전단사 함수

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1. 개요
2. 정의
3. 성질
- 3.1. 부분 전단사 함수
4. 예시
5. 범주론
참조

1. 개요

전단사 함수는 두 집합 X와 Y 사이의 함수로, 임의의 Y의 원소 y에 대해 f(x) = y를 만족하는 유일한 X의 원소 x가 존재하는 함수를 의미한다. 이는 전사 함수이면서 단사 함수인 함수이며, 집합의 범주에서의 동형 사상이다. 전단사 함수가 존재할 경우, 두 집합의 크기는 같으며, 유한 집합의 경우 단사 또는 전사 함수이면 전단사 함수가 된다. 전단사 함수의 개념은 부분 함수로 확장되어 부분 전단사 함수로 정의되며, 야구 타순, 학생과 의자, 항등 함수 등이 전단사 함수의 예시이다.

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전단사 함수

2. 정의

두 집합 $X$ , $Y$ 사이의 함수 $f\colon X\to Y$ 에 대하여, 다음 조건들은 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함수를 '''전단사 함수'''라고 한다.

임의의 $y\in Y$ 에 대하여, $f(x)=y$ 인 유일한 $x\in X$ 가 존재한다.
전사 함수이며 단사 함수이다.
집합의 범주에서의 동형 사상이다. 즉, $f\circ g=\operatorname{id}_Y$ , $g\circ f=\operatorname{id}_X$ 인 함수 $g\colon Y\to X$ 가 존재한다. 이러한 $g$ 를 $f$ 의 '''역함수'''라고 한다.

이항 관계가 집합 ''X''의 원소와 집합 ''Y''의 원소를 짝짓는 전단사가 되려면 다음 네 가지 속성이 충족되어야 한다.

# ''X''의 각 원소는 ''Y''의 적어도 하나의 원소와 짝을 이루어야 한다.

# ''X''의 어떤 원소도 ''Y''의 두 개 이상의 원소와 짝을 이룰 수 없다.

# ''Y''의 각 원소는 ''X''의 적어도 하나의 원소와 짝을 이루어야 한다.

# ''Y''의 어떤 원소도 ''X''의 두 개 이상의 원소와 짝을 이룰 수 없다.

(1)과 (2)를 만족한다는 것은 짝짓기가 함수이며 정의역은 ''X''임을 의미한다. 즉, ''X''의 모든 원소는 ''Y''의 정확히 하나의 원소와 짝을 이룬다. (3)을 만족하는 함수는 "''Y''로의 전사 함수"라고 하며 전사 함수 (또는 '전사적 함수')라고 한다. (4)를 만족하는 함수는 "일대일 함수"라고 하며 단사 함수 (또는 '단사적 함수')라고 한다.^[2] 이러한 용어를 사용하면 전단사는 전사 함수이자 단사 함수인 함수, 즉 "일대일"이면서 "전사"인 함수이다.^[3]

사상 ''f'': ''A'' → ''B''에 대해, 다음 두 조건

# 전사성: ''f''(''A'') = ''B''

# 단사성: 임의의 ''A''의 원소 ''a''₁, ''a''₂에 대해, ''f''(''a''₁) = ''f''(''a''₂)이면 ''a''₁ = ''a''₂

이 모두 성립할 때, 사상 ''f''는 '''전단사'''(bijective)라고 한다.

''f'': ''A'' → ''B''가 전단사라는 것은,

:

\forall\ b \in B,\,\exists\ !\ a \in A \text{ s.t. } b=f(a)

가 성립하는 것과 동치이다.

3. 성질

두 집합 $X$ 와 $Y$ 사이에 전단사 함수가 존재하면, $X$ 의 집합의 크기와 $Y$ 의 집합의 크기는 같다. 크기가 같은 두 유한 집합 $X$ , $Y$ 사이의 함수 $f\colon X\to Y$ 가 단사 함수이거나 전사 함수이면, 항상 전단사 함수이다. 그러나 이는 무한 집합에 대하여 성립하지 않는다. (예: $\mathbb N\to\mathbb N$ , $n\mapsto n+1$ 은 단사 함수이지만 전사 함수가 아니다.)

집합 $X$ 위의 전단사 함수 $X\to X$ 들의 집합은 대칭군 $\operatorname{Sym}(X)$ 라는 군을 이룬다.

유한 집합 $X$ 에서 집합 $Y$ 로 가는 전단사 함수의 수는 다음과 같다.

조건	전단사 함수 개수
>X\|=\|Y\|	>X\|!
>X\|\ne\|Y\|	0

만약 $X$ 와 $Y$ 가 유한 집합이라면, 두 집합 사이에 전단사 함수가 존재하기 위한 필요충분조건은 $X$ 와 $Y$ 가 같은 수의 원소를 갖는 것이다. 공리적 집합론에서 이는 "같은 수의 원소" (동등 농도)의 정의로 사용되며, 무한 집합으로 일반화하면 무한 집합의 다양한 크기를 구별하는 방법인 기수의 개념으로 이어진다.

함수 $f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 는 해당 함수의 그래프가 모든 수평선 및 수직선과 정확히 한 번씩 만나는 경우에만 전단사 함수이다.

전단사 함수는 집합의 기수를 보존한다. 정의역의 부분 집합 $A$ 의 기수가 $|A|$ 이고, 공역의 부분 집합 $B$ 의 기수가 $|B|$ 일 때, 다음 등식이 성립한다.

: $|f(A)| = |A|$ 및 $|f^{-1}(B)| = |B|$ .

$X$ 와 $Y$ 가 동일한 기수를 가진 유한 집합이고, $f\colon X \to Y$ 라면, 다음은 동등하다.

$f$ 는 전단사 함수이다.
$f$ 는 전사 함수이다.
$f$ 는 단사 함수이다.

유한 집합

S

에 대해, 요소의 가능한 전순서 집합과

S

에서

S

로의 전단사 함수의 집합 사이에는 전단사 함수가 존재한다. 즉,

S

의 요소 순열의 수는 해당 집합의 전순서의 수와 같으며, 이는

n!

이다.

전단사 함수는 역함수를 갖는다.

두 함수

f\colon A \to B

,

g\colon B \to C

의 합성 함수

g \circ f \colon A \to C

가 전단사 함수이면

f

는 단사 함수이고,

g

는 전사 함수이다.

두 전단사 함수를 합성하면, 그 합성 함수 또한 전단사 함수이다.

3. 1. 부분 전단사 함수

전단사 함수의 개념은 부분 함수로 일반화될 수 있으며, 이 경우 부분 전단사 함수라고 불린다. 하지만 부분 전단사 함수는 단사 함수이기만 하면 된다. 이러한 완화의 이유는 (적절한) 부분 함수는 이미 정의역의 일부에 대해 정의되지 않기 때문이다. 따라서 역함수를 전체 함수, 즉 정의역 전체에서 정의되도록 제한할 필요가 없다. 주어진 기본 집합에 대한 모든 부분 전단사 함수의 집합을 대칭 역 반군이라고 한다.^[4]

동일한 개념을 정의하는 또 다른 방법은 ''A''에서 ''B''로의 부분 전단사 함수가 ''R''이라는 관계(부분 함수임이 밝혀짐)이며, 여기서 ''R''은 전단사 함수 ''f'':''A′''→''B′''의 그래프이며, ''A′''은 ''A''의 부분 집합이고 ''B′''은 ''B''의 부분 집합이라고 말하는 것이다.^[5]

부분 전단사 함수가 동일한 집합에 있을 때, 때때로 일대일 부분 변환이라고 불린다.^[6] 예로는 확장된 복소 평면으로의 완성이 아닌, 복소 평면에서 간단하게 정의된 뫼비우스 변환이 있다.^[7]

4. 예시

야구 또는 크리켓 팀의 타순은 선수와 타순 위치 사이의 전단사 함수의 예시이다. 선수들을 정의역, 타순의 위치들을 공역으로 생각하면, 각 선수는 타순에서 특정 위치를 차지하고, 어떤 선수도 두 개 이상의 위치에서 타격하지 않으며, 각 위치에는 그 위치에서 타격하는 선수가 있고, 두 명 이상의 선수가 같은 위치에서 타격하지 않으므로 전단사 함수가 성립한다.
교실의 학생들과 의자들 사이에 전단사 함수를 만들 수 있다. (학생 수와 의자 수가 같을 경우) 모든 학생이 의자에 앉고, 한 학생이 두 개 이상의 의자에 앉지 않으며, 모든 의자에 학생이 앉고, 한 의자에 두 명 이상의 학생이 앉지 않는다면, 학생 집합과 의자 집합 사이에 전단사 함수가 존재한다.
모든 집합 ''X''에 대해, 항등 함수는 전단사 함수이다.
선형 함수 ''f'': '''R''' → '''R''', ''f''(''x'') = 2''x'' + 1는 각 ''y''에 대해 ''f''(''x'') = ''y''를 만족하는 고유한 ''x'' = (''y'' − 1)/2가 존재하므로 전단사 함수이다.
지수 함수 ''g'': '''R''' → '''R''', ''g''(''x'') = e^''x''는 전단사 함수가 아니다. 예를 들어, ''g''(''x'') = −1을 만족하는 '''R''' 내의 ''x''가 없으므로, ''g''는 전사 함수가 아니다. 그러나 공역을 양의 실수 $\R^+ \equiv \left(0, \infty\right)$ 로 제한하면 전단사 함수가 된다.
자연수에서 정수로의 전단사 함수를 만들 수 있다.
자연수에서 정수로의 전단사 함수. ''n'' ≥ 0에 대해 2''n''을 −''n''으로, 2''n'' − 1을 ''n''으로 매핑한다.

5. 범주론

전단사 함수는 범주 ''집합의 범주''에서 동형 사상이다.^[1] 그러나 전단사 함수가 더 복잡한 범주에서는 항상 동형 사상인 것은 아니다.^[1] 예를 들어, 군의 범주인 ''Grp''에서 사상은 군 구조를 보존해야 하므로 준동형 사상이어야 하며, 따라서 동형 사상은 전단사 준동형 사상인 ''군 동형 사상''이다.^[1]

참조

_[1] harvnb
_[2] 문서
_[3] 웹사이트 Bijection, Injection, And Surjection https://brilliant.or[...] 2019-12-07
_[4] 서적 Mathematics across the Iron Curtain: A History of the Algebraic Theory of Semigroups https://books.google[...] American Mathematical Society 2014-07-16
_[5] 서적 Handbook of Categorical Algebra: Volume 2, Categories and Structures https://books.google[...] Cambridge University Press
_[6] 서적 Semigroups: An Introduction to the Structure Theory https://books.google[...] CRC Press
_[7] 서적 Groups St Andrews 2005 Volume 2 http://www.math.unl.[...] Cambridge University Press

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조건	전단사 함수 개수
>X\|=\|Y\|	>X\|!
>X\|\ne\|Y\|	0