샤프 비율

3. 금융에서의 용례

샤프 비율은 투자자가 부담하는 위험을 자산 수익률이 얼마나 잘 보상하는지를 나타낸다. 두 자산을 같은 기준과 비교할 때, 더 높은 샤프 비율을 가진 자산이 동일한 위험에 대해 더 높은 수익률을 제공한다. (또는 같은 수익률을 더 낮은 위험에서 제공한다.)^[2]

그러나 샤프 비율은 자료의 정확성에 의존하는 수학적 모형이다. 예를 들어, 운영 기간이 긴 폰지 사기는 실패하기 전까지 보고된 거짓 수익률을 기반으로 높은 샤프 비율을 산출한다. 낮은 풋 옵션을 판매하는 펀드도 해당 풋 옵션 중 하나가 행사되어 큰 손실을 발생시키기 전까지 높은 샤프 비율을 갖게 된다. 두 경우 모두, 실패 전의 경험적 표준 편차는 실제로 감수하고 있는 위험의 크기를 나타내지 못한다.^[3]

덜 극단적인 경우에도, 샤프 비율에 대한 신뢰할 수 있는 추정을 위해서는 전략 수익의 모든 측면을 관찰할 수 있을 만큼 충분한 기간의 수익 데이터가 필요하다. 예를 들어, 알고리즘이 5~10년에 한 번씩 큰 부채 지불을 수반하는 보험을 판매하는 경우 수십 년 동안 데이터를 수집해야 한다. 고빈도 거래 알고리즘은 각 거래가 50밀리초마다 발생한다면 1주일의 데이터만 필요할 수 있지만, 예상치 못한 희귀한 결과 (플래시 크래시 참조)로 인한 위험에 주의해야 한다.

수익 평활화가 있는 자산 (예: 유배당 펀드)의 투자 성과를 검토할 때는, 샤프 비율을 펀드 수익이 아닌 기초 자산의 성과에서 도출해야 한다.

샤프 비율은 트레이너 비율 및 젠센의 알파와 함께 포트폴리오 또는 뮤추얼 펀드 운용역의 성과를 순위 매기는 데 자주 사용된다. 버크셔 해서웨이는 1976년부터 2017년까지 0.79의 샤프 비율을 기록했으며, 이는 30년 이상의 역사를 가진 다른 어떤 주식 또는 뮤추얼 펀드보다 높다. 같은 기간 동안 주식 시장의 샤프 비율은 0.49였다.^[4]

샤프 비율은 현대 포트폴리오 이론(MPT) 및 자본 자산 가격 모델(CAPM)을 기초로 한 투자의 효율성 기준이다. 어떤 포트폴리오의 수익률을 $R\_\{p\}$라고 할 때, 해당 포트폴리오의 샤프 비율 $S\_\{p\}$는 다음과 같이 정의된다.

:$S\_\{p\}\; =\; \backslash frac\{E[R\_\{p\}]\; -\; r\_\backslash mathrm\{f\}\}\{\backslash sqrt\{\backslash mathrm\{Var\}(R\_\{p\})\}\}$

여기서 $E[R\_\{p\}]$는 $R\_\{p\}$의 기대값이며, $\backslash mathrm\{Var\}(R\_\{p\})$는 $R\_\{p\}$의 분산, $r\_\backslash mathrm\{f\}$는 무위험 금리 (무위험 자산의 금리)이다. 샤프 비율의 분자는 해당 포트폴리오의 위험 프리미엄이며, 분모는 표준 편차이므로, 1 표준 편차당 무위험 자산에 대한 초과 수익이 어느 정도인지를 나타낸다. 따라서 샤프 비율이 클수록 효율적으로 투자가 이루어지고 있다고 할 수 있다. 특히 투자신탁과 같은 펀드의 성과 평가에 사용된다.

실제 데이터에 적용할 때는 어떤 포트폴리오의 $n$ 기간의 수익률 실적 $R\_\{p,i\},\backslash ;i=1,\backslash dots,n$이 얻어졌다고 가정하고, 다음과 같이 계산한다.

:$\backslash widehat\; S\_\{p\}\; =\; \backslash dfrac\{\backslash overline\; R\_\{p\}\; -\; r\_\backslash mathrm\{f\}\}\{\backslash widehat\backslash sigma\_\{p\}\}$

단,

:$\backslash overline\; R\_\{p\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{n\}\backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}R\_\{p,i\},\backslash quad\; \backslash widehat\backslash sigma\_\{p\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{1\}\{n-1\}\backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}\backslash Big(R\_\{p,i\}\; -\; \backslash overline\; R\_\{p\}\backslash Big)^2\}$

이다.

4. 역사

1952년, 앤드루 D. 로이(Andrew D. Roy)는 "(m-d)/σ" 비율을 최대화할 것을 제안했는데, 여기서 m은 예상 총 수익, d는 "재난 수준" (최소 허용 수익률 또는 MAR), σ는 수익률의 표준 편차이다.^[7] 이 비율은 샤프 비율과 유사하나, 분자에 무위험 이자율 대신 최소 허용 수익률을 사용하고 분모에 초과 수익률의 표준 편차 대신 수익률의 표준 편차를 사용한다는 차이점이 있다. 로이의 비율은 소르티노 비율과도 관련이 있는데, 소르티노 비율은 분자에 MAR을 사용하지만 분모에는 다른 표준 편차 (반/하방 편차)를 사용한다.

1966년, 윌리엄 F. 샤프(William F. Sharpe)는 현재 샤프 비율로 알려진 것을 개발했다.^[8] 샤프는 처음에는 이를 "변동성에 대한 보상" 비율이라고 불렀으나, 이후 학자들과 금융 운영자들이 샤프 비율이라고 부르기 시작했다. 샤프 비율의 정의는 다음과 같다.

:$S\; =\; \backslash frac\{E[R-R\_f]\}\{\backslash sqrt\{\backslash mathrm\{var\}[R]\}\}.$

1994년, 샤프는 비교 기준이 시간에 따라 변하는 적용 가능한 벤치마크여야 함을 인정하여 샤프 비율의 정의를 다음과 같이 개정했다.

:$S\; =\; \backslash frac\{E[R-R\_b]\}\{\backslash sqrt\{\backslash mathrm\{var\}[R-R\_b]\}\}.$

$R\_f$가 기간 내내 일정한 무위험 수익률인 경우, 다음이 성립한다.

:$\backslash sqrt\{\backslash mathrm\{var\}[R-R\_f]\}=\backslash sqrt\{\backslash mathrm\{var\}[R]\}$

원래의 샤프 비율은 시장 하락기 동안 펀드 성과 측정치로서 적합한지에 대해 종종 이의가 제기되었다.^[9]

5. 이론

샤프 비율은 현대 포트폴리오 이론(MPT) 및 자본 자산 가격 모델(CAPM)을 기초로 한 투자의 효율성 기준이다. 젠센의 알파와 트레이너 지수 역시 MPT나 CAPM을 기초로 한 투자 효율성 기준이다.

어떤 포트폴리오의 수익률을 $R\_\{p\}$라고 할 때, 해당 포트폴리오의 샤프 비율 $S\_\{p\}$는 다음과 같이 정의된다.

:$S\_\{p\}\; =\; \backslash frac\{E[R\_\{p\}]\; -\; r\_\backslash mathrm\{f\}\}\{\backslash sqrt\{\backslash mathrm\{Var\}(R\_\{p\})\}\}$

여기서 $E[R\_\{p\}]$는 $R\_\{p\}$의 기대값이며, $\backslash mathrm\{Var\}(R\_\{p\})$는 $R\_\{p\}$의 분산, $r\_\backslash mathrm\{f\}$는 무위험 금리(무위험 자산의 금리)이다. 샤프 비율의 분자는 해당 포트폴리오의 위험 프리미엄이며, 분모는 표준 편차이므로, 1 표준 편차당 무위험 자산에 대한 초과 수익이 어느 정도인지를 나타낸다. 따라서 샤프 비율이 클수록 효율적으로 투자가 이루어지고 있다고 할 수 있다. 특히 투자신탁과 같은 펀드의 성과 평가에 사용된다.

실제 데이터에 적용할 때는 어떤 포트폴리오의 $n$ 기간의 수익률 실적 $R\_\{p,i\},\backslash ;i=1,\backslash dots,n$이 얻어졌다고 가정하고, 다음과 같이 계산한다.

:$\backslash widehat\; S\_\{p\}\; =\; \backslash dfrac\{\backslash overline\; R\_\{p\}\; -\; r\_\backslash mathrm\{f\}\}\{\backslash widehat\backslash sigma\_\{p\}\}$

단,

:$\backslash overline\; R\_\{p\}\; =\; \backslash frac\{1\}\{n\}\backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}R\_\{p,i\},\backslash quad\; \backslash widehat\backslash sigma\_\{p\}\; =\; \backslash sqrt\{\backslash frac\{1\}\{n-1\}\backslash sum\_\{i=1\}^\{n\}\backslash Big(R\_\{p,i\}\; -\; \backslash overline\; R\_\{p\}\backslash Big)^2\}$

이다.

5. 1. 샤프 비율과 접점 포트폴리오

5. 2. 샤프 비율과 CAPM

6. 강점과 약점

샤프 비율은 수익률의 원천에 대한 추가 정보 없이, 시계열 수익률 관측 자료만으로도 직접 계산할 수 있다는 장점이 있다.^[2] 트레이너 비율이 포트폴리오의 체계적 위험만을 반영하는 반면, 샤프 비율은 체계적 위험과 고유 위험 모두를 반영한다.^[4] 측정된 수익률은 다양한 측정 주기를 가질 수 있고 (일간, 주간, 월간 혹은 연간 수익률), 정규 분포를 따르는 한 수익률은 연환산될 수 있다.

하지만 샤프 비율은 위험을 변동성으로 간주하고, 변동성은 나쁘다는 개념에 의존한다. 이는 변동성을 줄여 더 높은 수익률을 달성할 가능성을 떨어뜨린다. 또한 모든 변동성을 동일하게 취급하여 상승 변동성(높은 수익률)을 가진 전략에 불이익을 준다.

그 외에도 다음과 같은 약점들이 존재한다.

• 수익률이 정규 분포를 따르지 않는 경우 (예: 첨도, 팻 테일, 왜도), 샤프 비율은 왜곡될 수 있다.
• 베일리와 로페즈 데 프라도(Bailey and López de Prado, 2012)의 연구에 따르면, 샤프 비율은 짧은 운용 경력을 가진 헤지펀드에서 과대평가되는 경향이 있다.
• 특정 시점의 값이기 때문에, 다양한 투자의 샤프 비율을 해석하기 어려울 수 있다. (예: 샤프 비율 0.5가 -0.2보다 얼마나 더 좋은지 판단하기 어렵다.)
• 폰지 사기처럼, 샤프 비율은 조작에 취약할 수 있다.
• 음의 샤프 비율은 그 의미가 명확하지 않다.
• 위험 프리미엄이 음수일 때 샤프 비율의 의미가 명확하지 않은 경우가 있다.

6. 1. 강점

6. 2. 약점

7. 샤프 비율의 대안

샤프 비율의 단점으로는 위험 프리미엄이 음수일 때 그 의미가 명확하지 않게 되는 경우가 있다는 점이다. 예를 들어 동일한 위험 프리미엄을 실현하는 포트폴리오 A, B를 생각해 보자. 포트폴리오 A, B의 수익률을 각각 $R\_\{A\},R\_\{B\}$라고 하면, 샤프 비율 $S\_A,S\_B$는 다음과 같다.

:$S\_A\; =\; \backslash frac\{E[R\_\{A\}]\; -\; r\_\backslash mathrm\{f\}\}\{\backslash sqrt\{\backslash mathrm\{Var\}(R\_\{A\})\}\},\backslash quad\; S\_B\; =\; \backslash frac\{E[R\_\{B\}]\; -\; r\_\backslash mathrm\{f\}\}\{\backslash sqrt\{\backslash mathrm\{Var\}(R\_\{B\})\}\}$

여기서, 포트폴리오 A, B의 위험 프리미엄이 음수라고 가정한다. 즉,

:

이다. 이때, 라면, 위험 프리미엄이 음수이므로 가 된다. 즉, 포트폴리오 B는 동일한 위험 프리미엄으로 포트폴리오 A보다 더 큰 위험을 감수하면서, 샤프 비율은 포트폴리오 A보다 커진다. 위험 프리미엄 항목에서 설명되어 있듯이, 위험 프리미엄은 일반적으로 양수이지만, 실제 데이터를 사용하여 샤프 비율을 계산할 때, 공황 시기의 데이터 등이 포함되어 있으면, 추정 위험 프리미엄이 음수가 되는 경우가 있다. 이러한 데이터를 사용하여 샤프 비율로 성과 비교를 하면 위에서 언급한 문제와 같은 문제가 발생할 수 있다. 이러한 문제를 피하기 위해 샤프 비율의 제곱을 사용하는 경우가 있다.^[17][18] 즉,

:$S\_\{p\}^2\; =\; \backslash frac\{(E[R\_\{p\}]\; -\; r\_\backslash mathrm\{f\})^2\}\{\backslash mathrm\{Var\}(R\_\{p\})\}$

이다. 위의 예에서 언급한 포트폴리오 A, B에 대해, 여도, 위험 프리미엄이 음수이므로, $S\_A^2\; >\; S\_B^2$가 된다. 따라서 더 큰 위험을 감수하는 포트폴리오 B가 샤프 비율의 제곱이 더 작아지는 것을 알 수 있다. 그러나 샤프 비율이 1표준 편차당 초과 수익률이라는 명확한 의미를 가졌던 것에 비해, 그 제곱이 어떤 의미를 갖는지는 명확하지 않으며, 양의 위험 프리미엄을 가진 포트폴리오의 샤프 비율의 제곱이 음의 위험 프리미엄을 가진 포트폴리오의 샤프 비율의 제곱보다 작아질 수 있으므로, 모든 문제가 해결되는 것은 아니다.

참조

_[1] 논문 The Sharpe Ratio http://www.stanford.[...] 2012-06-12
_[2] 논문 Sharpe Ratios and Their Fundamental Components: An Empirical Study
_[3] 논문 Risks and Portfolio Decisions Involving Hedge Funds https://www.jstor.or[...] 2004
_[4] 논문 Buffett's Alpha https://www.tandfonl[...] 2018-09-01
_[5] 논문 Performance hypothesis testing with the Sharpe and Treynor measures 1981-09
_[6] 논문 A test of the efficiency of a given portfolio 1989-09
_[7] 논문 Safety First and the Holding of Assets 1952-07
_[8] 논문 Mutual Fund Performance
_[9] 논문 Refinements to the Sharpe ratio: Comparing alternatives for bear markets
_[10] 웹사이트 Understanding The Sharpe Ratio http://www.investope[...] 2011-03-14
_[11] 서적 Paul Wilmott introduces Quantitative Finance https://archive.org/[...] Wiley 2007
_[12] 논문 The Statistics of Sharpe Ratios 2002-07
_[13] 문서 Bailey, D. and M. López de Prado (2012): "The Sharpe Ratio Efficient Frontier", Journal of Risk, 15(2), pp.3–44. Available at https://ssrn.com/abstract=1821643
_[14] 문서 Bailey, D. and M. Lopez de Prado (2013): "The Strategy Approval Decision: A Sharpe Ratio Indifference Curve approach", Algorithmic Finance 2(1), pp. 99–109 Available at https://ssrn.com/abstract=2003638
_[15] 간행물 The Principal-Agent Problem in Finance https://www.cfainsti[...] CFA Institute
_[16] 문서 Sharpe
_[17] 문서 Treynor and Black
_[18] 문서 Sharpe
_[19] 논문 Mutual Fund Performance