심플렉틱 용량

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 심플렉틱 다양체
- 2.2. 심플렉틱 용량
3. 그로모프 조임 불가능성 정리 (심플렉틱 낙타 정리)
4. 성질
5. 추가 연구 및 응용
- 5.1. 불확정성 원리와의 관계
6. 역사
참조

1. 개요

심플렉틱 용량은 심플렉틱 다양체의 집합에서 정의되는 함수로, 단조성, 동차성, 규격화 조건을 만족한다. 심플렉틱 용량의 존재는 그로모프의 비압착 정리와 동치이며, 그로모프의 비압착 정리는 심플렉틱 낙타의 원리로도 알려져 있다. 그로모프 조임 불가능성 정리에 따르면, 두 함수 c_min과 c_max는 심플렉틱 용량을 이루며, 모든 심플렉틱 용량 c에 대해 c_min(M) ≤ c(M) ≤ c_max(M)이 성립한다. 또한, 심플렉틱 용량은 불확정성 원리와 밀접한 관련이 있으며, 양자역학 연구에도 적용될 수 있다. 이 개념은 미하일 그로모프에 의해 1985년에 유사 정칙 곡선을 사용하여 증명되었다.

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심플렉틱 용량

2. 정의

$2n$ 차원의 심플렉틱 다양체들의 집합을 $\operatorname{Sympl}_n$ 이라고 쓰자. '''심플렉틱 용량'''은 다음 조건들을 만족시키는 함수

: $c\colon\operatorname{Sympl}_n\to[0,\infty]$

이다.

(단조성) 만약 심플렉틱 매장 $\iota\colon U\to V$ 가 존재한다면, $c(U)\le c(V)$ 이다.
(동차성) 임의의 양의 실수 $\lambda\in\mathbb R^+$ 및 심플렉틱 다양체 $(U,\omega)$ 에 대하여, $c(U,\lambda\omega)=\lambda^2c(U,\omega)$ 이다.
(규격화) $c(\mathbb B^{2n}(r))=c(\mathbb B^2(r)\times\mathbb R^{2n-2})=\pi r^2$ 이다.

여기서

\mathbb B^{2n}(r)

는

2r

차원의, 반지름이

r

인 공

\mathbb B^{2n}(r)\subset\mathbb R^{2n}

에 표준적인 심플렉틱 구조를 부여한 것이다.

2. 1. 심플렉틱 다양체

Symplectic manifold^영어인 2n 차원의 심플렉틱 다양체는 짝수 차원의 매끄러운 다양체 M과 M 위에 정의된 닫힌 비축퇴 2-형식 ω (symplectic form|심플렉틱 형식^영어)의 쌍 (M, ω)이다.

만약

(M,\eta)

와

(N,\nu)

가 심플렉틱 다양체라면, ''심플렉틱 임베딩''

\varphi : (M,\eta) \to (N,\nu)

는

\varphi^* \nu = \eta

를 만족하는 매끄러운 임베딩

\varphi : M \to N

이다.

r \leq R

에 대해,

B^{2n}(r) \to Z^{2n}(R)

의 심플렉틱 임베딩이 존재하여

x \in B^{2n}(r) \subset \mathbb R^{2n}

을 동일한 점

x \in Z^{2n}(R) \subset \mathbb R^{2n}

로 보낸다.

그로모프의 비압착 정리에 따르면, 만약 심플렉틱 임베딩

\varphi : B^{2n}(r) \to Z^{2n}(R)

이 존재한다면,

r \leq R

이다.^[3]

2. 2. 심플렉틱 용량

2n

차원의 심플렉틱 다양체들의 집합을

\operatorname{Sympl}_n

이라고 쓰자. '''심플렉틱 용량'''은 다음 조건들을 만족시키는 함수

:

c\colon\operatorname{Sympl}_n\to[0,\infty]

이다.

(단조성) 만약 심플렉틱 매장 $\iota\colon U\to V$ 가 존재한다면, $c(U)\le c(V)$
(동차성) 임의의 양의 실수 $\lambda\in\mathbb R^+$ 및 심플렉틱 다양체 $(U,\omega)$ 에 대하여, $c(U,\lambda\omega)=\lambda^2c(U,\omega)$
(규격화) $c(\mathbb B^{2n}(r))=c(\mathbb B^2(r)\times\mathbb R^{2n-2})=\pi r^2$

여기서

\mathbb B^{2n}(r)

는

2r

차원의, 반지름이

r

인 공

\mathbb B^{2n}(r)\subset\mathbb R^{2n}

에 표준적인 심플렉틱 구조를 부여한 것이다.

다음과 같은 심플렉틱 용량의 존재는

:

c(B^{2n}(1)) = c(Z^{2n}(1)) = \pi

그로모프의 비압착 정리와 동치이다. 이러한 용량이 주어지면, 비압착 정리를 확인할 수 있으며, 비압착 정리가 주어지면, ''그로모프 폭''

:

w_G(M, \omega) = \sup \{ \pi r^2 : \text{심플렉틱 임베딩 } B^{2n}(r) \to (M,\omega)가 존재한다. \}

은 심플렉틱 용량이다.^[3]

3. 그로모프 조임 불가능성 정리 (심플렉틱 낙타 정리)

이언 스튜어트는 ''낙타와 바늘귀''의 비유를 들어 이 정리를 설명하였는데, 이후 ''심플렉틱 낙타의 원리''로도 알려지게 되었다.^[4]

다음과 같은 두 함수를 정의하자.

: $c_{\min}(M)=\sup\{r\colon\exists\iota\colon\mathbb B^{2n}(r)\hookrightarrow M\}$

: $c_{\max}(M)=\inf\{r\colon\exists\iota\colon M\hookrightarrow\mathbb B^2(r)\times\mathbb R^{2n-2}\}$

'''그로모프 조임 불가능성 정리'''에 따르면, $c_{\min}$ 과 $c_{\max}$ 는 심플렉틱 용량을 이룬다. 특히, 심플렉틱 매장

: $\mathbb B^{2n}(r)\hookrightarrow\mathbb B^2(R)\times\mathbb R^{2n-2}$

이 존재할 필요충분조건은 $r\le R$ 이다. 또한, 모든 심플렉틱 용량 $c$ 에 대하여,

: $c_{\min}(M)\le c(M)\le c_{\max}(M)$

이 성립한다.

모리스 A. 드 고송은 다음과 같이 말한다.

마찬가지로, 안드레아 첸시는 다음과 같이 설명한다.

3. 1. 배경

유클리드 공간

\mathbb{R}^{2n}

에 표준적인 심플렉틱 형식

\omega = dx_1 \wedge dy_1 + \cdots + dx_n \wedge dy_n

을 부여하고, 반지름 r인 공

B^{2n}(r)

과 반지름 R인 심플렉틱 원기둥

Z^{2n}(R) = \{z \in \mathbb{R}^{2n} : x_1^2 + y_1^2 < R^2 \}

을 정의한다.

만약

(M,\eta)

와

(N,\nu)

가 심플렉틱 다양체라면, ''심플렉틱 임베딩''

\varphi : (M,\eta) \to (N,\nu)

는

\varphi^* \nu = \eta

를 만족하는 매끄러운 임베딩

\varphi : M \to N

이다.

r \leq R

에 대해,

B^{2n}(r) \to Z^{2n}(R)

의 심플렉틱 임베딩이 존재하여

x \in B^{2n}(r) \subset \mathbb R^{2n}

을 동일한 점

x \in Z^{2n}(R) \subset \mathbb R^{2n}

로 보낸다.

''그로모프의 비압착 정리''는 만약 심플렉틱 임베딩

\varphi : B^{2n}(r) \to Z^{2n}(R)

이 존재한다면,

r \leq R

이라고 말한다.^[3]

3. 2. 정리의 내용

만약

\varphi : B^{2n}(r) \to Z^{2n}(R)

이 존재한다면,

r \leq R

이다. 즉, 큰 공을 작은 원기둥에 심플렉틱하게 넣을 수 없다.^[3]

3. 3. 심플렉틱 낙타

이언 스튜어트는 그로모프의 비압착 정리를 ''낙타와 바늘귀''의 비유를 들어 설명하였고, 이후 이 정리는 ''심플렉틱 낙타의 원리''로도 알려지게 되었다.^[4]

모리스 A. 드 고송은 이 논문의 제목에 심플렉틱 낙타를 언급한 이유에 대해 다음과 같이 설명한다. "그로모프의 정리에 따르면, 위상 공간 구를 정규 변환을 사용하여 짝수 좌표

x_j

및

p_j

평면의 구멍을 통과하도록 변형할 수 없다. 단, 구멍의 면적이 구의 단면적보다 작아야 한다."^[5]

안드레아 첸시는 "직관적으로, 위상 공간의 부피는 특정 심플렉틱 평면에서 그 “심플렉틱 너비”가 허용하는 것보다 더 많이 늘어날 수 없다. 즉, 바늘이 충분히 작다면 심플렉틱 낙타를 바늘귀에 쑤셔 넣는 것은 불가능하다. 이는 시스템의 해밀턴적인 특성과 밀접하게 관련된 매우 강력한 결과이며, 전체 부피에만 관심이 있고 ''형태''에 대한 제한은 없는 리우빌의 정리와는 완전히 다르다."라고 말했다.^[6]

4. 성질

다음과 같은 두 함수를 정의하자.

: $c_{\min}(M)=\sup\{r\colon\exists\iota\colon\mathbb B^{2n}(r)\hookrightarrow M\}$

: $c_{\max}(M)=\inf\{r\colon\exists\iota\colon M\hookrightarrow\mathbb B^2(r)\times\mathbb R^{2n-2}\}$

그로모프 조임 불가능성 정리에 따르면, $c_{\min}$ 과 $c_{\max}$ 는 심플렉틱 용량을 이룬다. 특히, 심플렉틱 매장

: $\mathbb B^{2n}(r)\hookrightarrow\mathbb B^2(R)\times\mathbb R^{2n-2}$

이 존재하는 필요충분조건은 $r\le R$ 이다. 또한, 모든 심플렉틱 용량 $c$ 에 대하여,

: $c_{\min}(M)\le c(M)\le c_{\max}(M)$

이 성립한다.

그로모프 폭은 심플렉틱 용량의 한 예시이다.^[3]

: $w_G(M, \omega) = \sup \{ \pi r^2 : \text{심플렉틱 임베딩 } B^{2n}(r) \to (M,\omega)가 존재한다. \}$

5. 추가 연구 및 응용

심플렉틱 용량 개념은 여러 분야로 확장되어 연구되고 있다. 모리스 드 고슨(Maurice de Gosson)은 비-압착 정리가 하이젠베르크 불확정성 원리를 일반화한 '로버트슨-슈뢰딩거-하이젠베르크 부등식'과 밀접하게 관련되어 있음을 보였다.^[7]

5. 1. 불확정성 원리와의 관계

드 고슨은 비-압착 정리가 하이젠베르크 불확정성 관계의 일반화인 ''로버트슨-슈뢰딩거-하이젠베르크 부등식''과 밀접하게 연관되어 있음을 보였다.^[7] ''로버트슨-슈뢰딩거-하이젠베르크 부등식''은 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

\operatorname{var}(Q) \operatorname{var}(P) \geq \operatorname{cov}^2(Q,P) + \left(\frac{\hbar}{2}\right)^2

여기서 Q와 P는 정준 좌표이며, ''var''와 ''cov''는 분산 및 공분산 함수이다.^[7]

6. 역사

미하일 그로모프가 1985년에 유사 정칙 곡선을 사용하여 그로모프 조임 불가능성 정리를 증명하였다.^[8]

참조

_[1] 서적 Nonlinear Dispersive Equations: Local and Global Analysis https://books.google[...] American Mathematical Society
_[2] 논문 Pseudo holomorphic curves in symplectic manifolds
_[3] 서적 Introduction to Symplectic Topology Oxford University Press
_[4] 간행물 The symplectic camel Nature 1987
_[5] 간행물 The Symplectic Camel and the Uncertainty Principle: The Tip of an Iceberg? Foundations of Physics 2009
_[6] 문서 Symplectic camels and uncertainty analysis http://www.cds.calte[...]
_[7] 문서 How classical is the quantum universe? https://arxiv.org/ab[...] 2008-08-20
_[8] 저널 Pseudo holomorphic curves in symplectic manifolds https://archive.org/[...] 1985

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