쌍곡 치환

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 기본 공식
- 2.2. 상세 공식
3. 예제
4. 응용
- 4.1. 삼각함수 적분
- 4.2. 건서 쌍곡 치환
참조

1. 개요

쌍곡 치환은 삼각 치환과 유사하게 완전 제곱꼴의 이차식이 포함된 함수의 적분에 사용되는 기법이다. 유리 함수 R(u, v)와 a > 0에 대해, 쌍곡 치환은 적분, 삼각 치환, 쌍곡 치환 및 사용된 항등식을 표로 정리하여 나타낸다. 이 기법은 $\int\cos^mx\sin^nx\mathrm dx$ 꼴의 적분에도 활용되며, 건서 쌍곡 치환이라고도 불린다.

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쌍곡 치환
정의
종류	삼각 치환 쌍곡선 함수 치환 지수 함수 치환 무리식 치환
쌍곡선 함수 치환
적분식	∫ √(a²+x²) dx
치환	x = a sinh t
계산	∫ a cosh t ⋅ a cosh t dt = (a²/2)∫ (cosh 2t + 1) dt = (a²/4)sinh 2t + (a²/2)t + C = (a²/2)sinh t cosh t + (a²/2)t + C = (x/2)√(a²+x²) + (a²/2)sinh⁻¹(x/a) + C
적분식	∫ √(x²-a²) dx
치환	x = a cosh t
계산	∫ a sinh t ⋅ a sinh t dt = (a²/2)∫ (cosh 2t - 1) dt = (a²/4)sinh 2t - (a²/2)t + C = (a²/2)sinh t cosh t - (a²/2)t + C = (x/2)√(x²-a²) - (a²/2)cosh⁻¹(x/a) + C
적분식	∫ √(a²-x²) dx
치환	x = a tanh t
계산	∫ a sech t ⋅ a sech² t dt = a²∫ sech³ t dt = (a²/2)(tanh t sech t + ∫ sech t dt) = (a²/2)(tanh t sech t + arctanh(tanh t)) + C = (x/2)√(a²-x²) + (a²/2)tanh⁻¹(x/a) + C

2. 정의

쌍곡 치환은 삼각 치환과 마찬가지로 완전 제곱꼴의 이차식이 나오는 함수를 적분하는 데 사용되는 기법이다.^[1] 유리 함수 $R(u,v)$ 및 $a>0$ 이 주어졌을 때, 쌍곡 치환은 다음과 같다.^[1]

적분	삼각 치환	쌍곡 치환
$\int R(x,\sqrt{a^2-x^2})\mathrm dx$	$x=a\sin\theta$	$x=a\tanh t$
$\int R(x,\sqrt{x^2+a^2})\mathrm dx$	$x=a\tan\theta$	$x=a\sinh t$
$\int R(x,\sqrt{x^2-a^2})\mathrm dx$	$x=a\sec\theta$	$x=a\cosh t$

각 치환에 사용되는 항등식은 다음과 같다.

적분	쌍곡 치환				사용된 항등식
$\int R(x,\sqrt{a^2-x^2})\mathrm dx$	$x=a\tanh t$	$-\infty$	$\sqrt{a^2-x^2}=a\operatorname{sech}t$	$\mathrm dx=a\operatorname{sech}^2t\mathrm dt$	$1-\tanh^2t=\operatorname{sech}^2t$
$\int R(x,\sqrt{x^2+a^2})\mathrm dx$	$x=a\sinh t$	$-\infty$	$\sqrt{x^2+a^2}=a\cosh t$	$\mathrm dx=a\cosh t\mathrm dt$	$1+\sinh^2t=\cosh^2t$
$\int R(x,\sqrt{x^2-a^2})\mathrm dx$	$x=a\cosh t$ ( $x>a$ 일 경우)	$0$	$\sqrt{x^2-a^2}=a\sinh t$	$\mathrm dx=a\sinh t\mathrm dt$	$\cosh^2t-1=\sinh^2t$

2. 1. 기본 공식

2. 2. 상세 공식

3. 예제

다음은 쌍곡 치환을 이용한 적분 예시들이다.^[2]^[3]^[4]

$\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^2-a^2}}$ ( $a>0,\;x>a$ ):

:

x=a\cosh t,\;0 일 때,

::

\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^2-a^2}}=\int\frac{a\sinh t\mathrm dt}{a\sinh t} = \int\mathrm dt=t+C=\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C

$\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^2+a^2}}$ ( $a>0$ ):

:

x=a\sinh t,\;-\infty 일 때,

::

\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^2+a^2}}=\int\frac{a\cosh t\mathrm dt}{a\cosh t}=\int\mathrm dt=t+C=\ln|x+\sqrt{x^2+a^2}|+C

$\int\sqrt{1-x^2}\mathrm dx$ :

:

x=\tanh t,\;-\infty 일 때,

::

\int\sqrt{1-x^2}\mathrm dx=\int\frac{\mathrm dt}{\cosh^3t}=\int\frac{\cosh t\mathrm dt}{\cosh^4t}=\int\frac{\mathrm du}{(u^2+1)^2}

(

u=\sinh t

)

::

=\int\frac{\mathrm du}{u^2+1}-\int\frac{u^2}{(u^2+1)^2}\mathrm du=\int\frac{\mathrm du}{u^2+1}+\frac 12\int u\mathrm d\frac 1{u^2+1}

::

=\int\frac{\mathrm du}{u^2+1}+\frac 12\frac u{u^2+1}-\frac 12\int\frac{\mathrm du}{u^2+1}=\frac 12\arctan u+\frac 12\frac u{u^2+1}+C

::

=\frac 12\arctan\frac x{\sqrt{1-x^2}}+\frac 12x\sqrt{1-x^2}+C

(

\sinh t=\frac{\tanh t}{\sqrt{1-\tanh^2t}}

)

::

=\frac 12\arcsin x+\frac 12x\sqrt{1-x^2}+C

첫째 및 둘째 예시는 쌍곡 치환이 더 간편하며, 셋째 예시는 삼각 치환이 더 간편하다.

4. 응용

쌍곡 치환은 $\int\cos^mx\sin^nx\mathrm dx$ 꼴의 적분( $m,n$ 은 정수, $m+n$ 은 음의 홀수)에도 사용된다.^[5] 이 경우, 다음과 같은 두 가지 쌍곡 치환 방법을 사용할 수 있다.^[5]

적분	쌍곡 치환
$\begin{align}\int\cos^mx\sin^nx\mathrm dx$	$\tan x=\sinh t$	$\sec x=\cosh t$ ( $-\pi/2 일 경우)$	$\mathrm dx=\operatorname{sech}t\mathrm dt$
$\begin{align}\int\cos^mx\sin^nx\mathrm dx$	$\cot x=\sinh t$	$\csc x=\cosh t$ ( $0 일 경우)$	$\mathrm dx=-\operatorname{sech}t\mathrm dt$

첫 번째 방법을 사용하면^[5],

: $\begin{align}\int\sec x\mathrm dx&=\int\cosh t\operatorname{sech}t\mathrm dt\\&=\int\mathrm dt\\&=t+C\\&=\ln(\cosh t+\sinh t)+C\\&=\ln(\sec x+\tan x)+C\end{align}$

두 번째 방법을 사용하면^[5],

: $\begin{align}\int\csc^3x\mathrm dx&=-\int\cosh^3t\operatorname{sech}t\mathrm dt\\&=-\int\cosh^2t\mathrm dt\\&=-\frac 12\int(1+\cosh 2t)\mathrm dt\\&=-\frac 12t-\frac 14\sinh 2t\\&=-\frac 12\ln(\cosh t+\sinh t)-\frac 12\sinh t\cosh t\\&=-\frac 12\ln(\csc x+\cot x)-\frac 12\cot x\csc x\\&=\frac 12\ln(\csc x-\cot x)-\frac 12\cot x\csc x\end{align}$

일부 저서에서는 이를 '''건서 쌍곡 치환'''(-雙曲置換, Gunther's hyperbolic substitutions^영어)이라고 부른다.^[1] 이 방법은 찰스 건서(Charles O. Gunther)가 《삼각 및 허수 치환 적분》(Integration by Trigonometric and Imaginary Substitutions^영어)이라는 교재에서 처음 공개하였다.^[1]^[6]

4. 1. 삼각함수 적분

쌍곡 치환은

\int\cos^mx\sin^nx\mathrm dx

꼴의 적분(

m,n

은 정수,

m+n

은 음의 홀수)에도 사용된다.^[5] 이 경우, 다음과 같은 두 가지 쌍곡 치환 방법을 사용할 수 있다.^[5]

적분	쌍곡 치환
$\begin{align}\int\cos^mx\sin^nx\mathrm dx$	$\tan x=\sinh t$	$\sec x=\cosh t$ ( $-\pi/2 일 경우)$	$\mathrm dx=\operatorname{sech}t\mathrm dt$
$\begin{align}\int\cos^mx\sin^nx\mathrm dx$	$\cot x=\sinh t$	$\csc x=\cosh t$ ( $0 일 경우)$	$\mathrm dx=-\operatorname{sech}t\mathrm dt$

첫 번째 방법을 사용하면^[5],

: $\begin{align}\int\sec x\mathrm dx&=\int\cosh t\operatorname{sech}t\mathrm dt\\&=\int\mathrm dt\\&=t+C\\&=\ln(\cosh t+\sinh t)+C\\&=\ln(\sec x+\tan x)+C\end{align}$

두 번째 방법을 사용하면^[5],

: $\begin{align}\int\csc^3x\mathrm dx&=-\int\cosh^3t\operatorname{sech}t\mathrm dt\\&=-\int\cosh^2t\mathrm dt\\&=-\frac 12\int(1+\cosh 2t)\mathrm dt\\&=-\frac 12t-\frac 14\sinh 2t\\&=-\frac 12\ln(\cosh t+\sinh t)-\frac 12\sinh t\cosh t\\&=-\frac 12\ln(\csc x+\cot x)-\frac 12\cot x\csc x\\&=\frac 12\ln(\csc x-\cot x)-\frac 12\cot x\csc x\end{align}$

일부 저서에서는 이를 건서 쌍곡 치환(-雙曲置換, Gunther's hyperbolic substitutions^영어)이라고 부른다.^[1] 이 방법은 찰스 건서(Charles O. Gunther^영어)가 《삼각 및 허수 치환 적분》(Integration by Trigonometric and Imaginary Substitutions^영어)이라는 교재에서 처음 공개하였다.^[1]^[6]

4. 2. 건서 쌍곡 치환

참조

_[1] 서적 How to Integrate It Cambridge University Press 2018-02
_[2] 서적 Single Variable Calculus: Early Transcendentals Cengage Learning 2011
_[3] 서적 数学分析. 第一册北京大学出版社 2009-08
_[4] 저널 双曲函数及其在积分中的应用 1994
_[5] 저널 Use of Hyperbolic Substitution for Certain Trigonometric Integrals https://archive.org/[...] 1965
_[6] 서적 Integration by trigonometric and imaginary substitution https://archive.org/[...] D. Van Nostrand company 1907

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