생산함수

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1. 개요
2. 생산 함수의 정의와 기본 개념
- 2.1. 생산 함수의 수학적 표현
- 2.2. 생산 함수의 그래프 표현
3. 생산 함수의 종류와 특징
4. 생산 함수의 주요 개념
5. 생산 함수 이론에 대한 비판
참조

1. 개요

생산 함수는 경제학에서 주어진 투입 요소(노동, 자본 등)의 조합으로 얻을 수 있는 최대 생산량을 나타내는 함수이다. 생산 함수는 투입량과 산출량 간의 관계를 비화폐적으로 표현하며, 기업의 생산 결정, 자원 배분 효율성 분석, 소득 분배 분석 등에 활용된다. 생산 함수는 수학적 형태로 표현되며, 콥-더글러스 생산 함수, 레온티예프 생산 함수, CES 생산 함수 등 다양한 종류가 있다. 생산 함수의 주요 개념으로는 한계 생산력, 규모의 경제, 등량곡선 등이 있으며, 자본 개념, 실증적 관련성, 천연자원 문제 등에 대한 비판도 존재한다.

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수확 체감은 생산 요소 투입 증가에 따라 한계 생산량이 감소하는 현상으로, 농업에서 중요하게 다루어졌으며 기술 발전에 따라 단기적으로 나타나기도 한다.
생산경제학 - 경제잠재력

생산함수
개요
유형	경제학적 개념
하위 분야	미시경제학
정의
정의	생산 요소의 투입량과 산출량 간의 관계를 나타내는 함수
설명	생산량은 하나 이상의 투입 요소의 함수로 표현됨 투입 요소에는 자본, 노동, 토지 등이 포함됨 생산 함수는 주어진 기술 수준에서 가능한 최대 생산량을 나타냄
수식
기본 형태	Q = f(L, K)
Q	생산량
f	함수
L	노동 투입량
K	자본 투입량
특징
한계 생산	노동의 한계 생산 (MPL): 노동 투입량 1단위 증가 시 추가되는 생산량 자본의 한계 생산 (MPK): 자본 투입량 1단위 증가 시 추가되는 생산량
규모의 경제	투입 요소 증가율에 따른 생산량 증가율
기술 진보	동일한 투입 요소로 더 많은 생산량을 얻을 수 있게 되는 현상
응용
경제 성장 모델	솔로우 성장 모형 등에서 경제 성장의 요인을 분석하는 데 사용됨
기업 생산성 분석	기업의 효율성을 측정하고 개선하는 데 활용됨
정책 결정	정부 정책의 효과를 예측하고 평가하는 데 사용됨
관련 개념
비용 함수	생산량과 생산 비용 간의 관계를 나타내는 함수
이윤 함수	생산량과 이윤 간의 관계를 나타내는 함수
효용 함수	소비자의 만족도를 나타내는 함수

2. 생산 함수의 정의와 기본 개념

생산 함수는 주어진 생산 요소(노동, 자본, 토지, 원자재 등)를 사용하여 생산할 수 있는 최대 생산량을 나타내는 함수이다. 이는 기술 수준을 외생적으로 주어져 있다고 가정하며, 투입 요소와 산출량 간의 물리적 관계를 나타낸다.^[2] 생산 함수는 경제학에서 자원 배분 효율성, 한계 생산성, 소득 분배 등을 분석하는 데 중요한 역할을 한다.

생산 함수는 주어진 투입량 집합에서 얻을 수 있는 ''최대'' 생산량을 명시하는 것으로 가정한다. 이는 생산 함수가 각 가능한 투입량 조합에서 얻을 수 있는 생산량의 한계를 나타내는 경계 또는 프런티어를 설명한다는 것을 의미한다.

생산에 관한 경제적 선택을 하고 생산량과 투입량에 대한 시장 가격에 직면한 기업의 의사 결정 틀에서, 생산 함수는 외생적인 기술이 제공하는 가능성을 나타낸다. 완전 경쟁 시장에서 이윤을 극대화하는 기업은 추가 투입의 한계 비용이 추가 생산량의 한계 생산량과 일치하는 지점까지 투입을 추가한다. 이는 생산에서 생성된 소득을 각 투입 생산 요소에 따른 소득으로 이상적으로 분배하는 것을 의미하며, 이는 각 투입의 한계 생산량과 같다.

생산 함수의 투입량은 일반적으로 생산 요소라고 하며, 이는 재고 자산인 1차 요소를 나타낼 수 있다. 고전적으로 생산의 1차 요소는 토지, 노동, 자본이었다. 1차 요소는 생산물에 포함되지 않으며, 1차 요소 자체가 생산 과정에서 변환되지도 않는다. 생산 함수는 생산 과정에서 소비되는 2차 요소와 중간재를 제거할 수 있다.

생산 함수는 생산 과정의 전체 모델은 아니다. 오류, 엔트로피, 폐기물, 에너지 소비 또는 오염의 공동 생산을 포함하여 일부에서는 필수적이라고 주장하는 물리적 생산 과정의 고유한 측면을 의도적으로 제거한다. 또한 생산 함수는 일반적으로 비즈니스 모델도 모델링하지 않아 전략적 및 운영적 비즈니스 관리의 역할을 무시한다.

2. 1. 생산 함수의 수학적 표현

일반적으로 경제적 생산량은 투입량의 함수가 아니다. 주어진 투입량 집합은 다양한 생산량을 생산하는 데 사용될 수 있기 때문이다. 함수의 수학적 정의를 만족시키기 위해, 생산 함수는 일반적으로 주어진 투입량 집합에서 얻을 수 있는 ''최대'' 생산량을 명시하는 것으로 가정한다. 생산 함수는 다음과 같은 함수 형태로 표현될 수 있다.^[2]

:

Q = f(X_1,X_2,X_3,\dotsc,X_n)

여기서

Q

는 생산량,

X_1,X_2,X_3,\dotsc,X_n

은 투입 요소(자본, 노동, 토지 또는 원자재 등)의 양을 나타낸다.

X_1=X_2=...=X_n=0

일 경우, 투입 요소가 없으므로

Q=0

이 되어야 한다.

Q

가 스칼라일 경우, 이 형태는 여러 공동 생산물을 갖는 생산 공정인 공동 생산을 포함하지 않는다. 반면에,

f

가

\mathbb{R}^{n}

에서

\mathbb{R}^{k}

로 맵핑되면, 이는

n

개의 투입 요소의 지정된 양의 공동 사용을 기반으로

k

개의 서로 다른 유형의 생산량을 결정하는 공동 생산 함수이다.

한 가지 공식은 다음과 같은 선형 함수이다.

:

Q=a_1 X_1+a_2 X_2+a_3 X_3+\dotsb+a_n X_n

여기서

a_1, \dots, a_n

은 경험적으로 결정되는 매개변수이다. 선형 함수는 투입 요소가 생산에서 완전 대체재임을 의미한다.

다른 하나는 콥-더글러스 생산 함수이다.

:

Q = a_0 X_1^{a_1} X_2^{a_2} \cdots X_n^{a_n}

여기서

a_0

는 소위 총요소생산성이다.

레온티예프 생산 함수는 투입 요소가 고정된 비율로 사용되어야 하는 상황에 적용된다. 이러한 비율에서 시작하여, 다른 투입 요소의 증가 없이 한 투입 요소의 사용량이 증가하면, 생산량은 변하지 않는다. 이 생산 함수는 다음과 같다.

:

Q = \min (a_1X_1, a_2X_2, \dotsc, a_n X_n).

다른 형태에는 대체 탄력성이 일정한 생산 함수 (CES)가 있는데, 이는 콥-더글러스 함수의 일반화된 형태이며, 2차 생산 함수도 있다. 사용해야 할 최상의 방정식 형태와 매개변수 값(

a_0, \dots, a_n

)은 회사마다, 산업마다 다르다. 단기적으로 생산 함수에서

X

(투입 요소) 중 적어도 하나는 고정되어 있다. 장기적으로 모든 투입 요소는 경영진의 재량에 따라 가변적이다.

생산량 ''Y''를 생산 요소(''n'' 종류라고 가정)의 투입량 ''x''₁ , ... ''x_n''의 함수로 나타내면 다음과 같다.

:

Y = F(x_1,\dots,x_n)

이것이 일반적인 생산 함수의 수학적 표현이다.

이를 단순화한 경우로, 생산 요소가 1 종류만(예: 노동 ''L'') 또는 2 종류(노동 ''L''과 자본 ''K'') 등과 같은 경우가 자주 고려된다. 그 외에 생산 요소로, 기술이나 감가상각 등이 고려될 수 있다.

생산 함수의 예로는 다음과 같은 것들이 있다. 단, 생산 요소는 노동 ''L''과 자본 ''K''의 두 종류라고 가정한다.

; 콥-더글러스 생산 함수^[14]^[15]

: 생산량 ''Y''가 생산 요소의 동차 함수인 형태이다. Charles Cobb (economist)|찰스 콥^영어과 폴 더글러스에 의해 1928년에 제안되었다.

::

Y=AL^{\alpha}K^{\beta} \,

: 단, ''A''는 기술 진보 등으로 변화하는 스케일 계수, α는 노동 분배율, β는 자본 분배율이라고 불리며, 0 < α< 1 , 0 < β < 1을 만족한다. 콥-더글러스 생산 함수의 대체 탄력성은 1이다.

; CES 생산 함수^[15]

: 대체 탄력성이 일정한, 보다 일반적인 대체 관계를 나타내는 생산 함수이다. 1961년에 솔로, Bagicha Singh Minhas|민하스^영어, 애로우, Hollis B. Chenery|체리^영어의 4명에 의해 제안되었다.

::

Y=\gamma[\delta K^{-\rho}+(1-\delta)L^{-\rho}]^{-\mu/\rho}

: 여기서, γ는 효율 파라미터 또는 스케일 계수, ρ는 대체 파라미터, δ는 분배 파라미터, μ는 규모의 경제성 파라미터라고 불린다.

; 고정 계수형 생산 함수

2. 2. 생산 함수의 그래프 표현

생산 함수는 그래프를 통해 시각적으로 표현될 수 있다. 전형적인 (2차) 생산 함수는 단일 가변 투입 요소를 가정하여 나타낼 수 있다. 생산 함수 위의 모든 점은 현재 기술로는 얻을 수 없고, 아래의 모든 점은 기술적으로 가능하다. 함수 위의 모든 점은 투입 요소의 지정된 사용 수준에서 얻을 수 있는 최대 생산량을 보여준다.

A점에서 C점까지 기업은 변동 투입 요소에 대한 긍정적이지만 감소하는 한계 수익을 경험하고 있다. 투입 요소의 추가 단위가 사용됨에 따라 생산량은 증가하지만 증가율은 감소한다. B점은 평균 물리적 생산량 곡선(APP)의 기울기가 Y점 이후로 감소하는 것으로 나타나듯이, 평균 수익이 감소하는 지점이다. B점은 원점에서 가장 가파른 광선에 접하므로 평균 물리적 생산량이 최대가 된다. B점을 지나면, 수학적 필연성으로 인해 한계 곡선은 평균 곡선 아래에 있어야 한다.^[1]

생산 함수의 해석을 단순화하기 위해, 그 범위를 3단계로 나누는 것이 일반적이다. 1단계(원점에서 B점까지)에서 가변 투입 요소는 단위당 산출량이 증가하면서 사용되며, 후자는 B점에서 최대값에 도달한다(평균 물리 생산량이 그 지점에서 최대이기 때문이다). 가변 투입 요소 단위당 산출량이 1단계 전체에서 개선되고 있기 때문에, 가격 수용 기업은 항상 이 단계를 넘어 운영할 것이다.

2단계에서 산출량은 감소하는 속도로 증가하며, 평균 및 한계 물리 생산물은 모두 감소한다. 그러나 고정 투입 요소(표시되지 않음)의 평균 생산량은 여전히 증가하고 있는데, 이는 산출량이 증가하는 반면 고정 투입 요소의 사용량은 일정하기 때문이다. 이 단계에서 추가 가변 투입 요소의 고용은 고정 투입 요소 단위당 산출량을 증가시키지만 가변 투입 요소 단위당 산출량은 감소시킨다. 가격 수용 기업의 최적 투입/산출 조합은 2단계에 있을 것이지만, 하향 기울기 수요 곡선에 직면한 기업은 2단계에서 운영하는 것이 가장 수익성이 높다고 생각할 수 있다.

3단계에서는 사용 가능한 고정 투입 요소에 비해 너무 많은 가변 투입 요소가 사용되고 있다. 가변 투입 요소는 그들의 존재가 생산 과정을 향상시키기보다는 방해한다는 의미에서 과도하게 사용된다. 고정 및 가변 투입 요소의 단위당 산출량은 이 단계 전체에서 감소한다. 2단계와 3단계 사이의 경계에서, 고정 투입 요소로부터 가능한 최대 산출량이 얻어진다.^[1]

3. 생산 함수의 종류와 특징

생산 함수는 투입 요소(자본, 노동, 토지, 원자재 등)와 생산량 간의 관계를 나타내는 함수이다. 일반적인 형태는 다음과 같다.

: $Q = f(X_1,X_2,X_3,\dotsc,X_n)$

여기서 $Q$ 는 생산량, $X_1, X_2, X_3, \dotsc, X_n$ 은 각 투입 요소의 양을 나타낸다. 투입 요소가 없으면 생산량도 0이 된다.

생산 함수는 투입 요소들이 생산에 어떻게 결합되는지에 따라 다양한 형태를 가질 수 있다.

선형 함수: 투입 요소가 서로 완전 대체 가능한 경우, 다음과 같은 선형 함수 형태로 나타낼 수 있다.

:

Q=a_1 X_1+a_2 X_2+a_3 X_3+\dotsb+a_n X_n

콥-더글러스 생산 함수: 찰스 콥과 폴 더글러스가 제안한 함수이다.
레온티예프 생산 함수: 투입 요소가 고정된 비율로 사용되어야 하는 상황에 적용된다.
CES 생산 함수: 로버트 솔로, 바기차 싱 민하스, 케네스 애로우, 홀리스 체너리가 제안했으며, 콥-더글러스 생산 함수의 일반화된 형태이다.

어떤 생산 함수가 가장 적합한지는 기업이나 산업의 특성에 따라 다르다. 단기적으로는 일부 투입 요소가 고정될 수 있지만, 장기적으로는 모든 투입 요소가 경영진의 결정에 따라 변할 수 있다.

Moysan과 Senouci (2016)는 모든 2투입, 신고전파 생산 함수에 대한 분석 공식을 제공한다.^[2]

3. 1. 콥-더글러스 생산 함수

찰스 콥(Charles Cobb)과 폴 더글러스가 1928년에 제안한 생산 함수로, 생산량 ''Y''가 생산 요소의 동차 함수인 형태이다.^[14]^[15]

::

Y=AL^{\alpha}K^{\beta} \,

:여기서 ''A''는 기술 진보 등으로 변화하는 스케일 계수, α는 노동 분배율, β는 자본 분배율이라고 불리며, 0 < α < 1 , 0 < β < 1을 만족한다. 콥-더글러스 생산 함수의 대체 탄력성은 1이다.

3. 2. 레온티예프 생산 함수

레온티예프 생산 함수는 생산 요소 간의 대체가 불가능하고 고정된 비율로 투입되어야 하는 경우를 나타낸다. 생산 요소 간의 보완성을 강조하는 함수로, 다음과 같은 형태로 표현된다.^[15]

:

Q = \min(a_1 X_1, a_2 X_2, \dots, a_n X_n)

3. 3. CES 생산 함수

솔로, Bagicha Singh Minhas|바기차 싱 민하스^영어, 애로우, Hollis B. Chenery|홀리스 체너리^영어가 1961년에 제안하였다.^[15] 대체 탄력성이 일정한 생산 함수로, 콥-더글러스 생산 함수보다 일반적인 형태이다.

:

Y=\gamma[\delta K^{-\rho}+(1-\delta)L^{-\rho}]^{-\mu/\rho}

: 여기서 γ는 효율 파라미터 또는 스케일 계수, ρ는 대체 파라미터, δ는 분배 파라미터, μ는 규모의 경제성 파라미터라고 불린다.

4. 생산 함수의 주요 개념

생산 함수는 주어진 투입량 집합으로 얻을 수 있는 최대 생산량을 나타내는 함수이다. 이는 생산의 한계를 나타내는 경계 또는 프런티어 역할을 한다. 또는, 지정된 양의 생산량을 생산하는 데 필요한 최소 투입량 요구 사항으로 정의할 수도 있다.^[1]

생산 함수는 기술 및 관리 문제를 배제하고, 자원 배분 효율성 문제에 집중할 수 있게 해준다. 생산 함수 자체는 물리적 투입량과 물리적 생산량의 관계를 나타내며, 가격과 비용은 반영하지 않는다.^[1]

생산 함수는 생산 요소라고 불리는 투입량을 사용하며, 고전적으로 토지, 노동, 자본이 1차 생산 요소였다. 1차 요소는 생산물에 포함되거나 생산 과정에서 변환되지 않는다. 생산 함수는 2차 요소와 중간재를 제거하고, 오류, 엔트로피, 폐기물, 에너지 소비, 오염 등도 의도적으로 제거한다.^[1]

생산 함수는 신고전 경제학에서 자원 배분 효율성과 소득 분배 분석의 중심이 된다. 완전 경쟁 시장에서 이윤을 극대화하는 기업은 추가 투입의 한계 비용이 추가 생산량의 한계 생산량과 일치하는 지점까지 투입을 추가한다. 이는 생산에서 생성된 소득을 각 투입 생산 요소에 따른 소득으로 이상적으로 분배하는 것을 의미하며, 각 투입의 한계 생산량과 같다.^[1]

일반적으로 생산함수는 생산 요소 투입량을 늘릴 경우 생산량도 증가한다고 가정한다.

: $MP_i > 0, (i=1,\dots,n)$

4. 1. 한계 생산력

다른 모든 생산 요소의 투입량을 고정하고, 특정 생산 요소의 투입량을 1단위 증가시켰을 때 추가로 얻을 수 있는 생산량의 증가분을 한계 생산력(Marginal Product, MP)이라고 한다.^[1] 수식으로는 다음과 같이 표현할 수 있다.

:

MP_i \equiv \frac{\partial Y}{\partial x_i}

일반적으로 한계 생산력은 체감한다. 이를 수확 체감의 법칙 또는 한계 생산력 체감의 법칙이라고 부른다.^[1] 즉, 생산 요소 투입량을 늘려갈수록 생산량의 증가분은 점차 작아진다.

:

\frac{\partial MP_i}{\partial x_i} = \frac{\partial^2 Y}{\partial x_i^2} < 0

4. 2. 규모의 경제

규모의 경제는 모든 생산 요소를 동일한 비율로 늘렸을 때, 생산량이 얼마나 증가하는지에 따라 발생하는 현상이다.

모든 생산 요소 투입량을 동일한 비율(''k'' 배)로 증가시킬 때, 생산량 ''Y''의 증가량이 이에 비례하는지에 따라 3가지 경우로 나뉜다.

경우	수식	설명
규모에 대한 수확 불변	$Y(kx_1,\dots,kx_n) = kY(x_1,\dots,x_n)$	생산요소 투입량 증가율과 생산량 증가율이 동일
규모에 대한 수확 체증 (또는 (협의의) 규모의 경제)	$Y(kx_1,\dots,kx_n) > kY(x_1,\dots,x_n)$	생산요소 투입량 증가율보다 생산량 증가율이 더 큼
규모에 대한 수확 체감 (또는 규모의 불경제)	$Y(kx_1,\dots,kx_n) < kY(x_1,\dots,x_n)$	생산요소 투입량 증가율보다 생산량 증가율이 더 작음

콥-더글러스 생산함수의 경우, α + β 값에 따라 규모의 경제 여부가 결정된다.

α + β 값	규모의 경제 여부
α + β = 1	규모에 대한 수확 불변
α + β > 1	규모에 대한 수확 체증
α + β < 1	규모에 대한 수확 체감

4. 3. 등량곡선

생산 요소 투입량 조합을 변경하여도 동일한 생산량을 유지할 수 있는데, 이러한 동일한 생산량 수준을 나타내는 곡선을 '''등량생산곡선'''이라고 한다.^[16]

생산함수의 성질에 따라 등량생산곡선은 다음과 같은 성질을 가진다. 생산요소가 2 종류(노동 ''L''과 자본 ''K'')인 경우뿐 아니라, 일반적인 경우에도 마찬가지이다.

# 우하향한다.^[17]

#:

\frac{dL}{dK} < 0

# 원점을 향해 볼록하다.

5. 생산 함수 이론에 대한 비판

생산함수 이론에 대한 주요 비판은 다음과 같다.

자본 개념에 대한 비판: 조안 로빈슨을 비롯한 일부 경제학자들은 1950년대부터 1970년대까지 생산함수의 이론적 타당성에 대해 비판적인 입장을 보였다. 자세한 내용은 자본 논쟁 문서를 참고.

실증적 관련성에 대한 비판: 안와르 셰이크는 신고전파의 생산함수 사용을 비판했다.

천연자원 문제: 일반적으로 생산 함수에는 천연자원이 포함되지 않는다. 로버트 솔로우와 조셉 스티글리츠가 천연자원을 포함하여 보다 현실적인 생산 함수를 개발하려 시도했으나, 니콜라스 게오르제스쿠-뢰겐은 이를 "마술"이라고 비판했다.

5. 1. 자본 개념에 대한 비판

조안 로빈슨을 비롯한 일부 경제학자들은 1950년대부터 1970년대까지 생산함수의 이론적 타당성에 대해 비판적인 입장을 보였다. 이들은 이자율과 임금률에 독립적으로 자본의 양을 측정하는 것이 불가능하다고 주장했다. 이러한 문제는 등량곡선을 구성하는 전제 조건이 되기 때문에, 자본 개념의 모호성은 생산 함수 이론의 타당성에 대한 논쟁(자본 논쟁)을 불러일으켰다.^[5]

조안 로빈슨은 생산함수가 잘못된 교육 도구라고 비판했다. 그녀는 경제학을 배우는 학생들이 노동의 양(

L

)과 자본의 양(

K

)으로 상품의 생산율(

Q

)을 나타내는

Q = f (L, K)

라는 식을 배우지만, 정작 자본(

K

)이 어떤 단위로 측정되는지는 질문하지 않고 넘어간다고 지적하며, 이러한 피상적인 이해 방식이 다음 세대로 이어진다고 비판했다.^[5]

또한, 등량곡선의 기울기는 상대적 요소 가격을 결정하는 데 중요한 역할을 하지만, 가격을 미리 알지 못하면 곡선을 구성하고 기울기를 측정할 수 없다는 문제점도 제기되었다.

5. 2. 실증적 관련성에 대한 비판

안와르 셰이크는 신고전파의 "양호한" 거시 생산 함수의 사용을 실증적 결과가 확고하게 뒷받침한다는 주장이 생산/분배의 근본적인 법칙이 아닌 회계적 항등식에서 비롯된 것이라면, 실증적 관련성이 없음을 입증했다.^[6]

5. 3. 천연자원 문제

일반적으로 생산 함수에는 천연자원이 포함되지 않는다. 로버트 솔로우와 조셉 스티글리츠가 천연자원을 포함하여 보다 현실적인 생산 함수를 개발하려 시도했을 때, 경제학자 니콜라스 게오르제스쿠-뢰겐은 이를 "마술"이라고 비판했다. 솔로우와 스티글리츠의 모형은 열역학 법칙을 고려하지 않았기 때문에, 인공 자본이 천연자원을 완전히 대체할 수 있다고 가정했다는 것이다. 솔로우와 스티글리츠는 1997년 9월 ''생태 경제학'' 저널에서 비판에 대한 반론을 제기하라는 요청을 받았음에도 불구하고 게오르제스쿠-뢰겐의 비판에 대응하지 않았다.^[7]^[8]^[9]^[10]

게오르제스쿠-뢰겐은 솔로우와 스티글리츠가 생산 요소를 수학적으로 모델링하는 접근 방식에 대해 비판했다고 이해할 수 있다.

참조

_[1] 서적 Measurement of Productivity and Efficiency: Theory and Practice https://assets.cambr[...] Cambridge University Press
_[2] 학술지 A note on 2-input neoclassical production functions https://hal.archives[...]
_[3] 서적 Fundamental Methods of Mathematical Economics McGraw-Hill
_[4] 학술지 A Brief History of Production Functions
_[5] 학술지 The Production Function and the Theory of Capital
_[6] 학술지 Laws of Production and Laws of Algebra: The Humbug Production Function
_[7] 학술지 Forum on Georgescu-Roegen versus Solow/Stiglitz
_[8] 서적 Ecological Economics and Sustainable Development. Selected Essays of Herman Daly http://library.unite[...] Edward Elgar 2007
_[9] 학술지 Retrospectives: Whatever Happened to the Cambridge Capital Theory Controversies?
_[10] 서적 The Economic Growth Engine: How Useful Work Creates Material Prosperity Edward Elgar
_[11] 학술지 Growth with Exhaustible Natural Resources: The Competitive Economy 1974
_[12] 학술지 Thermodynamic laws, economic methods and the productive power of energy https://www.degruyte[...] 2010-07-01
_[13] 학술지 A Note on the Role of Energy in Production https://www.scienced[...] 2019-03-01
_[14] 서적 企業経済学東洋経済新報社
_[15] 서적 技術経済システム創成社
_[16] 문서 生産要素が 2 種類の場合。一般の場合は超曲面となる。
_[17] 문서 "生産関数''Y'' = ''F'' (''L'' , ''K'' ) を[[全微分]]して 0 とおけば\n: $0 = dY = \\frac{\\partial Y}{\\partial L}dL+\\frac{\\partial Y}{\\partial K}dK$ \nより\n: $\\frac{dL}{dK} = -\\frac{\\partial Y}{\\partial K}{\\bigg /}\\frac{\\partial Y}{\\partial L} < 0$ \nが導かれる。"

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