삼각 치환

3. 예제

• '''$\backslash sqrt\{a^2-x^2\}$을 포함하는 적분'''

이 적분은 $x/a=t$와 같은 치환과 아크사인의 도함수를 통해서도 구할 수 있다.

$\backslash int\backslash sqrt\{a^2-x^2\}\backslash mathrm\; dx$와 같은 적분은 위와 같은 삼각 치환을 통해 다음을 얻는다.^[9]

이 적분은 부분 적분을 통해서도 구할 수 있다.

정적분의 경우, 적분 경계가 어떻게 변하는지 알아야 한다. 예를 들어, $x$가 $0$에서 $a/2$로 변하면, $\backslash sin\; \backslash theta$는 $0$에서 $1/2$로 변하고, 따라서 $\backslash theta$는 $0$에서 $\backslash pi\; /\; 6$로 변한다. 그러면,

:$\backslash int\_0^\{a/2\}\backslash frac\{dx\}\{\backslash sqrt\{a^2-x^2\}\}=\backslash int\_0^\{\backslash pi/6\}\; d\backslash theta\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{6\}$이다.

경계를 선택할 때 주의가 필요하다. 위 적분은 를 요구하기 때문에 $\backslash theta$는 $0$에서 $\backslash pi\; /\; 6$까지만 변할 수 있다. 이 제한을 무시하면, $\backslash theta$가 $\backslash pi$에서 $5\backslash pi\; /6$로 변한다고 선택할 수 있는데, 이 경우 실제 값의 음수가 결과로 나올 것이다.

또는, 경계 조건을 적용하기 전에 부정 적분을 완전히 평가할 수 있다. 이 경우, 부정 적분은

:$\backslash int\_\{0\}^\{a/2\}\; \backslash frac\{dx\}\{\backslash sqrt\{a^2\; -\; x^2\}\}\; =\; \backslash arcsin\; \backslash left(\; \backslash frac\{x\}\{a\}\; \backslash right)\; \backslash Biggl|\_\{0\}^\{a/2\}$

= \arcsin \left ( \frac{1}{2}\right) - \arcsin (0) = \frac{\pi}{6} 이다.

• '''$\backslash sqrt\{a^2+x^2\}$을 포함하는 적분'''

이 적분은 $x/a=t$로 치환 및 아크탄젠트의 도함수를 통해서도 구할 수 있다. 위와 똑같은 삼각 치환을 통해 다음과 같은 적분을 구할 수 있다.^[9]

이 적분은 쌍곡 치환 $x=a\backslash sinh\; t$을 통해서도 구할 수 있다.

정적분의 경우, 치환이 수행되면 경계가 바뀌며, $\backslash theta\; =\; \backslash arctan\backslash frac\{x\}\{a\}$를 사용하여 범위 내의 값으로 결정된다. 또는, 경계 조건을 부정적분의 공식에 직접 적용할 수 있다.

예를 들어, 정적분 $\backslash int\_0^1\backslash frac\{4\backslash ,\; dx\}\{1+x^2\}$은 $x\; =\; \backslash tan\backslash theta,\; \backslash ,dx\; =\; \backslash sec^2\backslash theta\backslash ,d\backslash theta$를 치환하여 계산할 수 있으며, 경계는 $\backslash theta\; =\; \backslash arctan\; x$를 사용하여 결정된다.

$\backslash arctan\; 0\; =\; 0$이고 $\backslash arctan\; 1\; =\; \backslash pi/4$이므로, 다음이 성립한다.

$$\backslash begin\{align\}$$

\int_0^1\frac{4\,dx}{1+x^2} &= 4\int_0^1\frac{dx}{1 + x^2}

= 4\int_0^{\pi/4}\frac{\sec^2\theta\, d\theta}{1+\tan^2\theta}

= 4\int_0^{\pi/4}\frac{\sec^2\theta\, d\theta}{\sec^2\theta}

= 4\int_0^{\pi/4}d\theta

= (4\theta)\Bigg|^{\pi/4}_0 = 4 \left (\frac{\pi}{4} - 0 \right) = \pi.

\end{align}

한편, 경계 조건을 부정적분의 공식에 직접 적용하면 이전과 동일한 결과를 얻는다.

• '''$\backslash sqrt\{x^2-a^2\}$을 포함하는 적분'''

이 적분은 $x/a=t$와 같은 치환과 아크사인의 도함수를 통해서도 구할 수 있다.

위와 똑같은 삼각 치환을 통해 다음과 같은 적분을 구할 수 있다.^[9]

이 적분은 부분 적분을 통해서도 구할 수 있다.

$$\backslash int\backslash frac\{dx\}\{\backslash sqrt\{a^2-x^2\}\}$$에서 $$x=a\backslash sin\; \backslash theta,\backslash quad\; dx=a\backslash cos\backslash theta\backslash ,\; d\backslash theta,\; \backslash quad\; \backslash theta=\backslash arcsin\backslash frac\{x\}\{a\}$$를 사용할 수 있다.

그러면,

$$\backslash begin\{align\}$$

\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} &= \int\frac{a\cos\theta \,d\theta}{\sqrt{a^2-a^2\sin^2 \theta}} = \int\frac{a\cos\theta\,d\theta}{\sqrt{a^2(1 - \sin^2 \theta )}} \\[6pt]

&= \int\frac{a\cos\theta\,d\theta}{\sqrt{a^2\cos^2\theta}} = \int d\theta = \theta + C = \arcsin\frac{x}{a}+C.

\end{align}

위 단계에서는 $a\; >\; 0$ 그리고 $\backslash cos\; \backslash theta\; >\; 0$ 이어야 한다. $a$를 $a^2$의 주 제곱근으로 선택하고, 역 사인 함수를 사용하여 의 제한을 가할 수 있다.

정적분의 경우, 적분 경계가 어떻게 변하는지 알아야 한다. 예를 들어, $x$가 $0$에서 $a/2$로 변하면, $\backslash sin\; \backslash theta$는 $0$에서 $1/2$로 변하고, 따라서 $\backslash theta$는 $0$에서 $\backslash pi\; /\; 6$로 변한다. 그러면,

$$\backslash int\_0^\{a/2\}\backslash frac\{dx\}\{\backslash sqrt\{a^2-x^2\}\}=\backslash int\_0^\{\backslash pi/6\}\; d\backslash theta\; =\; \backslash frac\{\backslash pi\}\{6\}.$$

경계를 선택할 때 주의가 필요하다. 위 적분은 를 요구하기 때문에 $\backslash theta$는 $0$에서 $\backslash pi\; /\; 6$까지만 변할 수 있다. 이 제한을 무시하면, $\backslash theta$가 $\backslash pi$에서 $5\backslash pi\; /6$로 변한다고 선택할 수 있는데, 이 경우 실제 값의 음수가 결과로 나올 것이다.

또는, 경계 조건을 적용하기 전에 부정 적분을 완전히 평가할 수 있다. 이 경우, 부정 적분은

$$\backslash int\_\{0\}^\{a/2\}\; \backslash frac\{dx\}\{\backslash sqrt\{a^2\; -\; x^2\}\}\; =\; \backslash arcsin\; \backslash left(\; \backslash frac\{x\}\{a\}\; \backslash right)\; \backslash Biggl|\_\{0\}^\{a/2\}$$

= \arcsin \left ( \frac{1}{2}\right) - \arcsin (0) = \frac{\pi}{6} 이다.

$$\backslash int\backslash sqrt\{a^2-x^2\}\backslash ,dx$$는 $x=a\backslash sin\; \backslash theta,\backslash ,\; dx=a\backslash cos\backslash theta\backslash ,\; d\backslash theta,\backslash ,\; \backslash theta=\backslash arcsin\backslash dfrac\{x\}\{a\}$로 놓음으로써 계산할 수 있으며, 여기서 $a\; >\; 0$이므로 $\backslash sqrt\{a^2\}=a$이고, $-\backslash pi/2\; \backslash le\; \backslash theta\; \backslash le\; \backslash pi/2$는 아크사인 범위이므로 $\backslash cos\; \backslash theta\; \backslash ge\; 0$이고 $\backslash sqrt\{\backslash cos^2\; \backslash theta\}\; =\; \backslash cos\; \backslash theta$이다.

그렇다면,

$$\backslash begin\{align\}$$

\int\sqrt{a^2-x^2}\,dx &= \int\sqrt{a^2-a^2\sin^2\theta}\,(a\cos\theta) \,d\theta = \int\sqrt{a^2(1-\sin^2\theta)}\,(a\cos\theta) \,d\theta \\[6pt]

&= \int\sqrt{a^2(\cos^2\theta)}\,(a\cos\theta) \,d\theta = \int(a\cos\theta)(a\cos\theta) \,d\theta = a^2\int\cos^2\theta\,d\theta \\[6pt]

&= a^2\int\left(\frac{1+\cos 2\theta}{2}\right)\,d\theta = \frac{a^2}{2} \left(\theta+\frac{1}{2}\sin 2\theta \right) + C = \frac{a^2}{2}(\theta+\sin\theta\cos\theta) + C \\[6pt]

&= \frac{a^2}{2}\left(\arcsin\frac{x}{a}+\frac{x}{a}\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\right) + C = \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C.

\end{align}

정적분의 경우, 치환이 수행되면 경계가 바뀌고, 방정식 $\backslash theta\; =\; \backslash arcsin\backslash dfrac\{x\}\{a\}$를 사용하여 범위 $-\backslash pi/2\; \backslash le\; \backslash theta\; \backslash le\; \backslash pi/2$에서 값을 결정한다. 또는 경계 조건을 부정적분 공식에 직접 적용할 수도 있다.

예를 들어, 정적분

$$\backslash int\_\{-1\}^1\backslash sqrt\{4-x^2\}\backslash ,dx$$는 $x\; =\; 2\backslash sin\backslash theta,\; \backslash ,dx\; =\; 2\backslash cos\backslash theta\backslash ,d\backslash theta$로 치환하여 계산할 수 있으며, 경계는 $\backslash theta\; =\; \backslash arcsin\backslash dfrac\{x\}\{2\}$를 사용하여 결정된다.

$\backslash arcsin(1/\{2\})\; =\; \backslash pi/6$이고 $\backslash arcsin(-1/2)\; =\; -\backslash pi/6$이므로

$$\backslash begin\{align\}$$

\int_{-1}^1\sqrt{4-x^2}\,dx &= \int_{-\pi/6}^{\pi/6}\sqrt{4-4\sin^2\theta}\,(2\cos\theta) \,d\theta = \int_{-\pi/6}^{\pi/6}\sqrt{4(1-\sin^2\theta)}\,(2\cos\theta) \,d\theta \\[6pt]

&= \int_{-\pi/6}^{\pi/6}\sqrt{4(\cos^2\theta)}\,(2\cos\theta) \,d\theta = \int_{-\pi/6}^{\pi/6}(2\cos\theta)(2\cos\theta) \,d\theta = 4\int_{-\pi/6}^{\pi/6}\cos^2\theta\,d\theta \\[6pt]

&= 4\int_{-\pi/6}^{\pi/6}\left(\frac{1+\cos 2\theta}{2}\right)\,d\theta = 2 \left[\theta+\frac{1}{2} \sin 2\theta \right]^{\pi/6}_{-\pi/6}

= [2\theta+\sin 2\theta] \Biggl |^{\pi/6}_{-\pi/6} \\[6pt]

&= \left(\frac{\pi}{3}+\sin\frac{\pi}{3}\right)-\left(-\frac{\pi}{3}+\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)

= \frac{2\pi}{3}+\sqrt{3}.

\end{align}

반면에, 경계 조건을 앞에서 얻은 부정적분 공식에 직접 적용하면 다음과 같다.

$$\backslash begin\{align\}$$

\int_{-1}^1\sqrt{4-x^2}\,dx &= \left[ \frac{2^2}{2}\arcsin\frac{x}{2}+\frac{x}{2}\sqrt{2^2-x^2} \right]_{-1}^{1}\\[6pt]

&= \left( 2 \arcsin \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{4-1}\right) - \left( 2 \arcsin \left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{-1}{2}\sqrt{4-1}\right)\\[6pt]

&= \left( 2 \cdot \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left( 2\cdot \left(-\frac{\pi}{6}\right) - \frac{\sqrt 3}{2}\right)= \frac{2\pi}{3} + \sqrt{3}

\end{align}

앞서와 같다.

3. 2. $\backslash sqrt\{a^2+x^2\}$을 포함하는 적분

이 적분은 $x/a=t$로 치환 및 아크탄젠트의 도함수를 통해서도 구할 수 있다. 위와 똑같은 삼각 치환을 통해 다음과 같은 적분을 구할 수 있다.^[9]

이 적분은 쌍곡 치환 $x=a\backslash sinh\; t$을 통해서도 구할 수 있다.

정적분의 경우, 치환이 수행되면 경계가 바뀌며, $\backslash theta\; =\; \backslash arctan\backslash frac\{x\}\{a\}$를 사용하여 범위 내의 값으로 결정된다. 또는, 경계 조건을 부정적분의 공식에 직접 적용할 수 있다.

예를 들어, 정적분 $\backslash int\_0^1\backslash frac\{4\backslash ,\; dx\}\{1+x^2\}$은 $x\; =\; \backslash tan\backslash theta,\; \backslash ,dx\; =\; \backslash sec^2\backslash theta\backslash ,d\backslash theta$를 치환하여 계산할 수 있으며, 경계는 $\backslash theta\; =\; \backslash arctan\; x$를 사용하여 결정된다.

$\backslash arctan\; 0\; =\; 0$이고 $\backslash arctan\; 1\; =\; \backslash pi/4$이므로, 다음이 성립한다.

$$\backslash begin\{align\}$$

\int_0^1\frac{4\,dx}{1+x^2} &= 4\int_0^1\frac{dx}{1 + x^2} \\[6pt]

&= 4\int_0^{\pi/4}\frac{\sec^2\theta\, d\theta}{1+\tan^2\theta} \\[6pt]

&= 4\int_0^{\pi/4}\frac{\sec^2\theta\, d\theta}{\sec^2\theta} \\[6pt]

&= 4\int_0^{\pi/4}d\theta \\[6pt]

&= (4\theta)\Bigg|^{\pi/4}_0 = 4 \left (\frac{\pi}{4} - 0 \right) = \pi.

\end{align}

한편, 경계 조건을 부정적분의 공식에 직접 적용하면 이전과 동일한 결과를 얻는다.

$$\backslash begin\{align\}$$

\int_0^1\frac{4\,dx}{1+x^2}\,

&= 4\int_0^1\frac{dx}{1+x^2} \\[6pt]

&= 4\left[\frac{1}{1} \arctan \frac{x}{1} \right]^1_0 \\[6pt]

&= 4(\arctan x)\Bigg|^1_0 \\[6pt]

&= 4(\arctan 1 - \arctan 0) \\[6pt]

&= 4 \left (\frac{\pi}{4} - 0 \right) = \pi,

\end{align}

적분 $\backslash int\backslash sqrt\{a^2+x^2\}\backslash ,\{dx\}$은 $x=a\backslash tan\backslash theta,\backslash ,\; dx=a\backslash sec^2\backslash theta\backslash ,\; d\backslash theta,\; \backslash ,\; \backslash theta=\backslash arctan\backslash frac\{x\}\{a\}$로 치환하여 구할 수 있다.

여기서 $a\; >\; 0$이므로 $\backslash sqrt\{a^2\}=a$이고, 아크탄젠트의 범위에 의해 이므로 $\backslash sec\; \backslash theta\; >\; 0$이고 $\backslash sqrt\{\backslash sec^2\; \backslash theta\}\; =\; \backslash sec\; \backslash theta$이다.

그러면, 다음을 얻는다.

$$\backslash begin\{align\}$$

\int\sqrt{a^2+x^2}\,dx &= \int\sqrt{a^2 + a^2\tan^2\theta}\,(a \sec^2\theta)\, d\theta \\[6pt]

&= \int\sqrt{a^2 (1+\tan^2\theta)}\,(a \sec^2\theta)\, d\theta \\[6pt]

&= \int\sqrt{a^2 \sec^2\theta}\,(a \sec^2\theta)\, d\theta \\[6pt]

&= \int(a \sec\theta)(a \sec^2\theta)\, d\theta \\[6pt]

&= a^2\int \sec^3\theta\, d\theta. \\[6pt]

\end{align}

시컨트 세제곱의 적분은 부분 적분법을 사용하여 계산할 수 있다. 결과적으로, 다음을 얻는다.

$$\backslash begin\{align\}$$

\int\sqrt{a^2+x^2}\,dx &= \frac{a^2}{2}(\sec\theta \tan\theta + \ln|\sec\theta+\tan\theta|)+C \\[6pt]

&= \frac{a^2}{2}\left(\sqrt{1+\frac{x^2}{a^2}}\cdot\frac{x}{a} + \ln\left|\sqrt{1+\frac{x^2}{a^2}}+\frac{x}{a}\right|\right)+C \\[6pt]

&= \frac{1}{2}\left(x\sqrt{a^2+x^2} + a^2\ln\left|\frac{x+\sqrt{a^2+x^2}}{a}\right|\right)+C.

\end{align}

3. 3. $\backslash sqrt\{x^2-a^2\}$을 포함하는 적분