tr}(xy) = 0일 때, 이 두 행렬은 '''대각합 직교'''(trace orthogonal)라고 한다.

6. 2. 쌍선형 형식 (Bilinear Forms)

대각합은 쌍선형 형식(Bilinear form)을 정의하는 데 사용될 수 있다. 두 정사각 행렬 \mathbf{X}, \mathbf{Y}에 대해 다음과 같은 형식을 정의할 수 있다.

(\mathbf{X}, \mathbf{Y}) \mapsto \operatorname{tr}(\mathbf{X}\mathbf{Y})

이 쌍선형 형식은 대칭적(symmetric)이고 비퇴화적(non-degenerate)이며, 다음과 같은 의미에서 결합적(associative)이다.

\operatorname{tr}(\mathbf{X}[\mathbf{Y}, \mathbf{Z}]) = \operatorname{tr}([\mathbf{X}, \mathbf{Y}]\mathbf{Z})

여기서 [\mathbf{X}, \mathbf{Y}] = \mathbf{X}\mathbf{Y} - \mathbf{Y}\mathbf{X}는 리 괄호를 나타낸다.

특히 리 대수(Lie algebra)의 분류에 사용되는 킬링 형식(Killing form)은 대각합을 이용하여 정의된다.

B(\mathbf{X}, \mathbf{Y}) = \operatorname{tr}(\operatorname{ad}(\mathbf{X})\operatorname{ad}(\mathbf{Y}))

여기서 \operatorname{ad}(\mathbf{X})\mathbf{Y} = [\mathbf{X}, \mathbf{Y}]는 리 대수의 딸림표현이다. 복소수 체 위의 단순 리 대수(예: \mathfrak{sl}_n)의 경우, 모든 불변 대칭 쌍선형 형식은 서로 비례하며, 특히 킬링 형식에 비례한다.

두 행렬 \mathbf{X}와 \mathbf{Y}가 다음 조건을 만족할 때 대각합 직교(trace orthogonal)라고 한다.

\operatorname{tr}(\mathbf{X}\mathbf{Y}) = 0

또한, 복소 m \times n 행렬 A에 대해, A^*를 A의 켤레 전치 행렬이라고 할 때, 다음이 성립한다.

\operatorname{tr}(A^* A) \ge 0

등호는 A = 0일 때만 성립한다. 이 성질을 이용하여 m \times n 행렬 공간 위에 다음과 같이 내적(inner product)을 정의할 수 있다.

\langle A, B\rangle = \operatorname{tr}(B^* A)

특히 실수 행렬 X, Y의 경우, 이 내적은 다음과 같이 표현된다.

\operatorname{tr}(X^{\top}Y) = \operatorname{tr}(XY^{\top}) = \operatorname{tr}(Y^{\top}X) = \operatorname{tr}(YX^{\top}) = \sum_{i,j}X_{ij}Y_{ij}

이는 각 성분별 곱의 합으로, 행렬을 벡터로 간주했을 때의 점 곱(dot product)과 같다. 이 내적에 대응하는 노름을 프로베니우스 노름(Frobenius norm)이라고 한다.

만약 A와 B가 같은 크기의 반양의 정부호(positive semi-definite) 행렬이면, 다음 부등식이 성립한다.

0 \leq \operatorname{tr}(A B)^2 \leq \operatorname{tr}(A^2) \operatorname{tr}(B^2) \leq \operatorname{tr}(A)^2 \operatorname{tr}(B)^2

참조

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[9] 간행물 A Stochastic Estimator of the Trace of the Influence Matrix for Laplacian Smoothing Splines http://www.tandfonli[...] 1989-01
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[12] 서적 Mathematical Methods in Quantum Mechanics American Mathematical Society 2014-10-30
[13] 간행물 Second-order approximation of dynamic models without the use of tensors
[14] 서적 Quantum groups Springer-Verlag
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