쌍곡선 함수

1. 개요

쌍곡선 함수는 삼각함수에서 파생된 함수로, 쌍곡사인(sinh), 쌍곡코사인(cosh), 쌍곡탄젠트(tanh) 등이 있다. 이 함수들은 지수 함수를 사용하여 정의되며, 삼각함수와 밀접한 관계를 가진다. 쌍곡선 함수는 복소수까지 확장될 수 있으며, 복소평면에서 해석적인 함수이다. 쌍곡선 함수는 2차원 평면에서 쌍곡선을 그리며, 삼각함수와 유사한 성질과 덧셈 정리를 갖는다. 또한, 쌍곡선 함수는 미분과 적분에서 유용하게 활용되며, 그 역함수는 로그 함수를 이용하여 나타낼 수 있다.

2. 정의

쌍곡선 함수는 지수 함수를 이용하여 정의되거나, 복소수 삼각함수를 통해 정의될 수 있다.

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삼각함수는 단위원을 이용하여 정의할 수 있는데, 설명을 간단히 하기 위해 제1사분면( 이고 )으로 한정한다.

단위원 위의 점 와 x축 위의 점 , 원점 를 생각하면, 선분 와 호 로 둘러싸인 영역의 넓이는 이다.

이 성질을 이용하여 반대로 삼각함수를 정의할 수도 있다. 즉, 단위원 위의 점 와 x축 위의 점 를 취하고, 선분 와 호 로 둘러싸인 영역의 넓이가 일 때, 의 좌표를 로 하여 삼각함수를 정의한다.

단위원의 정의식은
:$x^2\; +\; y^2\; =\; 1$
이고, 표준형 쌍곡선의 정의식은 의 부호만 바꾼
:$x^2\; -\; y^2\; =\; 1$
이다. 단위원의 넓이로 삼각함수를 정의한 것과 마찬가지로 쌍곡선을 이용하여 쌍곡선함수를 정의할 수 있다.

표준형 쌍곡선 위의 점 와 x축 위의 점 를 취하고, 선분 와 쌍곡선이 둘러싸는 영역의 넓이가 일 때, 의 좌표를 로 하여 쌍곡선함수 가 정의된다.

삼각함수의 정의에 나타난 는 호도법에서의 각도에 대응했지만, 쌍곡선함수에서는 각도에 대응하지 않는다.

이와 같이 삼각함수와 쌍곡선함수는 매우 비슷한 함수로 정의되며, 여러 상황에서 그 유사성이 나타난다. 정의에 쌍곡선을 사용하는 함수를 쌍곡선함수라고 부르는 것에 맞춰, 정의에 단위원을 사용하는 삼각함수를 원함수(circular function)라고 부르기도 한다.

또한, 예를 들어 cosh를 cos hyp 등으로 표기하기도 하며, cosech는 길기 때문에 csch로 쓰기도 한다.

sinh, cosh, tanh는 요한 하인리히 람베르트가 도입했다.

2.1. 지수 함수 정의

지수 함수를 이용한 정의는 다음과 같다.

* 쌍곡선 사인: 지수 함수의 홀수 부분, 즉
::$$\backslash sinh\; x\; =\; \backslash frac\; \{e^x\; -\; e^\{-x\}\}\; \{2\}\; =\; \backslash frac\; \{e^\{2x\}\; -\; 1\}\; \{2e^x\}\; =\; \backslash frac\; \{1\; -\; e^\{-2x\}\}\; \{2e^\{-x\}\}.$$
* 쌍곡선 코사인: 지수 함수의 짝수 부분, 즉
::$$\backslash cosh\; x\; =\; \backslash frac\; \{e^x\; +\; e^\{-x\}\}\; \{2\}\; =\; \backslash frac\; \{e^\{2x\}\; +\; 1\}\; \{2e^x\}\; =\; \backslash frac\; \{1\; +\; e^\{-2x\}\}\; \{2e^\{-x\}\}.$$
* 쌍곡선 탄젠트:
::$$\backslash tanh\; x\; =\; \backslash frac\{\backslash sinh\; x\}\{\backslash cosh\; x\}\; =\; \backslash frac\; \{e^x\; -\; e^\{-x\}\}\; \{e^x\; +\; e^\{-x\}\}\; =\; \backslash frac\{e^\{2x\}\; -\; 1\}\; \{e^\{2x\}\; +\; 1\}.$$
* 쌍곡선 코탄젠트: 일 때,
::$$\backslash coth\; x\; =\; \backslash frac\{\backslash cosh\; x\}\{\backslash sinh\; x\}\; =\; \backslash frac\; \{e^x\; +\; e^\{-x\}\}\; \{e^x\; -\; e^\{-x\}\}\; =\; \backslash frac\{e^\{2x\}\; +\; 1\}\; \{e^\{2x\}\; -\; 1\}.$$
* 쌍곡선 시컨트:
::$$\backslash operatorname\{sech\}\; x\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash cosh\; x\}\; =\; \backslash frac\; \{2\}\; \{e^x\; +\; e^\{-x\}\}\; =\; \backslash frac\{2e^x\}\; \{e^\{2x\}\; +\; 1\}.$$
* 쌍곡선 코시컨트: 일 때,
::$$\backslash operatorname\{csch\}\; x\; =\; \backslash frac\{1\}\{\backslash sinh\; x\}\; =\; \backslash frac\; \{2\}\; \{e^x\; -\; e^\{-x\}\}\; =\; \backslash frac\{2e^x\}\; \{e^\{2x\}\; -\; 1\}.$$

쌍곡선 함수는 지수 함수 e^x를 이용하여 다음과 같이 정의된다.
* sinh x = (e^x - e^-x) / 2
* cosh x = (e^x + e^-x) / 2

sinh, cosh를 각각 쌍곡선 사인 함수(hyperbolic sine), 쌍곡선 코사인 함수(hyperbolic cosine)라고 부른다. 삼각함수와의 유사성에 따라 쌍곡선 탄젠트·코탄젠트 함수, 쌍곡선 시컨트·코시컨트 함수도 정의할 수 있다.
* tanh x = sinh x / cosh x
* coth x = 1 / tanh x
* sech x = 1 / cosh x
* cosech x = 1 / sinh x

2.2. 복소수 삼각함수 정의

삼각함수(원함수)의 사인, 코사인, 탄젠트 등에서 추론되어 각각에 대응되는 다음과 같은 함수가 있다.

* 쌍곡선 사인:
:$$\backslash sinh\; x\; =\; -i\; \backslash sin\; (i\; x).$$
* 쌍곡선 코사인:
:$$\backslash cosh\; x\; =\; \backslash cos\; (i\; x).$$
* 쌍곡선 탄젠트:
:$$\backslash tanh\; x\; =\; -i\; \backslash tan\; (i\; x).$$
* 쌍곡선 코탄젠트:
:$$\backslash coth\; x\; =\; i\; \backslash cot\; (i\; x).$$
* 쌍곡선 시컨트:
:$$\backslash operatorname\{sech\}\; x\; =\; \backslash sec\; (i\; x).$$
* 쌍곡선 코시컨트:
:$$\backslash operatorname\{csch\}\; x\; =\; i\; \backslash csc\; (i\; x).$$

여기서 는 인 허수 단위이다.

3. 성질

쌍곡선 함수는 삼각함수와 유사한 성질을 가지지만, 주기 함수가 아니라는 차이점이 있다. 쌍곡선 함수는 많은 항등식을 만족하며, 이들은 모두 형태가 삼각 항등식과 유사하다. 실제로 오스본 법칙에 따르면, $\backslash theta$, $2\backslash theta$, $3\backslash theta$ 또는 $\backslash theta$와 $\backslash varphi$에 대한 삼각 항등식(4차의 sinh 또는 암시적인 sinh를 포함하지 않는 범위까지)을 정수 제곱의 사인과 코사인으로 완전히 전개하고, 사인을 sinh로, 코사인을 cosh로 바꾸고, 두 sinh의 곱을 포함하는 모든 항의 부호를 바꿈으로써 쌍곡선 항등식으로 변환할 수 있다.

* 반각 공식
*: $\backslash cosh^2\backslash frac\{x\}\{2\}\; =\; \backslash frac\{\backslash cosh\; x\; +\; 1\}\{2\}$
*: $\backslash sinh^2\backslash frac\{x\}\{2\}\; =\; \backslash frac\{\backslash cosh\; x\; -\; 1\}\{2\}$

다음과 같은 식도 성립한다.
$$\backslash begin\{align\}$$
\operatorname{sech} ^{2} x &= 1 - \tanh^{2} x \\
\operatorname{csch} ^{2} x &= \coth^{2} x - 1
\end{align}

3.1. 기본 성질

2차원 평면에서 매개변수 $t$를 사용한 자취 $(\backslash cos\; t,\; \backslash sin\; t)$가 단위원 $x^2\; +\; y^2\; =\; 1$을 그리는 것처럼, $(\backslash cosh\; t,\; \backslash sinh\; t)$는 쌍곡선 $x^2\; -\; y^2\; =\; 1$을 그린다. 이는 다음과 같은 관계를 통해 알 수 있다.
:$\backslash cosh^2\; t\; -\; \backslash sinh^2\; t\; =\; 1\; \backslash ,$
하지만 쌍곡선 함수는 주기함수가 아니라는 차이점이 있다.

$\backslash cosh\; x$는 짝함수 (y축 대칭)이며, $\backslash cosh\; 0\; =\; 1$이다.
$\backslash sinh\; y$는 홀함수 (원점 대칭)이며, $\backslash sinh\; 0\; =\; 0$이다.

홀함수와 짝함수의 성질에 의해 다음이 성립한다.
$$\backslash begin\{align\}$$
\sinh (-x) &= -\sinh x \\
\cosh (-x) &= \cosh x
\end{align}

따라서,
$$\backslash begin\{align\}$$
\tanh (-x) &= -\tanh x \\
\coth (-x) &= -\coth x \\
\operatorname{sech} (-x) &= \operatorname{sech} x \\
\operatorname{csch} (-x) &= -\operatorname{csch} x
\end{align}

즉, $\backslash cosh\; x$와 $\backslash operatorname\{sech\}\; x$는 짝함수이고, 다른 함수들은 홀함수이다.

쌍곡선 사인과 코사인은 다음을 만족한다.
$$\backslash begin\{align\}$$
\cosh x + \sinh x &= e^x \\
\cosh x - \sinh x &= e^{-x} \\
\cosh^2 x - \sinh^2 x &= 1
\end{align}

마지막 식은 피타고라스의 삼각 항등식과 유사하다.

--
--
지수 함수를 짝함수 부분과 홀함수 부분으로 나누면,
:$\backslash begin\{align\}$
e^x &= \cosh x + \sinh x \\
e^{-x} &= \cosh x - \sinh x
\end{align}
이 되며, 짝함수 부분이 $\backslash cosh\; x$이고, 홀함수 부분이 $\backslash sinh\; x$임을 알 수 있다.
또한 $(\backslash cosh\; x,\; \backslash sinh\; x)$는, 쌍곡선 $x^2\; -\; y^2\; =\; 1$ 위의 점이며
:$\backslash cosh^2\; x\; -\; \backslash sinh^2\; x\; =\; 1$
이 성립한다.

3.2. 덧셈정리

삼각함수의 덧셈정리와 유사하게 다음과 같은 덧셈정리가 성립한다.

:$\backslash begin\{align\}$
\sinh(\alpha + \beta) &= \sinh \alpha \cosh \beta + \cosh \alpha \sinh \beta \\
\sinh(\alpha - \beta) &= \sinh \alpha \cosh \beta - \cosh \alpha \sinh \beta \\
\cosh(\alpha + \beta) &= \cosh \alpha \cosh \beta + \sinh \alpha \sinh \beta \\
\cosh(\alpha - \beta) &= \cosh \alpha \cosh \beta - \sinh \alpha \sinh \beta \\
\tanh(\alpha + \beta) &= \frac{\tanh \alpha + \tanh \beta}{1 + \tanh \alpha \tanh \beta} \\
\tanh(\alpha - \beta) &= \frac{\tanh \alpha - \tanh \beta}{1 - \tanh \alpha \tanh \beta}
\end{align}

3.3. 미분 공식

{| class="wikitable"
|-
! 함수
! 미분
! 조건
|-
| \(\operatorname{sinh} x\)
| \(\operatorname{cosh} x\)
|
|-
| \(\operatorname{cosh} x\)
| \(\operatorname{sinh} x\)
|
|-
| \(\operatorname{tanh} x\)
| \(1 - \operatorname{tanh}^2 x = \operatorname{sech}^2 x = \frac{1}{\operatorname{cosh}^2 x}\)
|
|-
| \(\operatorname{coth} x\)
| \(1 - \operatorname{coth}^2 x = -\operatorname{csch}^2 x = -\frac{1}{\operatorname{sinh}^2 x}\)
| \(x \neq 0\)
|-
| \(\operatorname{sech} x\)
| \(-\operatorname{tanh} x \operatorname{sech} x\)
|
|-
| \(\operatorname{csch} x\)
| \(-\operatorname{coth} x \operatorname{csch} x\)
| \(x \neq 0\)
|-
| \(\operatorname{arsinh} x\)
| \(\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\)
|
|-
| \(\operatorname{arcosh} x\)
| \(\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}\)
| \(1 < x\)
|-
| \(\operatorname{artanh} x\)
| \(\frac{1}{1-x^2}\)
| \(|x| < 1\)
|-
| \(\operatorname{arcoth} x\)
| \(\frac{1}{1-x^2}\)
| \(1 < |x|\)
|-
| \(\operatorname{arsech} x\)
| \(-\frac{1}{x\sqrt{1-x^2}}\)
| \(0 < x < 1\)
|-
| \(\operatorname{arcsch} x\)
| \(-\frac{1}

따라서, \(\sinh x\) 와 \(\cosh x\) 는 모두 2계 선형 미분 방정식

\(\frac{d^2}{dx^2} y(x) = y(x)\)

의 해이며, 이 미분 방정식의 기본 해계 중 하나가 된다.

3.4. 테일러 급수

$\backslash sinh\; x\; =\; x\; +\; \backslash frac\; \{x^3\}\; \{3!\}\; +\; \backslash frac\; \{x^5\}\; \{5!\}\; +\; \backslash frac\; \{x^7\}\; \{7!\}\; +\backslash cdots\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{x^\{2n+1\}\}\{(2n+1)!\}$

$\backslash cosh\; x\; =\; 1\; +\; \backslash frac\; \{x^2\}\; \{2!\}\; +\; \backslash frac\; \{x^4\}\; \{4!\}\; +\; \backslash frac\; \{x^6\}\; \{6!\}\; +\; \backslash cdots\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{x^\{2n\}\}\{(2n)!\}$

이 테일러 급수는 sinh와 cosh의 미분을 이용해서 얻을 수도 있고, $e^x$와 $e^\{-x\}$의 테일러 전개를 sinh와 cosh의 정의식에 대입해서 얻을 수도 있다. 0을 중심으로 한 위 함수들의 테일러 급수(혹은 함수가 0에서 정의되지 않은 경우 로랑 급수)를 명시적으로 표현할 수 있다.

$\backslash sinh\; x\; =\; x\; +\; \backslash frac\; \{x^3\}\; \{3!\}\; +\; \backslash frac\; \{x^5\}\; \{5!\}\; +\; \backslash frac\; \{x^7\}\; \{7!\}\; +\; \backslash cdots\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{x^\{2n+1\}\}\{(2n+1)!\}$
이 급수는 모든 복소수 값에 대해 수렴한다. sinh x 함수는 기함수이므로, 그 테일러 급수에는 x의 홀수 지수만 나타난다.

$\backslash cosh\; x\; =\; 1\; +\; \backslash frac\; \{x^2\}\; \{2!\}\; +\; \backslash frac\; \{x^4\}\; \{4!\}\; +\; \backslash frac\; \{x^6\}\; \{6!\}\; +\; \backslash cdots\; =\; \backslash sum\_\{n=0\}^\backslash infty\; \backslash frac\{x^\{2n\}\}\{(2n)!\}$
이 급수는 모든 복소수 값에 대해 수렴한다. cosh x 함수는 우함수이므로, 그 테일러 급수에는 x의 짝수 지수만 나타난다.

sinh와 cosh 급수의 합은 지수 함수의 무한급수 표현이다.

$\backslash begin\{align\}$
\tanh x &= x - \frac {x^3} {3} + \frac {2x^5} {15} - \frac {17x^7} {315} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}, \qquad \left |x \right | < \frac {\pi} {2} \\
\coth x &= x^{-1} + \frac {x} {3} - \frac {x^3} {45} + \frac {2x^5} {945} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}} {(2n)!}, \qquad 0 < \left |x \right | < \pi \\
\operatorname{sech} x &= 1 - \frac {x^2} {2} + \frac {5x^4} {24} - \frac {61x^6} {720} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2 n} x^{2n}}{(2n)!} , \qquad \left |x \right | < \frac {\pi} {2} \\
\operatorname{csch} x &= x^{-1} - \frac {x} {6} +\frac {7x^3} {360} -\frac {31x^5} {15120} + \cdots = \sum_{n=0}^\infty \frac{ 2 (1-2^{2n-1}) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!} , \qquad 0 < \left |x \right | < \pi
\end{align}

여기서
*$B\_n$는 n번째 베르누이 수
*$E\_n$는 n번째 오일러 수

쌍곡선 함수의 테일러 급수 또는 로랑 전개는 다음 식으로 주어진다. $B_n$, $E_n$은 각각 베르누이 수 ($B_2 = \frac{1}{6}$, $B_4 = -\frac{1}{30}$, …), 오일러 수 ($E_0 = 1$, $E_2 = -1$, …)이다.

:$\backslash begin\{align\}$
\sinh x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}
= x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \frac{x^7}{7!} + \dotsb \\[1ex]
\cosh x &= \sum_{n=0}^\infty {x^{2n} \over (2n)!}
= 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \frac{x^6}{6!} + \dotsb \\[1ex]
\tanh x &= \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} (2^{2n} - 1) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}
= x - \frac{x^3}{3} + \frac{2x^5}{15} - \frac{17x^7}{315} + \dotsb,
\quad |x| < \frac{\pi}{2} \\[1ex]
\operatorname{csch} x &= \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2 (1 - 2^{2n-1}) B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}
= \frac{1}{x} - \frac{x}{6} + \frac{7x^3}{360} - \frac{31x^5}{15120} + \dotsb,
\quad 0 < |x| < \pi \\[1ex]
\operatorname{sech} x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{E_{2n} x^{2n}}{(2n)!}
= 1 - \frac{x^2}{2} + \frac{5x^4}{24} - \frac{61x^6}{720} + \dotsb,
\quad |x| < \frac{\pi}{2} \\[1ex]
\coth x &= \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n} B_{2n} x^{2n-1}}{(2n)!}
= \frac{1}{x} + \frac{x}{3} - \frac{x^3}{45} + \frac{2x^5}{945} + \dotsb,
\quad 0 < |x| < \pi
\end{align}

4. 역쌍곡선 함수

쌍곡선 함수의 역함수는 다음과 같다.

:$\backslash begin\{align\}$
\operatorname {arcsinh} (x) &= \ln \left(x + \sqrt{x^{2} + 1} \right) \\
\operatorname {arccosh} (x) &= \ln \left(x + \sqrt{x^{2} - 1} \right); x \ge 1 \\
\operatorname {arctanh} (x) &= \frac{1}{2}\ln \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right); \left| x \right| < 1 \\
\operatorname {arccsch} (x) &= \ln \left( \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1 + x^{2}}}{\left| x \right|} \right); x \ne 0 \\
\operatorname {arcsech} (x) &= \ln \left( \frac{1}{x} + \frac{\sqrt{1 - x^{2}}}{x} \right); 0 < x \le 1 \\
\operatorname {arccoth} (x) &= \frac{1}{2}\ln \left( \frac{x + 1}{x - 1} \right); \left| x \right| > 1 \\
\end{align}

4.1. 정의

쌍곡선함수가 지수함수로 나타낼 수 있는 것처럼, 그 역함수인 역쌍곡선함수는 로그함수를 이용하여 나타낼 수 있다. x^영어 = sinh y^영어 또는 x^영어 = cosh y^영어 등을 생각하면, 이들은 e^y영어에 관한 2차방정식이므로 풀 수 있으며, 다음과 같은 표현을 얻는다.

:$\backslash begin\{align\}$
\sinh^{-1} x &= \log \left( x + \sqrt{x^2 + 1} \right) \\
\cosh^{-1} x &= \log \left( x + \sqrt{x^2 - 1} \right) \\
\tanh^{-1} x &= \frac{1}{2} \log \frac{1+x}{1-x}
\end{align}

역함수 sinh^−1영어, cosh^−1영어 등은 각각 area sin hyp, area cos hyp (area는 "면적"의 의미) 또는 이를 줄여 ar sinh, ar cosh라고 쓰거나, 역삼각함수와 마찬가지로 arcsinh, arccosh 등으로 쓰기도 한다.

4.2. 미분 공식

다음은 각 역쌍곡선함수의 미분 공식이다.

* arcsinh^영어 x의 미분은 이다.
* arccosh^영어 x의 미분은 이다.
* arctanh^영어 x의 미분은 이다.
* arccsch^영어 x의 미분은 이다.
* arcsech^영어 x의 미분은 이다.
* arccoth^영어 x의 미분은 이다.

$(1 - x^2)^{1/2}$을 포함하는 유리함수의 부정적분을 구할 때 $x = \sin t$ 와 같이 삼각함수를 이용한 치환적분을 하는 것이 유용한 경우가 많다. 마찬가지로, $(x^2 + 1)^{1/2}$을 포함하는 유리함수의 적분에서는 쌍곡선 함수를 이용한 치환적분을 생각하는 것이 유용할 수 있다.

5. 삼각함수와의 관계

쌍곡선 함수는 복소수 범위에서 삼각함수와 밀접한 관련이 있다. 오일러 공식에 따르면 다음과 같은 관계가 성립한다.

:$e^\{ix\}\; =\; \backslash cos\; x\; +\; i\backslash ;\backslash sin\; x$

:$\backslash cosh(ix)\; =\; \backslash frac\{e^\{ix\}\; +\; e^\{-ix\}\}\{2\}\; =\; \backslash cos(x)$

:$\backslash sinh(ix)\; =\; \backslash frac\{e^\{ix\}\; -\; e^\{-ix\}\}\{2\}\; =\; i\; \backslash sin(x)$

:$\backslash tanh(ix)\; =\; i\; \backslash tan(x)\; \backslash ,$

:$\backslash sinh(x)\; =\; -i\; \backslash sin(ix)\; \backslash ,$

:$\backslash cosh(x)\; =\; \backslash cos(ix)\; \backslash ,$

:$\backslash tanh(x)\; =\; -i\; \backslash tan(ix)\; \backslash ,$

:$\backslash operatorname\{arsinh\}(x)\; =\; i\; \backslash arcsin(-ix)$

:$\backslash operatorname\{arcosh\}(x)\; =\; i\; \backslash arccos(x)$

:$\backslash operatorname\{artanh\}(x)\; =\; i\; \backslash arctan(-ix)$

이러한 관계는 지수 함수 표현을 비교하거나, 테일러 급수 전개를 통해 유도할 수 있다.

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삼각함수는 단위원을, 쌍곡선 함수는 표준형 쌍곡선을 이용하여 정의할 수 있다. 이처럼 두 함수는 정의 방식이 유사하며, 여러 특징에서 공통점을 보인다. 이러한 이유로 단위원으로 정의되는 삼각함수를 원함수(circular function)라고 부르기도 한다.