콥-더글러스 생산함수

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1. 개요

콥-더글러스 생산 함수는 자본과 노동 투입량으로 생산량을 설명하는 경제학 모형이다. 폴 더글러스와 찰스 콥은 1920년대에 이 함수를 개발했으며, 이후 거시 경제학 연구에 널리 활용되었다. 콥-더글러스 함수는 생산 요소의 탄력성과 규모에 대한 수익을 분석하며, 완전 경쟁 시장에서 생산 요소의 보수와 CES, Translog 생산 함수와의 관계를 설명한다. 또한 콥-더글러스 함수는 효용 함수로도 사용되며, 수요, 간접 효용 함수, 지출 함수를 도출하는 데 활용된다. 그러나 현실 경제를 단순화한다는 비판과 함께 자본과 노동 간의 대체 탄력성에 대한 실증적 추정치와 일치하지 않는다는 한계도 지닌다.

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콥-더글러스 생산함수

2. 역사

폴 더글러스는 1927년에 찰스 콥과 함께 콥-더글러스 생산 함수를 처음으로 공식화했다. 더글러스는 노동자와 자본에 대한 추정치를 연결할 함수 형태를 찾던 중, 콥이 이전에 크누트 빅셀, 필립 위크스티드, 레옹 발라스가 사용했던 ''Y'' 형태의 함수를 제안했다고 설명했다.^[3]

콥-더글러스 생산함수는 경제 전체의 생산 함수를 처음으로 개발, 추정하여 분석에 활용했다는 점에서 중요한 의미를 갖는다.^[6]

2. 1. 콥과 더글러스의 초기 연구

폴 더글러스는 1927년에 노동과 자본의 투입량에 따른 생산량 변화를 설명할 수 있는 함수 형태를 찾던 중, 동료 수학자인 찰스 콥에게 자문을 구했다. 찰스 콥은 크누트 빅셀, 필립 위크스티드, 레옹 발라스 등이 이미 사용했던 함수 형태(''Y'' )를 제안했다. 더글러스는 빅스티드와 발라스의 기여를 인정했다.^[3]

1926년 크누트 빅셀 사망 직후, 폴 더글러스와 찰스 콥은 생산자 이론을 다루는 연구에서 콥-더글러스 함수를 처음으로 구현했다.^[4] 이들은 최소 자승법을 사용하여 노동 지수의 값을 0.75로 추정했으며, 이는 이후 전미 경제 연구소(NBER)의 연구 결과(0.741)와도 매우 유사했다. 1940년대에 들어, 더글러스와 콥은 ''K''와 ''L''의 지수가 변동할 수 있도록 허용했고, 그 결과 당시 개발된 생산성 측정법과 매우 근접한 추정치를 얻게 되었다.^[5]

2. 2. 비판과 발전

폴 더글러스는 1927년에 찰스 콥과 함께 콥-더글러스 생산 함수를 처음 공식화했다. 그는 노동자와 자본에 대한 추정치를 연결할 함수 형태를 찾던 중 콥이 이전에 크누트 빅셀, 필립 위크스티드, 레옹 발라스가 사용했던 함수 형태를 제안했다고 설명했다. 다만 더글러스는 빅스티드와 발라스의 기여만을 인정했다.^[3]

당시 주요 비판은 생산 함수의 추정치가 겉보기에는 정확해 보였지만, 데이터가 부족하여 신뢰성이 낮다는 것이었다. 더글러스는 "이러한 비판에 낙담하여 노력을 포기할까 생각했지만, 계속해야 한다고 말하는 무언가가 있었다"고 회고했다.^[5] 이후 미국 인구 조사의 횡단면적 데이터를 활용하여 많은 수의 관측치를 확보하면서 돌파구를 찾았다. 더글러스는 1947년 미국 경제 학회 회장 연설에서 다른 국가들의 데이터와 함께 이러한 연구 결과를 발표했다.

정계 진출과 건강 악화로 더글러스는 더 이상 연구를 진행하지 못했지만, 20년 후 그의 생산 함수는 폴 새뮤얼슨, 로버트 솔로우 등에게 널리 사용되었다.^[5] 콥-더글러스 생산 함수는 거시 경제학적 관점에서 미시 경제학적 관점으로의 접근 방식을 전환시키면서, 경제 전체의 생산 함수를 처음으로 개발, 추정하여 분석에 활용했다는 점에서 중요한 의미를 갖는다.^[6]

3. 기본식

콥-더글러스 생산함수의 기본식은 다음과 같다.

: $Y=AL^{\alpha}K^\beta$

Y는 생산량(Q)으로 대체할 수 있다.
A와 $\alpha, {\beta}$ 는 생산기술에 의하여 결정되는 상수이다.
L은 '''노동투입량'''이다.
K는 '''자본투입량'''이다.

2요소 콥-더글러스 생산함수에 대한 내용은 #2요소 콥-더글러스 생산 함수에 자세히 설명되어 있으며, 규모에 대한 수익 및 한계 생산성에 대한 내용은 각각 #규모에 대한 수익, #한계 생산성에 설명되어 있다.

노동과 자본의 투입량을 k배 만큼 증가시켰을 경우 생산량은 다음과 같이 변한다.

$\alpha + {\beta} > 1$ 일 경우 k배 이상으로 증가하여 규모의 경제가 발생한다.
$\alpha + {\beta} = 1$ 인 경우 k배 만큼 증가하여 규모가 변화하여도 수익은 변하지 않는다.
$\alpha + {\beta} < 1$ 인 경우 k배보다 적게 증가하여 규모의 불경제가 발생한다.

3. 1. 2요소 콥-더글러스 생산 함수

2개의 생산 요소에 대한 콥-더글러스 생산 함수는 다음과 같이 표현된다.^[27]

:

Y=AL^{\alpha}K^\beta

`Y`는 총 생산량(보통 1년의 총 생산량)이다. `Y`는 생산량(Q)으로 대체할 수 있다.
`L`은 노동 투입량 (1년 또는 365.25일 동안 투입된 인적 시간)이다.
`K`는 자본 투입량 (모든 기계, 장비 및 건물의 척도; 자본 투입 가치를 자본 가격으로 나눈 값) 또는 자본 스톡이다.
`A`는 총요소생산성이다.
$0<\alpha<1$ 및 $0<\beta<1$ 는 각각 자본과 노동의 산출 탄력성이다. 이 값들은 사용 가능한 기술에 의해 결정되는 상수이다.

자본과 노동은 콥-더글러스 생산 함수의 두 가지 "생산 요소"이다.

요소 분배율은 생산 투입에 대한 탄력성으로도 해석할 수 있다. 예를 들어,

\alpha = 0.45

일 경우, 자본 스톡이 1% 상승하면 생산이 0.45% 상승한다는 의미이다.

만약 노동과 자본의 투입량을 k배 만큼 증가시켰을 경우 생산량은

$\alpha + \beta > 1$ 일 경우 k배 이상으로 증가하여 규모에 대해 수확 체증이 발생하고,
$\alpha + \beta = 1$ 인 경우 k배 만큼 증가하여 규모가 변화하여도 수익은 변하지 않으며, 완전 경쟁에서 $\alpha$ 는 자본 분배율, $\beta$ 는 노동 분배율로 해석할 수 있다.
$\alpha + \beta < 1$ 인 경우 k배보다 적게 증가하여 규모에 대해 수확 체감이 발생한다.

콥-더글러스 함수 형태는 다음 식을 사용하여 선형 관계로 추정할 수 있다.

:

\ln(Y) = a_0 + \sum_i a_i \ln(I_i)

여기서

`Y` = 산출량
`I_i` = 투입 요소
`a_i` = 모델 계수

이 모델은 다음과 같이 쓸 수도 있다.

:

Y = e^{a_0} (I_1)^{a_1} \cdot (I_2)^{a_2} \cdots

모델 지수가 1이 되면, 생산 함수는 1차 동차가 되며, 이는 규모에 대한 수익 불변을 의미한다. 즉, 모든 투입 요소가 0보다 큰 공통 인수로 조정되면, 산출량도 동일한 인수로 조정된다.

3. 2. 규모에 대한 수익

콥-더글러스 생산함수에서 자본과 노동의 투입량을 k배 증가시켰을 때, 생산량이 어떻게 변하는지는 α와 β의 합에 따라 결정된다.

'''규모의 경제 (수확 체증)''': $\alpha + {\beta} > 1$ 인 경우, 생산량은 k배 이상으로 증가한다. 이는 투입량을 늘릴수록 생산량이 더 큰 폭으로 증가하는 현상으로, 규모의 경제가 발생한다고 볼 수 있다.

'''규모에 대한 수확 불변''': $\alpha + {\beta} = 1$ 인 경우, 생산량은 정확히 k배만큼 증가한다. 즉, 투입량 증가와 생산량 증가가 동일한 비율로 나타나 규모가 변해도 수익은 변하지 않는다.

'''규모의 불경제 (수확 체감)''': $\alpha + {\beta} < 1$ 인 경우, 생산량은 k배보다 적게 증가한다. 이는 투입량을 늘려도 생산량 증가폭이 점점 줄어드는 현상으로, 규모의 불경제 또는 규모에 따른 수익 체감이 발생한다고 볼 수 있다.^[7]

예를 들어,

Y=AL^{\alpha}K^\beta

(

\alpha + {\beta} = 1

)일 때, 노동(L)과 자본(K) 대신 tL과 tK를 대입하면 다음과 같이 t배만큼 생산량이 증가함을 증명할 수 있다.

:

A(tL)^{\alpha}(tK)^\beta

=

At^{\alpha}L^{\alpha}t^{\beta}K^\beta

=

t^{\alpha}t^{\beta}AL^{\alpha}K^\beta

=

t^{\alpha+\beta}AL^{\alpha}K^\beta

=

tAL^{\alpha}K^\beta

=

t^1Q

3. 3. 한계 생산성

콥-더글러스 생산함수에서 생산 요소의 한계 생산성은 다른 모든 생산 요소와 총요소생산성을 일정하게 유지하면서 해당 생산 요소가 변동할 때의 산출량 변화를 의미한다. 콥-더글러스 생산함수에서 자본과 노동은 두 가지 "생산 요소"이다.

3. 3. 1. 자본의 한계 생산성

생산 요소의 한계 생산성은 다른 모든 생산 요소와 총요소 생산성을 일정하게 유지하면서 해당 생산 요소가 변동할 때의 산출량 변화를 의미한다.

자본의 한계 생산성(

MPK

)은 생산 함수를 자본에 대해 미분한 값과 같다.

:

MPK=\frac{\partial Y}{\partial K} = \alpha A L^\beta K^{\alpha-1} = \alpha \frac{A L^\beta K^\alpha}{K} = \alpha \frac{Y}{K}

\alpha>0

(그리고

Y>0, K>0

또한)이기 때문에, 자본의 한계 생산성은 항상 양수임을 알 수 있다. 즉, 자본을 증가시키면 산출량이 증가한다.

총요소 생산성

A

를 증가시키면 자본의 한계 생산성이 증가한다.

자본에 대한 한계 자본 생산성의 도함수(즉, 자본에 대한 생산 함수의 이계도함수)를 구하면 다음과 같다.

:

\frac{\partial MPK}{\partial K} = \frac{\partial^2 Y}{\partial K^2} = \frac{\partial}{\partial K} ( A L^\beta \alpha K^{\alpha-1} ) = A L^\beta \alpha (\alpha-1) K^{\alpha-2} =  \alpha (\alpha-1) A L^\beta \frac{K^\alpha}{K^2} = \alpha (\alpha-1) \frac{Y}{K^2}

\alpha<1

이므로,

\alpha-1<0

이므로

\dfrac{\partial MPK}{\partial K}<0

이다.

따라서 이 함수는 "수확 체감의 법칙"을 충족한다. 즉, 자본의 한계 생산성은 항상 양수이지만 감소한다. 자본이 증가함에 따라(노동과 총요소 생산성을 일정하게 유지하면서) 생산량은 증가하지만 증가율은 감소한다.

자본의 한계 생산물이 노동의 증가에 따라 어떻게 변화하는지 연구하기 위해, 자본의 한계 생산물을 노동에 대해 편미분, 즉 자본과 노동에 대한 산출량의 교차 미분을 계산할 수 있다.

:

\dfrac{\partial MPK}{\partial L} = \dfrac{\partial^2 Y}{\partial K \partial L} = \dfrac{\partial}{\partial L} ( A L^\beta \alpha K^{\alpha-1} ) = A \beta L^{\beta-1} \alpha K^{\alpha-1} = A \alpha \beta \dfrac{L^\beta K^\alpha}{L K} = \alpha \beta \dfrac{Y}{LK}

\dfrac{\partial MPK}{\partial L}>0

이므로, 노동의 증가는 자본의 한계 생산물을 증가시킨다.

3. 3. 2. 노동의 한계 생산성

유사한 추론이 노동에도 적용된다. 노동의 한계 생산성(

MPL

)은 생산 함수를 노동에 대해 미분한 값과 같다.

:

MPL = \frac{\partial Y}{\partial L} = \beta A L^{\beta -1} K^{\alpha} = \beta \frac{A L^{\beta} K^{\alpha}}{L} = \beta \frac{Y}{L}

\beta > 0

(그리고

Y > 0, L > 0

또한)이기 때문에, 노동의 한계 생산성은 항상 양수임을 알 수 있다. 즉, 노동을 증가시키면 산출량이 증가한다.

총요소 생산성

A

를 증가시키면 노동의 한계 생산성이 증가한다.

노동에 대한 한계 생산성의 도함수(즉, 노동에 대한 생산 함수의 이계도함수)를 구하면 다음과 같다.

:

\frac{\partial MPL}{\partial L} = \frac{\partial^2 Y}{\partial L^2} = \frac{\partial}{\partial L} ( A L^{\beta-1} \beta K^{\alpha} ) = A \beta (\beta-1) L^{\beta-2}  K^{\alpha} =  \beta (\beta-1) A  \frac{L^\beta K^\alpha}{L^2} = \beta (\beta-1) \frac{Y}{L^2}

\beta < 1

이므로,

\beta - 1 < 0

이므로

\dfrac{\partial MPL}{\partial L} < 0

이다.

따라서 이 함수는 "수확 체감의 법칙"을 충족한다. 즉, 노동의 한계 생산성은 항상 양수이지만 감소한다. 노동이 증가함에 따라(자본과 총요소 생산성을 일정하게 유지하면서) 생산량은 증가하지만 증가율은 감소한다.

노동의 한계 생산물이 자본의 증가에 따라 어떻게 변화하는지 연구하기 위해, 노동의 한계 생산물을 자본에 대해 편미분, 즉 노동과 자본에 대한 산출량의 교차 미분을 계산할 수 있다.

:

\dfrac{\partial MPL}{\partial K} = \dfrac{\partial^2 Y}{\partial L \partial K} = \dfrac{\partial}{\partial K} ( A L^{\beta-1} \beta K^{\alpha} ) =  \beta A L^{\beta-1} \alpha K^{\alpha-1}  = A \alpha \beta \dfrac{L^\beta K^\alpha}{L K} = \alpha \beta \dfrac{Y}{LK}

\dfrac{\partial MPL}{\partial K} > 0

이므로, 자본의 증가는 노동의 한계 생산물을 증가시킨다.

3. 3. 3. 수확 체감의 법칙

자본의 한계 생산성을 자본에 대해 한 번 더 미분하면(즉, 자본에 대한 생산 함수의 이계도함수) 다음과 같다.

:

\frac{\partial MPK}{\partial K} = \frac{\partial^2 Y}{\partial K^2} = \frac{\partial}{\partial K} ( A L^\beta \alpha K^{\alpha-1} ) = A L^\beta \alpha (\alpha-1) K^{\alpha-2} =  \alpha (\alpha-1) A L^\beta \frac{K^\alpha}{K^2} = \alpha (\alpha-1) \frac{Y}{K^2}

\alpha<1

이므로,

\alpha-1<0

이고 따라서

\dfrac{\partial MPK}{\partial K}<0

이다.

즉, 이 함수는 수확 체감의 법칙을 충족한다. 다시 말해, 자본의 한계 생산성은 항상 양수이지만 감소한다. 자본이 증가함에 따라(노동과 총요소 생산성을 일정하게 유지하면서) 생산량은 증가하지만 증가율은 감소한다.^[1]

3. 3. 4. 교차 미분

\dfrac{\partial MPK}{\partial L} = \dfrac{\partial^2 Y}{\partial K \partial L} = \dfrac{\partial}{\partial L} ( A L^\beta \alpha K^{\alpha-1} ) = A \beta L^{\beta-1} \alpha K^{\alpha-1} = A \alpha \beta \dfrac{L^\beta K^\alpha}{L K} = \alpha \beta \dfrac{Y}{LK}

요약에서 주어진 것과 같이

\dfrac{\partial MPK}{\partial L}>0

이므로, 노동의 증가는 자본의 한계 생산물을 증가시킨다.

4. 일반형

일반화된 형태의 콥-더글러스 생산함수는 둘 이상의 재화를 모델링할 수 있다.^[8]

4. 1. N요소 콥-더글러스 생산 함수

콥-더글러스 함수는 다음과 같이 쓸 수 있다.^[8]

:

f(x)=A \prod_{i=1}^n x_i^{\lambda_i}, \qquad x = (x_1, \ldots, x_n).

여기서

''A''는 효율성 파라미터이다.
''n''은 투입 변수(재화)의 총 개수이다.
은 소비, 생산되는 재화의 (음이 아닌) 수량이다.
$\lambda_i$ 는 재화 ''i''에 대한 탄력성 파라미터이다.

2개 이상의 생산 요소가 있는 콥-더글러스 생산 함수는 다음과 같이 나타낼 수 있다.^[28]

:

Y=A \prod_{i=1}^N X_i^{\alpha_i}

단,

''A''는 총요소생산성이다.
''N''은 생산 요소의 수이다.
는 투입량이다.
$\alpha_i$ 는 생산 요소 ''i''의 탄력성 매개변수이다.

5. 완전 경쟁 하에서의 생산 요소 보수

완전 경쟁 시장에서 생산 요소는 한계 생산물만큼 보수를 받는다.

자본의 한계 생산물은 $MPK = \alpha \dfrac{Y}{K}$ 이다. 이는 각 자본 단위에 대한 보수이다. 총 자본에 대한 보수를 구하려면 이 수량에 $K$ 를 곱한다.

$\text{자본 소득}=K \cdot MPK = \alpha Y$ .

따라서 산출량의 $\alpha$ 몫이 자본에 대한 보수로 지급된다.

비슷한 추론으로, 산출량의 $\beta$ 몫이 노동에 대한 보수로 지급된다는 것을 알 수 있다.

이 몫들은 $\alpha+\beta=1$ 인 경우에만 산출량의 100%가 된다.

6. CES 생산 함수와의 관계

대체 탄력성(CES) 생산 함수는 콥-더글러스 생산함수의 일반화된 형태이다. CES 생산 함수는 다음과 같다.

: $Y = A \left ( \alpha K^\gamma + (1-\alpha) L^\gamma \right )^{1/\gamma},$

여기서 $\gamma$ 가 0으로 수렴하는 극한의 경우, CES 함수는 콥-더글러스 함수 $Y=AK^\alpha L^{1-\alpha}$ 로 수렴하며, 이는 규모에 대한 수익 불변을 나타낸다.^[18]

이를 확인하기 위해 CES 함수의 로그를 취하면 다음과 같다.

: $\ln(Y) = \ln(A) + \frac{1}{\gamma} \ln \left (\alpha K^\gamma + (1-\alpha) L^\gamma \right )$

로피탈의 정리를 적용하여 극한으로 보내면 다음과 같다.

: $\lim_{\gamma\to 0} \ln(Y) = \ln(A) + \alpha \ln(K) + (1-\alpha) \ln(L).$

따라서 $Y=AK^\alpha L^{1-\alpha}$ 가 된다.

6. 1. Translog 생산 함수

Translog 생산 함수는 변수

\gamma

에 대한 2차 테일러 급수로 CES 함수를

\gamma = 0

근처에서, 즉 콥-더글러스 생산함수의 경우를 근사한 것이다.^[19]^[20] Translog라는 이름은 "초월 로그"를 의미한다. 이는 매개변수에 대해 선형이라는 사실 때문에 계량경제학에서 자주 사용되며, 이는 투입물이 외생변수라고 가정할 수 있다면 최소제곱법을 사용할 수 있음을 의미한다.

두 요인(factor)의 경우 translog 생산 함수는 다음과 같다.

:

\begin{align}\ln(Y) &= \ln(A) + \alpha \ln(K) + (1-\alpha) \ln(L) + \frac{1}{2} \gamma \alpha (1 - \alpha) \left[ \ln(K) - \ln(L) \right]^2 \\&= \ln(A) + a_K \ln(K) + a_L \ln(L) + b_{KK} \ln^2(K) + b_{LL} \ln^{2}(L) + b_{KL} \ln(K) \ln(L)\end{align}

여기서

a_K

,

a_L

,

b_{KK}

,

b_{LL}

, 그리고

b_{KL}

은 적절하게 정의된다. 세 요인(factor)의 경우 translog 생산 함수는 다음과 같다.

:

\begin{align}\ln(Y) & = \ln(A) + a_L\ln(L) + a_K\ln(K) + a_M\ln(M) + b_{LL}\ln^2(L) +b_{KK}\ln^2(K) + b_{MM}\ln^2(M) \\& {} \qquad \qquad + b_{LK}\ln(L)\ln(K) + b_{LM}\ln(L)\ln(M) + b_{KM}\ln(K)\ln(M) \\&  = f(L,K,M).\end{align}

여기서

A

는 총요소 생산성,

L

은 노동,

K

는 자본,

M

은 자재 및 공급품,

Y

는 산출량이다.

7. 콥-더글러스 효용 함수

콥-더글러스 함수는 효용 함수로도 자주 사용된다.^[16]^[8] 효용 $\tilde{u}$ 는 소비되는 $n$ 개 상품의 양 $x_i$ 의 함수로 다음과 같이 표현된다.

: $\tilde{u}(x)= \prod_{i=1}^n x_i^{\lambda_i}$

효용 함수는 생산 함수와 달리 서수적 선호를 나타내며 자연적인 단위를 갖지 않는다. 따라서 효용 함수의 단조 변환은 동일한 선호를 나타낸다. 콥-더글러스 생산 함수에서는 지수의 합이 규모의 경제 정도를 결정하지만, 효용 함수의 경우 지수의 합을 1로 정규화할 수 있다. 즉, $\lambda = \sum_{i=1}^n \lambda_i$ 및 $\alpha_i = \frac{\lambda_i}{ \lambda}$ 로 정의하여 $\sum_{i=1}^n \alpha_i = 1$ 로 만들 수 있으며, 이때 효용 함수는 다음과 같이 표현된다.

: $u(x) = \prod_{i =1}^n x_i^{\alpha_i}$

소비자는 상품의 비용이 자신의 부 $w$ 보다 적다는 예산 제약 하에서 효용을 극대화한다. 상품의 가격을 $p_i$ 라고 하면, 소비자는 다음 문제를 푼다.

: $\max_{x_i} \prod_{i=1}^n x_i^{\alpha_i} \quad \text{ 제약 조건 하에 } \quad \sum_{i=1}^n p_i x_i= w$

이에 대한 해로 콥-더글러스 수요는 다음과 같다.

: $\forall j: \qquad x_j^\star=\frac{w \alpha_j}{p_j}$

$\alpha_j = \frac{p_j x^*_j}{w}$ 이므로, 소비자는 자신의 부의 $\alpha_j$ 만큼을 상품에 지출한다. 이는 $u(x)$ 또는 $\tilde{u}(x)$ 에 대한 해와 같다.

간접 효용 함수는 수요 $x_j$ 를 효용 함수에 대입하여 계산할 수 있다. 상수 $K= \prod_{i =1}^n \alpha_i^{\alpha_i}$ 를 정의하면 다음을 얻는다.

: $v(p,w) = \prod_{i =1}^n \left( \frac{w \alpha_i}{p_i} \right)^{\alpha_i} = \frac{ \prod_{i =1}^n w^{\alpha_i}\cdot \prod_{i =1}^n \alpha_i^{\alpha_i} }{ \prod_{i =1}^n p_i ^{\alpha_i}} =K \left(\frac{ w}{\prod_{i =1}^n p_i ^{\alpha_i}} \right)$

이는 고먼 극형의 특수한 경우이다. 지출 함수는 간접 효용 함수의 역함수이다.^[17]

: $e(p, u) = (1/K)\prod_{i=1}^n p_i^{\alpha_i} u$

8. 비판

콥-더글러스 생산 함수는 현실 경제의 복잡성을 단순화한다는 비판을 받는다. 콥과 더글러스는 선진국에서 총 생산량 중 노동과 자본의 몫이 시간이 지나도 일정하다는 통계적 증거에 영향을 받았지만, 현재는 산업화된 경제에서 노동 분배율이 감소하고 있다는 것이 널리 받아들여지고 있다.^[9]^[10] 생산 함수는 "생산량에서 노동의 일정 분배율"이라는 가정을 포함하는데, 이는 노동 시장이 빠르게 성장하는 국가에서는 적용되지 않을 수 있다.^[11] 또한, 콥-더글러스 생산 함수는 동시 방정식 편향(simultaneous equation bias) 문제를 가진다. 이는 기업의 의사 결정과 관련된 모든 함수 유형에 영향을 미친다.^[12]

콥-더글러스 생산 함수는 생산 과정의 엔지니어링, 기술, 또는 관리에 대한 지식을 바탕으로 개발되지 않았다. 노동 시간과 자본은 더 나은 정의가 필요하며, 자본을 건물로 정의하면 노동은 이미 그 건물의 개발에 포함되어 있다. 이 함수는 수확 체감과 같은 매력적인 수학적 특성 때문에 개발되었다. 현대에는 일부 경제학자들이 개별 행위자를 바탕으로 모델을 구축하려고 한다. 콥-더글러스 생산 함수는 미시 경제 수준에서 거시 경제 수준까지 적용될 수 있다.

많은 현대 저자들은 미시경제학적 기반의 콥-더글러스 생산 함수를 개발했다.^[13] 그러나 콥-더글러스 함수가 미시 경제 수준에서 적용된다고 해서 거시 경제 수준에서도 적용된다고 가정할 수는 없다. 초기 미시 기반은 Houthakker (1955)에서 파생되었다.^[14] 콥-더글러스 생산 함수는 자본과 노동 간의 대체 탄력성에 대한 현대적인 실증적 추정치와 일치하지 않으며, 이는 자본과 노동이 총 보완재임을 시사한다. 2021년 메타 분석에서는 "실증 문헌에 축적된 증거의 무게는 콥-더글러스 명세를 단호하게 거부한다"고 결론 내렸다.^[15]

참조

_[1] 논문 A Theory of Production https://assets.aeawe[...] 2016-09-26
_[2] 서적 Economic Growth The MIT Press
_[3] 서적 The New Palgrave Dictionary of Economics Palgrave Macmillan UK 2017
_[4] 서적 Microeconomics : an intuitive approach with calculus Cengage Learning 2017
_[5] 논문 The Cobb-Douglas Production Function Once Again: Its History, Its Testing, and Some New Empirical Values 1976-10
_[6] 논문 The Estimation of the Cobb-Douglas Function: A Retrospective View
_[7] 서적 Mathematics for Economics and Business Pearson Education 2018
_[8] 서적 The New Palgrave Dictionary of Economics https://books.google[...] Springer 2016-05-18
_[9] 보고서 The Decline of the U.S. Labor Share https://www.frbsf.or[...] Federal Reserve Bank of San Francisco 2013-09-01
_[10] 논문 Why Is the Labor Share Declining? https://research.stl[...] 2020
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