구진법
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1. 개요
구진법은 9를 밑으로 사용하는 위치 기수법으로, 0부터 8까지의 아홉 개 숫자를 사용한다. 십진법의 9는 구진법에서 10으로 표기된다. 구진법은 3의 배수에 대한 가분성이 높고, 2의 거듭제곱의 역수의 순환마디가 다른 진법에 비해 짧다는 특징이 있다. 9진법은 가면라이더 쿠우가의 괴인인 그론기어가 사용한다.
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- 9 - 인마궁
인마궁 또는 사수자리는 점성술에서 황도 12궁 중 아홉 번째 별자리로, 궁수 또는 켄타우로스로 묘사되며 11월 22/23일부터 12월 21/22일에 해당하고 주 행성은 목성이다. - 9 - 구각형
아홉 개의 변으로 이루어진 다각형인 구각형은 모든 변과 각이 같을 경우 정구각형이라 불리며, 자와 컴퍼스만으로는 작도가 불가능하지만 눈금 있는 자로는 작도가 가능하고 건축, 디자인, 문화 등 여러 분야에서 활용된다. - 기수법 - 이진법
이진법은 0과 1 두 개의 숫자를 사용하는 밑이 2인 위치 기수법으로, 컴퓨터 과학의 기초가 되었으며 현대 컴퓨터에서 데이터를 저장하고 처리하는 데 사용된다. - 기수법 - 십오진법
십오진법은 15를 밑으로 하는 위치 기수법으로, 0부터 9까지의 아라비아 숫자와 A부터 E까지의 문자를 사용하여 숫자를 표현하며, 3과 5의 배수를 나타내는 데 유용하고 훌리어족의 수 체계에서도 찾아볼 수 있다.
| 구진법 |
|---|
2. 표기법
9진법에서는 0부터 8까지 아홉 가지 숫자를 사용한다. 십진법의 9는 9진법에서 10으로 표기된다. 십진법 18은 20, 십진법 27은 30, 십진법 81은 100, 십진법 729는 1000으로 표기된다. 필요에 따라 9진법 표기는 괄호 및 아래첨자 9를, 십진법 표기는 괄호 및 아래첨자 10을 사용하여 나타낸다. 9진법으로 표기된 수를 9진수라고 한다.
9진법은 "'''10 = 32'''"이 되는 "3의 멱 승수" 진법이므로, 다른 표기법과는 다른 성질을 가진다. 다음 표는 십육진법(10 = 24), 육진법(10 = 2×3), 십진법(10 = 2×5)과의 대비를 보여준다.
| 구진법 | 구진법의 분해 | 십육진법 | 육진법 | 십진법 | 소견 |
|---|---|---|---|---|---|
| 11 | 1×9 + 1 | A | 14 | 10 | - |
| 13 | 1×9 + 3 | C | 20 | 12 | - |
| 17 | 1×9 + 7 | 10 | 24 | 16 | 24 |
| 20 | 2×9 | 12 | 30 | 18 | - |
| 27 | 2×9 + 7 | 19 | 41 | 25 | 52 |
| 30 | 3×9 | 1B | 43 | 27 | 33 |
| 34 | 3×9 + 4 | 1F | 51 | 31 | 소수 (수론) |
| 36 | 3×9 + 6 | 21 | 53 | 33 | - |
| 40 | 4×9 | 24 | 100 | 36 | 22×32 |
| 54 | 5×9 + 4 | 31 | 121 | 49 | - |
| 71 | 7×9 + 1 | 40 | 144 | 64 | 26 |
| 100 | 1×92 | 51 | 213 | 81 | 34 |
| 121 | 1×92 + 2×91 + 1 | 64 | 244 | 100 | - |
| 285 | 2×92 + 8×91 + 5 | EF | 1035 | 239 | 소수 (수론) |
| 314 | 3×92 + 1×91 + 4 | 100 | 1104 | 256 | 28 |
| 438 | 4×92 + 3×91 + 8 | 167 | 1355 | 359 | 소수 (수론) |
| 500 | 5×92 | 195 | 1513 | 405 | - |
| 600 | 6×92 | 1E6 | 2130 | 486 | - |
| 764 | 7×92 + 6×91 + 4 | 271 | 2521 | 625 | 54 |
| 1000 | 1×93 | 2D9 | 3213 | 729 | 36 |
| 1331 | 1×93 + 3×92 + 3×91 + 1 | 3E8 | 4344 | 1000 | - |
| 1700 | 1×93 + 7×92 | 510 | 10000 | 1296 | 24×34 |
| 2725 | 2×93 + 7×92 + 2×91 + 5 | 800 | 13252 | 2048 | (212)9 |
| 3000 | 3×93 | 88B | 14043 | 2187 | 37 |
| 5000 | 5×93 | E3D | 24513 | 3645 | (3×5)의 배수 |
| 5551 | 5×93 + 5×92 + 5×91 + 1 | 1000 | 30544 | 4096 | (213)9 |
| 10000 | 1×94 | 19A1 | 50213 | 6561 | 38 |
2. 1. 정수 표기
구진법에서는 0부터 8까지 아홉 가지 숫자를 사용하며, 8의 다음인 구는 "10"이 된다.따라서 십진법 10(십)은 11(''구일''), 십진법 11(십일)은 12(''구이''), 십진법 12(십이)는 13(''구삼'') ...로 이어 십진법 18(십팔)이 20(''이구'')이 된다. 이후에도 십진법 27(이십칠)은 30(''삼구''), 십진법 36(삼십육)은 40(''사구''), 십진법 49(사십구)는 54(''오구사''), 십진법 64(육십사)는 71(''칠구일'')로, 십진법 81(팔십일)이 100, 십진법 100(백)이 121이 된다.
십진법 16은 9진법으로 17 (1×9 + 7)로 표기된다. 십진법 19는 9진법으로 21 (2×9 + 1)로 표기된다. 십진법 31은 9진법으로 34 (3×9 + 4)로 표기된다. 십진법 36은 9진법으로 40 (4×9)으로 표기된다. 십진법 162는 9진법으로 200 (9×9×2)으로 표기된다. 십진법 2187은 9진법으로 3000 (9×9×9×3)으로 표기된다.
필요에 따라 9진법 표기는 괄호 및 아래첨자 9를, 십진법 표기는 괄호 및 아래첨자 10을 사용하여 나타낸다. 9진법으로 표기된 수를 '''9진수'''라고 한다.
| 십진법 | 9진법 | 분해 |
|---|---|---|
| (16) | 17 | 1×9 + 7 |
| (19) | 21 | 2×9 + 1 |
| (31) | 34 | 3×9 + 4 |
| (36) | 40 | 4×9 |
| (162) | 200 | 9×9×2 |
| (2187) | 3000 | 9×9×9×3 |
2. 2. 배수 판정법
9진법에서 3의 배수는 일의 자리가 3, 6, 0 중 하나이다.또한, 9진법에서도 6진법이나 10진법과 같은 배수 판정이 가능하다. 10-1 = 8 = 23이 되기 때문에, 각 자릿수의 합이 8의 배수이면 8의 배수이다. 2의 배수에 대해서도 각 자릿수의 합이 2의 배수이면 2의 배수가 된다. 또한 두 자리 5의 배수는 자릿수의 차이가 0 또는 5가 된다.
| 2의 배수, 4의 배수, 8의 배수 | 설명 |
|---|---|
| 17 (24) | 1+7 = 8 |
| 48 (10진법 44) | 4+8 = 13, 1+3 = 4 |
| 132 (10진법 110) | 1+3+2 = 6 |
| 5의 배수 | 설명 |
|---|---|
| 27 (52) | 7-2 = 5 |
| 55 (10진법 50) | 5-5 = 0 |
2. 3. 소수 표기
9진법 소수를 여러 소인수를 가지는 위치 기수법으로 변환하는 경우에는 9진수에 그 역수를 곱한 수치가 된다.| 9진법 | 변환 | 6진법 | 12진법 | 15진법 | 18진법 | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0.1 (3-2) | 4를 곱한다. | 0.04 | 17(9)를 곱한다. | 0.14 | 27(9)를 곱한다. | 0.1A | 2를 곱한다. | 0.2 |
| 0.01 (3-4) | 17(9)를 곱한다. | 0.0024 | 314(9)를 곱한다. | 0.0194 | 764(9)를 곱한다. | 0.02BA | 4를 곱한다. | 0.04 |
| 0.0001 (3-8) | 314(9)를 곱한다. | 0.00001104 | 108807(9)를 곱한다. | 0.00031B14 | 654747(9)를 곱한다. | 0.0007AB1A | 17(9)를 곱한다. | 0.000G |
구는 3의 멱수이므로 팔과 십육 등 2의 멱승수와는 성격이 정반대이다. 2의 멱승수인 십육진법이 "산성"이라면 3의 멱승수인 구진법은 십육진법을 중화하기 때문에 "염기성"이라고 할 수 있다.
9진법은 3의 거듭제곱을 밑으로 하는 진법이므로, 2의 거듭제곱을 밑으로 하는 십육진법, 3의 배수를 밑으로 하는 육진법, 5의 배수를 밑으로 하는 십진법과 비교할 수 있다.
가면라이더 쿠우가의 그론기어는 9진법을 사용한다.
3. 가분성
구진법에서 1/2 = 0.4444..., 1/4 = 0.2222..., 1/5 = 0.1717…, 1/8 = 0.1111...과 같이, 인수가 3의 멱승수뿐이므로 3으로만 나눌 수 없고(짝수로 나눌 수 없다). 반면 1/3 = 0.3, 2/3 = 0.6, 1/9 = 1/10 = 0.1, 3-3 = 1/30 = 0.03, 3-4 = 1/100 = 0.01, 3-5 = 1/300 = 0.003, 3-6 = 1/1000 = 0.001과 같이 3의 거듭제곱으로 나누어 떨어지는 수열은 3씩 진행이 매우 원활하다.
1/2이 나누어 떨어지지 않아도 1/3이 나누어 떨어지기 때문에, 이진법과 십육진법은 "A 또는 B 중"밖에 낳을 수 없는 결함을 가지고 있지만, 삼진법와 구진법은 "A도 B도 아니고 C"라는 가치관을 창출할 수 있다.
또한 구진법은 10-1 = 8 = 23이므로 2-6은 1/71 = 0.01234568... 되어, 8자리가 순환한다. 이것은 십진법에서 10-1 = 9 = 32이므로 3-4가 1/81 = 0.012345679...로 되어 9자리가 순환하는 것과 같다. 1/2이 나눌 수 없는 위치 기수법 중 2-n (2의 멱승수의 역수)의 순환 절이 가장 짧은 것은 구진법이다. 마찬가지로 3-n (3의 멱승수의 역수)은 십진법이, 5-n (5의 멱승수의 역수)은 육진법이 각각 순환 절이 가장 짧아진다.
4. 다른 진법과의 비교
구진법 구진법의 분해 십육진법 육진법 십진법 소견 11 1×9 + 1 A 14 10 - 13 1×9 + 3 C 20 12 - 17 1×9 + 7 10 24 16 24 20 2×9 12 30 18 - 27 2×9 + 7 19 41 25 52 30 3×9 1B 43 27 33 34 3×9 + 4 1F 51 31 소수 (수론) 36 3×9 + 6 21 53 33 - 40 4×9 24 100 36 22×32 54 5×9 + 4 31 121 49 - 71 7×9 + 1 40 144 64 26 100 1×92 51 213 81 34 121 1×92 + 2×91 + 1 64 244 100 - 285 2×92 + 8×91 + 5 EF 1035 239 소수 (수론) 314 3×92 + 1×91 + 4 100 1104 256 28 438 4×92 + 3×91 + 8 167 1355 359 소수 (수론) 500 5×92 195 1513 405 - 600 6×92 1E6 2130 486 - 764 7×92 + 6×91 + 4 271 2521 625 54 1000 1×93 2D9 3213 729 36 1331 1×93 + 3×92 + 3×91 + 1 3E8 4344 1000 - 1700 1×93 + 7×92 510 10000 1296 24×34 2725 2×93 + 7×92 + 2×91 + 5 800 13252 2048 (212)9 3000 3×93 88B 14043 2187 37 5000 5×93 E3D 24513 3645 F (3×5)의 배수 5551 5×93 + 5×92 + 5×91 + 1 1000 30544 4096 (213)9 10000 1×94 19A1 50213 6561 38
5. 문화 속 9진법
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