아핀 좌표계

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요
2. 정의
- 2.1. 아핀 틀
- 2.2. 아핀 좌표
3. 성질
- 3.1. 기저와의 관계
- 3.2. 아핀 변환
참조

1. 개요

아핀 좌표계는 체 K 위의 유한 차원 아핀 공간 A의 아핀 틀에 대한 전단사 아핀 변환이다. 아핀 틀은 아핀 공간 A의 유한 부분 집합 {a0, a1, ..., ad}로, 아핀 독립 조건과 아핀 생성 조건을 만족한다. 아핀 틀이 주어지면, 각 점 a에 대해 스칼라 튜플 (λ1(a), ..., λd(a))를 아핀 좌표라고 하며, 이 좌표들을 통해 아핀 좌표계를 정의한다.

더 읽어볼만한 페이지

아핀기하학 - 아핀 변환
아핀 변환은 아핀 공간에서 직선의 형태와 평행성을 유지하는 변환으로, 선형 변환과 평행 이동의 결합으로 표현되며, 컴퓨터 그래픽스와 이미지 처리 등 여러 분야에서 활용되고 확대 행렬을 이용해 행렬 곱셈으로 나타낼 수 있다.
아핀기하학 - 아핀 기하학
아핀 기하학은 유클리드 기하학을 일반화한 것으로, 평행선 관계, 공선성과 같은 기하학적 성질을 연구하며, 평행선 공준을 만족하고 사영 기하학에서 무한대 초평면의 여집합으로 볼 수 있다.
해석기하학 - 회전 (벡터)
회전(벡터)은 벡터장의 국소적인 회전 정도를 나타내는 벡터량으로, 벡터장을 선적분한 값과 폐곡선이 둘러싸는 면적의 비의 극한으로 정의되며, 물리적 현상 기술에 중요한 역할을 한다.
해석기하학 - 이심률
이심률은 원뿔곡선의 형태를 결정하는 값으로, 초점과 준선으로부터의 거리 비율로 정의되며, 값에 따라 원, 타원, 포물선, 쌍곡선으로 구분되고, 타원과 쌍곡선의 경우 중심과 초점 사이의 거리와 반장축의 비율로 나타낼 수 있으며, 이심률이 같은 원뿔곡선은 서로 닮음이다.

아핀 좌표계
아핀 공간 정보
정의	점들의 집합과 벡터 공간 사이의 관계를 나타내는 구조
관련 분야	선형대수학 기하학
역사
어원	아핀(affine)은 "관련된", "연결된"을 의미하는 라틴어 "affinis"에서 유래
기원	레온하르트 오일러의 연구에서 시작되었으며, 뫼비우스에 의해 발전
펠릭스 클라인의 에를랑겐 프로그램	아핀 기하학은 사영 기하학에서 사영 변환이 무한원 평면을 보존하는 경우로 정의됨
형식적 정의
아핀 공간	점들의 집합 A와 벡터 공간 V, 그리고 작용 φ: A × V → A로 구성됨 작용 φ는 다음 두 공리를 만족해야 함
공리 1	임의의 점 a ∈ A와 벡터 v, w ∈ V에 대해, φ(φ(a, v), w) = φ(a, v + w)
공리 2	임의의 점 a ∈ A에 대해, 사상 V → A : v ↦ φ(a, v)는 전단사
표기법	φ(a, v)는 a + v로 표기하기도 함
아핀 부분 공간	아핀 공간 A의 부분 집합 B가 벡터 공간 V의 부분 공간 W에 대해 B = {a + w \| w ∈ W}를 만족하면 아핀 부분 공간이라고 함
아핀 좌표계
정의	아핀 공간 A의 점 o와 V의 기저 (e1, ..., en)으로 구성됨
좌표 표현	임의의 점 p ∈ A는 p = o + x1e1 + ... + xnen으로 유일하게 표현 가능하며, (x1, ..., xn)을 p의 좌표라고 함
아핀 변환
정의	아핀 공간 사이의 구조를 보존하는 함수. 즉, 점, 직선, 평면, 평행 관계 등을 보존하는 변환
종류	평행 이동: 모든 점을 같은 방향으로 같은 거리만큼 이동시키는 변환 선형 변환: 벡터 공간의 선형 변환과 관련된 변환 전단사 아핀 변환: 아핀 공간의 구조를 보존하며 전단사 함수인 변환
아핀 닫힘
정의	유클리드 공간의 부분집합을 포함하는 가장 작은 아핀 공간
같이 보기
관련 개념	질량 중심 바일 대수 볼록 집합 카라테오도리 정리 (볼록 껍질) 헬리 정리 라돈 정리

2. 정의

체 $K$ 위의 유한 차원 아핀 공간 $A$ 의 유한 부분 집합 $\{a_0, a_1, \dots, a_d\} \subseteq A$ 가 아핀 틀이 되기 위한 조건은 다음과 같다.

아핀 독립이어야 한다. 즉, $\{a_0, a_1, \dots, a_d\}$ 로 생성되는 부분 아핀 공간의 차원은 $d$ 이다.
아핀 생성 집합이어야 한다. 즉, $\{a_0, a_1, \dots, a_d\}$ 로 생성되는 부분 아핀 공간은 $A$ 전체이다.

이 경우

d

는

A

의 차원과 같다.

아핀 틀

\{a_0, a_1, \dots, a_d\} \subseteq A

가 주어지면,

\{a_1 - a_0, \dots, a_d - a_0\}

는 평행 이동의 벡터 공간

V(A)

의 기저가 된다. 임의의 점

a \in A

에 대해, 다음을 만족시키는 스칼라

\lambda_1(a), \dots, \lambda_d(a) \in K

가 유일하게 존재한다.

:

a - a_0 = \sum_{k=1}^d \lambda_k(a)(a_k - a_0)

이때, 스칼라 튜플

(\lambda_1(a), \dots, \lambda_d(a))

를 점

a

의 '''아핀 좌표'''(affine coordinate^영어)라고 한다. 그리고 이렇게 정의된 전단사 아핀 변환

:

(\lambda_1, \dots, \lambda_d) \colon A \to K^d

를

A

위의 '''아핀 좌표계'''라고 한다.

2. 1. 아핀 틀

체

K

위의 유한 차원 아핀 공간

A

의 유한 부분 집합

\{a_0, a_1, \dots, a_d\} \subseteq A

가 다음 두 조건을 만족시키면, 이를 아핀 공간

A

의 '''아핀 틀'''(affine frame^영어)이라고 한다.

(아핀 독립) 즉, $\{a_0, a_1, \dots, a_d\}$ 로 생성되는 부분 아핀 공간의 차원은 $d$ 이다.
(아핀 생성) $\{a_0, a_1, \dots, a_d\}$ 로 생성되는 부분 아핀 공간은 $A$ 전체이다.

특히, 이 경우

d

는

A

의 차원이다.

체

K

위의 유한 차원 아핀 공간

A

의 아핀 틀

\{a_0, a_1, \dots, a_d\} \subseteq A

가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

:

\{a_1 - a_0, \dots, a_d - a_0\}

은 평행 이동의 벡터 공간

V(A)

의 기저를 이룬다. 즉, 임의의 점

a \in A

에 대하여, 다음을 만족시키는 스칼라들

\lambda_1(a), \dots, \lambda_d(a) \in K

가 존재한다.

:

a - a_0 = \sum_{k=1}^d \lambda_k(a)(a_k - a_0)

2. 2. 아핀 좌표

체

K

위의 유한 차원 아핀 공간

A

의 아핀 틀

\{a_0, a_1, \dots, a_d\} \subseteq A

가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

:

\{a_1 - a_0, \dots, a_d - a_0\}

은 평행 이동의 벡터 공간

V(A)

의 기저를 이룬다. 즉, 임의의 점

a \in A

에 대하여, 다음을 만족시키는 스칼라들

\lambda_1(a), \dots, \lambda_d(a) \in K

가 존재한다.

:

a - a_0 = \sum_{k=1}^d \lambda_k(a)(a_k - a_0)

이 경우 스칼라 튜플

(\lambda_1(a), \dots, \lambda_d(a))

를 아핀 틀

\{a_0, a_1, \dots, a_d\}

에 대한 점

a

의 '''아핀 좌표'''(affine coordinate^영어)라고 하며, 이렇게 정의된 전단사 아핀 변환

:

(\lambda_1, \dots, \lambda_d) \colon A \to K^d

를 아핀 틀

\{a_0, a_1, \dots, a_d\}

에 대한

A

위의 '''아핀 좌표계'''라고 한다.

3. 성질

체 $K$ 위의 유한 차원 아핀 공간 $A$ 에서, 아핀 틀은 평행 이동 벡터 공간의 기저를 이룬다. 이를 통해 각 점에 대한 아핀 좌표를 정의할 수 있으며, 이 좌표는 아핀 변환을 정의하는 데 사용된다.

3. 1. 기저와의 관계

체

K

위의 유한 차원 아핀 공간

A

의 아핀 틀

\{a_0, a_1, \dots, a_d\} \subseteq A

가 주어졌을 때,

:

\{a_1 - a_0, \dots, a_d - a_0\}

은 평행 이동의 벡터 공간

V(A)

의 기저를 이룬다. 즉, 임의의 점

a \in A

에 대하여, 다음을 만족시키는 스칼라들

\lambda_1(a), \dots, \lambda_d(a) \in K

가 존재한다.

:

a - a_0 = \sum_{k=1}^d \lambda_k(a)(a_k - a_0)

이 경우 스칼라 튜플

(\lambda_1(a), \dots, \lambda_d(a))

를 아핀 틀

\{a_0, a_1, \dots, a_d\}

에 대한 점

a

의 '''아핀 좌표'''(affine coordinate|아핀 좌표^영어)라고 하며, 이렇게 정의된 전단사 아핀 변환

:

(\lambda_1, \dots, \lambda_d) \colon A \to K^d

를 아핀 틀

\{a_0, a_1, \dots, a_d\}

에 대한

A

위의 '''아핀 좌표계'''라고 한다.

3. 2. 아핀 변환

체

K

위의 유한 차원 아핀 공간

A

의 아핀 틀

\{a_0, a_1, \dots, a_d\} \subseteq A

가 주어졌을 때, 임의의 점

a \in A

에 대하여, 다음을 만족시키는 스칼라들

\lambda_1(a), \dots, \lambda_d(a) \in K

가 존재한다.

:

a - a_0 = \sum_{k=1}^d \lambda_k(a)(a_k - a_0)

이 경우 스칼라 튜플

(\lambda_1(a), \dots, \lambda_d(a))

를 아핀 틀

\{a_0, a_1, \dots, a_d\}

에 대한 점

a

의 '''아핀 좌표'''(affine coordinate^영어)라고 하며, 이렇게 정의된 전단사 아핀 변환

:

(\lambda_1, \dots, \lambda_d) \colon A \to K^d

를 아핀 틀

\{a_0, a_1, \dots, a_d\}

에 대한

A

위의 '''아핀 좌표계'''라고 한다.

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com