세잎매듭

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1. 개요
2. 성질
- 2.1. 수학적 표현
- 2.2. 매듭 불변량
3. 분류
4. 종교 및 문화에서의 상징성
5. 현대 미술에서의 등장
6. 한국 전통 매듭과의 관련성
7. 기타
참조

1. 개요

세잎매듭은 가장 단순한 비자명 매듭으로, 3개의 교차점을 가지며, 왼쪽과 오른쪽 두 종류의 키랄성을 갖는다. 수학적으로는 매개변수 방정식으로 표현되며, (2,3)-원환면 매듭과 동일하다. 세잎매듭은 가역적이고 소수 매듭이며, 교대 매듭이자 매듭 해소 수가 1이다. 다양한 매듭 불변량을 통해 특성을 규명할 수 있으며, 알렉산더 다항식, 콘웨이 다항식, 존스 다항식, 매듭군 등이 존재한다. 매듭 이론에서 최초의 비자명 매듭이며, 3₁으로 표기된다. 또한 종교 및 문화에서 상징적인 의미를 가지며, 현대 미술 작품과 한국 전통 매듭인 생쪽매듭과 관련이 있다.

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세잎매듭
기본 정보
삼엽매듭
실용적인 이름	오버핸드 매듭
수학적 특성
아르프 불변량	1
땋은 끈 길이	3
땋은 끈 숫자	2
다리 숫자	2
횡단면 숫자	1
교차 횟수	3
종수	1
쌍곡 부피	0
막대 숫자	6
풀림 숫자	1
터널 숫자	1
명칭
콘웨이 표기법	[3]
알렉산더-브리그스 표기법	3₁
다우커 표기법	4, 6, 2
마지막 교차	0
마지막 순서	1
다음 교차	4
다음 순서	1
추가 속성
교대	교대
종류	토러스
섬유화	섬유화
프레첼	프레첼
소수	소수
조각	매듭 조각
대칭	가역적
삼색 가능	삼색 가능
꼬임	꼬임

2. 성질

세잎매듭은 가장 단순한 비자명 매듭으로, 3개의 교차점을 가진 유일한 매듭이다. 세잎매듭은 키랄성을 가지며, 왼쪽 세잎매듭과 오른쪽 세잎매듭 두 종류가 존재한다. 이들은 서로 거울상이지만 겹쳐지지 않는다.

왼손 세잎매듭을 오른손 세잎매듭으로, 또는 그 반대로 연속적으로 변형하는 것은 불가능하다.

세잎매듭은 가역적이다. 즉, 매듭의 방향을 반대로 바꿔도 동일한 매듭이다. 세잎매듭의 카이랄성은 곡선의 방향이 아니라 위와 아래의 교차점에만 의존한다.

세잎매듭은 소수 매듭이다. 즉, 다른 자명하지 않은 매듭들의 합성으로 나타낼 수 없다.

세잎매듭은 교대 매듭이다. 즉, 교차점을 지날 때마다 위, 아래 방향이 번갈아 나타나는 사영도를 가진다.

세잎매듭의 매듭 해소 수는 1이다. 즉, 한 번의 교차 변환을 통해 자명한 매듭(매듭 풀린 원)으로 풀 수 있다. 삼색가능하지만, 매듭 풀린 원은 그렇지 않다.

== 수학적 표현 ==

세잎매듭은 다음 매개 변수 방정식으로 얻을 수 있는 곡선으로 정의할 수 있다.

:

\begin{align}x &= \sin t + 2 \sin 2t \\y &= \cos t - 2 \cos 2t \\z &= -\sin 3t\end{align}

(2,3)-원환면 매듭 또한 세잎매듭이다. 다음 매개변수 방정식은 원환면

(r-2)^2+z^2 = 1

위에 놓이는 (2,3)-원환면 매듭을 제공한다.

:

\begin{align}x &= (2+\cos 3t) \cos 2t \\y &= (2+\cos 3t )\sin 2t \\z &= \sin 3t\end{align}

위 곡선의 임의의 연속적인 변형도 세잎매듭으로 간주된다. 구체적으로, 세잎매듭과 동위인 임의의 곡선 또한 세잎매듭으로 간주된다. 또한, 세잎매듭의 거울상도 세잎매듭으로 간주된다. 대수 기하학에서, 세잎매듭은 단위 3-구 ''S''³과 복소 다항식 ''z''² + ''w''³ (a 첨점 입방체)의 영점의 복소 평면 곡선의 '''C'''² 내 교차로 얻을 수도 있다.

== 매듭 불변량 ==

세잎매듭은 다양한 매듭 불변량을 통해 그 특성을 규명할 수 있다. 알렉산더 다항식은 다음과 같다.^[2]

:

\Delta(t) = t - 1 + t^{-1}

콘웨이 다항식은 다음과 같다.^[2]

:

\nabla(z) = z^2 + 1

존스 다항식은 다음과 같다.

:

V(q) = q^{-1} + q^{-3} - q^{-4}

세잎매듭의 매듭군은 다음과 같은 표현으로 주어진다.^[3]

:

\langle x,y \mid x^2=y^3 \rangle

또는 동등하게는

:

\langle x,y \mid xyx=yxy \rangle

이 군은 3개의 가닥을 가진 브레이드 군과 동형이다.

2. 1. 수학적 표현

세잎매듭은 다음 매개 변수 방정식으로 얻을 수 있는 곡선으로 정의할 수 있다.

:

\begin{align}x &= \sin t + 2 \sin 2t \\y &= \cos t - 2 \cos 2t \\z &= -\sin 3t\end{align}

(2,3)-원환면 매듭 또한 세잎매듭이다. 다음 매개변수 방정식은 원환면

(r-2)^2+z^2 = 1

위에 놓이는 (2,3)-원환면 매듭을 제공한다.

:

\begin{align}x &= (2+\cos 3t) \cos 2t \\y &= (2+\cos 3t )\sin 2t \\z &= \sin 3t\end{align}

위 곡선의 임의의 연속적인 변형도 세잎매듭으로 간주된다. 구체적으로, 세잎매듭과 동위인 임의의 곡선 또한 세잎매듭으로 간주된다. 또한, 세잎매듭의 거울상도 세잎매듭으로 간주된다. 대수 기하학에서, 세잎매듭은 단위 3-구 ''S''³과 복소 다항식 ''z''² + ''w''³ (a 첨점 입방체)의 영점의 복소 평면 곡선의 '''C'''² 내 교차로 얻을 수도 있다.

2. 2. 매듭 불변량

세잎매듭은 다양한 매듭 불변량을 통해 그 특성을 규명할 수 있다. 알렉산더 다항식은 다음과 같다.^[2]

:

\Delta(t) = t - 1 + t^{-1}

콘웨이 다항식은 다음과 같다.^[2]

:

\nabla(z) = z^2 + 1

존스 다항식은 다음과 같다.

:

V(q) = q^{-1} + q^{-3} - q^{-4}

세잎매듭의 매듭군은 다음과 같은 표현으로 주어진다.^[3]

:

\langle x,y \mid x^2=y^3 \rangle

또는 동등하게는

:

\langle x,y \mid xyx=yxy \rangle

이 군은 3개의 가닥을 가진 브레이드 군과 동형이다.

3. 분류

매듭 이론에서, 세잎매듭은 최초의 비자명 매듭이며, 교차수가 3인 유일한 매듭이다. 소수 매듭이며, 알렉산더-브리그스 표기법에서 3₁으로 표시된다. 세잎매듭의 도우커 표기법은 4 6 2이고, 컨웨이 표기법은 [3]이다.

세잎매듭은 (2,3)-토러스 매듭으로 설명될 수 있다. 또한 브레이드 σ₁³을 닫아서 얻는 매듭이기도 하다.

세잎매듭은 교차 매듭이다. 그러나, 슬라이스 매듭은 아닌데, 이는 4차원 공에서 매끄러운 2차원 디스크를 경계로 하지 않는다는 의미이다. 이를 증명하는 한 가지 방법은 그 시그니처가 0이 아니라는 점을 주목하는 것이다. 또 다른 증명은 그것의 알렉산더 다항식이 폭스-밀너 조건을 만족시키지 않는다는 것이다.

세잎매듭은 섬유 매듭인데, 이는 $S^3$ 에서의 여집합이 원 $S^1$ 위의 섬유 다발이라는 것을 의미한다. 세잎매듭 '''K'''는 $|z|^2+|w|^2=1$ 이고 $z^2+w^3=0$ 을 만족하는 복소수 쌍 $(z,w)$ 의 집합으로 볼 수 있다. 그러면 이 섬유 다발은 매듭 여집합 $S^3 \setminus \mathbf{K}$ 에서 원 $S^1$ 으로의 섬유 다발 사영으로 밀너 사상 $\phi(z, w) = (z^2+w^3) / |z^2+w^3|$ 을 가진다. 섬유는 한 번 구멍난 토러스이다. 매듭 여집합은 또한 경계를 가진 자이페르트 섬유화된 공간이므로, 수평적인 비압축 가능 표면을 갖는다—이것 또한 밀너 사상의 섬유이다.

4. 종교 및 문화에서의 상징성

세잎매듭은 단순하면서도 독특한 형태로 인해 다양한 문화권에서 상징적인 의미를 지닌다. 고대 노르드족의 묠니르 펜던트, 켈트 십자가, 카롤링거 십자가 등에서 세잎매듭 문양이 발견된다. 트리케트라 기호는 세잎매듭의 한 형태이며, 삼위일체 등을 상징하는 데 사용된다. 게르만족의 발크누트 또한 세잎매듭과 유사한 형태를 가진다.

5. 현대 미술에서의 등장

현대 미술에서 M.C. 에셔(M. C. Escher)의 목판화 "매듭"에는 세 개의 세잎매듭이 다양한 방식으로 꼬여 있는 입체들이 묘사되어 있다. ATV(Asia Television) 로고에 세잎 매듭이 사용되었다.

6. 한국 전통 매듭과의 관련성

한국의 전통 매듭 중 하나인 생쪽매듭은 세잎매듭과 유사한 형태를 가지며, 장식적인 용도로 널리 사용되었다. 도포(道袍)의 끈, 장신구 등에 생쪽 매듭이 사용된 예를 찾아볼 수 있다.

7. 기타

참조

_[1] 서적 Knots: Useful & Ornamental 1933
_[2] 기타 Knot Atlas
_[3] 웹사이트 Trefoil Knot 2013-05-05
_[4] 웹사이트 The Official M.C. Escher Website — Gallery — "Knots" https://www.mcescher[...]
_[5] 서적 メビウスの帯日経BP社 2007

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