십팔진법

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1. 개요

십팔진법은 18을 밑으로 하는 위치 기수법으로, 0부터 H까지 18개의 숫자를 사용한다. 십진법과 달리 9+9=10, 9x2=10으로 계산하며, 3, 6, 9의 배수 연산과 1/2, 1/3, 1/9의 분수 계산에 용이하다. 십팔진법은 육진법, 십이진법과 유사한 장점을 가지며, 20까지의 역수는 B를 제외하고 순환절이 4자리 이하로 짧다.

십팔진법

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이진법은 0과 1 두 개의 숫자를 사용하는 밑이 2인 위치 기수법으로, 컴퓨터 과학의 기초가 되었으며 현대 컴퓨터에서 데이터를 저장하고 처리하는 데 사용된다.
기수법 - 구진법
구진법은 9를 밑으로 하는 위치 기수법으로 0부터 8까지의 숫자를 사용하여 수를 나타내며, 3의 배수 표현이 간결하고 3의 역수는 유한소수로 표현되는 특징이 있다.

1. 개요
2. 기수법
- 2.1. 정수의 예
- 2.2. 사칙 연산의 예
3. 가분성
4. 성질

2. 기수법

십팔진법은 18을 밑으로 하는 위치 기수법이다. 십진법에서 "9 + 1 = 10", "5 × 2 = 10"으로 계산하는 것과 달리, 십팔진법에서는 "9 + 9 = 10", "9 × 2 = 10"으로 계산한다. 십팔진법은 보통 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F, G, H의 18개 숫자를 사용한다. 오른쪽 끝 또는 소수점이 1의 자릿수를 나타내며, 왼쪽으로 한 자리씩 옮겨갈 때마다 18배, 오른쪽으로 한 자리씩 옮겨갈 때마다 1/18이 된다. 예를 들어 (11)₁₈에서 왼쪽의 "1"은 십팔을, 오른쪽의 "1"은 일을 나타내어 합쳐서 십구를 나타낸다. (50)₁₈은 십진법으로 90 (5×18¹)을, (100)₁₈은 324 (1×18²)를 의미한다. 십팔진수는 괄호와 아래첨자 18로 표기한다(예: (10)₁₈).

십팔진법은 약수에 9가 포함되어 3개, 6개, 9개씩 묶어 세거나 1/3, 1/6, 1/9 등 3의 배수로 나누기가 쉽다. 십팔진수 4자리는 십진수 5자리(10000₍₁₈₎ = 104976₍₁₀₎)와 같고, 십팔진수 5자리는 육진법 8자리와 같다.

2.1. 정수의 예

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진법	36	64	243	729	1000	1620	2000	5832	6561	10000	46656	62113	104976	297432
육진법	100	144	1000			1000000
구진법			1000				10000
십진법	36	64	243	729	1000	1620	2000	5832	6561	10000	46656	62113	104976	297432
십이진법											100
십육진법										100
십팔진법	20	3A	249	31A	500	632	1000	1249	1CFA	8000	ABCD	10000	2F000

* 18 = 십진법 26 (1×18 + 8)
* 20 = 육진법 100 = 십진법 36 (2×18)
* 2D = 십진법 49 (2×18 + 13)
* 3A = 육진법 144 = 십진법 64 (3×18 + 10)
* 49 = 십진법 81 (4×18 + 9)
* 5A = 십진법 100 (5×18 + 10)
* 80 = 십이진법 100 = 십진법 144 (8×18)
* 90 = 십진법 162 (9×18)
* C6 = 십진법 222 (12×18 + 2)
* D9 = 십진법 243 (13×18 + 9)
* E4 = 십육진법 100 = 십진법 256 (14×18 + 4)
* 100 = 십진법 324 (1×18²)
* 249 = 구진법 1000 = 십진법 729 (2×18² + 4×18¹ + 9)
* 31A = 십진법 1000 (3×18² + 1×18¹ + 10)
* 500 = 십진법 1620 (5×18²)
* 632 = 십진법 2000 (6×18² + 3×18¹ + 2)
* E5F = 십진법 4713 (14×18² + 5×18¹ + 15)
* 1000 = 십진법 5832 (1×18³)
* 1249 = 구진법 10000 = 십진법 6561 (1×18³ + 2×18² + 4×18¹ + 9)
* 1CFA = 십진법 10000 (1×18³ + 12×18² + 15×18¹ + 10)
* 8000 = 육진법 1,000,000 = 십진법 46656 (8×18³)
* ABCD = 십진법 62113 (10×18³ + 11×18² + 12×18¹ + 13)
* 10000 = 십진법 104976 (1×18⁴)
* 2F000 = 십진법 297432 (2×18⁴ + 15×18³)

2.2. 사칙 연산의 예

"9+9 = 10", "9×2 = 10"으로 계산하는 방법이 십팔진법이다. 십진법의 18은 십팔진법에서 10이 된다. 십팔진법은 약수에 9가 포함되어 있어서 3개씩, 6개씩, 9개씩 묶어서 세거나, 1/3, 1/6, 1/9 등 3의 배수로 나누는 것이 매우 쉽다.

십팔진수 4자리는 십진수 5자리(10000₍₁₈₎ = 104976₍₁₀₎ = 2130000₍₆₎)에 해당하고, 십팔진수 5자리는 육진수 8자리(100000₍₁₈₎ = 104300000₍₆₎ = 1889568₍₁₀₎)에 해당한다.

십팔진법 사칙연산의 예시는 다음과 같다.

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십진법	십팔진법
81 + 19 = 100	49 + 11 = 5A
2000 - 56 = 1944	632 - 32 = 600
4 × 9 = 36	4 × 9 = 20
99 × 81 = 8019	59 × 49 = 16D9
360 ÷ 9 = 40	120 ÷ 9 = 24
1620 ÷ 6 = 270	500 ÷ 6 = F0

3. 가분성

십팔진법은 9+9 = 10, 9×2 = 10으로 계산하는 방법이다. 십진법의 18은 십팔진법으로 10이 된다. 십팔진법은 약수에 9가 포함되어 있어 3의 배수로 나누거나 세기 편리하다는 특징이 있다.

십팔은 소인수분해하면 2 × 3²이므로, "세육" 또는 "이구"라고 할 수 있다. 18의 약수는 2, 3, 6, 9이므로, 1/2, 1/3, 1/9이 나누어떨어진다는 점에서 육진법 및 십이진법과 같은 장점을 가진다. 특히 십팔진법에서는 9로 나누는 것이 한 자리에서 가능하다.

1/4 (2^-2)의 소수는 육진법(분자 3²)과 십진법(분자 5²)과 달리 분자가 3⁴이다. 십팔진법에서 단일 자릿수 소수의 순환절은 짧은 편이다. 예를 들어 1/B은 순환절이 십 자리이고, 2, 3, 5, 7은 2승까지 모두 순환절이 4자리 이하이다.

1000 (십진법 5832)의 바로 앞 수인 HHH는 7³의 배수이며, 10000 (십진법 104976)의 바로 앞 수인 HHHH는 5², D, H, 11의 배수이다. 12 (이십)까지의 역수는 B를 제외하고 순환절이 4자리 이하로 줄어든다. 백(십진법 100, 십팔진법 5A) 이하의 정사각 수의 역수는 나누어 떨어지지 않는 소수도 모든 순환절은 4자리 이하이다. 5^-3 (십팔진법 1/6H)는 순환절이 이십 자리이다.

숫자가 증가하는 속도는 십팔진수 4자리가 십진수 5자리에 해당하고(10000₍₁₈₎ = 104976₍₁₀₎), 십팔진수 5자리가 육진수 8자리에 해당한다(100000₍₁₈₎ = 104300000₍₆₎).

3.1. 주요 분수

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; 20 (육진법 100₍₆₎ = 십진법 36)까지의 주요 단위 분수

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분수	십팔진법	육진법	십이진법	십진법	이십진법
1/2	0.9	0.3	0.6	0.5	0.A
1/3	0.6	0.2	0.4	0.3333…	0.6D6D…
1/4	0.49	0.13	0.3	0.25	0.5
1/5	0.3AE7…	0.1111…	0.2497…	0.2	0.4
1/6	0.3	0.1	0.2	0.16666…	0.36D6D…
1/7	0.2A5…
1/8	0.249	0.043	0.16	0.125	0.2A
1/9	0.2	0.04	0.14	0.1111…	0.248HFB…
1/A	0.1E73A…	0.03333…	0.12497…	0.1	0.2
1/B	0.1B834G69ED…
1/C	0.19	0.03	0.1	0.08333…	0.1D6D6…
1/D	0.16GB…
1/E	0.152A…
1/F	0.13AE7…
1/G	0.1249	0.0213	0.09	0.0625	0.15
1/H	0.1111…
1/10	0.1	0.02	0.08	0.05555…	0.1248HFB…
1/11	0.0H0H…
1/12	0.0G3AE7…	0.01444…	0.07249…	0.05	0.1
1/16	0.0D9	0.013	0.06
1/17	0.0CH5…	0.01235…		0.04	0.0G
1/19	0.0C	0.012	0.054	0.037…
1/1E	0.0A249	0.01043	0.046
1/20	0.09	0.01	0.04	0.02777…

3.2. 20에서 100까지의 분수

20(육진법 100, 십진법 36)에서 100까지의 분수는 다음과 같다.

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분수	십팔진법	육진법	십이진법	십진법
1/2C	0.06D9	0.0043	0.03	-
1/2D	0.06B…	1/121	-	1/49
1/30	0.06	0.004	0.028	1/54
1/3A	0.051249	0.003213	0.023	1/64
1/40	0.049	0.003	0.02	1/72
1/49	0.04	0.0024	0.0194	0.012345679… (1/81)
1/56	0.036D9	0.00213	0.016	1/96
1/5A	0.0345DC…	0.0020543…	-	0.01 (1/100)
1/60	0.03	0.002	0.014	1/108
1/6H	0.02ABE9E4AGHF76383D71…	-	-	0.008 (1/125)
1/72	0.029A249	0.0014043	0.0116	1/128
1/80	0.0249	0.0013	0.01	1/144
1/90	0.02	0.0012	0.00A8	1/162
1/AC	0.01C6D9	0.001043	0.009	1/192
1/C0	0.019	0.001	0.008	1/216
1/D9	0.016	0.00052	0.00714	1/243
1/E4	0.014E1249	0.00050213	0.0069	1/256
1/G0	0.01249	0.00043	0.006	1/288
1/100	0.01	0.0004	0.0054	1/324

3.3. 100 이상의 분수

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십팔진법	육진법	십이진법	십진법
1/160 = 0.00D9	0.0004	0.0054	1/432
1/190 = 0.00C	0.00024	0.00368	1/486
1/249 = 0.008	0.000144	0.002454	1/729
1/490 = 0.004	0.000052	0.001228	1/1458
1/560 = 0.0036D9	0.000043	0.001	1/1728
1/6D9 = 0.002C	0.0000332	0.0009594	1/2187
1/1000 = 0.001	0.000012	0.000368	1/5832
1/1249 = 0.000G	0.00001104	0.00031B14	1/6561

4. 성질

7의 거듭제곱은 다음과 같다.

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\| 십진법 \|\| 십팔진법
7³	343	111
7⁴	2401	777
7⁵	16807	5555
7⁶	117649	33333
7⁷	823543	111111
7⁸	5764801	777777
7⁹	40353607	5555555
7¹⁰	282475249	33333333

7의 거듭제곱 중 일부는 십진법과 십팔진법에서 모두 회문수이다.

십팔진법에서 레퓨닛 소수는 R2, R19이다. 다음 레퓨닛 소수는 R25667이며, 확률적 소수이다.