삼각 치환

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1. 개요

삼각 치환은 $R(x,\sqrt{a^2-x^2}),\;R(x,\sqrt{a^2+x^2}),\;R(x,\sqrt{x^2-a^2})$ 형태의 함수의 적분을 구하는 데 사용되는 방법이다. 여기서 R은 유리 함수이고 a>0이다. 삼각 치환은 x를 삼각 함수의 상수배로 치환하고 삼각 항등식을 사용하여 제곱근을 제거한다. 각 적분 형태에 따라 $\sqrt{a^2-x^2}$ 는 x=asinθ, $\sqrt{a^2+x^2}$ 는 x=atanθ, $\sqrt{x^2-a^2}$ 는 x=asecθ로 치환한다. 쌍곡 치환은 삼각 치환의 대안으로 사용될 수 있으며, 삼각 함수를 제거하기 위한 치환도 존재한다.

삼각 치환

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 기본 형태
3. 예제
4. 쌍곡 치환
5. 삼각 함수를 제거하는 치환

2. 정의

삼각 치환은 $x$ 를 삼각 함수로 치환하고 삼각 항등식을 이용하여 제곱근을 제거하는 적분 방법이다. 이 방법은 주로 $R(x,\sqrt{a^2-x^2}),\;R(x,\sqrt{a^2+x^2}),\;R(x,\sqrt{x^2-a^2})$ 형태의 함수를 적분할 때 사용되며, 여기서 $R$ 는 유리 함수이고 $a>0$ 이다. 이는 $R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})$ 의 완전 제곱꼴을 분류한 것이다.

각 경우에 사용되는 치환은 다음과 같다.

* $\sqrt{a^2-x^2}$ 를 포함하는 경우:
* $x = a \sin \theta$ 로 치환하고, 항등식 $1-\sin^2 \theta = \cos^2 \theta$ 를 사용한다.
* 또는 $x=a\cos\theta$ 로 치환하고, 항등식 $1-\cos^2\theta=\sin^2\theta$ 를 사용한다.

\sqrt{a^2+x^2}

를 포함하는 경우:
*

x = a \tan \theta

로 치환하고, 항등식

1+\tan^2 \theta = \sec^2 \theta

를 사용한다.
* 또는

x=a\cot\theta

로 치환하고, 항등식

1+\cot^2\theta=\csc^2\theta

를 사용한다.

\sqrt{x^2-a^2}

를 포함하는 경우:
*

x = a \sec \theta

로 치환하고, 항등식

\sec^2 \theta -1 = \tan^2 \theta

를 사용한다.
* 또는

x=a\csc\theta

로 치환하고, 항등식

\csc^2\theta-1=\cot^2\theta

를 사용한다.

쌍곡 치환은 삼각 치환 대신에 쓰일 수 있다.

2.1. 기본 형태

삼각 치환은 다음과 같은 꼴의 함수의 적분을 구하는 데 사용된다.
: $R(x,\sqrt{a^2-x^2}),\;R(x,\sqrt{a^2+x^2}),\;R(x,\sqrt{x^2-a^2})$
여기서 $R$ 는 유리 함수이며 $a>0$ 이다. 이는 $R(x,\sqrt{ax^2+bx+c})$ 의 완전 제곱꼴의 분류이다. 삼각 치환은 $x$ 를 새 변수에 대한 삼각 함수(의 상수배)로 치환한 뒤 삼각 항등식을 통해 제곱근식을 소거한다. 각 경우에 사용되는 치환과 그에 따른 항등식은 다음과 같다.

👆

좌우로 밀어서 보기

적분	치환	조건	식 변형	항등식
$\int R(x,\sqrt{a^2-x^2})\mathrm dx$	$x=a\sin\theta$	$-\pi/2\le\theta\le\pi/2$	$\sqrt{a^2-x^2}=a\cos\theta$	$1-\sin^2\theta=\cos^2\theta$
$\int R(x,\sqrt{a^2-x^2})\mathrm dx$	$x=a\cos\theta$	$0\le\theta\le\pi$	$\sqrt{a^2-x^2}=a\sin\theta$	$1-\cos^2\theta=\sin^2\theta$
$\int R(x,\sqrt{a^2+x^2})\mathrm dx$	$x=a\tan\theta$	$-\pi/2<\theta<\pi/2$	$\sqrt{a^2+x^2}=a\sec\theta$	$1+\tan^2\theta=\sec^2\theta$
$\int R(x,\sqrt{a^2+x^2})\mathrm dx$	$x=a\cot\theta$	$0<\theta<\pi$	$\sqrt{a^2+x^2}=a\csc\theta$	$1+\cot^2\theta=\csc^2\theta$
$\int R(x,\sqrt{x^2-a^2})\mathrm dx$	$x=a\sec\theta$	$0\le\theta\le\pi\land\theta\ne\pi/2$	$\sqrt{x^2-a^2}=\begin{cases}$	$\sec^2\theta-1=\tan^2\theta$
$\int R(x,\sqrt{x^2-a^2})\mathrm dx$	$x=a\csc\theta$	$-\pi/2\le\theta\le\pi/2\land\theta\ne 0$	$\sqrt{x^2-a^2}=\begin{cases}$	$\csc^2\theta-1=\cot^2\theta$

새 변수

\theta

의 범위를 각각 아크사인, 아크탄젠트, 아크시컨트의 치역으로 정한 것은 각 치환을 단사로 만들기 위함이다.

3. 예제

\theta에 대한 삼각 함수를 다시 x로 나타낼 때 이 삼각형을 사용할 수 있다. — $\theta$ 에 대한 삼각 함수를 다시 $x$ 로 나타낼 때 이 삼각형을 사용할 수 있다.

* $\sqrt{a^2-x^2}$ 을 포함하는 적분

a>0

일 때,

\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{a^2-x^2}}

와 같은 적분을 구할 때, 다음과 같은 삼각 치환을 사용한다.
:

x=a\sin\theta,\;\sqrt{a^2-x^2}=a\cos\theta,\;\mathrm dx=a\cos\theta\mathrm d\theta,\;\theta=\arcsin\frac xa

그러면 다음을 얻는다.

👆

좌우로 밀어서 보기

\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{a^2-x^2}}

=\int\frac{a\cos\theta\mathrm d\theta}{a\cos\theta} = \int\mathrm d\theta=\theta+C=\arcsin\frac xa+C

이 적분은

x/a=t

와 같은 치환과 아크사인의 도함수를 통해서도 구할 수 있다.

\int\sqrt{a^2-x^2}\mathrm dx

와 같은 적분은 위와 같은 삼각 치환을 통해 다음을 얻는다.

👆

좌우로 밀어서 보기

$\int\sqrt{a^2-x^2}\mathrm dx$	$=\int a^2\cos^2\theta\mathrm d\theta=\int\frac{a^2}2(1+\cos 2\theta)\mathrm d\theta=\frac{a^2}2\theta+\frac{a^2}4\sin 2\theta+C$
$=\frac{a^2}2\theta+\frac{a^2}2\sin\theta\cos\theta+C=\frac{a^2}2\arcsin\frac xa+\frac{a^2}2\cdot\frac xa\cdot\frac{\sqrt{a^2-x^2}}a+C=\frac{a^2}2\arcsin\frac xa+\frac 12x\sqrt{a^2-x^2}+C$

이 적분은 부분 적분을 통해서도 구할 수 있다.

정적분의 경우, 적분 경계가 어떻게 변하는지 알아야 한다. 예를 들어,

x

가

0

에서

a/2

로 변하면,

\sin \theta

는

0

에서

1/2

로 변하고, 따라서

\theta

는

0

에서

\pi / 6

로 변한다. 그러면,
:

\int_0^{a/2}\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\int_0^{\pi/6} d\theta = \frac{\pi}{6}

이다.
경계를 선택할 때 주의가 필요하다. 위 적분은

-\pi /2  < \theta < \pi/2

를 요구하기 때문에

\theta

는

0

에서

\pi / 6

까지만 변할 수 있다. 이 제한을 무시하면,

\theta

가

\pi

에서

5\pi /6

로 변한다고 선택할 수 있는데, 이 경우 실제 값의 음수가 결과로 나올 것이다.

또는, 경계 조건을 적용하기 전에 부정 적분을 완전히 평가할 수 있다. 이 경우, 부정 적분은
:

\int_{0}^{a/2} \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin \left( \frac{x}{a} \right) \Biggl|_{0}^{a/2}= \arcsin \left ( \frac{1}{2}\right) - \arcsin (0) = \frac{\pi}{6}

이다.

* $\sqrt{a^2+x^2}$ 을 포함하는 적분

a>0

일 때,

\int\frac{\mathrm dx}{a^2+x^2}

를 구하기 위해 다음 치환을 사용한다.
:

x=a\tan\theta,\;\sqrt{a^2+x^2}=a\sec\theta,\;\mathrm dx=a\sec^2\theta\mathrm d\theta,\;\theta=\arctan\frac xa

그러면 다음을 얻는다.

👆

좌우로 밀어서 보기

\int\frac{\mathrm dx}{a^2+x^2}

=\int\frac{a\sec^2\theta\mathrm d\theta}{a^2\sec^2\theta}

이 적분은

x/a=t

로 치환 및 아크탄젠트의 도함수를 통해서도 구할 수 있다. 위와 똑같은 삼각 치환을 통해 다음과 같은 적분을 구할 수 있다.

👆

좌우로 밀어서 보기

$\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{a^2+x^2}}$	=\int\frac{a\sec^2\theta\mathrm d\theta}{a\sec\theta}=\int\sec\theta\mathrm d\theta=\ln\left>\sec\theta+\tan\theta\right\|+C
=\ln\left>\frac{\sqrt{a^2+x^2}}a+\frac xa\right\|+C=\ln\left\|x+\sqrt{a^2+x^2}\right\|+C

이 적분은 쌍곡 치환

x=a\sinh t

을 통해서도 구할 수 있다.

정적분의 경우, 치환이 수행되면 경계가 바뀌며,

\theta = \arctan\frac{x}{a}

를 사용하여

-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}

범위 내의 값으로 결정된다. 또는, 경계 조건을 부정적분의 공식에 직접 적용할 수 있다.

예를 들어, 정적분

\int_0^1\frac{4\, dx}{1+x^2}

은

x = \tan\theta, \,dx = \sec^2\theta\,d\theta

를 치환하여 계산할 수 있으며, 경계는

\theta = \arctan x

를 사용하여 결정된다.

\arctan 0 = 0

이고

\arctan 1 = \pi/4

이므로, 다음이 성립한다.

\begin{align}\int_0^1\frac{4\,dx}{1+x^2} &= 4\int_0^1\frac{dx}{1 + x^2}= 4\int_0^{\pi/4}\frac{\sec^2\theta\, d\theta}{1+\tan^2\theta}= 4\int_0^{\pi/4}\frac{\sec^2\theta\, d\theta}{\sec^2\theta}= 4\int_0^{\pi/4}d\theta= (4\theta)\Bigg|^{\pi/4}_0 = 4 \left (\frac{\pi}{4} - 0 \right) = \pi.\end{align}

한편, 경계 조건을 부정적분의 공식에 직접 적용하면 이전과 동일한 결과를 얻는다.

* $\sqrt{x^2-a^2}$ 을 포함하는 적분

x>0

a>0

일 때,

\int\frac{\mathrm dx}{x\sqrt{x^2-a^2}}

적분을 구하기 위해 다음 치환을 사용한다.
:

x=a\sec\theta,\;\sqrt{x^2-a^2}=a|\tan\theta|,\;\mathrm dx=a\sec\theta\tan\theta\mathrm d\theta,\;\theta=\arcsec\frac xa

그러면 다음을 얻는다.

👆

좌우로 밀어서 보기

=\begin{cases}\displaystyle\int\frac{\mathrm d\theta}a&x>a\\\displaystyle-\int\frac{\mathrm d\theta}a&x<-a\end{cases}=\begin{cases}\displaystyle\frac\theta a+C&x>a\\\displaystyle-\frac\theta a+C'&x<-a\end{cases}=\begin{cases}\displaystyle\frac 1a\arcsec\frac xa+C&x>a\\\displaystyle-\frac 1a\arcsec\frac xa+C'&x<-a\end{cases}
|}
이 적분은 치환

x/a=t

및 아크시컨트의 도함수를 통해서도 구할 수 있다.

위와 똑같은 삼각 치환을 통해 다음 적분도 구할 수 있다.
:

\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^2-a^2}}

👆

좌우로 밀어서 보기

\int\frac{\mathrm dx}{x\sqrt{x^2-a^2}}

=\int\frac{a\sec\theta\tan\theta\mathrm d\theta}{a^2\sec\theta>\tan\theta|}

=\begin{cases}\displaystyle\int\sec\theta\mathrm d\theta&x>a\\\displaystyle-\int\sec\theta\mathrm d\theta&x<-a\end{cases}=\begin{cases}\displaystyle\ln|\sec\theta+\tan\theta|+C&x>a\\\displaystyle-\ln|\sec\theta+\tan\theta|+C'&x<-a\end{cases}
|-
|

=\begin{cases}\displaystyle\ln\left|\frac xa+\frac{\sqrt{x^2-a^2}}a\right|+C&x>a\\\displaystyle-\ln\left|\frac xa+\frac{\sqrt{x^2-a^2}}a\right|+C'&x<-a\end{cases}=\begin{cases}\displaystyle\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C&x>a\\\displaystyle-\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C'&x<-a\end{cases}

|}
이 적분은 쌍곡 치환

x=a\cosh t

를 통해서도 구할 수 있다.

* 정적분

\int_{\sqrt 3}^2\frac{\sqrt{x^2-3}}x\mathrm dx

와 같은 정적분은 치환 후 적분 구간을 변경하여 계산한다.

x=\sqrt 3\sec\theta,\;\sqrt{x^2-3}=\sqrt 3\tan\theta,\;\mathrm dx=\sqrt 3\sec\theta\tan\theta,\;\theta=\arcsec\frac xa

만약

x=\sqrt 3

일 경우

\cos\theta=1

이므로

\theta=0

이며, 만약

x=2

일 경우

\cos\theta=\sqrt 3/2

이므로

\theta=\pi/6

이다. 따라서 다음이 성립한다.

:

\begin{align}\int_{\sqrt 3}^2\frac{\sqrt{x^2-3}}x\mathrm dx&=\sqrt 3\int_0^{\pi/6}\tan^2\theta\mathrm d\theta\\&=\sqrt 3\int_0^{\pi/6}(\sec^2\theta-1)\mathrm d\theta\\&=\sqrt 3\bigg[\tan\theta-\theta\bigg]_0^{\pi/6}\\&=1-\frac{\sqrt 3\pi}6\end{align}

3.1. <math>\sqrt{a^2-x^2}</math>을 포함하는 적분

다음과 같은 적분을 구할 수 있다.
:

\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{a^2-x^2}}

여기서

a>0

이다. 다음과 같은 삼각 치환을 사용한다.
:

x=a\sin\theta,\;\sqrt{a^2-x^2}=a\cos\theta,\;\mathrm dx=a\cos\theta\mathrm d\theta,\;\theta=\arcsin\frac xa

그러면 다음을 얻는다.

👆

좌우로 밀어서 보기

\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^2-a^2}}

=\int\frac{a\sec\theta\tan\theta\mathrm d\theta}{a>\tan\theta|}

$\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{a^2-x^2}}$	$=\int\frac{a\cos\theta\mathrm d\theta}{a\cos\theta}$	(치환)
	$=\int\mathrm d\theta$	(단순화)
	$=\theta+C$	(적분)
	$=\arcsin\frac xa+C$	(재치환)

이 적분은

x/a=t

와 같은 치환과 아크사인의 도함수를 통해서도 구할 수 있다.
위와 똑같은 삼각 치환을 통해 다음과 같은 적분을 구할 수 있다.

👆

좌우로 밀어서 보기

$\int\sqrt{a^2-x^2}\mathrm dx$	$=\int a^2\cos^2\theta\mathrm d\theta$	(치환)
	$=\int\frac{a^2}2(1+\cos 2\theta)\mathrm d\theta$	(삼각 항등식)
	$=\frac{a^2}2\theta+\frac{a^2}4\sin 2\theta+C$	(적분)
	$=\frac{a^2}2\theta+\frac{a^2}2\sin\theta\cos\theta+C$	(삼각 항등식)
	$=\frac{a^2}2\arcsin\frac xa+\frac{a^2}2\cdot\frac xa\cdot\frac{\sqrt{a^2-x^2}}a+C$	(재치환)
	$=\frac{a^2}2\arcsin\frac xa+\frac 12x\sqrt{a^2-x^2}+C$	(단순화)

이 적분은 부분 적분을 통해서도 구할 수 있다.

\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}

에서

x=a\sin \theta,\quad dx=a\cos\theta\, d\theta, \quad \theta=\arcsin\frac{x}{a}

를 사용할 수 있다.

그러면,

\begin{align}\int\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} &= \int\frac{a\cos\theta \,d\theta}{\sqrt{a^2-a^2\sin^2 \theta}} = \int\frac{a\cos\theta\,d\theta}{\sqrt{a^2(1 - \sin^2 \theta )}} \\[6pt]&= \int\frac{a\cos\theta\,d\theta}{\sqrt{a^2\cos^2\theta}} = \int d\theta = \theta + C = \arcsin\frac{x}{a}+C.\end{align}

위 단계에서는

a > 0

그리고

\cos \theta > 0

이어야 한다.

a

를

a^2

의 주 제곱근으로 선택하고, 역 사인 함수를 사용하여

-\pi /2  < \theta < \pi/2

의 제한을 가할 수 있다.

정적분의 경우, 적분 경계가 어떻게 변하는지 알아야 한다. 예를 들어,

x

가

0

에서

a/2

로 변하면,

\sin \theta

는

0

에서

1/2

로 변하고, 따라서

\theta

는

0

에서

\pi / 6

로 변한다. 그러면,

\int_0^{a/2}\frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}}=\int_0^{\pi/6} d\theta = \frac{\pi}{6}.

경계를 선택할 때 주의가 필요하다. 위 적분은

-\pi /2  < \theta < \pi/2

를 요구하기 때문에

\theta

는

0

에서

\pi / 6

까지만 변할 수 있다. 이 제한을 무시하면,

\theta

가

\pi

에서

5\pi /6

로 변한다고 선택할 수 있는데, 이 경우 실제 값의 음수가 결과로 나올 것이다.

또는, 경계 조건을 적용하기 전에 부정 적분을 완전히 평가할 수 있다. 이 경우, 부정 적분은

\int_{0}^{a/2} \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \arcsin \left( \frac{x}{a} \right) \Biggl|_{0}^{a/2}= \arcsin \left ( \frac{1}{2}\right) - \arcsin (0) = \frac{\pi}{6}

이다.

\int\sqrt{a^2-x^2}\,dx

는

x=a\sin \theta,\, dx=a\cos\theta\, d\theta,\, \theta=\arcsin\dfrac{x}{a}

로 놓음으로써 계산할 수 있으며, 여기서

a > 0

이므로

\sqrt{a^2}=a

이고,

-\pi/2 \le \theta \le \pi/2

는 아크사인 범위이므로

\cos \theta \ge 0

이고

\sqrt{\cos^2 \theta} = \cos \theta

이다.

그렇다면,

\begin{align}\int\sqrt{a^2-x^2}\,dx &= \int\sqrt{a^2-a^2\sin^2\theta}\,(a\cos\theta) \,d\theta = \int\sqrt{a^2(1-\sin^2\theta)}\,(a\cos\theta) \,d\theta \\[6pt]&= \int\sqrt{a^2(\cos^2\theta)}\,(a\cos\theta) \,d\theta = \int(a\cos\theta)(a\cos\theta) \,d\theta = a^2\int\cos^2\theta\,d\theta \\[6pt]&= a^2\int\left(\frac{1+\cos 2\theta}{2}\right)\,d\theta = \frac{a^2}{2} \left(\theta+\frac{1}{2}\sin 2\theta \right) + C = \frac{a^2}{2}(\theta+\sin\theta\cos\theta) + C \\[6pt]&= \frac{a^2}{2}\left(\arcsin\frac{x}{a}+\frac{x}{a}\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}\right) + C = \frac{a^2}{2}\arcsin\frac{x}{a}+\frac{x}{2}\sqrt{a^2-x^2}+C.\end{align}

정적분의 경우, 치환이 수행되면 경계가 바뀌고, 방정식

\theta = \arcsin\dfrac{x}{a}

를 사용하여 범위

-\pi/2 \le \theta \le \pi/2

에서 값을 결정한다. 또는 경계 조건을 부정적분 공식에 직접 적용할 수도 있다.

예를 들어, 정적분

\int_{-1}^1\sqrt{4-x^2}\,dx

는

x = 2\sin\theta, \,dx = 2\cos\theta\,d\theta

로 치환하여 계산할 수 있으며, 경계는

\theta = \arcsin\dfrac{x}{2}

를 사용하여 결정된다.

\arcsin(1/{2}) = \pi/6

이고

\arcsin(-1/2) = -\pi/6

이므로

\begin{align}\int_{-1}^1\sqrt{4-x^2}\,dx &= \int_{-\pi/6}^{\pi/6}\sqrt{4-4\sin^2\theta}\,(2\cos\theta) \,d\theta = \int_{-\pi/6}^{\pi/6}\sqrt{4(1-\sin^2\theta)}\,(2\cos\theta) \,d\theta \\[6pt]&= \int_{-\pi/6}^{\pi/6}\sqrt{4(\cos^2\theta)}\,(2\cos\theta) \,d\theta = \int_{-\pi/6}^{\pi/6}(2\cos\theta)(2\cos\theta) \,d\theta = 4\int_{-\pi/6}^{\pi/6}\cos^2\theta\,d\theta \\[6pt]&= 4\int_{-\pi/6}^{\pi/6}\left(\frac{1+\cos 2\theta}{2}\right)\,d\theta = 2 \left[\theta+\frac{1}{2} \sin 2\theta \right]^{\pi/6}_{-\pi/6}= [2\theta+\sin 2\theta] \Biggl |^{\pi/6}_{-\pi/6} \\[6pt]&= \left(\frac{\pi}{3}+\sin\frac{\pi}{3}\right)-\left(-\frac{\pi}{3}+\sin\left(-\frac{\pi}{3}\right)\right)= \frac{2\pi}{3}+\sqrt{3}.\end{align}

반면에, 경계 조건을 앞에서 얻은 부정적분 공식에 직접 적용하면 다음과 같다.

\begin{align}\int_{-1}^1\sqrt{4-x^2}\,dx &= \left[ \frac{2^2}{2}\arcsin\frac{x}{2}+\frac{x}{2}\sqrt{2^2-x^2} \right]_{-1}^{1}\\[6pt]&= \left( 2 \arcsin \frac{1}{2} + \frac{1}{2}\sqrt{4-1}\right) - \left( 2 \arcsin \left(-\frac{1}{2}\right) + \frac{-1}{2}\sqrt{4-1}\right)\\[6pt]&= \left( 2 \cdot \frac{\pi}{6} + \frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left( 2\cdot \left(-\frac{\pi}{6}\right) - \frac{\sqrt 3}{2}\right)= \frac{2\pi}{3} + \sqrt{3}\end{align}

앞서와 같다.

3.2. <math>\sqrt{a^2+x^2}</math>을 포함하는 적분

\int\frac{\mathrm dx}{a^2+x^2}

(

a>0

)를 구하기 위해 다음 치환을 사용한다.
:

x=a\tan\theta,\;\sqrt{a^2+x^2}=a\sec\theta,\;\mathrm dx=a\sec^2\theta\mathrm d\theta,\;\theta=\arctan\frac xa

그러면 다음을 얻는다.

👆

좌우로 밀어서 보기

$\int\frac{\mathrm dx}{a^2+x^2}$	$=\int\frac{a\sec^2\theta\mathrm d\theta}{a^2\sec^2\theta}$	(치환)
	$=\int\frac 1a\mathrm d\theta$	(단순화)
	$=\frac\theta a+C$	(적분)
	$=\frac 1a\arctan\frac xa+C$	(재치환)

이 적분은

x/a=t

로 치환 및 아크탄젠트의 도함수를 통해서도 구할 수 있다. 위와 똑같은 삼각 치환을 통해 다음과 같은 적분을 구할 수 있다.

👆

좌우로 밀어서 보기

$\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{a^2+x^2}}$	$=\int\frac{a\sec^2\theta\mathrm d\theta}{a\sec\theta}$	(치환)
	$=\int\frac{\mathrm d\theta}{\cos\theta}$	(단순화)
	$=\int\frac{\cos\theta\mathrm d\theta}{\cos^2\theta}$	(변형)
	$=\int\frac{\mathrm d(\sin\theta)}{1-\sin^2\theta}$	(치환)
	=\frac 12\ln\left>\frac{1+\sin\theta}{1-\sin\theta}\right\|+C	(적분)
	=\frac 12\ln\left>\frac{1+\sin\theta}{\cos\theta}\right\|^2+C	(삼각 항등식)
	=\ln\left>\sec\theta+\tan\theta\right\|+C	(삼각 항등식)
	=\ln\left>\frac{\sqrt{a^2+x^2}}a+\frac xa\right\|+C	(재치환)
	=\ln\left>x+\sqrt{a^2+x^2}\right\|+C	(적분 상수 재정의)

이 적분은 쌍곡 치환

x=a\sinh t

을 통해서도 구할 수 있다.

정적분의 경우, 치환이 수행되면 경계가 바뀌며,

\theta = \arctan\frac{x}{a}

를 사용하여

-\frac{\pi}{2} < \theta < \frac{\pi}{2}

범위 내의 값으로 결정된다. 또는, 경계 조건을 부정적분의 공식에 직접 적용할 수 있다.

예를 들어, 정적분

\int_0^1\frac{4\, dx}{1+x^2}

은

x = \tan\theta, \,dx = \sec^2\theta\,d\theta

를 치환하여 계산할 수 있으며, 경계는

\theta = \arctan x

를 사용하여 결정된다.

\arctan 0 = 0

이고

\arctan 1 = \pi/4

이므로, 다음이 성립한다.

\begin{align}\int_0^1\frac{4\,dx}{1+x^2} &= 4\int_0^1\frac{dx}{1 + x^2} \\[6pt]&= 4\int_0^{\pi/4}\frac{\sec^2\theta\, d\theta}{1+\tan^2\theta} \\[6pt]&= 4\int_0^{\pi/4}\frac{\sec^2\theta\, d\theta}{\sec^2\theta} \\[6pt]&= 4\int_0^{\pi/4}d\theta \\[6pt]&= (4\theta)\Bigg|^{\pi/4}_0 = 4 \left (\frac{\pi}{4} - 0 \right) = \pi.\end{align}

한편, 경계 조건을 부정적분의 공식에 직접 적용하면 이전과 동일한 결과를 얻는다.

\begin{align}\int_0^1\frac{4\,dx}{1+x^2}\,&= 4\int_0^1\frac{dx}{1+x^2} \\[6pt]&= 4\left[\frac{1}{1} \arctan \frac{x}{1} \right]^1_0 \\[6pt]&= 4(\arctan x)\Bigg|^1_0 \\[6pt]&= 4(\arctan 1 - \arctan 0) \\[6pt]&= 4 \left (\frac{\pi}{4} - 0 \right) = \pi,\end{align}

적분

\int\sqrt{a^2+x^2}\,{dx}

은

x=a\tan\theta,\, dx=a\sec^2\theta\, d\theta, \, \theta=\arctan\frac{x}{a}

로 치환하여 구할 수 있다.

여기서

a > 0

이므로

\sqrt{a^2}=a

이고, 아크탄젠트의 범위에 의해

-\frac{\pi}{2}<\theta<\frac{\pi}{2}

이므로

\sec \theta > 0

이고

\sqrt{\sec^2 \theta} = \sec \theta

이다.

그러면, 다음을 얻는다.

\begin{align}\int\sqrt{a^2+x^2}\,dx &= \int\sqrt{a^2 + a^2\tan^2\theta}\,(a \sec^2\theta)\, d\theta \\[6pt]&= \int\sqrt{a^2 (1+\tan^2\theta)}\,(a \sec^2\theta)\, d\theta \\[6pt]&= \int\sqrt{a^2 \sec^2\theta}\,(a \sec^2\theta)\, d\theta \\[6pt]&= \int(a \sec\theta)(a \sec^2\theta)\, d\theta \\[6pt]&= a^2\int \sec^3\theta\, d\theta. \\[6pt]\end{align}

시컨트 세제곱의 적분은 부분 적분법을 사용하여 계산할 수 있다. 결과적으로, 다음을 얻는다.

\begin{align}\int\sqrt{a^2+x^2}\,dx &= \frac{a^2}{2}(\sec\theta \tan\theta + \ln|\sec\theta+\tan\theta|)+C \\[6pt]&= \frac{a^2}{2}\left(\sqrt{1+\frac{x^2}{a^2}}\cdot\frac{x}{a} + \ln\left|\sqrt{1+\frac{x^2}{a^2}}+\frac{x}{a}\right|\right)+C \\[6pt]&= \frac{1}{2}\left(x\sqrt{a^2+x^2} + a^2\ln\left|\frac{x+\sqrt{a^2+x^2}}{a}\right|\right)+C.\end{align}

3.3. <math>\sqrt{x^2-a^2}</math>을 포함하는 적분

<math>\theta</math>에 대한 삼각 함수를 다시 <math>x</math>로 나타낼 때 이 삼각형을 사용할 수 있다.

편의상 <math>x>0</math>이라고 하고 <math>a>0</math>일 때 다음 적분을 구한다.
:

\int\frac{\mathrm dx}{x\sqrt{x^2-a^2}}

이때 다음 치환을 사용한다.
:

x=a\sec\theta,\;\sqrt{x^2-a^2}=a|\tan\theta|,\;\mathrm dx=a\sec\theta\tan\theta\mathrm d\theta,\;\theta=\arcsec\frac xa

그러면 다음을 얻는다.

👆

좌우로 밀어서 보기

| style="padding-left: 1em;" |(치환)
|-
|
|

=\begin{cases}\displaystyle\int\frac{\mathrm d\theta}a&x>a\\\displaystyle-\int\frac{\mathrm d\theta}a&x<-a\end{cases}

| style="padding-left: 1em;" |(단순화)
|-
|
|

=\begin{cases}\displaystyle\frac\theta a+C&x>a\\\displaystyle-\frac\theta a+C'&x<-a\end{cases}

| style="padding-left: 1em;" |(적분)
|-
|
|

=\begin{cases}\displaystyle\frac 1a\arcsec\frac xa+C&x>a\\\displaystyle-\frac 1a\arcsec\frac xa+C'&x<-a\end{cases}

| style="padding-left: 1em;" |(재치환)
|}
이 적분은 치환 <math>x/a=t</math> 및 아크시컨트의 도함수를 통해서도 구할 수 있다.

위와 똑같은 삼각 치환을 통해 다음 적분도 구할 수 있다.
:

\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^2-a^2}}

👆

좌우로 밀어서 보기

\int\frac{\mathrm dx}{x\sqrt{x^2-a^2}}

=\int\frac{a\sec\theta\tan\theta\mathrm d\theta}{a^2\sec\theta>\tan\theta|}

| style="padding-left: 1em;" |(치환)
|-
|
|

=\begin{cases}\displaystyle\int\frac{\mathrm d\theta}{\cos\theta}&x>a\\\displaystyle-\int\frac{\mathrm d\theta}{\cos\theta}&x<-a\end{cases}

| style="padding-left: 1em;" |(단순화)
|-
|
|

=\begin{cases}\displaystyle\ln|\sec\theta+\tan\theta|+C&x>a\\\displaystyle-\ln|\sec\theta+\tan\theta|+C'&x<-a\end{cases}

| style="padding-left: 1em;" |(적분)
|-
|
|

=\begin{cases}\displaystyle\ln\left|\frac xa+\frac{\sqrt{x^2-a^2}}a\right|+C&x>a\\\displaystyle-\ln\left|\frac xa+\frac{\sqrt{x^2-a^2}}a\right|+C'&x<-a\end{cases}

| style="padding-left: 1em;" |(재치환)
|-
|
|

=\begin{cases}\displaystyle\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C&x>a\\\displaystyle-\ln|x+\sqrt{x^2-a^2}|+C'&x<-a\end{cases}

| style="padding-left: 1em;" |(적분 상수 재정의)
|}
이 적분은 쌍곡 치환 <math>x=a\cosh t</math>를 통해서도 구할 수 있다.

3.4. 정적분

$\int_{\sqrt 3}^2\frac{\sqrt{x^2-3}}x\mathrm dx$ 와 같은 정적분은 치환 후 적분 구간을 변경하여 계산한다.

$x=\sqrt 3\sec\theta,\;\sqrt{x^2-3}=\sqrt 3\tan\theta,\;\mathrm dx=\sqrt 3\sec\theta\tan\theta,\;\theta=\arcsec\frac xa$

만약 $x=\sqrt 3$ 일 경우 $\cos\theta=1$ 이므로 $\theta=0$ 이며, 만약 $x=2$ 일 경우 $\cos\theta=\sqrt 3/2$ 이므로 $\theta=\pi/6$ 이다. 따라서 다음이 성립한다.

: $\begin{align}\int_{\sqrt 3}^2\frac{\sqrt{x^2-3}}x\mathrm dx&=\sqrt 3\int_0^{\pi/6}\tan^2\theta\mathrm d\theta\\&=\sqrt 3\int_0^{\pi/6}(\sec^2\theta-1)\mathrm d\theta\\&=\sqrt 3\bigg[\tan\theta-\theta\bigg]_0^{\pi/6}\\&=1-\frac{\sqrt 3\pi}6\end{align}$

4. 쌍곡 치환

치환을 이용해 적분을 간단하게 할 수 있다.

예를 들어, $1/\sqrt{a^2+x^2}$ 를 적분하기 위해 $x=a\sinh{u}$ ( $dx=a\cosh u \,du$ )로 치환하고, 항등식 $\cosh^2 (x) - \sinh^2 (x) = 1$ 을 사용하면 다음을 얻는다.

$\begin{align}\int \frac{dx}{\sqrt{a^2+x^2}} &= \int \frac{a\cosh u \,du}{\sqrt{a^2+a^2\sinh^2 u}} \\[6pt]&=\int \frac{\cosh{u} \,du}{\sqrt{1+\sinh^2{u}}} \\[6pt]&=\int \frac{\cosh{u}}{\cosh u} \,du \\[6pt]&=u+C \\[6pt]&=\sinh^{-1}{\frac{x}{a}} + C.\end{align}$

원한다면, 이 결과는 관계식 $\sinh^{-1}{z} = \operatorname{arsinh}{z} = \ln(z + \sqrt{z^2 + 1})$ 을 사용하는 등 다른 항등식을 사용하여 추가로 변환할 수 있다.

$\begin{align}\sinh^{-1}{\frac{x}{a}} + C&=\ln\left(\frac{x}{a} + \sqrt{\frac{x^2}{a^2} + 1}\,\right) + C \\[6pt]&=\ln\left(\frac{x + \sqrt{x^2+a^2}}{a}\,\right) + C.\end{align}$

5. 삼각 함수를 제거하는 치환

바이어슈트라스 치환과 같은 방법을 사용하여, 삼각 함수를 포함하는 적분을 유리 함수 적분으로 변환할 수 있다.

예를 들어,

: $\begin{align}\int f(\sin(x), \cos(x))\, dx &=\int\frac1{\pm\sqrt{1-u^2}} f\left(u,\pm\sqrt{1-u^2}\right)\, du && u=\sin (x) \\[6pt]\int f(\sin(x), \cos(x))\, dx &=\int\frac{1}{\mp\sqrt{1-u^2}} f\left(\pm\sqrt{1-u^2},u\right)\, du && u=\cos (x) \\[6pt]\int f(\sin(x), \cos(x))\, dx &=\int\frac2{1+u^2} f \left(\frac{2u}{1+u^2},\frac{1-u^2}{1+u^2}\right)\, du && u=\tan\left (\frac{x}{2} \right ) \\[6pt]\end{align}$

마지막 치환은 바이어슈트라스 치환으로 알려져 있으며, 반각 공식을 사용한다.

예를 들어,

: $\begin{align}\int\frac{4 \cos x}{(1+\cos x)^3}\, dx &= \int\frac2{1+u^2}\frac{4\left(\frac{1-u^2}{1+u^2}\right)}{\left(1+\frac{1-u^2}{1+u^2}\right)^3}\, du = \int (1-u^2)(1+u^2)\, du \\&= \int (1-u^4)\,du = u - \frac{u^5}{5} + C = \tan \frac{x}{2} - \frac{1}{5} \tan^5 \frac{x}{2} + C.\end{align}$

\int\frac{\mathrm dx}{\sqrt{x^2-a^2}}

=\int\frac{a\sec\theta\tan\theta\mathrm d\theta}{a>\tan\theta|}