분기 (동역학계)

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1. 개요
2. 분기의 종류
- 2.1. 국소적 분기
  - 2.1.1. 국소적 분기의 예
- 2.2. 대역적 분기
  - 2.2.1. 대역적 분기의 예
3. 분기의 코드차원
4. 준고전 및 양자 물리학에서의 응용
참조

1. 개요

분기(Bifurcation)는 동역학계에서 매개변수의 변화에 따라 시스템의 평형점, 주기 궤도 등 불변 집합의 질적 변화가 발생하는 현상이다. 분기는 국소적 분기와 대역적 분기로 나뉘며, 국소적 분기는 평형점의 안정성 변화를 통해, 대역적 분기는 시스템의 큰 불변 집합 간의 충돌을 통해 분석된다. 국소적 분기에는 안정 상태 분기, 호프 분기, 주기 배가 분기 등이 있으며, 대역적 분기에는 호모클리닉 분기, 헤테로클리닉 분기, 무한 주기 분기 등이 있다. 분기는 코드차원을 가지며, 양자 시스템과 고전 역학을 연결하는 데에도 응용된다.

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분기 (동역학계)
개요
분야	동역학계, 미분 방정식
연구 대상	매개변수의 작은 변화에 따른 시스템의 질적 또는 위상적 구조의 갑작스러운 변화
관련 개념	혼돈 이론, 특이점 이론, 재앙 이론
설명
정의	동역학계의 매개변수가 특정 값을 통과할 때 시스템의 질적 또는 위상적 구조에서 발생하는 변화.
예시	액체의 끓음 또는 응고 레이저의 발진 진자 시계의 갑작스러운 동작 변화
특징	시스템의 안정성이 변할 수 있다. 새로운 해가 나타나거나 기존의 해가 사라질 수 있다. 시스템의 복잡성이 증가하거나 감소할 수 있다.
분기 이론의 응용
물리학	유체 역학: 유체의 흐름 패턴 변화 (난류로의 전이) 광학: 레이저의 발진 고체 물리학: 결정 구조의 변화
화학	화학 반응: 반응 속도의 갑작스러운 변화 자기 조립: 분자 구조의 형성 패턴 변화
생물학	개체군 생태학: 개체군 크기의 변화 신경 과학: 뉴런 네트워크의 활동 패턴 변화 발생학: 세포 분화 과정의 변화
공학	구조 공학: 구조물의 안정성 변화 (좌굴) 제어 이론: 제어 시스템의 성능 변화
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분기 유형
안장-노드 분기 (Saddle-node bifurcation)	두 개의 고정점이 충돌하여 사라지거나 나타나는 분기 시스템의 안정성이 크게 변화
초임계 피치포크 분기 (Supercritical pitchfork bifurcation)	하나의 고정점이 세 개의 고정점으로 분기되는 현상 시스템의 안정성이 변화하고 새로운 안정 상태가 나타남
임계 피치포크 분기 (Subcritical pitchfork bifurcation)	하나의 고정점이 불안정해지고 두 개의 새로운 불안정 고정점이 나타나는 현상 히스테리시스 현상과 관련
호프 분기 (Hopf bifurcation)	고정점이 주기적인 궤도로 바뀌는 분기 시스템에서 진동이 발생
트랜스크리티컬 분기 (Transcritical bifurcation)	두 고정점이 서로 교환되는 분기 시스템의 안정성이 변화

2. 분기의 종류

분기는 크게 국소적 분기와 대역적 분기로 나눌 수 있다. 국소적 분기는 평형점의 존재 또는 부재와 관련이 있으며, 선형화 이론으로 분석할 수 있다. 반면 대역적 분기는 주기적 궤도 등과 관련되어 더 복잡하다.

분기는 다음과 같이 두 가지 주요 종류로 나뉜다.

국소적 분기: 평형점, 주기 궤도 등의 국소 안정성 변화를 통해 분석 가능하다.
대역적 분기: 시스템의 큰 불변 집합이 서로 또는 평형과 '충돌'할 때 발생하며, 평형의 안정성 분석만으로는 감지할 수 없다.

구체적인 분기의 종류는 다음과 같다.

안장점 분기
전이 임계점 분기
피치포크 분기
홉 분기
주기 배가 분기
무한 주기 분기
호모클리닉 분기
헤테로클리닉 분기

2. 1. 국소적 분기

국소적 분기는 매개변수 변화에 따라 평형점(또는 고정점)의 안정성이 변하는 현상이다. 연속 시스템에서는 야코비 행렬의 고윳값 실수부가 0을 통과할 때, 이산 시스템에서는 야코비 행렬의 고윳값 절댓값이 1일 때 발생한다.^[16]

연속 동역학계에서 야코비 행렬의 고윳값이 0이면 '''안정 상태 분기'''가, 0이 아닌 허수이면 '''호프 분기'''가 나타난다. 이산 동역학계에서는 고윳값의 절댓값이 1일 때 분기가 일어나는데, 고윳값이 1이면 '''안정 상태 분기''',

\exp(\pm i\theta)

(

\theta\ne0,\pi

) 형태이면 '''호프 분기''', -1이면 '''주기배가 분기'''가 발생한다.^[16] 주기배가 분기는 연속 시간 동역학계에서는 나타나지 않는 분기이다.

2. 1. 1. 국소적 분기의 예

안장-노드 분기 (폴드 분기)
초월임계 분기
갈림길 분기
주기 배가 분기 (플립 분기)

호프 분기
Neimark–Sacker 분기 (2차 호프 분기)
안장점 분기
전이 임계점 분기
피치포크 분기
무한 주기 분기
호모클리닉 분기
헤테로클리닉 분기

2. 2. 대역적 분기

'''대역적 분기'''(global bifurcation^영어)는 주기 궤도나 극한 주기 궤도, 끌개 등이 한 개 이상의 안정점과 충돌할 때 일어나는 현상이다. 이는 위상 공간에서 궤적의 위상 기하학에 변화를 일으키며, 국소 분기와 달리 작은 근방으로 제한되지 않고 넓은 범위에서 나타난다.

2차원에서의 호모클라인 분기 전, 분기 시, 분기 후의 위상 초상. 주기 궤도는 안장점과 충돌할 때까지 증가한다. 분기점에서 주기 궤도의 주기는 무한대로 증가했으며, 이는 호모클라인 궤도가 된다. 분기 후에는 더 이상 주기 궤도가 없다. '''왼쪽 패널''': 작은 매개변수 값의 경우 원점에 안장점이 있고, 제1사분면에 리미트 사이클이 있다. '''중간 패널''': 분기 매개변수가 증가함에 따라 리미트 사이클은 정확히 안장점과 교차할 때까지 증가하여 무한 지속 시간의 궤도를 생성한다. '''오른쪽 패널''': 분기 매개변수가 더 증가하면 리미트 사이클은 완전히 사라진다.

2. 2. 1. 대역적 분기의 예

전역 분기는 주기 궤도와 같은 '더 큰' 불변 집합이 평형점과 충돌할 때 발생한다. 이는 위상 공간에서 궤적의 위상 기하학에 변화를 일으키며, 국소 분기와 같이 작은 근방으로 제한될 수 없다. 실제로 위상 기하학의 변화는 임의로 큰 거리까지 확장된다(따라서 '전역'이라 부른다).

전역 분기의 예는 다음과 같다.

'''호모클라인 분기'''는 리미트 사이클이 안장점과 충돌하는 경우이다.^[3] 호모클라인 분기는 초임계 또는 아임계적으로 발생할 수 있다. 2차원에서는 안장의 불안정 및 안정 매니폴드의 다른 끝을 "가두는" 호모클라인 궤도가 있는 "큰" 또는 "유형 II" 호모클라인 분기도 있다. 3차원 이상에서는 더 높은 코차원 분기가 발생하여 복잡하고, 혼돈적인 동역학을 생성할 수 있다.

'''헤테로클라인 분기'''는 리미트 사이클이 두 개 이상의 안장점과 충돌하는 경우이며, 이들은 헤테로클라인 사이클을 포함한다.^[4] 헤테로클라인 분기는 공명 분기와 횡단 분기의 두 가지 유형이 있다. 두 유형의 분기 모두 헤테로클라인 사이클의 안정성을 변화시킨다. 공명 분기에서는 사이클 내 평형점의 고유값에 대한 대수적 조건이 충족될 때 사이클의 안정성이 변경된다. 이것은 일반적으로 주기 궤도의 생성 또는 소멸과 동반된다. 헤테로클라인 사이클의 횡단 분기는 사이클 내 평형점 중 하나의 횡단 고유값의 실수부가 0을 통과할 때 발생한다. 이것은 또한 헤테로클라인 사이클의 안정성을 변화시킨다.
'''무한 주기 분기'''는 안정 노드와 안장점이 리미트 사이클에서 동시에 발생하는 경우이다.^[5] 매개변수의 극한이 특정 임계 값에 접근함에 따라 진동 속도가 느려지고 주기가 무한대에 접근한다. 무한 주기 분기는 이 임계 값에서 발생한다. 임계 값을 넘어서면 두 고정점이 리미트 사이클에서 서로 연속적으로 나타나 진동을 방해하고 두 개의 안장점을 형성한다.
'''블루 스카이 참사'''는 리미트 사이클이 비쌍곡선 사이클과 충돌하는 경우이다.

전역 분기는 혼돈적 어트랙터와 같이 더 복잡한 집합을 포함할 수도 있다(예: 위기).

3. 분기의 코드차원

분기의 코드차원은 분기가 발생하기 위해 변경해야 하는 매개변수의 수이다. 이는 분기가 발생하는 전체 매개변수 공간 내에서 분기가 발생하는 매개변수 집합의 코드차원에 해당한다. 새들노드 분기와 호프 분기는 실제로 코드차원이 1인 유일한 일반적인 국소 분기이다(다른 분기들은 모두 더 높은 코드차원을 가짐). 그러나 초임계 분기와 피치포크 분기도 정규형이 매개변수 하나만 사용하여 작성될 수 있기 때문에 종종 코드차원이 1인 것으로 간주된다.

잘 연구된 코드차원 2 분기의 예로는 보그다노프-타켄스 분기가 있다.

4. 준고전 및 양자 물리학에서의 응용

분기 이론은 원자 시스템, 분자 시스템 및 공진 터널 다이오드에서 양자 시스템을 고전적 유사체의 역학에 연결하는 데 적용되어 왔다.^[6]^[7]^[8]^[9]^[10] 분기 이론은 또한 레이저 동역학 연구와 킥 탑,^[12] 및 결합된 양자 우물^[13]과 같이 실험적으로 접근하기 어려운 많은 이론적 예에 적용되었다.^[11] 양자 시스템과 고전 운동 방정식의 분기점 사이의 연관성의 주요 이유는 마틴 구츠빌러가 양자 혼돈에 관한 그의 고전적인 연구^[14]^[15]에서 지적했듯이 분기점에서 고전 궤도의 특징이 커지기 때문이다. 안장 노드 분기, 호프 분기, 배꼽 분기, 주기 배가 분기, 재연결 분기, 접선 분기 및 첨점 분기를 포함하여 고전 역학과 양자 역학 사이의 연결과 관련하여 많은 종류의 분기가 연구되었다.

참조

_[1] 서적 Differential Equations Thompson
_[2] 논문 "L'Équilibre d'une masse fluide animée d'un mouvement de rotation" 1885-09
_[3] 서적 Nonlinear Dynamics and Chaos Addison-Wesley 1994
_[4] 서적 Bifurcation Theory and Methods of Dynamical Systems World Scientific
_[5] 간행물 Infinite Period Bifurcation and Global Bifurcation Branches 1981-08
_[6] 저널 Quantum manifestations of bifurcations of closed orbits in the photoabsorption spectra of atoms in electric fields https://scholarworks[...]
_[7] 저널 Quantum Manifestations of Bifurcations of Classical Orbits: An Exactly Solvable Model
_[8] 저널 Closed Orbit Bifurcations in Continuum Stark Spectra https://scholarworks[...]
_[9] 저널 Bifurcation diagrams of periodic orbits for unbound molecular systems: FH2
_[10] 저널 Quantum Wells in Tilted Fields:Semiclassical Amplitudes and Phase Coherence Times
_[11] 저널 The dynamical complexity of optically injected semiconductor lasers
_[12] 저널 Quantum entanglement dependence on bifurcations and scars in non-autonomous systems. The case of quantum kicked top
_[13] 저널 Chaos in a Mean Field Model of Coupled Quantum Wells; Bifurcations of Periodic Orbits in a Symmetric Hamiltonian System
_[14] 저널 Beyond quantum mechanics: Insights from the work of Martin Gutzwiller
_[15] 서적 Chaos in Classical and Quantum Mechanics Springer-Verlag
_[16] 저널 Introduction to bifurcation theory http://aristote.obsp[...] 1991-10-01

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