곡선

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1. 개요
2. 역사
3. 정의
- 3.1. 다양한 곡선의 종류
4. 미분 가능한 곡선
- 4.1. 호
5. 대수 곡선
- 5.1. 주요 대수 곡선
6. 한국의 역사와 문화 속 곡선
7. 곡선의 응용
참조

1. 개요

곡선은 수학적 연구 대상이자, 선사 시대 유물에서도 발견되는 형태이다. 고대 그리스 기하학자들은 다양한 곡선을 연구했으며, 17세기 해석 기하학의 도입으로 곡선은 방정식으로 정의되고 대수 곡선과 초월 곡선으로 구분되었다. 곡선은 다양체 이론의 특수한 경우로 간주되며, 공간 채움 곡선, 조르당 곡선 정리 등과 관련한 문제들이 연구되었다. 곡선은 실수 구간에서 위상 공간으로의 연속 함수로 정의되며, 단순 곡선, 평면 곡선, 공간 곡선, 닫힌 곡선 등의 종류가 있다. 미분 가능한 곡선은 미분 가능한 다양체로의 단사 미분 가능 함수의 국소적인 이미지로 정의되며, 호, 대수 곡선 등의 개념으로 확장된다. 대수 곡선은 f(x, y) = 0을 만족하는 점들의 집합으로, 원뿔 곡선, 타원 곡선, 페르마 곡선 등이 있다.

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곡선

2. 역사

곡선에 대한 관심은 수학적 연구 대상이 되기 훨씬 이전부터 존재했으며, 선사 시대 유물에서도 곡선 형태의 장식을 발견할 수 있다.

원뿔을 자르면 만들어지는 곡선(원뿔 곡선)은 고대 그리스 수학에서 연구된 곡선 중 하나였다.

고대 그리스 기하학자들은 자와 컴퍼스 작도만으로는 해결할 수 없는 문제를 해결하기 위해 다양한 곡선을 연구했다. 대표적인 예는 다음과 같다.

페르가의 아폴로니우스가 연구한 원뿔 곡선
디오클레스가 연구하고 정육면체 배가 문제를 해결하는 방법으로 사용된 디오클레스의 시소이드^[5]
니코메데스가 정육면체 배가 문제와 각의 3등분을 모두 해결하는 방법으로 연구한 니코메데스의 콘코이드^[6]
아르키메데스가 각의 3등분과 원적 문제를 해결하는 방법으로 연구한 아르키메데스 나선^[7]

해석 기하학은 데카르트의 엽선과 같은 곡선을 기하학적 작도가 아닌 방정식으로 정의할 수 있게 했다.

17세기 르네 데카르트의 해석 기하학 도입은 방정식을 통해 곡선을 설명하고, 대수 곡선과 초월 곡선을 구분하는 계기가 되었다. 요하네스 케플러는 원뿔 곡선을 천문학에 적용했고, 아이작 뉴턴은 변분법을 통해 곡선의 속성을 연구했다. (예: 최속강하선, 등시곡선, 사이클로이드, 현수선)

18세기에는 평면 대수 곡선 이론이 발전했으며, 베주 정리는 특이점과 복소수 해를 포함하는 곡선 연구의 중요성을 보여주었다.

19세기 이후 곡선 이론은 다양체 및 대수적 다양체 이론의 특수한 경우로 간주되며, 공간 채움 곡선, 요르단 곡선 정리, 힐베르트의 16번째 문제 등 곡선과 관련된 다양한 문제들이 연구되었다.

3. 정의

실수 범위에서 구간 $I$ 와 위상 공간 $X$ 가 있을 때, '''곡선''' $\gamma$ 는 연속 함수 $\gamma\colon I \to X$ 이다. $\gamma$ 의 상을 곡선으로 정의하기도 한다.

단사 함수인 곡선을 '''단순 곡선'''(simple curve^영어)이라고 한다. 만약 정의역의 구간이 폐구간인 경우, 구간의 양 끝에 사상되는 두 점이 같은 경우도 단순 곡선이라고 한다.

$X$ 가 평면인 곡선을 '''평면 곡선'''(plane curve^영어), $X$ 가 3차원인 곡선을 '''공간 곡선'''(space curve^영어)이라고 한다. '''위상 곡선'''은 연속 함수 $\gamma \colon I \rightarrow X$ 로 정의될 수 있으며, 여기서 $I$ 는 실수의 구간이고, $X$ 는 위상 공간이다. 엄밀히 말하면, ''곡선''은 $\gamma$ 의 상이다. 그러나 어떤 문맥에서는, 특히 상이 일반적으로 곡선이라고 불리는 것과 다르게 보이고, $\gamma$ 를 충분히 특징짓지 못하는 경우 $\gamma$ 자체를 곡선이라고 부른다.

곡선 $\gamma$ 가 '''닫힌'''(closed curve^영어) 또는 ''고리''는 $I = [a, b]$ 이고 $\gamma(a) = \gamma(b)$ 일 때이다. 따라서 닫힌 곡선은 원의 연속 사상의 상이다. 닫히지 않은 곡선은 '''''열린 곡선''''이라고도 할 수 있다.

위상 곡선의 정의역이 닫힌 유계 구간 $I = [a, b]$ 인 경우, 해당 곡선을 ''경로''라고 하며, ''위상 호''라고도 한다.

일반적으로 '''곡선'''은 실수 직선 내의 구간에서 위상 공간으로의 연속 사상을 통해 정의된다. 사상 자체를 곡선이라고 부르거나, 상을 곡선이라고 부르는지는 문맥에 따라 다르다.

( $I$ 의 단점 이외의) 적당한 $x \ne y$ 에서 $\gamma(x) = \gamma(y)$ 가 된다면, $\gamma(x)$ 는 이 곡선의 '''다중점''' (최소한 '''이중점''')이라고 불리는 곡선의 특이점이다.

'''평면 곡선'''은

X

가 유클리드 평면, 경우에 따라서는 사영 평면인 경우의 곡선을 말한다. '''공간 곡선'''은

X

가 3차원 공간 (보통은 유클리드 공간)인 경우를 말하며, '''비평면 곡선'''은 어떤 평면 위에도 놓이지 않는 공간 직선을 말한다. 이러한 평면, 공간, 비평면 곡선의 구분은 실대수기하학에도 적용할 수 있지만, 대수 곡선이 여기서 말하는 곡선의 정의를 만족시키지 않는다는 점에 주의해야 한다 (예를 들어, 실대수 곡선은 비연결일 수 있다).

여기서 정의하는 곡선은 폭이 없고 끊어짐이 없는 '직선과 같은' 연결되고 연속적인 도형이라는 곡선에 대한 직관적인 개념을 잘 포착하고 있지만, 일반적인 의미에서는 곡선이라고 하기 어려운 병적인 도형도 포함한다.

3. 1. 다양한 곡선의 종류

실수 범위의 구간에서 위상 공간으로의 연속 함수를 통해 곡선을 정의할 수 있다. 가장 일반적인 곡선의 형태는 연속 함수로 정의되는 위상 곡선이다.

'''단순 곡선''': 자기 교차가 없는 곡선이다. 즉, 곡선이 구간을 정의역으로 하는 연속 함수에 의해 정의된 경우, 구간의 서로 다른 두 점이 서로 다른 상을 가지는 경우를 말한다. 단, 점이 구간의 끝점인 경우는 예외이다.
'''닫힌 곡선''': 시작점과 끝점이 같은 곡선이다. 닫힌 곡선은 원의 연속 사상의 상이다.
'''조르당 곡선''': 평면 위의 단순 닫힌 곡선으로, 조르당 곡선 정리에 따르면 평면을 두 개의 영역으로 나눈다.
'''공간 채움 곡선''': 정사각형과 같은 2차원 영역을 채우는 곡선이다. 페아노 곡선이 대표적인 예시이다.
'''프랙탈 곡선''': 자기 유사성을 가지는 곡선으로, 하우스도르프 차원이 1보다 클 수 있다. 코흐 눈송이와 드래곤 곡선 등이 있다.^[10]

4. 미분 가능한 곡선

대략적으로 말해서, '''미분 가능한 곡선'''은 실수의 구간 ''I''에서 미분 가능 다양체 ''X''(흔히 $\mathbb{R}^n$ )로의 단사 미분 가능 함수 $\gamma \colon I \rightarrow X$ 의 국소적인 이미지로 정의되는 곡선이다.

더 정확하게 말하면, 미분 가능한 곡선은 ''X''의 부분 집합 ''C''로, ''C''의 모든 점이 실수 구간과 미분 동형인 이웃 ''U''를 갖는 집합 $C\cap U$ 이다. 다시 말해, 미분 가능한 곡선은 차원이 1인 미분 가능한 다양체이다.

$X$ 가 매끄러운 다양체이면, $X$ 의 '''매끄러운 곡선'''은 매끄러운 함수 $\gamma \colon I \rightarrow X$ 로 정의한다.

$X$ 가 $C^k$ 다양체 (즉, 차트가 $k$ 번 연속 미분 가능한 다양체)이면, $X$ 의 $C^k$ 곡선은 $k$ 번 연속 미분 가능하다고만 가정되는 곡선이다. $X$ 가 해석적 다양체 (즉, 무한히 미분 가능하며 차트가 멱급수로 표현될 수 있음)이고 $\gamma$ 가 해석적 함수이면, $\gamma$ 를 '''해석적 곡선'''이라고 한다.

미분 가능한 곡선의 미분이 0이 아닌 경우, 그 곡선은 정칙 곡선이라고 한다. (다시 말해, 정칙 곡선은 멈추거나 뒤로 물러서지 않는다.) 두 $C^k$ 미분 가능 곡선 $\gamma_1 \colon I \rightarrow X$ 와 $\gamma_2 \colon J \rightarrow X$ 가 전단사 $C^k$ 함수 $p \colon J \rightarrow I$ 가 존재하여 역함수 $p^{-1} \colon I \rightarrow J$ 도 $C^k$ 이고, 모든 $t$ 에 대해 $\gamma_{2}(t) = \gamma_{1}(p(t))$ 가 성립하면 ''동치''라고 한다. 함수 $\gamma_2$ 는 $\gamma_1$ 의 '''재매개변수화'''라고 한다.

4. 1. 호

유클리드 기하학에서 호(⌒)는 미분가능 함수의 연결된 부분 집합이다.

선의 호는 경계가 어떻게 정해지느냐에 따라 선분, 반직선, 또는 선이라고 불린다.

일반적인 곡선 예시는 원의 호인 원호이다.

구 (또는 타원체)에서 대원 (또는 대타원)의 호를 '''대호'''라고 한다.

5. 대수 곡선

대수 곡선은 대수 기하학에서 다루는 곡선으로, 다항식 방정식으로 정의된다. 평면 대수 곡선은 두 변수 다항식의 영점으로 정의되는 점들의 집합이다. 대수 기하학에서는 주어진 체뿐만 아니라 대수적 폐체의 좌표를 갖는 점들도 고려한다. 실수 좌표를 갖는 점은 실수점, 복소수 좌표를 갖는 점은 복소수점이라고 한다. 유리수 좌표를 갖는 점은 유리점이라고 한다.

대수 곡선은 공간 곡선이나 고차원 공간의 곡선으로 일반화될 수 있다. 완전 교차는 n차원 공간에서 n-1개의 다항식으로 정의되는 곡선이다. 대수 곡선은 사영 평면에서 동차 다항식을 이용하여 정의할 수도 있다.

5. 1. 주요 대수 곡선

대수 기하학에서 다루는 대수 곡선 가운데 중요한 예시는 다음과 같다.

원뿔 곡선: 차수가 2이고, 종수가 0인 비특이 곡선이다. 타원, 포물선, 쌍곡선 등이 있다.
타원 곡선: 종수가 1인 비특이 곡선으로, 수론에서 다루어지며 암호학에서 중요하게 응용된다.
페르마 곡선: xⁿ + yⁿ = 1 형태로 표현되는 곡선이다. 페르마의 마지막 정리와 관련하여 유명하다.
리만 곡면: 비특이 복소 사영 대수 곡선이다.

6. 한국의 역사와 문화 속 곡선

삼국시대부터 조선시대에 이르기까지 한국의 전통 건축, 공예, 회화 등 다양한 예술 분야에서 곡선의 아름다움을 찾아볼 수 있다. 불국사 다보탑, 경복궁 근정전, 숭례문 등 한국의 전통 건축물은 지붕, 기둥, 난간 등에서 다양한 곡선미를 보여준다. 고려청자의 유려한 곡선, 조선백자의 둥근 형태는 한국 도자기의 대표적인 특징이다. 한국 전통 회화에서는 산수화, 풍속화 등에서 부드러운 곡선을 사용하여 자연의 아름다움과 인간의 삶을 표현했다. 현대 한국 사회에서도 곡선은 디자인, 패션, 건축 등 다양한 분야에서 활용되며, 한국적인 아름다움을 표현하는 중요한 요소로 인식되고 있다.

7. 곡선의 응용

곡선은 아주 오래전부터 사람들의 관심을 끌었으며, 선사 시대의 예술 작품이나 일상 용품에서도 곡선을 활용한 장식을 찾아볼 수 있다.

고대 그리스의 기하학자들은 자와 컴퍼스 작도로는 풀 수 없는 기하학적 문제를 해결하기 위해 다양한 곡선을 연구했다.

페르가의 아폴로니우스는 원뿔 곡선을 연구했다.
디오클레스의 시소이드는 Diocles (mathematician)|디오클레스^영어가 연구하여 입방 배적 문제에 사용했다.^[12]
니코메데스의 콘코이드는 Nicomedes (mathematician)|니코메데스^영어가 연구하여 입방 배적 문제와 각의 삼등분 문제 모두에 사용했다.^[12]
아르키메데스 나선은 시라쿠사의 아르키메데스가 연구하여 각의 삼등분 문제와 원적 문제에 사용했다.^[12]
spiric section|spiric section^영어 (페르세우스의 Toric section|토릭 곡선^영어)은 Perseus (geometer)|페르세우스^영어가 연구했는데, 이는 토러스를 평면으로 잘랐을 때 나타나는 곡선이다.

17세기 해석 기하학의 발전은 방정식을 사용하여 곡선을 설명할 수 있게 해주었다. 이는 대수 곡선과 그렇지 않은 곡선을 구분하는 계기가 되었다.

요하네스 케플러는 천문학에 원뿔 곡선을 응용했다. 아이작 뉴턴은 변분법의 초기 예인 최속강하곡선 문제나 등시곡선 문제의 해를 사이클로이드와 같은 곡선으로 제시했다. 현수선은 매달린 쇠사슬 문제의 해로 그 이름을 얻었다. 이러한 문제들은 미분법의 발전으로 해결 가능하게 되었다.

18세기에는 평면 대수 곡선론이 시작되었다. 뉴턴은 3차 곡선을 연구했고, 베주의 정리는 특이점과 복소수 해를 다루어야 할 필요성을 보여주었다.

19세기 이후 곡선은 사영 기하학과 미분 기하학의 1차원적 측면으로 다루어졌고, 위상 기하학에서도 연구되었다. 조르단 곡선 정리는 복소 해석에서 중요한 내용을 담고 있다. 공간 채움 곡선의 등장과 함께 현대적인 곡선의 정의가 확립되었다.

참조

_[1] 서적
_[2] 문서
_[3] 문서
_[4] 문서
_[5] 문서
_[6] 문서
_[7] 웹사이트 Spiral of Archimedes
_[8] 웹사이트 Jordan arc definition at Dictionary.com. Dictionary.com Unabridged. Random House, Inc http://dictionary.re[...] Dictionary.reference.com 2012-03-14
_[9] 서적 Depth, Crossings and Conflicts in Discrete Geometry https://books.google[...] Logos Verlag Berlin GmbH 2012
_[10] 논문 A Jordan Curve of Positive Area American Mathematical Society 1903-01
_[11] 서적 The Calculus https://books.google[...] MacMillan Company 1913
_[12] 웹사이트 Spiral of Archimedes
_[13] 웹사이트 Jordan arc definition at Dictionary.com. Dictionary.com Unabridged. Random House, Inc http://dictionary.re[...] Dictionary.reference.com 2012-03-14
_[14] 논문 A Jordan Curve of Positive Area American Mathematical Society 1903-01

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