아핀 좌표계

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1. 개요
2. 정의
- 2.1. 아핀 틀
- 2.2. 아핀 좌표
3. 성질
- 3.1. 기저와의 관계
- 3.2. 아핀 변환
참조

1. 개요

아핀 좌표계는 체 K 위의 유한 차원 아핀 공간 A의 아핀 틀에 대한 전단사 아핀 변환이다. 아핀 틀은 아핀 공간 A의 유한 부분 집합 {a0, a1, ..., ad}로, 아핀 독립 조건과 아핀 생성 조건을 만족한다. 아핀 틀이 주어지면, 각 점 a에 대해 스칼라 튜플 (λ1(a), ..., λd(a))를 아핀 좌표라고 하며, 이 좌표들을 통해 아핀 좌표계를 정의한다.

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2. 정의

체 $K$ 위의 유한 차원 아핀 공간 $A$ 의 유한 부분 집합 $\{a_0, a_1, \dots, a_d\} \subseteq A$ 가 아핀 틀이 되기 위한 조건은 다음과 같다.

아핀 독립이어야 한다. 즉, $\{a_0, a_1, \dots, a_d\}$ 로 생성되는 부분 아핀 공간의 차원은 $d$ 이다.
아핀 생성 집합이어야 한다. 즉, $\{a_0, a_1, \dots, a_d\}$ 로 생성되는 부분 아핀 공간은 $A$ 전체이다.

이 경우

d

는

A

의 차원과 같다.

아핀 틀

\{a_0, a_1, \dots, a_d\} \subseteq A

가 주어지면,

\{a_1 - a_0, \dots, a_d - a_0\}

는 평행 이동의 벡터 공간

V(A)

의 기저가 된다. 임의의 점

a \in A

에 대해, 다음을 만족시키는 스칼라

\lambda_1(a), \dots, \lambda_d(a) \in K

가 유일하게 존재한다.

:

a - a_0 = \sum_{k=1}^d \lambda_k(a)(a_k - a_0)

이때, 스칼라 튜플

(\lambda_1(a), \dots, \lambda_d(a))

를 점

a

의 '''아핀 좌표'''(affine coordinate^영어)라고 한다. 그리고 이렇게 정의된 전단사 아핀 변환

:

(\lambda_1, \dots, \lambda_d) \colon A \to K^d

를

A

위의 '''아핀 좌표계'''라고 한다.

2. 1. 아핀 틀

체

K

위의 유한 차원 아핀 공간

A

의 유한 부분 집합

\{a_0, a_1, \dots, a_d\} \subseteq A

가 다음 두 조건을 만족시키면, 이를 아핀 공간

A

의 '''아핀 틀'''(affine frame^영어)이라고 한다.

(아핀 독립) 즉, $\{a_0, a_1, \dots, a_d\}$ 로 생성되는 부분 아핀 공간의 차원은 $d$ 이다.
(아핀 생성) $\{a_0, a_1, \dots, a_d\}$ 로 생성되는 부분 아핀 공간은 $A$ 전체이다.

특히, 이 경우

d

는

A

의 차원이다.

체

K

위의 유한 차원 아핀 공간

A

의 아핀 틀

\{a_0, a_1, \dots, a_d\} \subseteq A

가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

:

\{a_1 - a_0, \dots, a_d - a_0\}

은 평행 이동의 벡터 공간

V(A)

의 기저를 이룬다. 즉, 임의의 점

a \in A

에 대하여, 다음을 만족시키는 스칼라들

\lambda_1(a), \dots, \lambda_d(a) \in K

가 존재한다.

:

a - a_0 = \sum_{k=1}^d \lambda_k(a)(a_k - a_0)

2. 2. 아핀 좌표

체

K

위의 유한 차원 아핀 공간

A

의 아핀 틀

\{a_0, a_1, \dots, a_d\} \subseteq A

가 주어졌다고 하자. 그렇다면,

:

\{a_1 - a_0, \dots, a_d - a_0\}

은 평행 이동의 벡터 공간

V(A)

의 기저를 이룬다. 즉, 임의의 점

a \in A

에 대하여, 다음을 만족시키는 스칼라들

\lambda_1(a), \dots, \lambda_d(a) \in K

가 존재한다.

:

a - a_0 = \sum_{k=1}^d \lambda_k(a)(a_k - a_0)

이 경우 스칼라 튜플

(\lambda_1(a), \dots, \lambda_d(a))

를 아핀 틀

\{a_0, a_1, \dots, a_d\}

에 대한 점

a

의 '''아핀 좌표'''(affine coordinate^영어)라고 하며, 이렇게 정의된 전단사 아핀 변환

:

(\lambda_1, \dots, \lambda_d) \colon A \to K^d

를 아핀 틀

\{a_0, a_1, \dots, a_d\}

에 대한

A

위의 '''아핀 좌표계'''라고 한다.

3. 성질

체 $K$ 위의 유한 차원 아핀 공간 $A$ 에서, 아핀 틀은 평행 이동 벡터 공간의 기저를 이룬다. 이를 통해 각 점에 대한 아핀 좌표를 정의할 수 있으며, 이 좌표는 아핀 변환을 정의하는 데 사용된다.

3. 1. 기저와의 관계

체

K

위의 유한 차원 아핀 공간

A

의 아핀 틀

\{a_0, a_1, \dots, a_d\} \subseteq A

가 주어졌을 때,

:

\{a_1 - a_0, \dots, a_d - a_0\}

은 평행 이동의 벡터 공간

V(A)

의 기저를 이룬다. 즉, 임의의 점

a \in A

에 대하여, 다음을 만족시키는 스칼라들

\lambda_1(a), \dots, \lambda_d(a) \in K

가 존재한다.

:

a - a_0 = \sum_{k=1}^d \lambda_k(a)(a_k - a_0)

이 경우 스칼라 튜플

(\lambda_1(a), \dots, \lambda_d(a))

를 아핀 틀

\{a_0, a_1, \dots, a_d\}

에 대한 점

a

의 '''아핀 좌표'''(affine coordinate|아핀 좌표^영어)라고 하며, 이렇게 정의된 전단사 아핀 변환

:

(\lambda_1, \dots, \lambda_d) \colon A \to K^d

를 아핀 틀

\{a_0, a_1, \dots, a_d\}

에 대한

A

위의 '''아핀 좌표계'''라고 한다.

3. 2. 아핀 변환

체

K

위의 유한 차원 아핀 공간

A

의 아핀 틀

\{a_0, a_1, \dots, a_d\} \subseteq A

가 주어졌을 때, 임의의 점

a \in A

에 대하여, 다음을 만족시키는 스칼라들

\lambda_1(a), \dots, \lambda_d(a) \in K

가 존재한다.

:

a - a_0 = \sum_{k=1}^d \lambda_k(a)(a_k - a_0)

이 경우 스칼라 튜플

(\lambda_1(a), \dots, \lambda_d(a))

를 아핀 틀

\{a_0, a_1, \dots, a_d\}

에 대한 점

a

의 '''아핀 좌표'''(affine coordinate^영어)라고 하며, 이렇게 정의된 전단사 아핀 변환

:

(\lambda_1, \dots, \lambda_d) \colon A \to K^d

를 아핀 틀

\{a_0, a_1, \dots, a_d\}

에 대한

A

위의 '''아핀 좌표계'''라고 한다.

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아핀 좌표계
아핀 공간 정보
정의	점들의 집합과 벡터 공간 사이의 관계를 나타내는 구조
관련 분야	선형대수학 기하학
역사
어원	아핀(affine)은 "관련된", "연결된"을 의미하는 라틴어 "affinis"에서 유래
기원	레온하르트 오일러의 연구에서 시작되었으며, 뫼비우스에 의해 발전
펠릭스 클라인의 에를랑겐 프로그램	아핀 기하학은 사영 기하학에서 사영 변환이 무한원 평면을 보존하는 경우로 정의됨
형식적 정의
아핀 공간	점들의 집합 A와 벡터 공간 V, 그리고 작용 φ: A × V → A로 구성됨 작용 φ는 다음 두 공리를 만족해야 함
공리 1	임의의 점 a ∈ A와 벡터 v, w ∈ V에 대해, φ(φ(a, v), w) = φ(a, v + w)
공리 2	임의의 점 a ∈ A에 대해, 사상 V → A : v ↦ φ(a, v)는 전단사
표기법	φ(a, v)는 a + v로 표기하기도 함
아핀 부분 공간	아핀 공간 A의 부분 집합 B가 벡터 공간 V의 부분 공간 W에 대해 B = {a + w \| w ∈ W}를 만족하면 아핀 부분 공간이라고 함
아핀 좌표계
정의	아핀 공간 A의 점 o와 V의 기저 (e1, ..., en)으로 구성됨
좌표 표현	임의의 점 p ∈ A는 p = o + x1e1 + ... + xnen으로 유일하게 표현 가능하며, (x1, ..., xn)을 p의 좌표라고 함
아핀 변환
정의	아핀 공간 사이의 구조를 보존하는 함수. 즉, 점, 직선, 평면, 평행 관계 등을 보존하는 변환
종류	평행 이동: 모든 점을 같은 방향으로 같은 거리만큼 이동시키는 변환 선형 변환: 벡터 공간의 선형 변환과 관련된 변환 전단사 아핀 변환: 아핀 공간의 구조를 보존하며 전단사 함수인 변환
아핀 닫힘
정의	유클리드 공간의 부분집합을 포함하는 가장 작은 아핀 공간
같이 보기
관련 개념	질량 중심 바일 대수 볼록 집합 카라테오도리 정리 (볼록 껍질) 헬리 정리 라돈 정리