갈릴레이 불변성

1. 개요

갈릴레이 불변성은 뉴턴 역학에 적용되는 원리로, 뉴턴 운동 법칙이 갈릴레이 변환으로 서로 관련된 모든 좌표계에서 유효하다는 것을 의미한다. 이 원리는 절대 공간과 보편적인 시간을 가정하며, 두 관성 좌표계 사이의 상대적인 운동을 설명한다. 갈릴레이 불변성은 뉴턴 역학과 특수 상대성 이론을 비교하는 데 사용되며, 전자기학, 일, 운동 에너지, 운동량과 같은 물리량에도 적용된다.

2. 공식화

오늘날 사용하는 용어인 갈릴레이 불변성은 뉴턴 역학에 적용된 이 원리를 가리킨다. 뉴턴 운동 법칙은 갈릴레이 변환으로 서로 관련된 모든 좌표계에서 유효하다. 즉, 이러한 변환으로 서로 관련된 모든 좌표계는 관성 좌표계(뉴턴의 운동 방정식이 이 좌표계에서 유효함)이다. 이러한 맥락에서 뉴턴 상대성이라고도 부른다.

뉴턴 이론의 공리는 다음과 같다.

# 뉴턴의 법칙이 참인 절대 공간이 존재한다. 관성 좌표계는 절대 공간에 대해 상대적으로 균일하게 운동하는 기준 좌표계이다.
# 모든 관성 좌표계는 보편적인 시간을 공유한다.

갈릴레이 상대성은 다음과 같이 나타낼 수 있다. 두 개의 관성 좌표계 S와 S' 를 고려한다. S에서의 물리적 사건은 위치 좌표 r = (x, y, z)와 시간 t를 가지며, S' 에서는 r' = (x' , y' , z' )와 시간 t' 를 가진다. 위의 두 번째 공리에 따라, 두 좌표계의 시계를 동기화하여 t = t' 라고 가정할 수 있다. S' 가 속도 v로 S에 대해 상대적으로 균일하게 운동한다고 가정한다. 위치가 함수 S' 에서 r' (t)와 S에서 r(t)로 주어지는 점 객체를 고려하면, 다음이 성립한다.

:$r\text{'}(t)\; =\; r(t)\; -\; v\; t.\backslash ,$

입자의 속도는 위치의 시간에 대한 미분으로 주어지며, 다음과 같다.

:$u\text{'}(t)\; =\; \backslash frac\{d\}\{d\; t\}\; r\text{'}(t)\; =\; \backslash frac\{d\}\{d\; t\}\; r(t)\; -\; v\; =\; u(t)\; -\; v.$

다시 미분하면 두 좌표계에서의 가속도는 다음과 같다.

:$a\text{'}(t)\; =\; \backslash frac\{d\}\{d\; t\}\; u\text{'}(t)\; =\; \backslash frac\{d\}\{d\; t\}\; u(t)\; -\; 0\; =\; a(t).$

이것은 갈릴레이 상대성을 의미하는 단순하지만 중요한 결과이다. 질량이 모든 관성 좌표계에서 불변이라고 가정하면, 위의 방정식은 한 좌표계에서 유효한 뉴턴의 역학 법칙이 모든 좌표계에 대해 유효해야 함을 보여준다. 그러나 이는 절대 공간에서 유효하다고 가정하므로 갈릴레이 상대성이 성립한다.

3. 뉴턴 이론과 특수 상대성 이론의 비교

뉴턴 역학에 적용된 갈릴레이 불변성은 뉴턴 운동 법칙이 갈릴레이 변환으로 서로 관련된 모든 좌표계에서 유효함을 의미한다. 즉, 이러한 변환으로 서로 관련된 모든 좌표계는 관성 좌표계이다. 이러한 맥락에서 뉴턴 상대성이라고도 불린다.

뉴턴 이론과 특수 상대성 이론은 다음과 같이 비교할 수 있다.

두 이론 모두 관성 좌표계의 존재를 가정한다. 그러나 실제로는 중력 조석력에 따라 유효한 좌표계의 크기가 크게 달라진다. 뉴턴 이론이 좋은 모델로 남아있는 국소 뉴턴 관성 좌표계는 대략 10⁷ 광년까지 확장된다.

특수 상대성 이론에서는 중력장에서 자유롭게 낙하하는 '아인슈타인의 객실'을 고려한다. 아인슈타인의 사고 실험에 따르면, 그러한 객실 안의 사람은 중력을 경험하지 않으므로, 객실은 근사적인 관성 좌표계이다. 그러나 객실의 크기가 중력장이 내부에서 거의 평행하도록 충분히 작아야 한다. 예를 들어, 지구를 공전하는 인공 위성을 객실로 볼 수 있다.

일반적으로, 우주에서 중력장의 수렴은 그러한 국소 관성 좌표계를 고려할 수 있는 척도를 결정한다. 예를 들어, 블랙홀이나 중성자별로 떨어지는 우주선은 강력한 조석력의 영향을 받게 된다. 척도를 올바르게 선택하면 모든 자유 낙하 좌표계가 국소적으로 관성적이라는 것을 알 수 있다.

4. 전자기학

뉴턴 역학에서 적용되었던 갈릴레이 불변성은 전자기학에서도 특정 상황에서 적용 가능하다. 자기장이 우세하거나 전기장이 우세할 때 각각 적용할 수 있는 일관성 있는 갈릴레이 변환이 존재한다.

4.1. 자기장 시스템

자기장 시스템은 초기 좌표계에서 전기장이 미미하지만, 자기장이 강한 시스템을 말한다. 자기장이 지배적이고 상대 속도 $v^\backslash mathbf\{r\}$가 낮을 때, 다음과 같은 변환이 유용할 수 있다.

:::$\backslash mathbf\{H^\text{'}\}\; =\; \backslash mathbf\{H\}$
:::$\backslash mathbf\{J\_f^\text{'}\}\; =\; \backslash mathbf\{J\_f\}$
:::$\backslash mathbf\{B^\text{'}\}\; =\; \backslash mathbf\{B\}$
:::$\backslash mathbf\{M^\text{'}\}\; =\; \backslash mathbf\{M\}$
:::$\backslash mathbf\{E^\text{'}\}\; =\; \backslash mathbf\{E\}\; +\; v^\backslash mathbf\{r\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{B\}$

여기서 $\backslash mathbf\{J\_f\}$는 자유 전류 밀도이고, $\backslash mathbf\{M\}$은 자화 밀도이다. 전기장은 좌표계를 변경할 때 이 변환에 따라 변환되지만, 자기장 및 관련 양은 변경되지 않는다. 이러한 상황의 예시는 일반적인 발전기 또는 모터에서 발생하는 자기장 내에서 전선이 움직이는 경우이다. 이동하는 좌표계에서 변환된 전기장은 전선에 전류를 유도할 수 있다.

4.2. 전기장 시스템

전기장 시스템은 초기 좌표계에서 자기장이 미미하지만 전기장이 강한 시스템이다. 전기장이 우세하고 상대 속도 $v^r$이 낮을 때 다음 변환이 유용할 수 있다.

:$\backslash mathbf\{E^\text{'}\}\; =\; \backslash mathbf\{E\}$
:$\backslash mathbf\{D^\text{'}\}\; =\; \backslash mathbf\{D\}$
:$\backslash mathbf\{\backslash rho\_f^\text{'}\}\; =\; \backslash mathbf\{\backslash rho\_f\}$
:$\backslash mathbf\{P^\text{'}\}\; =\; \backslash mathbf\{P\}$
:$\backslash mathbf\{H^\text{'}\}\; =\; \backslash mathbf\{H\}\; -\; v^\backslash mathbf\{r\}\; \backslash times\; \backslash mathbf\{D\}$
:$\backslash mathbf\{J\_f^\text{'}\}\; =\; \backslash mathbf\{J\_f\}\; -\; \backslash rho\_\backslash mathbf\{f\}\; v^\backslash mathbf\{r\}$

여기서 $\backslash rho\_\backslash mathbf\{f\}$는 자유 전하 밀도이고, $\backslash mathbf\{P\}$는 분극 밀도이다. 이 변환 하에서 좌표계를 변경할 때 자기장과 자유 전류 밀도가 변환되지만, 전기장 및 관련 양은 변경되지 않는다.

5. 일, 운동 에너지, 운동량

물체에 힘을 가하는 동안 이동하는 거리는 관성 기준틀에 따라 달라지므로, 수행된 일도 달라진다. 뉴턴의 작용-반작용 법칙에 따라 반작용이 존재하며, 이는 관성 기준틀에 따라 반대 방향으로 일을 한다. 총 일의 양은 관성 기준틀에 관계없이 일정하다.

이와 유사하게, 물체의 운동 에너지 및 속도 변화에 따른 에너지 변화량조차 관성 기준틀에 따라 달라진다. 고립계의 총 운동 에너지 역시 관성 기준틀에 따라 달라진다. 이는 운동량 중심 좌표계에서의 총 운동 에너지와, 전체 질량이 질량 중심에 집중되어 있을 경우 갖게 되는 운동 에너지의 합이다. 운동량 보존 법칙에 따라 후자는 시간에 따라 변하지 않으므로, 총 운동 에너지의 시간 변화는 관성 기준틀에 영향을 받지 않는다.

반면, 물체의 운동량 역시 관성 기준틀에 따라 달라지지만, 속도 변화에 따른 운동량의 변화는 그렇지 않다.