비선형 제어

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1. 개요
2. 비선형 시스템의 특징
3. 비선형 시스템의 해석 및 제어
- 3.1. 해석 기법
- 3.2. 제어 기법
4. 비선형 피드백 해석 - 루리에 문제
- 4.1. 절대 안정성 문제
  - 4.1.1. 포포프 판정법
5. 비선형 제어 이론
- 5.1. 프로베니우스 정리
참조

1. 개요

비선형 제어는 중첩의 원리를 따르지 않고, 리미트 사이클, 분기, 카오스와 같은 특징을 보이는 비선형 시스템을 제어하는 이론이다. 비선형 시스템은 여러 평형점을 가질 수 있으며, 해가 모든 시간에 대해 존재하지 않을 수도 있다. 비선형 시스템을 분석하고 제어하기 위해 묘사 함수, 위상 평면법, 랴푸노프 안정성 분석 등 다양한 기법이 사용되며, 이득 스케줄링, 피드백 선형화, 슬라이딩 모드 제어와 같은 제어 설계 기법도 존재한다. 루리에 문제는 비선형 피드백 시스템의 해석 문제로, 절대 안정성 문제와 관련이 있으며, 원 판정법과 포포프 판정법이 절대 안정성에 대한 충분 조건을 제시한다. 프로베니우스 정리는 비선형 제어에 적용되어 시스템의 적분 곡선이 다양체로 제한됨을 보여준다.

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비선형 제어
개요
분야	제어 이론
하위 분야	적응 제어 강인 제어 최적 제어
설명
정의	비선형 또는 시변계 시스템을 다루는 제어 이론의 한 분야
선형 시스템과의 차이점	비선형 시스템은 중첩의 원리를 따르지 않음 해석이 더 어려움
복잡성	수학적 분석 및 설계가 매우 복잡할 수 있음
분석 및 제어 기법
선형화	테일러 급수 확장을 통한 근사화 작은 영역에서만 유효
리아푸노프 안정성	시스템의 안정성 분석 리아푸노프 함수 사용
슬라이딩 모드 제어	시스템 궤적을 특정 표면으로 강제 강인한 제어 성능
백스테핑	재귀적 설계 방법 시스템의 안정화
적응 제어	시스템 파라미터의 추정 및 조정 불확실성에 대한 대처
모델 예측 제어 (MPC)	미래 예측 기반의 최적 제어 제약 조건 처리 용이
퍼지 제어	퍼지 논리 기반의 제어 인간의 경험적 지식 활용
주요 연구 분야
안정성 해석	비선형 시스템의 안정성 판별 랴푸노프 안정성 이론 활용
제어기 설계	원하는 성능을 달성하는 제어기 설계 다양한 제어 기법 적용
최적 제어	특정 성능 지표를 최적화하는 제어 입력 결정 변분법, 폰트랴긴의 최대 원리 사용
강인 제어	불확실성 하에서도 안정적인 성능 유지 H무한대 제어, μ-Synthesis
적응 제어	시스템의 변화에 적응하는 제어 파라미터 추정 및 제어기 조정
적용 분야
로봇 공학	로봇 팔, 이동 로봇 등의 제어
항공 우주	항공기, 우주선의 자세 제어 및 궤도 추적
자동차	자동 주행 시스템 차량 자세 제어
화학 공정	반응기, 증류탑 등의 공정 제어
생물학적 시스템	인공 심장, 약물 전달 시스템 등의 제어
관련 주제
수학적 도구	미분 기하학 미분 대수학 미분 위상수학
관련 개념	카르탄 운동 프레임 비홀로노믹 시스템 관측 가능성 평탄성
기타
추가 정보	비선형 시스템의 분석 및 설계는 어렵지만, 다양한 기법들이 개발되어 활용되고 있음 컴퓨터 기술의 발전으로 시뮬레이션 및 구현이 용이해짐
주의 사항	선형 시스템에 비해 더 많은 주의와 전문적인 지식이 필요함 시스템의 특성을 정확히 파악하는 것이 중요함

2. 비선형 시스템의 특징

비선형 시스템은 다음과 같은 특징을 갖는다.

중첩의 원리를 따르지 않는다.
여러 개의 고립된 평형점을 가질 수 있다.
리미트 사이클, 분기, 카오스와 같은 속성을 나타낼 수 있다.
유한 탈출 시간: 비선형 시스템의 해가 모든 시간에 대해 존재하지 않을 수 있다.

3. 비선형 시스템의 해석 및 제어

비선형 시스템은 중첩의 원리를 따르지 않고, 복수의 독립된 평형점을 가질 수 있으며, 제한 순환, 분기, 혼돈 등의 특징을 보인다. 일반적인 해법이 존재하지 않기 때문에, 비선형 시스템의 해석 및 제어를 위해 다양한 방법들이 연구되어 왔다.

비선형 피드백 시스템 분석에는 묘사 함수 방법, 위상 평면법, 랴푸노프 안정성 분석, 특이 섭동 방법, 포포프 기준과 원 기준, 센터 매니폴드 정리, 소득 정리, 수동성 분석 등이 사용된다.^[3]^[4]^[5]^[6]

제어 설계 기법으로는 제한된 범위에서 시스템을 선형으로 간주하는 이득 스케줄링, 보조 비선형 피드백을 이용하는 피드백 선형화가 있다. 알렉산드르 랴푸노프 기반의 랴푸노프 재설계, 제어-랴푸노프 함수, 비선형 감쇠, 백스테핑, 슬라이딩 모드 제어 등도 활용된다.

3. 1. 해석 기법

비선형 피드백 시스템을 분석하기 위해 개발된 기법은 다음과 같다.

묘사 함수 방법
위상 평면법
랴푸노프 안정성 분석
특이 섭동 방법
절대 안정성을 위한 포포프 기준과 원 기준
센터 매니폴드 정리
소득 정리
수동성 분석

3. 2. 제어 기법

비선형 시스템을 제어하기 위한 설계 기법은 여러 가지가 있다.

제한된 작동 범위에서 시스템을 선형 시스템으로 취급하여 제어하는 기법:
* 이득 스케줄링

보조 비선형 피드백을 도입하여 시스템을 선형 시스템으로 취급하고 제어 설계를 하는 기법:
* 피드백 선형화

랴푸노프 기반 제어 기법:
* 랴푸노프 재설계
* 제어-랴푸노프 함수
* 비선형 감쇠
* 백스테핑
* 슬라이딩 모드 제어

4. 비선형 피드백 해석 - 루리에 문제

아나톨리 이사코비치 루리에가 공식화한 초기 비선형 피드백 시스템 해석 문제는 루리에 문제로 불린다. 이 시스템은 선형 시불변 순방향 경로와 메모리가 없고, 시간 변화가 가능하며 정적인 비선형성을 포함하는 피드백 경로를 갖는다.

선형 부분은 4개의 행렬(''A'',''B'',''C'',''D'')로 특징지을 수 있으며, 비선형 부분은

\frac{\Phi(y)} y \in [a,b],\quad a

(섹터 비선형성)인 Φ(''y'')로 표현된다.^[2]

루리에 문제에서는 다음 두 가지 조건을 전제로 한다.

(A, B)는 제어 가능하고, (C, A)는 관측 가능하다.
함수 Φ의 섹터를 정의하기 위한 두 개의 실수 a, b에 대해 a < b

4. 1. 절대 안정성 문제
절대 안정성 문제는 전달 행렬 ''H''(''s'')와 {''a'',''b''}만 포함하는 조건, 즉 ''x'' = 0이 시스템의 전역적으로 균일한 점근적 안정 평형을 이루는 조건을 도출하는 것이다. 이 문제는 루리에 문제라고도 불린다.^[2]

초기에는 아이제르만의 추측과 칼만의 추측이 제시되었으나, 비선형성이 선형 안정성의 섹터에 속하고 고유한 안정 평형이 안정적인 주기 해와 공존하는 반례(은닉 진동)가 발견되어 기각되었다.^[2]

원 판정법과 포포프 판정법은 루리에 문제와 관련하여 절대 안정성에 대한 충분 조건을 제시하는 두 가지 주요 정리이다.

4. 1. 1. 포포프 판정법
포포프 판정법은 특정 조건을 만족하는 루리에 시스템의 전역 점근 안정성을 판별하는 방법이다. 포포프(Popov)가 연구한 루리에 시스템의 하위 클래스는 다음 식으로 표현된다.^[2]

: $\begin{matrix}\dot{x}&=&Ax+bu \\\dot{\xi}&=&u \\y&=&cx+d\xi \quad (1)\end{matrix}$

: $\begin{matrix} u = -\phi (y) \quad (2) \end{matrix}$

여기서 x ∈ Rⁿ 이고, ξ, u, y는 스칼라량이며, A, b, c, d는 동일한 차원이다. Φ: R → R은 '열린 섹터(open sector)' (0, ∞)에 속하는 시불변 비선형 요소이다. 이는 다음 식임을 의미한다.

:Φ(0) = 0, y Φ(y) > 0, ∀ y ≠ 0;

u에서 y까지의 전달 함수는 다음 식으로 주어진다.

: $H(s) = \frac{d}{s} + c(sI-A)^{-1}b \quad \quad$

'''정리:'''

위 (1)-(2)의 시스템에서 다음 조건을 가정한다.

# A는 후르비츠 행렬

# (A,b)는 제어 가능

# (A,c)는 관측 가능

# d > 0

# Φ ∈ (0,∞)

다음 식으로 나타내는 값 r>0이 존재하는 경우, 시스템은 전역적으로 점근 안정이라고 할 수 있다.

:inf_{ω ∈ R} Re[(1+jωr)h(jω)] > 0

포포프 조건은 자율 시스템에만 적용 가능하다.
포포프가 연구한 시스템은 원점에서 극을 가지며, 입력에서 출력까지 직접적인 경로가 없다.
비선형 Φ는 개방 섹터 조건을 만족해야 한다.

5. 비선형 제어 이론

비선형 역학계는 다음과 같은 특성을 갖는다.

중첩의 원리를 따르지 않는다.
복수의 독립된 평형점을 가질 수 있다.
제한 순환, 분기, 혼돈 등의 특징을 보인다.
일반적인 비선형계의 해법은 존재하지 않는다.

프로베니우스 정리는 미분 기하학의 심오한 결과이다.

5. 1. 프로베니우스 정리
프로베니우스 정리는 미분 기하학의 심오한 결과이다. 비선형 제어에 적용하면 다음과 같다.

: $\dot x = \sum_{i=1}^k f_i(x) u_i(t) \,$

위와 같은 형태의 시스템이 주어졌을 때, $x \in R^n$ , $f_1, \dots, f_k$ 는 분포 $\Delta$ 에 속하는 벡터장이고 $u_i(t)$ 는 제어 함수이다. $\operatorname{span}(\Delta) = m$ 이고 $\Delta$ 가 인볼루티브 분포이면 $x$ 의 적분 곡선은 $m$ 차원 다양체로 제한된다.

참조

_[1] 웹사이트 trim point http://www.mathworks[...]
_[2] 간행물 Revisiting Kalman and Aizerman Conjectures via a Graphical Interpretation 2019
_[3] 웹사이트 非線形制御理論 http://ysserve.wakas[...] 2013-10-26
_[4] 웹사이트 独学！機械設計者のための自動制御入門 https://monoist.itme[...] 2013-10-26
_[5] 웹사이트 1自由度系の非線形振動 http://mechanics.civ[...] 2013-10-26
_[6] 웹사이트 ロバスト制御理論講義ノート http://www.sd.te.chi[...] 2013-10-27
_[7] 웹사이트 速度傾斜アルゴリズムによる非線形離散時間系の局部帰還不働化 https://jglobal.jst.[...] 2013-10-27

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