슈뢰딩거-뉴턴 방정식

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1. 개요

슈뢰딩거-뉴턴 방정식은 양자 물질과 중력 사이의 상호작용을 설명하기 위해 제안된 비선형 슈뢰딩거 방정식이다. 이 방정식은 중력이 고전적이고 반고전적 아인슈타인 방정식을 통해 양자 물질에 연결된다는 가정 하에 유도될 수 있으며, 중력 포텐셜이 질량 밀도 연산자의 기댓값에 의해 결정된다. 슈뢰딩거-뉴턴 방정식은 다체계에서 중력 상호작용의 근사치로 사용될 수 있으며, 질량 중심 운동에 영향을 미친다. 하지만, 파동 함수 붕괴의 원인으로 해석하는 데에는 붕괴 후 잔류 확률, 본 규칙의 부재, 파동 함수의 실재성과 관련된 문제점들이 존재한다.

2. 슈뢰딩거-뉴턴 방정식의 수학적 형태

슈뢰딩거-뉴턴 방정식은 선형 슈뢰딩거 방정식의 대부분의 속성을 유지한다. 상수 위상 이동에 대해 불변이므로 확률 보존으로 이어지고, 갈릴레이 불변성을 가진다. 또한, 다음 변환에 대해 해가 보존된다.^[10]^[11]

: $m \to \mu\ m \ ,\qquad t \to \mu^{-5} t \ ,\qquad \mathbf{x} \to \mu^{-3} \mathbf{x} \ ,\qquad \psi(t, \mathbf{x}) \to \mu^{9/2} \psi(\mu^5 t, \mu^3 \mathbf{x})$

변수 분리를 통해 얻는 정상 방정식은 무한히 많은 정규화 가능한 해를 가지지만, 그 중 정상적인 바닥 상태만 안정적이다.^[12]^[13]^[14]

2. 1. 기본 형태

슈뢰딩거-뉴턴 방정식은 자체 상호작용 중력 퍼텐셜을 가진 일반적인 슈뢰딩거 방정식이며, 다음과 같이 표현된다.

:

i \hbar\ \frac{\partial\Psi}{\ \partial t\ } = -\frac{\ \hbar^2 }{\ 2\ m\ }\ \nabla ^2 \Psi\; +\; V\ \Psi\; +\; m\ \Phi\ \Psi\ ,

여기서

V

는 일반적인 퍼텐셜이고,

\Phi

는 입자가 자체 중력장과 상호작용하는 것을 나타내는 중력 퍼텐셜이며, 푸아송 방정식을 만족한다.

:

\ \nabla^2 \Phi = 4 \pi\ G\ m\ |\Psi|^2 ~.

파동 함수가 퍼텐셜에 다시 결합되기 때문에, 이는 비선형 시스템이다.

\Phi

를 푸아송 방정식의 해로 대체하면 슈뢰딩거-뉴턴 방정식의 적분-미분 형태를 얻을 수 있다.

:

i \hbar\ \frac{\ \partial \Psi\ }{ \partial t } = \left[\ -\frac{\ \hbar^2 }{\ 2\ m\ }\ \nabla ^2 \; + \; V \; - \; G\ m^2 \int \frac{\ | \Psi(t,\mathbf{y}) |^2}{\ |\mathbf{x} - \mathbf{y}|\ } \; \mathrm{d}^3 \mathbf{y}\ \right] \Psi ~.

이는 퍼텐셜이 무한대에서 사라져야 한다는 가정 하에 푸아송 방정식을 적분하여 얻어진다.

수학적으로, 슈뢰딩거-뉴턴 방정식은

n=2

에 대한 하트리 방정식의 특수한 경우이다. 이 방정식은 선형 슈뢰딩거 방정식의 대부분의 속성을 유지한다. 특히, 상수 위상 이동에 대해 불변이므로 확률 보존으로 이어지고, 완전한 갈릴레이 불변성을 나타낸다. 이러한 대칭 외에도, 다음의 동시 변환

:

m \to \mu\ m   \ ,\qquad   t \to \mu^{-5} t  \ ,\qquad \mathbf{x} \to \mu^{-3} \mathbf{x}  \ ,\qquad   \psi(t, \mathbf{x}) \to \mu^{9/2} \psi(\mu^5 t, \mu^3 \mathbf{x})

는 슈뢰딩거-뉴턴 방정식의 해를 해로 매핑한다.^[10]^[11]

변수 분리를 통해 통상적인 방식으로 얻을 수 있는 정상 방정식은 무한한 종류의 정규화 가능한 해를 가지며, 그 중 정상적인 바닥 상태만 안정적이다.^[12]^[13]^[14]

2. 2. 적분-미분 형태

푸아송 방정식의 해로

\ \Phi \

를 대체하면 슈뢰딩거-뉴턴 방정식의 적분-미분 형태를 얻는다.

i \hbar\ \frac{\ \partial \Psi\ }{ \partial t } = \left[\ -\frac{\ \hbar^2 }{\ 2\ m\ }\ \nabla ^2 \; + \; V \; - \; G\ m^2 \int \frac{\ | \Psi(t,\mathbf{y}) |^2}{\ |\mathbf{x} - \mathbf{y}|\ } \; \mathrm{d}^3 \mathbf{y}\ \right] \Psi ~.

이 방정식은 퍼텐셜이 무한대에서 사라진다는 가정 아래 푸아송 방정식을 적분하여 얻어진다.

수학적으로, 슈뢰딩거-뉴턴 방정식은 하트리 방정식의 특수한 경우()이다. 이 방정식은 선형 슈뢰딩거 방정식의 대부분의 속성을 유지한다. 특히 상수 위상 이동에 대해 불변이므로 확률 보존으로 이어지고 완전한 갈릴레이 불변성을 나타낸다. 이러한 대칭 외에도, 다음 변환

m \to \mu\ m   \ ,\qquad   t \to \mu^{-5} t  \ ,\qquad \mathbf{x} \to \mu^{-3} \mathbf{x}  \ ,\qquad   \psi(t, \mathbf{x}) \to \mu^{9/2} \psi(\mu^5 t, \mu^3 \mathbf{x})

는 슈뢰딩거-뉴턴 방정식의 해를 또 다른 해로 변환한다.^[10]^[11] 변수 분리를 통해 정상 방정식을 풀 수 있으며, 무한히 많은 정규화 가능한 해가 존재한다. 이 중 정상적인 바닥 상태만이 안정적이다.^[12]^[13]^[14]

2. 3. 하트리 방정식과의 관계

결합된 시스템으로서, 슈뢰딩거-뉴턴 방정식은 자체 상호작용 중력 퍼텐셜을 가진 일반적인 슈뢰딩거 방정식이다.

여기서 는 일반적인 퍼텐셜이고, 입자가 자체 중력장과 상호작용하는 것을 나타내는 중력 퍼텐셜

\ \Phi\

는 푸아송 방정식을 만족한다.

:

\ \nabla^2 \Phi = 4 \pi\ G\ m\ |\Psi|^2 ~.

^영어

파동 함수가 퍼텐셜에 다시 결합되기 때문에, 이는 비선형 시스템이다.

\ \Phi\

를 푸아송 방정식의 해로 대체하면 슈뢰딩거-뉴턴 방정식의 적분-미분 형태가 생성된다.

이것은 퍼텐셜이 무한대에서 사라져야 한다는 가정 하에 푸아송 방정식을 적분하여 위의 방정식 시스템에서 얻어진다.

수학적으로, 슈뢰딩거-뉴턴 방정식은 에 대한 하트리 방정식의 특수한 경우이다. 이 방정식은 선형 슈뢰딩거 방정식의 대부분의 속성을 유지한다. 특히, 이는 상수 위상 이동에 대해 불변이므로 확률 보존으로 이어지고 완전한 갈릴레이 불변성을 나타낸다. 이러한 대칭 외에도, 동시 변환

는 슈뢰딩거-뉴턴 방정식의 해를 해로 매핑한다.^[10]^[11] 변수 분리를 통해 통상적인 방식으로 얻을 수 있는 정상 방정식은 무한한 종류의 정규화 가능한 해를 가지며, 그 중 정상적인 바닥 상태만 안정적이다.^[12]^[13]^[14]

3. 슈뢰딩거-뉴턴 방정식의 성질

슈뢰딩거-뉴턴 방정식은 자체 상호작용 중력 퍼텐셜을 가진 일반적인 슈뢰딩거 방정식으로, 비선형 시스템이다. 이 방정식은 선형 슈뢰딩거 방정식의 대부분의 속성을 유지하며, 확률 보존 및 갈릴레이 불변성을 나타낸다.^[10]^[11] 정상 상태 방정식은 무한한 종류의 정규화 가능한 해를 가지며, 그중 정상적인 바닥 상태만 안정적이다.^[12]^[13]^[14]

3. 1. 보존 법칙

슈뢰딩거-뉴턴 방정식은 자체 상호작용 중력 퍼텐셜을 가진 일반적인 슈뢰딩거 방정식의 결합된 시스템으로, 다음과 같이 표현된다.

:

i \hbar\ \frac{\partial\Psi}{\ \partial t\ } = -\frac{\ \hbar^2 }{\ 2\ m\ }\ \nabla ^2 \Psi\; +\; V\ \Psi\; +\; m\ \Phi\ \Psi\ ,

여기서 V는 일반적인 퍼텐셜이고,

\ \Phi\

는 입자가 자체 중력장과 상호작용하는 것을 나타내는 중력 퍼텐셜로 푸아송 방정식을 만족한다.

:

\ \nabla^2 \Phi = 4 \pi\ G\ m\ |\Psi|^2 ~.

파동 함수가 퍼텐셜에 다시 결합되기 때문에, 이는 비선형 시스템이다.

\ \Phi\

를 푸아송 방정식의 해로 대체하면 슈뢰딩거-뉴턴 방정식의 적분-미분 형태를 얻을 수 있다.

:

i \hbar\ \frac{\ \partial \Psi\ }{ \partial t } = \left[\ -\frac{\ \hbar^2 }{\ 2\ m\ }\ \nabla ^2 \; + \; V \; - \; G\ m^2 \int \frac{\ | \Psi(t,\mathbf{y}) |^2}{\ |\mathbf{x} - \mathbf{y}|\ } \; \mathrm{d}^3 \mathbf{y}\ \right] \Psi ~.

이는 퍼텐셜이 무한대에서 사라져야 한다는 가정 하에 푸아송 방정식을 적분하여 얻어진다.

수학적으로 슈뢰딩거-뉴턴 방정식은 n=2에 대한 하트리 방정식의 특수한 경우이다. 이 방정식은 선형 슈뢰딩거 방정식의 대부분의 속성을 유지한다. 특히 상수 위상 이동에 대해 불변이므로 확률 보존으로 이어지고 완전한 갈릴레이 불변성을 나타낸다. 이러한 대칭 외에도, 동시 변환

:

m \to \mu\ m   \ ,\qquad   t \to \mu^{-5} t  \ ,\qquad \mathbf{x} \to \mu^{-3} \mathbf{x}  \ ,\qquad   \psi(t, \mathbf{x}) \to \mu^{9/2} \psi(\mu^5 t, \mu^3 \mathbf{x})

는 슈뢰딩거-뉴턴 방정식의 해를 해로 매핑한다.^[10]^[11] 변수 분리를 통해 통상적인 방식으로 얻을 수 있는 정상 방정식은 무한한 종류의 정규화 가능한 해를 가지며, 그 중 정상적인 바닥 상태만 안정적이다.^[12]^[13]^[14]

3. 2. 스케일링 법칙

슈뢰딩거-뉴턴 방정식은 상수 위상 이동에 대해 불변이므로 확률 보존으로 이어지고 완전한 갈릴레이 불변성을 나타낸다. 이러한 대칭 외에도, 다음의 동시 변환은 슈뢰딩거-뉴턴 방정식의 해를 해로 매핑한다.^[10]^[11]

m \to \mu\ m   \ ,\qquad   t \to \mu^{-5} t  \ ,\qquad \mathbf{x} \to \mu^{-3} \mathbf{x}  \ ,\qquad   \psi(t, \mathbf{x}) \to \mu^{9/2} \psi(\mu^5 t, \mu^3 \mathbf{x})

변수 분리를 통해 통상적인 방식으로 얻을 수 있는 정상 방정식은 무한한 종류의 정규화 가능한 해를 가지며, 그 중 정상적인 바닥 상태만 안정적이다.^[12]^[13]^[14]

3. 3. 정상 상태 해

변수 분리를 통해 통상적인 방식으로 얻을 수 있는 정상 방정식은 무한한 종류의 정규화 가능한 해를 가지며, 그중 정상적인 바닥 상태만 안정적이다.^[12]^[13]^[14]

4. 슈뢰딩거-뉴턴 방정식의 물리적 의미

슈뢰딩거-뉴턴 방정식은 중력이 고전적이라는 가정 하에, 반고전적 아인슈타인 방정식을 통해 양자 물질을 중력에 연결하는 방식으로 유도될 수 있다. 이때 슈뢰딩거 방정식에 뉴턴 중력 포텐셜 항이 추가되는데, 이 포텐셜의 원천은 질량 밀도 연산자 또는 질량 플럭스-전류의 기댓값이다.^[15] 만약 중력이 근본적으로 고전적이라면, 이 방정식은 기본적인 일입자 방정식이 된다.

반면 중력장이 양자화된다면, 기본적인 슈뢰딩거 방정식은 선형으로 유지된다. 이때 슈뢰딩거-뉴턴 방정식은 다수의 입자 시스템에서 중력 상호작용에 대한 근사치로만 유효하며, 질량 중심에는 영향을 미치지 않는다.^[16]

4. 1. 반고전 중력과의 관계

슈뢰딩거-뉴턴 방정식은 중력이 근본적인 수준에서도 고전적이며, 양자 물질을 중력에 연결하는 올바른 방법이 반고전적 아인슈타인 방정식을 통하는 것이라는 가정 하에 유도될 수 있다. 이 경우, 뉴턴 중력 포텐셜 항이 슈뢰딩거 방정식에 추가되는데, 이 중력 포텐셜의 원천은 질량 밀도 연산자 또는 질량 플럭스-전류의 기댓값이다.^[15] 이러한 점에서, ''만약'' 중력이 근본적으로 고전적이라면, 슈뢰딩거-뉴턴 방정식은 기본적인 일입자 방정식이며, 여러 입자의 경우로 일반화될 수 있다.

반면에, 중력장이 양자화된다면, 기본적인 슈뢰딩거 방정식은 선형으로 유지된다. 슈뢰딩거-뉴턴 방정식은 다수의 입자 시스템에서 중력 상호작용에 대한 근사치로만 유효하며, 질량 중심에는 아무런 영향을 미치지 않는다.^[16]

4. 2. 양자 중력과의 관계

슈뢰딩거-뉴턴 방정식은 중력이 근본적인 수준에서도 고전적이며, 양자 물질을 중력에 연결하는 올바른 방법이 반고전적 아인슈타인 방정식을 통하는 것이라는 가정 하에 유도될 수 있다. 이 경우, 뉴턴 중력 포텐셜 항이 슈뢰딩거 방정식에 추가되는데, 이 중력 포텐셜의 원천은 질량 밀도 연산자 또는 질량 플럭스-전류의 기댓값이다.^[15] 이러한 점에서, ''만약'' 중력이 근본적으로 고전적이라면, 슈뢰딩거-뉴턴 방정식은 기본적인 일입자 방정식이며, 여러 입자의 경우로 일반화될 수 있다.

반면에, 중력장이 양자화된다면, 기본적인 슈뢰딩거 방정식은 선형으로 유지된다. 슈뢰딩거-뉴턴 방정식은 다수의 입자 시스템에서 중력 상호작용에 대한 근사치로만 유효하며, 질량 중심에는 아무런 영향을 미치지 않는다.^[16]

5. 다체계 및 질량 중심 운동

보른-오펜하이머 근사와 유사하게, ''N''-입자 방정식은 상대 운동을 설명하는 방정식과 질량 중심 파동 함수의 역학을 제공하는 방정식으로 분리될 수 있다. 상대 운동의 경우, 중력 상호 작용은 $V_{jk}$ 로 표시되는 다른 상호 작용에 비해 일반적으로 약해 그 역할이 미미하다. 그러나 질량 중심 운동에는 상당한 영향을 미친다. $V_{jk}$ 는 상대 좌표에만 의존하므로 질량 중심 역학에는 전혀 기여하지 않지만, 비선형 슈뢰딩거-뉴턴 상호 작용은 기여한다.^[17]

질량 중심 분포의 폭이 고려된 객체의 크기에 비해 큰 넓은 파동 함수의 경우, 질량 중심 운동은 단일 입자에 대한 슈뢰딩거-뉴턴 방정식으로 잘 근사된다. 반대로 좁은 파동 함수의 경우는 조화 진동자 포텐셜로 근사될 수 있으며, 이때 슈뢰딩거-뉴턴 역학은 위상 공간에서 회전을 유발한다.^[18]

5. 1. N-체 방정식

만약 슈뢰딩거-뉴턴 방정식이 기본 방정식으로 간주된다면, 디오시가 이미 제시했고^[4], 단일 입자 방정식과 같은 방식으로 반고전 중력에서 유도될 수 있는 해당 ''N''-체 방정식이 있다.

:

\begin{align}i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi(t,\mathbf{x}_1,\dots, \mathbf{x}_N) =\bigg(&-\sum_{j=1}^N \frac{\hbar^2}{2 m_j} \nabla_j^2 + \sum_{j \neq k} V_{jk}\big(|\mathbf{x}_j - \mathbf{x}_k|\big) \\&- G\sum_{j,k=1}^N m_j m_k \int \mathrm{d}^3 \mathbf{y}_1 \cdots \mathrm{d}^3 \mathbf{y}_N \,\frac{|\Psi(t,\mathbf{y}_1,\dots,\mathbf{y}_N)|^2}

\bigg)\Psi(t,\mathbf{x}_1,\dots,\mathbf{x}_N).\end{align}

포텐셜

V_{jk}

는 예를 들어 전자기학적 쿨롱 상호 작용과 같이 모든 상호 선형 상호 작용을 포함하는 반면, 중력 포텐셜 항은 모든 입자가 모든 입자에 대한 모든 주변 분포에 의해 생성된 동일한 중력 포텐셜을 인식한다는 가정에 기초한다.

보른-오펜하이머 근사와 유사한 근사에서, 이 ''N''-입자 방정식은 상대 운동을 설명하는 하나의 방정식과 질량 중심 파동 함수의 역학을 제공하는 다른 하나의 방정식으로 분리될 수 있다. 상대 운동의 경우, 중력 상호 작용은

V_{jk}

로 표시되는 다른 상호 작용에 비해 일반적으로 약하기 때문에 역할을 하지 않는다. 그러나 질량 중심 운동에 상당한 영향을 미친다.

V_{jk}

는 상대 좌표에만 의존하므로 질량 중심 역학에 전혀 기여하지 않지만, 비선형 슈뢰딩거-뉴턴 상호 작용은 기여한다. 앞에서 언급한 근사에서 질량 중심 파동 함수는 다음과 같은 비선형 슈뢰딩거 방정식을 만족한다.

:

i \hbar \frac{\partial\psi_c(t,\mathbf{R})}{\partial t} =\left(\frac{\hbar^2}{2 M}\nabla^2 -G \int \mathrm{d}^3 \mathbf{R'} \, \int \mathrm{d}^3 \mathbf{y} \, \int \mathrm{d}^3 \mathbf{z} \,\frac

\right) \psi_c(t,\mathbf{R}),

여기서 M은 총 질량, R은 상대 좌표,

\psi_c

는 질량 중심 파동 함수이고,

\rho_c

는 다체계 (예: 분자 또는 암석)의 질량 중심에 대한 질량 밀도이다.^[17]

넓은 파동 함수, 즉 질량 중심 분포의 폭이 고려된 객체의 크기에 비해 큰 경우, 질량 중심 운동은 단일 입자에 대한 슈뢰딩거-뉴턴 방정식에 의해 잘 근사된다. 좁은 파동 함수의 반대 경우는 조화 진동자 포텐셜로 근사될 수 있으며, 여기서 슈뢰딩거-뉴턴 역학은 위상 공간에서 회전을 유발한다.^[18]

슈뢰딩거-뉴턴 방정식이 하트리 근사로 나타나는 맥락에서 상황은 다르다. 이 경우 전체 ''N''-입자 파동 함수는 ''N'' 단일 입자 파동 함수의 곱 상태로 간주되며, 여기서 각 요인은 슈뢰딩거-뉴턴 방정식을 따른다. 그러나 질량 중심의 역학은 이 그림에서 엄격하게 선형으로 유지된다. 이것은 일반적으로 사실이다: 비선형 하트리 방정식은 질량 중심에 영향을 미치지 않는다.

5. 2. 질량 중심 운동

보른-오펜하이머 근사와 유사한 근사에서, ''N''-입자 방정식은 상대 운동을 설명하는 방정식과 질량 중심 파동 함수의 역학을 제공하는 방정식으로 분리될 수 있다. 상대 운동의 경우, 중력 상호 작용은

V_{jk}

로 표시되는 다른 상호 작용에 비해 일반적으로 약하기 때문에 역할을 하지 않는다. 그러나 질량 중심 운동에 상당한 영향을 미친다.

V_{jk}

는 상대 좌표에만 의존하므로 질량 중심 역학에 전혀 기여하지 않지만, 비선형 슈뢰딩거-뉴턴 상호 작용은 기여한다. 앞에서 언급한 근사에서 질량 중심 파동 함수는 다음과 같은 비선형 슈뢰딩거 방정식을 만족한다.^[17]

:

i \hbar \frac{\partial\psi_c(t,\mathbf{R})}{\partial t} =\left(\frac{\hbar^2}{2 M}\nabla^2 -G \int \mathrm{d}^3 \mathbf{R'} \, \int \mathrm{d}^3 \mathbf{y} \, \int \mathrm{d}^3 \mathbf{z} \,\frac

\right) \psi_c(t,\mathbf{R}),

여기서 M은 총 질량, R은 상대 좌표,

\psi_c

는 질량 중심 파동 함수이고,

\rho_c

는 다체계 (예: 분자 또는 암석)의 질량 중심에 대한 질량 밀도이다.^[17]

넓은 파동 함수, 즉 질량 중심 분포의 폭이 고려된 객체의 크기에 비해 큰 경우, 질량 중심 운동은 단일 입자에 대한 슈뢰딩거-뉴턴 방정식에 의해 잘 근사된다. 좁은 파동 함수의 반대 경우는 조화 진동자 포텐셜로 근사될 수 있으며, 여기서 슈뢰딩거-뉴턴 역학은 위상 공간에서 회전을 유발한다.^[18]

슈뢰딩거-뉴턴 방정식이 하트리 근사로 나타나는 맥락에서 상황은 다르다. 이 경우 전체 ''N''-입자 파동 함수는 ''N'' 단일 입자 파동 함수의 곱 상태로 간주되며, 여기서 각 요인은 슈뢰딩거-뉴턴 방정식을 따른다. 그러나 질량 중심의 역학은 이 그림에서 엄격하게 선형으로 유지된다. 이것은 일반적으로 사실이다. 비선형 하트리 방정식은 질량 중심에 영향을 미치지 않는다.

5. 3. 하트리 근사

만약 슈뢰딩거-뉴턴 방정식이 기본 방정식으로 간주된다면, 디오시가 이미 제시했고^[4], 단일 입자 방정식과 같은 방식으로 반고전 중력에서 유도될 수 있는 해당 ''N''-체 방정식이 있다.

:

\begin{align}i \hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi(t,\mathbf{x}_1,\dots, \mathbf{x}_N) =\bigg(&-\sum_{j=1}^N \frac{\hbar^2}{2 m_j} \nabla_j^2 + \sum_{j \neq k} V_{jk}\big(|\mathbf{x}_j - \mathbf{x}_k|\big) \\&- G\sum_{j,k=1}^N m_j m_k \int \mathrm{d}^3 \mathbf{y}_1 \cdots \mathrm{d}^3 \mathbf{y}_N \,\frac{|\Psi(t,\mathbf{y}_1,\dots, \mathbf{y}_N)|^2}

\bigg)\Psi(t,\mathbf{x}_1,\dots, \mathbf{x}_N).\end{align}

포텐셜

V_{jk}

는 예를 들어 전자기학적 쿨롱 상호 작용과 같이 모든 상호 선형 상호 작용을 포함하는 반면, 중력 포텐셜 항은 모든 입자가 모든 입자에 대한 모든 주변 분포에 의해 생성된 동일한 중력 포텐셜을 인식한다는 가정에 기초한다.

슈뢰딩거-뉴턴 방정식이 하트리 근사로 나타나는 맥락에서 상황은 다르다. 이 경우 전체 ''N''-입자 파동 함수는 ''N'' 단일 입자 파동 함수의 곱 상태로 간주되며, 여기서 각 요인은 슈뢰딩거-뉴턴 방정식을 따른다. 그러나 질량 중심의 역학은 이 그림에서 엄격하게 선형으로 유지된다. 이것은 일반적으로 사실이다. 비선형 하트리 방정식은 질량 중심에 영향을 미치지 않는다.

6. 슈뢰딩거-뉴턴 방정식 효과의 중요성

슈뢰딩거-뉴턴 방정식의 효과는 수치 시뮬레이션을 통해 그 중요성이 나타나는 질량 영역을 추정할 수 있다.^[11]^[19] 원자의 경우 임계 폭은 매우 크지만, 질량이 증가함에 따라 급격히 감소한다. 질량이 약 10¹⁰ 원자 질량 단위이고 폭이 마이크로미터 수준인 영역에서 슈뢰딩거-뉴턴 방정식을 실험적으로 검증할 수 있을 것으로 예상되며, 무거운 분자를 사용한 간섭계 실험이 후보로 거론된다.^[8]

6. 1. 임계 폭

슈뢰딩거-뉴턴 방정식의 효과가 관련되는 영역에 대한 대략적인 크기 추정은 비교적 간단한 추론을 통해 얻을 수 있다.^[8] 구형 대칭 정규 분포에 대해,

\Psi(t=0,r) = (\pi \sigma^2)^{-3/4} \exp\left(-\frac{r^2}{2 \sigma^2}\right),

자유 선형 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같은 해를 갖는다.

\Psi(t,r) = (\pi \sigma^2)^{-3/4} \left(1+\frac{i \hbar t}{m \sigma^2}\right)^{-3/2} \exp\left(-\frac{r^2}{2 \sigma^2 \left(1+\frac{i \hbar t}{m \sigma^2}\right)}\right).

반경 방향 확률 밀도

4 \pi r^2 |\Psi|^2

의 피크는 다음과 같은 위치에서 찾을 수 있다.

r_p = \sigma \sqrt{1+\frac{\hbar^2 t^2}{m^2 \sigma^4}}.

이 피크 확률의 가속도

\ddot{r}_p = \frac{\hbar^2}{m^2 r_p^3}

를 뉴턴 중력에 의한 가속도와 같게 설정한다.

\ddot{r} = -\frac{G m}{r^2},

시간

t = 0

에서

r_p = \sigma

를 사용한다. 이는 다음 관계를 생성한다.

m^3 \sigma = \frac{\hbar^2}{G} \approx 1.7 \times 10^{-58}~\text{m}\,\text{kg}^3,

이 식을 통해 주어진 질량 값에 대한 임계 폭을 결정할 수 있으며 그 반대도 가능하다. 위에서 언급한 스케일링 법칙도 인식할 수 있다.^[11]^[19]

원자의 경우 임계 폭은 약 10E인 반면, 1 마이크로그램의 질량에 대해서는 이미 10E까지 떨어진다. 질량이 약 10¹⁰ 원자 질량 단위이고 폭이 마이크로미터 수준인 영역은 미래에 슈뢰딩거-뉴턴 방정식을 실험적으로 테스트할 수 있을 것으로 예상된다. 가능한 후보는 현재 최대 10,000 원자 질량 단위의 질량에 도달하는 무거운 분자를 사용한 간섭계 실험이다.^[8]

6. 2. 실험적 검증

구형 대칭 정규 분포에 대해, 자유 선형 슈뢰딩거 방정식은 다음과 같은 해를 갖는다.^[8]

반경 방향 확률 밀도의 피크는 다음과 같은 위치에서 찾을 수 있다.

이 피크 확률의 가속도를 뉴턴 중력에 의한 가속도와 같게 설정하고, 시간

t = 0

에서

r_p = \sigma

를 사용하면 다음 관계를 얻을 수 있다.

m^3 \sigma = \frac{\hbar^2}{G} \approx 1.7 \times 10^{-58}~\text{m}\,\text{kg}^3,

이 식을 통해 주어진 질량 값에 대한 임계 폭을 결정할 수 있으며 그 반대도 가능하다. 수치 시뮬레이션^[11]^[19]은 이 방정식이 슈뢰딩거-뉴턴 방정식의 효과가 중요해지는 질량 영역에 대한 상당히 좋은 추정치를 제공한다는 것을 보여준다.

원자의 경우 임계 폭은 약 10²²미터인 반면, 1 마이크로그램의 질량에 대해서는 이미 10⁻³¹미터까지 떨어진다. 질량이 약 10¹⁰ 원자 질량 단위이고 폭이 마이크로미터 수준인 영역은 미래에 슈뢰딩거-뉴턴 방정식을 실험적으로 테스트할 수 있을 것으로 예상된다. 가능한 후보는 현재 최대 10,000 원자 질량 단위의 질량에 도달하는 무거운 분자를 사용한 간섭계 실험이다.

7. 양자 파동 함수 붕괴와의 관계

중력이 파동 함수 붕괴를 일으킨다는 개념은 1960년대 카로이하지가 처음 제안했다.^[20] 디오시는 이러한 맥락에서 슈뢰딩거-뉴턴 방정식을 제시하여,^[4] 미시적(양자) 객체와 거시적(고전적) 객체 사이의 경계에 대한 추정치를 제공했다.

로저 펜로즈는 이 방정식이 중력으로 유도된 파동 함수 붕괴와 관련된 기저 상태를 설명한다고 제안했다.^[5]^[6]^[7] 그는 상당한 질량 변위를 갖는 양자 상태 중첩은 불안정하며, 슈뢰딩거-뉴턴 방정식의 정상 상태로 붕괴한다고 보았다. 펜로즈는 이러한 비선형 붕괴와 환경적 탈공간화의 상호작용이 양자 입자 측정 과정에 영향을 준다고 설명한다.

7. 1. 카로이하지-디오시 모델

중력이 파동 함수 붕괴를 일으킨다(또는 어떤 방식으로든 영향을 미친다)는 아이디어는 1960년대부터 시작되었으며, 원래 카로이하지에 의해 제안되었다.^[20]

슈뢰딩거-뉴턴 방정식은 이러한 맥락에서 디오시에 의해 제안되었다.^[4] 이 방정식은 미시적(양자) 객체와 거시적(고전적) 객체 사이의 "경계선"에 대한 추정치를 제공한다. 정상 상태의 폭은 다음과 같다.

:

a_0 \approx \frac{\hbar^2}{G m^3}.

잘 국소화된 균일한 구체, 즉 구의 반경에 비해 좁은 질량 중심 파동 함수를 갖는 구체의 경우, 디오시는 바닥 상태 질량 중심 파동 함수의 폭에 대한 추정치를 다음과 같이 구한다.

:

a_0^{(R)} \approx a_0^{1/4} R^{3/4}.

일반적인 밀도인 약 1000kg/m3을 가정하면,

a_0^{(R)} \approx R

인 임계 반경을 계산할 수 있다. 이 임계 반경은 약 10분의 1 마이크로미터이다.

7. 2. 펜로즈의 제안

로저 펜로즈는 슈뢰딩거-뉴턴 방정식이 중력에 의해 유도된 파동 함수 붕괴 방식에 관련된 기저 상태를 수학적으로 설명한다고 제안했다.^[5]^[6]^[7] 펜로즈는 상당한 질량 변위를 갖는 둘 이상의 양자 상태가 중첩되면 불안정하며, 유한한 시간 안에 하나의 상태로 축소되어야 한다고 제안했다. 그는 더 이상 붕괴될 수 없는 "선호"하는 상태 집합이 존재하며, 특히 슈뢰딩거-뉴턴 방정식의 정상 상태가 이에 해당한다고 가정한다. 따라서 거시적 시스템은 공간적 중첩 상태가 될 수 없는데, 이는 비선형 중력 자체 상호작용이 즉시 슈뢰딩거-뉴턴 방정식의 정상 상태로 붕괴시키기 때문이다. 펜로즈의 아이디어에 따르면, 양자 입자를 측정할 때 이러한 비선형 붕괴와 환경적 탈공간화의 상호 작용이 발생한다. 중력 상호 작용은 환경을 하나의 뚜렷한 상태로 줄이고, 탈공간화는 입자를 화면의 점과 같이 국소화한다.

8. 슈뢰딩거-뉴턴 방정식의 문제점 및 과제

슈뢰딩거-뉴턴 방정식을 파동 함수의 붕괴 원인으로 해석할 때, 파동 함수가 실제 객체로 간주되어 측정 가능한 양이 된다는 점은 중요한 문제를 야기한다. 이는 얽힌 양자 시스템의 비국소성을 이용하면 빛보다 빠른 신호 전달, 즉 인과율 위배가 이론적으로 가능해진다는 것을 의미한다. যদিও 적절한 붕괴 처방을 통해 이 문제를 해결할 수 있을지는 불확실하다. 또한, 중력은 매우 약한 상호작용이므로, 이러한 실험의 현실적 실행 가능성 역시 의문으로 남아있다.^[21]

8. 1. 붕괴 후 잔류 확률

수치 연구에 따르면^[11]^[14]^[19] 파동 패킷이 정지해 있는 해로 "붕괴"할 때, 그 작은 부분이 무한대로 도망가는 것으로 보인다. 이는 완전히 붕괴된 양자 시스템조차도 여전히 멀리 떨어진 위치에서 발견될 수 있음을 의미한다. 선형 슈뢰딩거 방정식의 해는 훨씬 더 빠르게 무한대로 향하므로, 이는 슈뢰딩거-뉴턴 방정식만으로는 파동 함수 붕괴를 설명하기에 충분하지 않음을 나타낸다. 환경을 고려한다면 이 효과는 사라질 수 있으므로 펜로즈가 설명한 시나리오에는 존재하지 않을 수 있다.

8. 2. 본 규칙의 부재

슈뢰딩거-뉴턴 방정식을 파동 함수의 붕괴 원인으로 해석하는 데에는 세 가지 주요 문제가 있다.

본 규칙이 나타나는 명확한 이유가 없다.
붕괴 지점에서 멀리 떨어진 곳에서 과도한 잔류 확률이 나타난다.
이전에는 가설로만 존재했던 파동 함수를 관측 가능한 (실제적인) 양으로 승격시킨다.

펜로즈의 제안에서도 발생하는 두 번째 문제는 본 규칙의 기원이다. 측정 문제를 해결하려면, 파동 함수가 왜 붕괴되는지(예: 화면의 점으로)에 대한 단순한 설명으로는 충분하지 않다. 붕괴 과정에 대한 좋은 모델은 파동 함수의 제곱된 절댓값에 의해 결정되는 확률로, 왜 점이 화면의 다른 위치에 나타나는지 ''또한'' 설명해야 한다. 펜로즈의 아이디어를 기반으로 한 모델이 그러한 설명을 제공할 수 있을지는 모르지만, 본의 규칙이 자연스럽게 파생될 만한 이유는 아직 알려지지 않았다.^[11]^[14]^[19]

8. 3. 파동 함수의 실재성

슈뢰딩거-뉴턴 방정식을 파동 함수의 붕괴 원인으로 해석하는 데에는 세 가지 주요 문제가 있다.

# 붕괴 지점에서 멀리 떨어진 곳에서 과도한 잔류 확률이 발견된다.

# 본 규칙이 나타나는 명확한 이유가 없다.

# 이전에 가설로만 존재했던 파동 함수를 관측 가능한 (실제적인) 양으로 승격시킨다.

첫째, 수치 연구^[11]^[14]^[19]에 따르면 파동 패킷이 정지해 있는 해로 "붕괴"할 때, 그 작은 부분이 무한대로 도망가는 것으로 보인다. 이는 완전히 붕괴된 양자 시스템조차도 여전히 멀리 떨어진 위치에서 발견될 수 있음을 의미한다. 선형 슈뢰딩거 방정식의 해는 훨씬 더 빠르게 무한대로 향하므로, 이는 슈뢰딩거-뉴턴 방정식만으로는 파동 함수 붕괴를 설명하기에 충분하지 않음을 나타낸다. 환경을 고려한다면 이 효과는 사라질 수 있으므로 펜로즈가 설명한 시나리오에는 존재하지 않을 수 있다.

펜로즈의 제안에서도 발생하는 두 번째 문제는 본 규칙의 기원이다. 측정 문제를 해결하려면, 파동 함수가 왜 붕괴되는지(예: 화면의 점으로)에 대한 단순한 설명으로는 충분하지 않다. 붕괴 과정에 대한 좋은 모델은 파동 함수의 제곱된 절댓값에 의해 결정되는 확률로, 왜 점이 화면의 다른 위치에 나타나는지 ''또한'' 설명해야 한다. 펜로즈의 아이디어를 기반으로 한 모델이 그러한 설명을 제공할 수 있을지는 모르지만, 본의 규칙이 자연스럽게 파생될 만한 이유는 아직 알려지지 않았다.

셋째, 슈뢰딩거-뉴턴 방정식에서 중력 퍼텐셜이 파동 함수와 연결되어 있으므로, 파동 함수는 실제 객체로 해석되어야 한다. 따라서 적어도 이론적으로는 측정 가능한 양이 된다. 얽힌 양자 시스템의 비국소적인 특성을 활용하면, 이는 빛보다 빠르게 신호를 보낼 수 있는데, 이는 일반적으로 인과 관계에 위배되는 것으로 여겨진다. 그러나 아직 발견되지 않은 적절한 붕괴 처방을 전체 양자 시스템에 일관되게 적용하여 이 문제를 해결할 수 있을지는 불분명하다. 또한 중력은 매우 약한 상호 작용이므로, 이러한 실험이 우리 우주에서 주어진 매개변수 내에서 실제로 수행될 수 있을지도 불분명하다(Eppley & Hannah^[22]가 제안한 유사한 사고 실험에 대한 참조된 논의^[21] 참조).

참조

_[1] 간행물 Systems of Self-Gravitating Particles in General Relativity and the Concept of an Equation of State
_[2] 간행물 The Schrödinger–Newton equation as a non-relativistic limit of self-gravitating Klein–Gordon and Dirac fields
_[3] 저널 Schrödinger-Poisson–Vlasov-Poisson correspondence
_[4] 간행물 Gravitation and quantum-mechanical localization of macro-objects
_[5] 간행물 On Gravity's Role in Quantum State Reduction
_[6] 간행물 Quantum computation, entanglement and state reduction
_[7] 간행물 On the Gravitization of Quantum Mechanics 1: Quantum State Reduction
_[8] 간행물 Is quantum gravity necessary?
_[9] 간행물 Existence and uniqueness of the Minimizing Solution of Choquard's Nonlinear Equation
_[10] 저널 Lie point symmetries and an approximate solution for the Schrödinger–Newton equations
_[11] 저널 Gravitationally induced inhibitions of dispersion according to the Schrödinger–Newton Equation
_[12] 저널 Spherically-symmetric solutions of the Schrödinger–Newton equations
_[13] 저널 An analytical approach to the Schrödinger–Newton equations
_[14] 저널 A numerical study of the Schrödinger–Newton equations
_[15] 저널 Newtonian quantum gravity
_[16] 저널 The Schrödinger–Newton equation and its foundations
_[17] 간행물 Centre-of-mass motion in multi-particle Schrödinger–Newton dynamics
_[18] 간행물 Macroscopic Quantum Mechanics in a Classical Spacetime
_[19] 간행물 Schrödinger–Newton 'collapse' of the wave function
_[20] 간행물 Gravitation and Quantum Mechanics of Macroscopic Objects
_[21] 저널 Why Eppley and Hannah's thought experiment fails
_[22] 간행물 The necessity of quantizing the gravitational field
_[23] 간행물 Systems of Self-Gravitating Particles in General Relativity and the Concept of an Equation of State
_[24] 간행물 The Schrödinger–Newton equation as a non-relativistic limit of self-gravitating Klein–Gordon and Dirac fields
_[25] 저널 Schrödinger-Poisson–Vlasov-Poisson correspondence
_[26] 간행물 Gravitation and quantum-mechanical localization of macro-objects
_[27] 간행물 On Gravity's Role in Quantum State Reduction
_[28] 간행물 Quantum computation, entanglement and state reduction
_[29] 간행물 On the Gravitization of Quantum Mechanics 1: Quantum State Reduction

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