평행 이동

"오늘의AI위키"는 AI 기술로 일관성 있고 체계적인 최신 지식을 제공하는 혁신 플랫폼입니다.
"오늘의AI위키"의 AI를 통해 더욱 풍부하고 폭넓은 지식 경험을 누리세요.

1. 개요

평행 이동은 기하학에서 한 점을 고정된 방향과 거리만큼 이동시키는 변환을 의미한다. 기하학, 물리학, 군론 등 다양한 분야에서 사용되며, 특히 기하학에서는 도형의 위치를 바꾸는 데 사용된다. 물리학에서는 물체의 회전 없이 위치만 변하는 병진 운동을 설명하며, 군론에서는 평행 이동의 집합이 이루는 군의 성질을 다룬다. 또한, 그래프의 수평 및 수직 이동을 통해 함수의 그래프를 변환하는 데에도 활용된다.

더 읽어볼만한 페이지

변환 (함수) - 아핀 변환
아핀 변환은 아핀 공간에서 직선의 형태와 평행성을 유지하는 변환으로, 선형 변환과 평행 이동의 결합으로 표현되며, 컴퓨터 그래픽스와 이미지 처리 등 여러 분야에서 활용되고 확대 행렬을 이용해 행렬 곱셈으로 나타낼 수 있다.
변환 (함수) - 선형 변환
선형 변환은 벡터의 덧셈과 스칼라 곱셈을 보존하는 특정 조건을 만족하는 두 벡터 공간 사이의 함수로서, 유한 차원 벡터 공간에서는 행렬로 표현될 수 있다.
유클리드 기하학 - 결정계
결정계는 결정 구조의 대칭성에 따라 7가지(삼사, 단사, 사방, 정방, 삼방, 육방, 입방)로 분류되며, 각 결정계는 고유한 대칭 요소와 점군의 대칭성을 갖는다.
유클리드 기하학 - 퐁슬레-슈타이너 정리
퐁슬레-슈타이너 정리는 자와 주어진 원(중심 포함)만 사용하여 자와 컴퍼스로 작도 가능한 모든 것을 작도할 수 있다는 기하학적 정리이다.

평행 이동

2. 기하학에서의 병진

만약 $\mathbf{v}$ 가 고정된 벡터이고, $\mathbf{p}$ 가 어떤 물체의 초기 위치라면, 평행 이동 함수 $T_{\mathbf{v}}$ 는 $T_{\mathbf{v}}(\mathbf{p})=\mathbf{p}+\mathbf{v}$ 로 작동한다. 이때, 주어진 벡터 $\mathbf{v}$ 는 '이동 벡터'라고도 불린다.

만약 $T$ 가 평행 이동이라면, 함수 $T$ 에 따른 부분 집합 $A$ 의 상은 $T$ 에 의한 $A$ 의 이동이다. $T_{\mathbf{v}}$ 에 의한 $A$ 의 이동은 종종 $A+\mathbf{v}$ 로 표기된다.

평행 이동은 각 점에 정벡터를 더하는 연산으로 해석하거나, 좌표계의 원점을 이동시키는 연산으로 해석할 수도 있다. 정벡터 에 대해, 에 대응하는 평행 이동 는 점 를 만큼 이동시키는 사상

:

로 작동한다.

평행 이동은 두 도형 사이의 일대일 대응이나, 어떤 평면에서 다른 평면으로의 사상으로 볼 수도 있다. 330]}}。가 평행 이동일 때, 부분 집합 의 사상 에 의한 상을, 의 에 의한 평행 이동이라고 부른다. 가 정벡터 에 대응하는 평행 이동 일 때, 의 에 의한 평행 이동은 종종 로 표기된다.

평행 이동을 강체 운동으로 기술할 수도 있다 (평행 이동 외에 회전과 반사가 있다). -차원 유클리드 공간에서 임의의 평행 이동은 등거리 변환이다. 평행 이동 전체가 이루는 집합은 평행 이동군 을 이룬다. 이 군은 원래 공간 (의 가법군)과 동형이며, 유클리드 군 의 정규 부분군이다. 의 에 의한 잉여군은 직교군 과 동형:

:

이다.

벡터 변수의 사상 에 작용하는, 정벡터 에 대응하는 '''평행 이동 작용소''' }}는

: $T_\mathbf{\delta} f(\mathbf{v}) = f(\mathbf{v}+\mathbf{\delta})$

로 정의되는 작용소를 말한다.

2. 1. 함수로서의 병진

만약

\mathbf{v}

가 고정된 벡터이고,

\mathbf{p}

가 어떤 물체의 초기 위치라면, 평행 이동 함수

T_{\mathbf{v}}

는

T_{\mathbf{v}}(\mathbf{p}) = \mathbf{p} + \mathbf{v}

로 작동한다. 이때, 주어진 벡터

\mathbf{v}

는 '이동 벡터'라고도 불린다.

만약

T

가 평행 이동이라면, 함수

T

에 따른 부분 집합

A

의 상은

T

에 의한

A

의 '''이동'''이다.

T_{\mathbf{v}}

에 의한

A

의 이동은 종종

A + \mathbf{v}

로 표기된다.

2. 2. 집합의 병진

2. 3. 좌표축의 평행 이동

기하학적 평행 이동은 종종 기하학적 객체의 위치를 변경하는 능동적 변환으로 간주되지만, 좌표계를 자체적으로 이동시키지만 객체를 고정시키는 수동적 변환을 통해 유사한 결과를 얻을 수 있다. 능동적 기하학적 평행 이동의 수동적 버전은 ''좌표축의 평행 이동''으로 알려져 있다.

3. 물리학에서의 병진

병진 운동은 물체의 변위만 달라질 뿐 회전은 없는 운동을 말한다. 물체의 지점에 대해서만 병진 조작을 한 것이다.

고전역학에서 병진 운동은 위치를 변화시키는 운동으로, 회전과는 반대되는 개념이다. 예를 들어, Whittaker에 따르면:^[1]

어떤 물체가 한 위치에서 다른 위치로 이동하고, 물체의 각 점의 시작점과 끝점을 연결하는 선이 평행한 직선의 집합을 이루고, 따라서 공간에서 물체의 방향이 변하지 않는다면, 이 변위를 "그 직선 방향으로 거리 ''ℓ''만큼의 평행 이동"이라고 부른다.

병진 변환은 객체의 모든 점 (''x'', ''y'', ''z'')의 위치를 다음 공식에 따라 변경하는 연산이다.

: (x,y,z) → (x+Δx,y+Δy, z+Δz)

여기서 (Δ''x'', Δ''y'', Δ''z'')는 객체의 각 점에 대해 동일한 벡터이다. 객체의 모든 점에 공통적인 병진 벡터 (Δ''x'', Δ''y'', Δ''z'')는 일반적으로 ''선형'' 변위라고 불리는 객체의 특정 유형의 변위를 설명하며, 이는 ''각'' 변위를 포함하는 회전 변위와 구별된다.

시공간을 고려할 때, 시간 좌표의 변화는 병진 변환으로 간주된다.

3. 1. 고전역학에서의 응용

고전역학에서 병진 운동은 위치를 변화시키는 운동으로, 회전과는 반대되는 개념이다. 예를 들어, Whittaker에 따르면, 어떤 물체가 한 위치에서 다른 위치로 이동하고, 물체의 각 점의 시작점과 끝점을 연결하는 선이 길이 ''ℓ''인 평행한 직선의 집합이어서, 공간에서 물체의 방향이 변하지 않는 경우, 이 변위를 'ℓ' 거리를 따라 선의 방향과 평행한 ''병진''이라고 한다.^[1]

병진 변환은 객체의 모든 점

(x, y, z)

의 위치를 다음 공식에 따라 변경하는 연산이다.

:

(x,y,z) \to (x+\Delta x,y+\Delta y, z+\Delta z)

여기서

(\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)

는 객체의 각 점에 대해 동일한 벡터이다. 객체의 모든 점에 공통적인 병진 벡터

(\Delta x,\ \Delta y,\ \Delta z)

는 일반적으로 ''선형'' 변위라고 불리는 객체의 특정 유형의 변위를 설명하며, 이는 ''각'' 변위를 포함하는 회전 변위와 구별된다.

시공간을 고려할 때, 시간 좌표의 변화는 평행 이동이라고 생각할 수 있다. 예를 들어, 갈릴레이 변환군이나 푸앵카레 군은 시간에 관한 평행 이동을 포함한다.

3. 2. 병진 대칭

평행 이동 전과 후가 동일하게 보이는 물체는 병진 대칭을 갖는다고 한다. 흔한 예시는 주기 함수이며, 이는 변환 연산자의 고유 함수이다.

4. 군론에서의 병진

모든 병진의 집합은 '''병진군''' $\mathbb{T}$ 을 형성하며, 이는 공간 자체와 동형이며, 유클리드 군 $E(n)$ 의 정규 부분군이다. $E(n)$ 을 $\mathbb{T}$ 로 나눈 몫군은 특정 원점을 고정하는 강체 운동군, 즉 직교군 $O(n)$ 과 동형이다.

: $E(n)/\mathbb{T}\cong O(n)$

병진은 교환 법칙을 따르므로, 병진군은 가환군이다. 가능한 병진의 수는 무한하므로, 병진군은 무한군이다.

상대성 이론에서, 시공간을 단일 시공간으로 취급하기 때문에 병진은 좌표 시간의 변화를 의미할 수도 있다. 예를 들어, 갈릴레이 군과 푸앵카레 군은 시간에 대한 병진을 포함한다.

4. 1. 병진군

모든 병진의 집합은 병진군

\mathbb{T}

을 형성하며, 이는 공간 자체와 동형이며, 유클리드 군

E(n)

의 정규 부분군이다.

E(n)

을

\mathbb{T}

로 나눈 몫군은 특정 원점을 고정하는 강체 운동군, 즉 직교군

O(n)

과 동형이다.

:

E(n)/\mathbb{T}\cong O(n)

병진은 교환 법칙을 따르므로, 병진군은 가환군이다. 가능한 병진의 수는 무한하므로, 병진군은 무한군이다.

상대성 이론에서, 시공간을 단일 시공간으로 취급하기 때문에 병진은 좌표 시간의 변화를 의미할 수도 있다. 예를 들어, 갈릴레이 군과 푸앵카레 군은 시간에 대한 병진을 포함한다.

4. 2. 격자군

3차원 병진군의 한 종류의 부분군은 격자군인데, 이는 무한군이지만, 병진군과는 달리 유한 생성군이다. 즉, 유한한 생성 집합이 전체 군을 생성한다.

5. 행렬 표현

균질 좌표를 사용하면 벡터 공간의 평행 이동을 행렬 곱셈으로 나타낼 수 있다. 3차원 벡터 $\mathbf{v}=(v_x, v_y, v_z)$ 는 4개의 균질 좌표를 사용하여 $\mathbf{v}=(v_x, v_y, v_z, 1)$ 로 표기한다.^[2]

벡터 $\mathbf{v}$ 만큼 객체를 평행 이동시키려면, 각 균질 벡터 $\mathbf{p}$ (균질 좌표로 표기)에 다음 '''평행 이동 행렬'''을 곱할 수 있다.

: $T_{\mathbf{v}} =\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & v_x \\0 & 1 & 0 & v_y \\0 & 0 & 1 & v_z \\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}$

아래와 같이, 곱셈은 예상 결과를 제공한다.

: $T_{\mathbf{v}} \mathbf{p} =\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & v_x \\0 & 1 & 0 & v_y\\0 & 0 & 1 & v_z\\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}p_x \\ p_y \\ p_z \\ 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}p_x + v_x \\ p_y + v_y \\ p_z + v_z \\ 1\end{bmatrix}= \mathbf{p} + \mathbf{v}$

평행 이동 행렬의 역행렬은 벡터의 방향을 반대로 함으로써 얻을 수 있다.

: $T^{-1}_{\mathbf{v}} = T_{-\mathbf{v}} . \!$

마찬가지로, 평행 이동 행렬의 곱은 벡터를 더함으로써 주어진다.

: $T_{\mathbf{v}}T_{\mathbf{w}} = T_{\mathbf{v}+\mathbf{w}} . \!$

벡터의 덧셈은 교환 법칙이 성립하므로, 평행 이동 행렬의 곱셈도 마찬가지로 교환 법칙이 성립한다 (임의의 행렬의 곱셈과는 달리).

5. 1. 병진 행렬

균질 좌표를 사용하여 벡터 공간의 평행 이동을 행렬 곱셈으로 나타낼 수 있다. 3차원 벡터

\mathbf{v}=(v_x, v_y, v_z)

는 4개의 균질 좌표를 사용하여

\mathbf{v}=(v_x, v_y, v_z, 1)

로 표기한다.^[2]

벡터

\mathbf{v}

만큼 객체를 평행 이동시키려면, 각 균질 벡터

\mathbf{p}

(균질 좌표로 표기)에 평행 이동 행렬을 곱하면 된다. 평행 이동 행렬은 다음과 같다.

:

T_{\mathbf{v}} =\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & v_x \\0 & 1 & 0 & v_y \\0 & 0 & 1 & v_z \\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}

이 행렬과 벡터의 곱셈은 다음과 같은 결과를 나타낸다.

:

T_{\mathbf{v}} \mathbf{p} =\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & v_x \\0 & 1 & 0 & v_y\\0 & 0 & 1 & v_z\\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}p_x \\ p_y \\ p_z \\ 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}p_x + v_x \\ p_y + v_y \\ p_z + v_z \\ 1\end{bmatrix}= \mathbf{p} + \mathbf{v}

평행 이동 행렬의 역행렬은 벡터의 방향을 반대로 하여 얻을 수 있다.

:

T^{-1}_{\mathbf{v}} = T_{-\mathbf{v}} . \!

평행 이동 행렬의 곱은 벡터를 더하여 구할 수 있다.

:

T_{\mathbf{v}}T_{\mathbf{w}} = T_{\mathbf{v}+\mathbf{w}} . \!

벡터의 덧셈은 교환 법칙이 성립하므로, 평행 이동 행렬의 곱셈도 교환 법칙이 성립한다.^[2]

5. 2. 행렬 연산

3차원 벡터

\mathbf{v}=(v_x, v_y, v_z)

를 4개의 균질 좌표를 사용하여

\mathbf{v}=(v_x, v_y, v_z, 1)

로 표기하여 벡터 공간의 평행 이동을 행렬 곱셈으로 나타낼 수 있다.^[2] 벡터

\mathbf{v}

만큼 객체를 평행 이동시키려면, 각 균질 벡터

\mathbf{p}

(균질 좌표로 표기)에 평행 이동 행렬을 곱하면 된다.

:

T_{\mathbf{v}} \mathbf{p} =\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 & v_x \\0 & 1 & 0 & v_y\\0 & 0 & 1 & v_z\\0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}p_x \\ p_y \\ p_z \\ 1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}p_x + v_x \\ p_y + v_y \\ p_z + v_z \\ 1\end{bmatrix}= \mathbf{p} + \mathbf{v}

평행 이동 행렬의 역행렬은 벡터의 방향을 반대로 함으로써 얻을 수 있으며,

T^{-1}_{\mathbf{v}} = T_{-\mathbf{v}}

이다. 평행 이동 행렬의 곱은 벡터를 더함으로써 주어지는데,

T_{\mathbf{v}}T_{\mathbf{w}} = T_{\mathbf{v}+\mathbf{w}}

이다. 벡터의 덧셈은 교환 법칙이 성립하므로, 평행 이동 행렬의 곱셈도 교환 법칙이 성립한다.

6. 연산자로서의 병진

평행 이동 연산자는 원래 위치의 함수 $f(\mathbf{v})$ 를 최종 위치의 함수 $f(\mathbf{v}+\mathbf{\delta})$ 로 바꾼다. 즉, $T_\mathbf{\delta}$ 는 $T_\mathbf{\delta} f(\mathbf{v}) = f(\mathbf{v}+\mathbf{\delta}).$ 이 되도록 정의된다. 이 연산자는 기본 벡터 자체보다는 두 함수 간의 관계를 정의하므로 함수보다 더 추상적이다. 평행 이동 연산자는 평행 이동 연산자가 파동 함수에 작용할 때와 같이 다양한 종류의 함수에 작용할 수 있으며, 이는 양자역학 분야에서 연구된다.

6. 1. 이동 연산자 정의

평행 이동 연산자는 원래 위치의 함수

f(\mathbf{v})

를 최종 위치의 함수

f(\mathbf{v}+\mathbf{\delta})

로 바꾼다. 즉,

T_\mathbf{\delta}

는

T_\mathbf{\delta} f(\mathbf{v}) = f(\mathbf{v}+\mathbf{\delta}).

이 되도록 정의된다. 이 연산자는 기본 벡터 자체보다는 두 함수 간의 관계를 정의하므로 함수보다 더 추상적이다. 평행 이동 연산자는 평행 이동 연산자가 파동 함수에 작용할 때와 같이 다양한 종류의 함수에 작용할 수 있으며, 이는 양자역학 분야에서 연구된다.

7. 그래프의 평행 이동

함수 f/f^영어의 그래프, 즉 점들의 집합 (x, f(x))는 종종 x를 수평 좌표로, y = f(x)를 수직 좌표로 하여 실수 좌표 평면에 그려진다.

f/f^영어의 그래프에서 시작하여, '''수평 이동'''은 상수 a/a^영어에 대해 함수 x \mapsto x - a/x \mapsto x - a^영어와 f/f^영어를 합성하는 것을 의미하며, 결과적으로 점 (x, f(x - a))로 구성된 그래프가 된다. 원래 그래프의 각 점 (x, y)는 새 그래프의 점 (x + a, y)에 해당하며, 이는 그림에서 수평 이동을 나타낸다.

'''수직 이동'''은 상수 b/b^영어에 대해 함수 y \mapsto y + b/y \mapsto y + b^영어와 f/f^영어를 합성하는 것을 의미하며, 결과적으로 점 (x, f(x) + b)로 구성된 그래프가 된다. 원래 그래프의 각 점 (x, y)는 새 그래프의 점 (x, y + b)에 해당한다.^[3]

예를 들어, 정점 좌표가 (0, 0)인 포물선인 이차 함수 y = x²를 수평으로 5단위 오른쪽으로 이동하면 새로운 함수는 y = (x - 5)² = x² - 10x + 25가 되며, 정점의 좌표는 (5, 0)이 된다. 수직으로 3단위 위로 이동하면 새로운 함수는 y = x² + 3이 되며, 정점의 좌표는 (0, 3)이 된다.

함수의 부정적분은 모두 적분 상수만큼 서로 다르며, 따라서 서로 수직 이동된 형태이다.^[4]

7. 1. 수평 이동

함수 ''f''의 그래프, 즉 점들의 집합 (''x'', ''f''(''x''))는 종종 ''x''를 수평 좌표로, ''y'' = ''f''(''x'')를 수직 좌표로 하여 실수 좌표 평면에 그려진다.

상수 ''a''에 대해 함수 와 ''f''를 합성하여 (''x'', ''f''(''x'' - ''a''))로 구성된 그래프를 얻는 것을 수평 이동이라고 한다. 원래 그래프의 각 점 (''x'', ''y'')는 새 그래프의 점 (''x'' + ''a'', ''y'')에 해당하며, 이는 그림에서 수평 이동을 나타낸다.^[3]

예를 들어, 정점 좌표가 (0, 0)인 포물선인 이차 함수 ''y'' = ''x''²를 수평으로 5단위 오른쪽으로 이동하면 새로운 함수는 ''y'' = (''x'' - 5)² = ''x''² - 10''x'' + 25가 되며, 정점의 좌표는 (5, 0)이 된다.^[3]

7. 2. 수직 이동

함수 ''f''의 그래프, 즉 점들의 집합 는 종종 ''x''를 수평 좌표로, 를 수직 좌표로 하여 실수 좌표 평면에 그려진다.

'''수직 이동'''은 상수 ''b''에 대해 함수 와 ''f''를 합성하는 것을 의미하며, 결과적으로 점 로 구성된 그래프가 된다. 원래 그래프의 각 점 는 새 그래프의 점 에 해당한다.^[3]

예를 들어, 정점 좌표가 인 포물선인 이차 함수 를 수직으로 3단위 위로 이동하면 새로운 함수는 이 되며, 정점의 좌표는 이 된다.

함수의 부정적분은 모두 적분 상수만큼 서로 다르며, 따라서 서로 수직 이동된 형태이다.^[4]

8. 응용

차량 동역학(또는 임의의 강체의 움직임)을 설명하기 위해, 선박 동역학 및 항공기 동역학을 포함하여, 세 개의 기준 축을 따라 이동(세 축에 대한 회전 포함)하는 여섯 개의 자유도로 구성된 역학 모델을 사용하는 것이 일반적이다. 이러한 이동은 종종 전진, 횡동, 그리고 상하동이라고 불린다.

참조

_[1] 서적 A Treatise on the Analytical Dynamics of Particles and Rigid Bodies https://books.google[...] Cambridge University Press
_[2] 서적 Robot manipulators: mathematics, programming, and control : the computer control of robot manipulators https://books.google[...] MIT Press
_[3] 간행물 Nonlinear Filters for Image Processing https://books.google[...] SPIE Press
_[4] 간행물 Single Variable Calculus: Early Transcendentals https://books.google[...] Jones & Bartlett Learning
_[5] 문서 まれに併進とも書く。

본 사이트는 AI가 위키백과와 뉴스 기사,정부 간행물,학술 논문등을 바탕으로 정보를 가공하여 제공하는 백과사전형 서비스입니다.
모든 문서는 AI에 의해 자동 생성되며, CC BY-SA 4.0 라이선스에 따라 이용할 수 있습니다.
하지만, 위키백과나 뉴스 기사 자체에 오류, 부정확한 정보, 또는 가짜 뉴스가 포함될 수 있으며, AI는 이러한 내용을 완벽하게 걸러내지 못할 수 있습니다.
따라서 제공되는 정보에 일부 오류나 편향이 있을 수 있으므로, 중요한 정보는 반드시 다른 출처를 통해 교차 검증하시기 바랍니다.

문의하기 : help@durumis.com