랴푸노프 안정성

3. 랴푸노프 함수

동역학계의 평형점의 안정 여부는 '''랴푸노프 함수'''(Lyapunov function^영어)라는 함수를 찾아 증명할 수 있다.^[23]

동역학계 $\backslash dot\; x\; =\; f(x)$의 평형점이 $x\_e\; =\; 0$이라고 가정하자. 그리고 $\backslash mathcal\{D\}\; \backslash subseteq\; \backslash mathbb\{R\}^\{n\}$을 $x=0$을 포함하는 정의역으로 두자. 다음과 같은 조건을 만족하는, 도함수가 연속인 함수 $V\; \backslash colon\; \backslash mathcal\; D\; \backslash to\; \backslash mathbb\{R\}$을 고려할 수 있다.

:$V(0)=\; 0\; \backslash text\{\; and\; \}\; V(x)>0,\backslash ,\; \backslash forall\; x\; \backslash in\; \backslash mathcal\; D\backslash setminus\backslash \{0\backslash \}$ (함수 값은 평형점에서 0이고, 그 외의 모든 점에서는 양수이다)

:$\backslash dot\; V(x)\; =\; \backslash frac\{d\}\{dt\}V(x)\; \backslash le\; 0\backslash ;\backslash forall\; x\; \backslash in\; \backslash mathcal\; D$ (함수의 시간에 대한 변화율(미분)은 0보다 작거나 같다)

위 두 조건을 만족하는 함수 $V$가 존재하면, 평형점 $x=0$은 랴푸노프 안정하다고 한다. 만약 두 번째 조건이 더 강하게 (평형점을 제외한 모든 점에서 시간에 대한 변화율이 0보다 작다)을 만족하면, $x=0$은 점근적으로 안정하다고 한다. 이러한 함수 $V$를 '''랴푸노프 함수'''라고 부른다.

랴푸노프는 1892년 그의 연구에서 안정성을 증명하는 두 가지 방법을 제안했다.^[1] 첫 번째 방법은 해를 급수로 전개하여 제한된 범위 내에서 수렴함을 증명하는 것이고, 두 번째 방법은 현재 랴푸노프 안정성 기준 또는 직접법이라고 불리며, 고전 역학의 포텐셜 함수와 유사한 랴푸노프 함수 $V(x)$를 사용하는 방식이다.

평형점이 $x=0$인 시스템 $\backslash dot\{x\}\; =\; f(x)$에 대해 랴푸노프 함수 $V\; :\; \backslash mathbb\{R\}^n\; \backslash rightarrow\; \backslash mathbb\{R\}$는 다음과 같은 성질을 만족해야 한다.

• $V(x)=0$은 오직 $x=0$일 때만 성립한다.
• $V(x)>0$은 오직 $x\; \backslash ne\; 0$일 때만 성립한다.
• $\backslash dot\{V\}(x)\; =\; \backslash frac\{d\}\{dt\}V(x)\; =\; \backslash sum\_\{i=1\}^n\backslash frac\{\backslash partial\; V\}\{\backslash partial\; x\_i\}f\_i(x)\; =\; \backslash nabla\; V\; \backslash cdot\; f(x)\; \backslash le\; 0$ 모든 $x\backslash ne\; 0$에 대해 성립한다. (점근적 안정성을 위해서는 $x\; \backslash ne\; 0$에 대해 이어야 한다.)

4. 이산 시간 시스템

이산 시간 시스템에 대한 안정성 정의는 연속 시간 시스템의 정의와 거의 동일하다. 수학적인 관점에서 정의는 다음과 같다.

(''X'', ''d'')를 거리 공간이라 하고, ''f'' : ''X'' → ''X''를 연속 함수라고 하자. ''X'' 안의 한 점 ''x''가 다음 조건을 만족할 때 랴푸노프 안정(Lyapunov stable^영어)이라고 한다.

:

이는 어떤 점 ''x'' 주변의 작은 영역(반경 δ)에서 시작한 다른 점 ''y''들의 궤적(''f''ⁿ(''y''))이 시간이 지나도(''n'' ∈ N) 여전히 ''x''의 궤적(''f''ⁿ(''x'')) 주변의 특정 영역(반경 ε) 안에 머무른다는 의미이다.

점 ''x''가 그 안정 집합의 내부에 있을 때, 즉 다음 조건을 만족할 때 점근 안정(asymptotically stable^영어)이라고 한다.

:

이는 점 ''x'' 주변의 특정 영역(반경 δ)에서 시작한 다른 점 ''y''들의 궤적이 시간이 무한히 흘렀을 때(''n''→∞) 결국 ''x''의 궤적으로 수렴한다는 것을 의미한다.

5. 선형 시스템

선형 상태 공간 모델은 다음과 같이 표현된다.

:$\backslash dot\{\backslash textbf\{x\}\}\; =\; A\backslash textbf\{x\}$

여기서 $A$는 유한한 행렬이며, $A$의 모든 고유값의 실수 부분이 음수이면 시스템은 점근적으로 안정적이다. 이는 지수적으로 안정적인 것과 같다. 이 조건은 다음 조건과 동일하다.^[12]

:$A^\backslash textsf\{T\}M\; +\; MA$

위 식이 어떤 양의 정부호인 대칭 행렬 $M\; =\; M^\backslash textsf\{T\}$에 대해 음의 정부호가 되는 것과 같다. (관련 랴푸노프 함수는 $V(x)\; =\; x^\backslash textsf\{T\}Mx$이다.)

이와 유사하게, 이산 시간 선형 상태 공간 모델은 다음과 같다.

:$\backslash textbf\{x\}\_\{t+1\}\; =\; A\backslash textbf\{x\}\_t$

이 시스템은 $A$의 모든 고유값의 절댓값이 1보다 작으면 점근적으로 안정적(사실상 지수적으로 안정적)이다.

이 조건은 스위칭 시스템으로 일반화될 수 있다. 행렬 집합 $\backslash \{A\_1,\; \backslash dots,\; A\_m\backslash \}$에 의해 제어되는 선형 스위칭 이산 시간 시스템은 다음과 같다.

:$\{\backslash textbf\{x\}\_\{t+1\}\}\; =\; A\_\{i\_t\}\backslash textbf\{x\}\_t,\backslash quad\; A\_\{i\_t\}\; \backslash in\; \backslash \{A\_1,\; \backslash dots,\; A\_m\backslash \}$

이 시스템은 집합 $\backslash \{A\_1,\; \backslash dots,\; A\_m\backslash \}$의 합동 스펙트럼 반경이 1보다 작으면 점근적으로 안정적(사실상 지수적으로 안정적)이다.

6. 입력-상태 안정성

입력(또는 제어)이 있는 시스템은 다음과 같은 형식으로 표현된다.

:$\backslash dot\{\backslash textbf\{x\}\}\; =\; \backslash textbf\{f\}(\backslash textbf\{x\},\; \backslash textbf\{u\})$

여기서 입력 `u(t)`는 일반적으로 시간에 따라 변하는 값으로, '제어', '외부 입력', '자극', '교란' 또는 '강제 함수' 등으로 볼 수 있다. 랴푸노프 안정성을 만족하는 평형점 근처의 시스템은 작은 교란이 있더라도 안정성을 유지하는 경향이 있다.^[13] 그러나 입력 교란이 더 커지는 경우, 이러한 시스템의 안정성을 분석하는 것은 제어 이론의 주요 주제이며 제어 공학 분야에서 중요하게 다루어진다.

입력이 있는 시스템에서는 시스템의 안정성에 입력이 미치는 영향을 정량적으로 파악하는 것이 중요하다. 이를 위한 주요 분석 방법으로는 선형 시스템에 주로 적용되는 BIBO 안정성(Bounded-Input, Bounded-Output stability)과 비선형 시스템에 적용되는 입력-상태 안정성(Input-to-State Stability, ISS)이 있다. 특히 입력-상태 안정성은 외부 입력이 시스템의 안정성에 미치는 영향을 정량화하는 데 중점을 둔다.

7. 역사

랴푸노프 안정성은 러시아의 수학자 알렉산드르 랴푸노프의 이름을 따서 명명되었다. 랴푸노프는 1892년 하르코프 대학교에서 발표한 박사 학위 논문 《운동의 안정성에 관한 일반적 문제》^[24][1]에서 비선형 동역학계의 안정성을 분석하는 전역적 접근 방식을 처음으로 제시하며, 평형점 근처에서의 선형화 방법을 다루었다. 그의 연구는 처음 러시아어로 출판되었고 이후 프랑스어로 번역되었으나, 오랫동안 학계의 주목을 받지 못하였다.^[24] 랴푸노프 자신은 천문학 분야, 특히 회전하는 유체 덩어리의 안정성에 관심을 두었으며, 안정성 이론 분야의 후속 연구자를 양성하지 못했다. 그는 1918년 생을 마감했다.

수십 년간 잊혔던 랴푸노프의 이론은 1930년대 러시아-소련의 수학자이자 역학자인 니콜라이 구리예비치 체타예프에 의해 그 중요성이 재발견되었다. 체타예프는 랴푸노프 이론에 중요한 기여를 했으며^[2], 많은 학자들은 그를 랴푸노프의 직접적인 학문적 후계자로 여긴다.

랴푸노프 이론은 냉전 시대에 들어서면서 다시 주목받기 시작했다. 특히 항공우주 유도 시스템의 안정성 분석에 랴푸노프의 제2 방법(랴푸노프 함수)이 매우 유용하다는 사실이 밝혀졌기 때문이다. 이러한 시스템들은 강한 비선형성을 가지는 경우가 많아 다른 방법으로는 분석하기 어려웠다.^{[25][26][27][28][3][4][5][6][7]} 이후 랴푸노프 안정성 이론은 제어 이론 및 동역학계 분야에서 활발히 연구되고 응용되었다.

최근에는 랴푸노프의 제1 방법과 관련된 랴푸노프 지수가 혼돈 이론 연구에서 중요한 개념으로 활용되고 있다.^{[25][26][27][28]} 또한, 랴푸노프 안정성 방법은 교통 할당 문제에서 평형 해를 찾는 데에도 적용되고 있다.^[8]

8. 응용

랴푸노프 안정성 이론은 1892년 알렉산드르 미하일로비치 랴푸노프가 발표했지만^[1], 처음에는 러시아와 프랑스 외에는 거의 주목받지 못했다. 랴푸노프 자신도 천문학 외 분야에는 이 이론을 적용하지 않았고, 그의 연구를 계승한 제자도 없었으며, 1918년 자살로 인해 그의 운명은 매우 비극적이었다. 이로 인해 그의 이론은 수십 년 동안 잊혔다. 1930년대에 이르러서야 러시아의 수학자 니콜라이 구리예비치 체타예프가 랴푸노프 이론의 중요성을 재발견하고 연구를 이어갔다.^[2]

랴푸노프 안정성 이론이 본격적으로 주목받기 시작한 것은 냉전 시대였다. 특히 항공우주 분야에서 유도 시스템의 안정성을 분석하는 데 강력한 비선형성을 다룰 수 있는 랴푸노프의 방법(특히 "랴푸노프의 두 번째 방법")이 매우 유용하다는 것이 밝혀지면서 관심이 급증했다. 이후 제어 이론 및 시스템 공학 분야 전반에서 랴푸노프 안정성은 중요한 분석 도구로 자리 잡았으며, 관련 연구와 출판물이 크게 늘어났다.^{[3][4][5][6][7]}

최근에는 카오스 이론 연구가 활발해지면서 혼돈 현상의 예측 불가능성을 측정하는 랴푸노프 지수 개념(랴푸노프의 첫 번째 방법과 관련됨)이 널리 활용되고 있다. 또한, 교통 공학 분야에서 교통 흐름의 평형 상태를 분석하고 예측하는 데 랴푸노프 안정성 방법이 응용되기도 한다.^[8]

9. Barbalat의 보조정리

랴푸노프 안정성 기준에서 요구하는 음의 정부호 도함수()를 갖는 랴푸노프 함수를 찾는 것은 어려울 수 있다. 때로는 도함수 $\backslash dot\{V\}$가 음의 준정부호($\backslash dot\{V\}\; \backslash le\; 0$)인 함수 $V$를 사용하는 것이 더 용이할 수 있다. 자율 시스템의 경우, 라살의 불변성 원리를 적용하여 점근적 안정성을 증명할 수 있다. 그러나 시스템의 동역학이 시간에 따라 변하는 비자율 시스템에는 이 원리를 직접 적용하기 어렵다.^[14]

Barbalat의 보조정리는 이러한 비자율 시스템의 안정성을 분석하는 데 유용한 도구를 제공한다. 즉, 랴푸노프 함수의 시간 미분($\backslash dot\{V\}$)이 음의 준정부호인 경우에도 시스템의 점근적 안정성을 판별할 수 있게 해준다. 이 보조정리는 함수와 그 도함수의 극한 관계에 대한 다음 관찰에서 동기를 얻었다. 시간 $t$의 함수 $f(t)$에 대해:

• $\backslash dot\{f\}(t)\; \backslash to\; 0$이라고 해서 $t\backslash to\backslash infty$일 때 $f(t)$가 반드시 특정 극한값으로 수렴하는 것은 아니다. (예: $f(t)=\backslash sin(\backslash ln(t)),\backslash ;\; t>0$)
• $t\; \backslash to\; \backslash infty$일 때 $f(t)$가 극한값으로 수렴한다고 해서 반드시 $\backslash dot\{f\}(t)\; \backslash to\; 0$인 것은 아니다. (예: $f(t)=\backslash sin\backslash left(t^2\backslash right)/t,\backslash ;\; t>0$)
• $f(t)$가 아래로 유계이고 감소 함수($\backslash dot\{f\}\backslash le\; 0$)이면 극한값으로 수렴하지만, $t\; \backslash to\; \backslash infty$일 때 $\backslash dot\{f\}(t)$가 0으로 수렴하는지는 알 수 없다.

참조

_[1] 논문 The General Problem of the Stability of Motion Univ. Kharkiv 1892
_[2] 간행물 On stable trajectories of dynamics 1936
_[3] 서적 Устойчивость нелинейных регулируемых систем Gostekhizdat
_[4] 논문 Control System Analysis and Design Via the "Second Method" of Lyapunov: I—Continuous-Time Systems
_[5] 서적 Stability by Lyapunov's Second Method with Applications Academic Press
_[6] 논문 Liapunov's method in automatic control theory
_[7] 논문 Lyapunov functions for the problem of Lur'e in automatic control
_[8] 논문 A continuous day-to-day traffic assignment model and the existence of a continuous dynamic user equilibrium
_[9] 서적 Stability of Motion https://doi.org/10.1[...] Springer 1967
_[10] 서적 (In-)Stability of Differential Inclusions: Notions, Equivalences, and Lyapunov-like Characterizations https://doi.org/10.1[...] Springer 2021
_[11] 논문 The inadequacy of the method of characteristic exponents for the study of nonlinear differential equations http://www.mathnet.r[...] 1957
_[12] 논문 Global stability in many-species systems 1977
_[13] 서적 Theory of Stability of Motion Gostekhizdat 1952
_[14] 서적 Applied Nonlinear Control Prentice Hall
_[15] 간행물 Systèmes d'équations différentielles d'oscillations non Linéaires
_[16] 간행물 Variations on Barbălat's Lemma
_[17] 간행물 Variations on Barbălat's Lemma
_[18] 서적 非線形の力学系とカオス（上） シュプリンガー・フェアラーク東京
_[19] 서적 カオス　第2巻　力学系入門 丸善出版
_[20] 서적 力学系入門　原著第2版―微分方程式からカオスまで 共立出版
_[21] 서적 力学系2 岩波書店
_[22] 서적 カオス現象論 コロナ社
_[23] 서적 http://www.egr.msu.e[...]
_[24] 저널
_[25] 서적
_[26] 저널
_[27] 서적
_[28] 저널