에르미트 항등식

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1. 개요
2. 증명
3. 활용
4. 같이 보기
참조

1. 개요

에르미트 항등식은 임의의 실수 x와 자연수 n에 대해 성립하는 수학적 항등식으로, 여러 가지 방법으로 증명될 수 있다. 주요 증명 방법으로는 대수적 증명, 정수적 증명, 함수를 이용한 증명, 그리고 정수 부분과 소수 부분을 이용한 증명 등이 있다. 이 항등식은 바닥 함수를 포함하며, 관련된 증명 과정은 주기 함수의 성질과 부등식을 활용한다.

2. 증명

에르미트 항등식은 여러 가지 방법으로 증명할 수 있다.

;대수적 증명

: $f(x)=[x]+\left [x+ \frac{1}{n} \right ]+\left [x+ \frac{2}{n} \right ]+\cdots+\left [x+ \frac{n-1}{n} \right ]-[nx]$ 라고 가정한다.

:그러므로, $f(x)=0$ 임을 증명하면 된다.

: $x=x+\frac{1}{n}$ 를 대입해 주면,

: $f\left(x+\frac{1}{n}\right)=\left [x+ \frac{1}{n} \right ]+\left [x+ \frac{2}{n} \right ]+\cdots+\left [x+1 \right ]-[nx+1]$

: $=\left [x+ \frac{1}{n} \right ]+\left [x+ \frac{2}{n} \right ]+\cdots+\left [x \right ]+1-[nx]-1$

: $=f(x)$

:가 된다.

:즉, $f(x)$ 은 주기가 $\frac{1}{n}$ 인 주기함수가 된다.

:(추가로 $f(x)=f(x+p)$ 일 때 $f(x)$ 는 주기가 $p$ 인 함수이다.)

:그러므로 $0\leq x <\frac{1}{n}$ 인 $x$ 에 대하여 $f(x)=0$ 임을 증명하면 되는 것이다.

: $0\leq x < \frac{1}{n}, [x]=0$

: $0\leq x+\frac{1}{n} < \frac{2}{n}, \left[x+\frac{1}{n} \right ]=0$

:.

:.

:.

: $0\leq x+ \frac{n-1}{n} < 1, \left[x+\frac{n-1}{n}\right]=0$

: $0\leq nx < 1, [nx]=0$

:위의 식을 다 더하면 $f(x)=0$ .

:따라서 에르미트 항등식은 성립한다.

;정수적 증명 (바닥함수의 정의 이용)

: $x=m+\alpha$ 라고 가정한다. (단, $m$ 은 정수, $0\leq\alpha<1$ 이다.)

: $[x]=[m+\alpha]=m,[x+1]=[m+\alpha]+1=m+1$ 임을 알 수 있다.

:이때, $[x]=\left[x+\frac{1}{n}\right]=\left[x+\frac{2}{n}\right]=\cdots=\left[x+\frac{i-1}{n}\right]=m$ ,

: $\left[x+\frac{i}{n}\right]=\left[x+\frac{i+1}{n}\right]=\left[x+\frac{i+2}{n}\right]=\cdots=\left[x+\frac{n-1}{n}\right]=m+1$ 이 성립한다고 가정하면,

: $\sum_{k=0}^{n-1}\left[x+\frac{k}{n}\right]=n[x]+n-i$ 가 성립한다. ( $i$ 는 자연수)

:또한, 두 부등식 $\alpha+\frac{i-1}{n}<1$ , $\alpha+\frac{i}{n}\geq1$ 을 연립하여 정리하면,

: $n-i\leq n\alpha 이 되고 양변에 n[x] 를 더해 주면,$

: $n[x]+n-i\leq n[x]+n\alpha < n[x]+n-i+1$ 이 되고, $x=m+\alpha$ 이므로,

: $n[x]+n-i\leq nx< n[x]+n-i+1$ 이다.

:따라서 $[nx]=n[x]+n-i=\sum_{k=0}^{n-1}\left[x+\frac{k}{n}\right]$ 이므로,

: $\sum_{k=0}^{n-1}\left[x+\frac{k}{n}\right]=[x]+\left[x+\frac{1}{n}\right]+\left[x+\frac{2}{n}\right]+\cdots+\left[x+\frac{n-1}{n}\right] =[nx]$

:이로써 에르미트 항등식이 성립함을 알 수 있다.

;함수를 이용한 증명

:함수 $f(x) = [x]+\left [x+ \frac{1}{n} \right ]+\left [x+ \frac{2}{n} \right ]+\cdots+\left [x+ \frac{n-1}{n} \right ]-[nx]$ 를 정의한다. 여기서 `[x]`는 바닥 함수를 나타낸다.

: $f(x)=0$ 임을 보이면 충분하다.

: $x$ 에 $x+\frac{1}{n}$ 를 대입하면,

: $f\left(x+\frac{1}{n}\right)=\left [x+ \frac{1}{n} \right ]+\left [x+ \frac{2}{n} \right ]+\cdots+\left [x+1 \right ]-[nx+1]$

: $=\left [x+ \frac{1}{n} \right ]+\left [x+ \frac{2}{n} \right ]+\cdots+ [x] +1-[nx]-1$

: $=f(x)$

:가 된다. 즉, $f(x)$ 는 주기가 $\frac{1}{n}$ 인 주기 함수이다.

:따라서, $0\leq x <\frac{1}{n}$ 인 $x$ 에 대하여 $f(x)=0$ 임을 보이면 된다.

: $0\leq x < \frac{1}{n}$ 이면, $[x]=0$

: $0\leq x+\frac{1}{n} < \frac{2}{n}$ 이면, $\left[x+\frac{1}{n} \right ]=0$

:...

: $0\leq x+ \frac{n-1}{n} < 1$ 이면, $\left[x+\frac{n-1}{n}\right]=0$

: $0\leq nx < 1$ 이면, $[nx]=0$

:위 식을 모두 더하면 $f(x)=0$ 이다. 따라서 에르미트 항등식이 성립한다.

;증명 과정

: $x$ 를 정수 부분과 소수 부분으로 분할하면, $x = \lfloor x \rfloor + \{x\}$ 가 된다. 여기서 $\lfloor x \rfloor$ 는 $x$ 의 정수 부분, $\{x\}$ 는 $x$ 의 소수 부분이다.

:다음 조건을 만족하는 유일한 $k' \in \{1, \ldots, n\}$ 이 존재한다.

:: $\lfloor x\rfloor=\left\lfloor x+\frac{k'-1}{n}\right\rfloor\le x<\left\lfloor x+\frac{k'}{n}\right\rfloor=\lfloor x\rfloor+1.$

:위 부등식의 각 변에서 $\lfloor x \rfloor$ 를 빼면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:: $0=\left\lfloor \{x\}+\frac{k'-1}{n}\right\rfloor\le \{x\}<\left\lfloor \{x\}+\frac{k'}{n}\right\rfloor=1.$

:이를 정리하면,

:: $1-\frac{k'}{n}\le \{x\}<1-\frac{k'-1}{n}$

:이 되고, 양변에 $n$ 을 곱하면,

:: $n-k'\le n\, \{x\}$

:를 얻는다.

:이제 에르미트 항등식의 좌변을 $k'$ 을 기준으로 두 부분으로 나누어 계산하면,

: $\begin{align}:\sum_{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+\frac{k}{n}\right\rfloor:& =\sum_{k=0}^{k'-1} \lfloor x\rfloor+\sum_{k=k'}^{n-1} (\lfloor x\rfloor+1)=n\, \lfloor x\rfloor+n-k' \\[8pt]:& =n\, \lfloor x\rfloor+\lfloor n\,\{x\}\rfloor=\left\lfloor n\, \lfloor x\rfloor+n\, \{x\} \right\rfloor=\lfloor nx\rfloor.:\end{align}$

:따라서 에르미트 항등식이 성립한다.

2. 1. 대수적 증명

f(x)=[x]+\left [x+ \frac{1}{n} \right ]+\left [x+ \frac{2}{n} \right ]+\cdots+\left [x+ \frac{n-1}{n} \right ]-[nx]

라고 가정한다.

그러므로,

f(x)=0

임을 증명하면 된다.

x=x+\frac{1}{n}

를 대입해 주면,

f\left(x+\frac{1}{n}\right)=\left [x+ \frac{1}{n} \right ]+\left [x+ \frac{2}{n} \right ]+\cdots+\left [x+1 \right ]-[nx+1]=\left [x+ \frac{1}{n} \right ]+\left [x+ \frac{2}{n} \right ]+\cdots+\left [x \right ]+1-[nx]-1=f(x)

가 된다.

즉,

f(x)

은 주기가

\frac{1}{n}

인 주기함수가 된다.

(추가로

f(x)=f(x+p)

일 때

f(x)

는 주기가

p

인 함수이다.)

그러므로

0\leq x <\frac{1}{n}

인

x

에 대하여

f(x)=0

임을 증명하면 되는 것이다.

0\leq x < \frac{1}{n}, [x]=0

0\leq x+\frac{1}{n} < \frac{2}{n}, \left[x+\frac{1}{n} \right ]=0

.

.

.

0\leq x+ \frac{n-1}{n} < 1, \left[x+\frac{n-1}{n}\right]=0

0\leq nx < 1, [nx]=0

위의 식을 다 더하면

f(x)=0

.

따라서 에르미트 항등식은 성립한다.

x=m+\alpha

라고 가정하자. (단,

m

은 정수,

0\leq\alpha<1

이다.)

[x]=[m+\alpha]=m,[x+1]=[m+\alpha]+1=m+1

임을 알 수 있다.

이때,

[x]=\left[x+\frac{1}{n}\right]=\left[x+\frac{2}{n}\right]=\cdots=\left[x+\frac{i-1}{n}\right]=m

,

\left[x+\frac{i}{n}\right]=\left[x+\frac{i+1}{n}\right]=\left[x+\frac{i+2}{n}\right]=\cdots=\left[x+\frac{n-1}{n}\right]=m+1

이 성립한다고 가정하면,

\sum_{k=0}^{n-1}\left[x+\frac{k}{n}\right]=n[x]+n-i

가 성립한다. (

i

는 자연수)

또한, 두 부등식

\alpha+\frac{i-1}{n}<1

,

\alpha+\frac{i}{n}\geq1

을 연립하여 정리하면,

n-i\leq n\alpha 이 되고 양변에 n[x] 를 더해 주면,

n[x]+n-i\leq n[x]+n\alpha < n[x]+n-i+1

이 되고,

x=m+\alpha

이므로,

n[x]+n-i\leq nx< n[x]+n-i+1

이다.

따라서

[nx]=n[x]+n-i=\sum_{k=0}^{n-1}\left[x+\frac{k}{n}\right]

이므로,

\sum_{k=0}^{n-1}\left[x+\frac{k}{n}\right]=[x]+\left[x+\frac{1}{n}\right]+\left[x+\frac{2}{n}\right]+\cdots+\left[x+\frac{n-1}{n}\right] =[nx]

이로써 에르미트 항등식이 성립함을 알 수 있다.

x

를 정수 부분과 소수 부분으로 분할하면,

x = \lfloor x \rfloor + \{x\}

가 된다. 여기서

\lfloor x \rfloor

는

x

의 정수 부분,

\{x\}

는

x

의 소수 부분이다.

다음 조건을 만족하는 유일한

k' \in \{1, \ldots, n\}

이 존재한다.

:

\lfloor x\rfloor=\left\lfloor x+\frac{k'-1}{n}\right\rfloor\le x<\left\lfloor x+\frac{k'}{n}\right\rfloor=\lfloor x\rfloor+1.

위 부등식의 각 변에서

\lfloor x \rfloor

를 빼면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

0=\left\lfloor \{x\}+\frac{k'-1}{n}\right\rfloor\le \{x\}<\left\lfloor \{x\}+\frac{k'}{n}\right\rfloor=1.

이를 정리하면,

:

1-\frac{k'}{n}\le \{x\}<1-\frac{k'-1}{n}

이 되고, 양변에

n

을 곱하면,

:

n-k'\le n\, \{x\}

를 얻는다.

이제 에르미트 항등식의 좌변을

k'

을 기준으로 두 부분으로 나누어 계산하면,

:

\begin{align}\sum_{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+\frac{k}{n}\right\rfloor& =\sum_{k=0}^{k'-1} \lfloor x\rfloor+\sum_{k=k'}^{n-1} (\lfloor x\rfloor+1)=n\, \lfloor x\rfloor+n-k' \\[8pt]& =n\, \lfloor x\rfloor+\lfloor n\,\{x\}\rfloor=\left\lfloor n\, \lfloor x\rfloor+n\, \{x\} \right\rfloor=\lfloor nx\rfloor.\end{align}

따라서 에르미트 항등식이 성립한다.

2. 1. 1. 증명 과정

x

를 정수 부분과 소수 부분으로 분할하면,

x = \lfloor x \rfloor + \{x\}

가 된다. 여기서

\lfloor x \rfloor

는

x

의 정수 부분,

\{x\}

는

x

의 소수 부분이다.

다음 조건을 만족하는 유일한

k' \in \{1, \ldots, n\}

이 존재한다.

:

\lfloor x\rfloor=\left\lfloor x+\frac{k'-1}{n}\right\rfloor\le x<\left\lfloor x+\frac{k'}{n}\right\rfloor=\lfloor x\rfloor+1.

위 부등식의 각 변에서

\lfloor x \rfloor

를 빼면 다음과 같이 나타낼 수 있다.

:

0=\left\lfloor \{x\}+\frac{k'-1}{n}\right\rfloor\le \{x\}<\left\lfloor \{x\}+\frac{k'}{n}\right\rfloor=1.

이를 정리하면,

:

1-\frac{k'}{n}\le \{x\}<1-\frac{k'-1}{n}

이 되고, 양변에

n

을 곱하면,

:

n-k'\le n\, \{x\}

를 얻는다.

이제 에르미트 항등식의 좌변을

k'

을 기준으로 두 부분으로 나누어 계산하면,

:

\begin{align}\sum_{k=0}^{n-1}\left\lfloor x+\frac{k}{n}\right\rfloor& =\sum_{k=0}^{k'-1} \lfloor x\rfloor+\sum_{k=k'}^{n-1} (\lfloor x\rfloor+1)=n\, \lfloor x\rfloor+n-k' \\[8pt]& =n\, \lfloor x\rfloor+\lfloor n\,\{x\}\rfloor=\left\lfloor n\, \lfloor x\rfloor+n\, \{x\} \right\rfloor=\lfloor nx\rfloor.\end{align}

따라서 에르미트 항등식이 성립한다.

2. 2. 함수를 이용한 증명

함수

f(x) = [x]+\left [x+ \frac{1}{n} \right ]+\left [x+ \frac{2}{n} \right ]+\cdots+\left [x+ \frac{n-1}{n} \right ]-[nx]

를 정의한다. 여기서 `[x]`는 바닥 함수를 나타낸다.

f(x)=0

임을 보이면 충분하다.

x

에

x+\frac{1}{n}

를 대입하면,

f\left(x+\frac{1}{n}\right)=\left [x+ \frac{1}{n} \right ]+\left [x+ \frac{2}{n} \right ]+\cdots+\left [x+1 \right ]-[nx+1]

=\left [x+ \frac{1}{n} \right ]+\left [x+ \frac{2}{n} \right ]+\cdots+ [x] +1-[nx]-1

=f(x)

가 된다. 즉,

f(x)

는 주기가

\frac{1}{n}

인 주기 함수이다.

따라서,

0\leq x <\frac{1}{n}

인

x

에 대하여

f(x)=0

임을 보이면 된다.

0\leq x < \frac{1}{n}

이면,

[x]=0

0\leq x+\frac{1}{n} < \frac{2}{n}

이면,

\left[x+\frac{1}{n} \right ]=0

...

0\leq x+ \frac{n-1}{n} < 1

이면,

\left[x+\frac{n-1}{n}\right]=0

0\leq nx < 1

이면,

[nx]=0

위 식을 모두 더하면

f(x)=0

이다. 따라서 에르미트 항등식이 성립한다.

x=m+\alpha

라고 가정한다. (단,

m

은 정수,

0\leq\alpha<1

이다.)

[x]=[m+\alpha]=m,[x+1]=[m+\alpha]+1=m+1

임을 알 수 있다.

이때,

[x]=\left[x+\frac{1}{n}\right]=\left[x+\frac{2}{n}\right]=\cdots=\left[x+\frac{i-1}{n}\right]=m

,

\left[x+\frac{i}{n}\right]=\left[x+\frac{i+1}{n}\right]=\left[x+\frac{i+2}{n}\right]=\cdots=\left[x+\frac{n-1}{n}\right]=m+1

이 성립한다고 가정하면,

\sum_{k=0}^{n-1}\left[x+\frac{k}{n}\right]=n[x]+n-i

가 성립한다. (

i

는 자연수)

또한, 두 부등식

\alpha+\frac{i-1}{n}<1

,

\alpha+\frac{i}{n}\geq1

을 연립하여 정리하면,

n-i\leq n\alpha 이 되고 양변에 n[x] 를 더해 주면,

n[x]+n-i\leq n[x]+n\alpha < n[x]+n-i+1

이 되고,

x=m+\alpha

이므로,

n[x]+n-i\leq nx< n[x]+n-i+1

이다.

따라서

[nx]=n[x]+n-i=\sum_{k=0}^{n-1}\left[x+\frac{k}{n}\right]

이므로,

\sum_{k=0}^{n-1}\left[x+\frac{k}{n}\right]=[x]+\left[x+\frac{1}{n}\right]+\left[x+\frac{2}{n}\right]+\cdots+\left[x+\frac{n-1}{n}\right] =[nx]

이로써 에르미트 항등식이 성립함을 알 수 있다.

2. 2. 1. 증명 과정

f(x)=[x]+\left [x+ \frac{1}{n} \right ]+\left [x+ \frac{2}{n} \right ]+\cdots+\left [x+ \frac{n-1}{n} \right ]-[nx]

라고 가정하자.

그러므로,

f(x)=0

임을 증명하면 된다.

x=x+\frac{1}{n}

를 대입해 주면,

f\left(x+\frac{1}{n}\right)=\left [x+ \frac{1}{n} \right ]+\left [x+ \frac{2}{n} \right ]+\cdots+\left [x+1 \right ]-[nx+1]=\left [x+ \frac{1}{n} \right ]+\left [x+ \frac{2}{n} \right ]+\cdots+\left [x \right ]+1-[nx]-1=f(x)

가 된다.

즉,

f(x)

은 주기가

\frac{1}{n}

인 주기함수가 된다.

(추가로

f(x)=f(x+p)

일 때

f(x)

는 주기가

p

인 함수이다.)

그러므로

0\leq x <\frac{1}{n}

인

x

에 대하여

f(x)=0

임을 증명하면 되는 것이다.

0\leq x < \frac{1}{n}, [x]=0

0\leq x+\frac{1}{n} < \frac{2}{n}, \left[x+\frac{1}{n} \right ]=0

.

.

.

0\leq x+ \frac{n-1}{n} < 1, \left[x+\frac{n-1}{n}\right]=0

0\leq nx < 1, [nx]=0

위의 식을 다 더하면

f(x)=0

.

따라서 에르미트 항등식은 성립한다.

x=m+\alpha

라고 가정하자. (단,

m

은 정수,

0\leq\alpha<1

이다.)

[x]=[m+\alpha]=m,[x+1]=[m+\alpha]+1=m+1

임을 알 수 있다.

이때,

[x]=\left[x+\frac{1}{n}\right]=\left[x+\frac{2}{n}\right]=\cdots=\left[x+\frac{i-1}{n}\right]=m

,

\left[x+\frac{i}{n}\right]=\left[x+\frac{i+1}{n}\right]=\left[x+\frac{i+2}{n}\right]=\cdots=\left[x+\frac{n-1}{n}\right]=m+1

이 성립한다고 가정하면,

\sum_{k=0}^{n-1}\left[x+\frac{k}{n}\right]=n[x]+n-i

가 성립한다. (

i

는 자연수)

또한, 두 부등식

\alpha+\frac{i-1}{n}<1

,

\alpha+\frac{i}{n}\geq1

을 연립하여 정리하면,

n-i\leq n\alpha 이 되고 양변에 n[x] 를 더해 주면,

n[x]+n-i\leq n[x]+n\alpha < n[x]+n-i+1

이 되고,

x=m+\alpha

이므로,

n[x]+n-i\leq nx< n[x]+n-i+1

이다.

따라서

[nx]=n[x]+n-i=\sum_{k=0}^{n-1}\left[x+\frac{k}{n}\right]

이므로,

\sum_{k=0}^{n-1}\left[x+\frac{k}{n}\right]=[x]+\left[x+\frac{1}{n}\right]+\left[x+\frac{2}{n}\right]+\cdots+\left[x+\frac{n-1}{n}\right] =[nx]

이로써 에르미트 항등식이 성립함을 알 수 있다.

2. 3. 정수적 증명 (바닥함수의 정의 이용)

x=m+\alpha

라고 가정한다. (단,

m

은 정수,

0\leq\alpha<1

이다.)

[x]=[m+\alpha]=m,[x+1]=[m+\alpha]+1=m+1

임을 알 수 있다.

이때,

[x]=\left[x+\frac{1}{n}\right]=\left[x+\frac{2}{n}\right]=\cdots=\left[x+\frac{i-1}{n}\right]=m

,

\left[x+\frac{i}{n}\right]=\left[x+\frac{i+1}{n}\right]=\left[x+\frac{i+2}{n}\right]=\cdots=\left[x+\frac{n-1}{n}\right]=m+1

이 성립한다고 가정하면,

\sum_{k=0}^{n-1}\left[x+\frac{k}{n}\right]=n[x]+n-i

가 성립한다. (

i

는 자연수)

또한, 두 부등식

\alpha+\frac{i-1}{n}<1

,

\alpha+\frac{i}{n}\geq1

을 연립하여 정리하면,

n-i\leq n\alpha 이 되고 양변에 n[x] 를 더해 주면,

n[x]+n-i\leq n[x]+n\alpha < n[x]+n-i+1

이 되고,

x=m+\alpha

이므로,

n[x]+n-i\leq nx< n[x]+n-i+1

이다.

따라서

[nx]=n[x]+n-i=\sum_{k=0}^{n-1}\left[x+\frac{k}{n}\right]

이므로,

\sum_{k=0}^{n-1}\left[x+\frac{k}{n}\right]=[x]+\left[x+\frac{1}{n}\right]+\left[x+\frac{2}{n}\right]+\cdots+\left[x+\frac{n-1}{n}\right] =[nx]

이로써 에르미트 항등식이 성립함을 알 수 있다.

2. 3. 1. 증명 과정

x=m+\alpha

라고 가정한다. (단,

m

은 정수,

0\leq\alpha<1

이다.)

[x]=[m+\alpha]=m,[x+1]=[m+\alpha]+1=m+1

임을 알 수 있다.

이때,

[x]=\left[x+\frac{1}{n}\right]=\left[x+\frac{2}{n}\right]=\cdots=\left[x+\frac{i-1}{n}\right]=m

,

\left[x+\frac{i}{n}\right]=\left[x+\frac{i+1}{n}\right]=\left[x+\frac{i+2}{n}\right]=\cdots=\left[x+\frac{n-1}{n}\right]=m+1

이 성립한다고 가정하면,

\sum_{k=0}^{n-1}\left[x+\frac{k}{n}\right]=n[x]+n-i

가 성립한다. (

i

는 자연수)

또한, 두 부등식

\alpha+\frac{i-1}{n}<1

,

\alpha+\frac{i}{n}\geq1

을 연립하여 정리하면,

n-i\leq n\alpha 이 되고 양변에 n[x] 를 더해 주면,

n[x]+n-i\leq n[x]+n\alpha < n[x]+n-i+1

이 되고,

x=m+\alpha

이므로,

n[x]+n-i\leq nx< n[x]+n-i+1

이다.

따라서

[nx]=n[x]+n-i=\sum_{k=0}^{n-1}\left[x+\frac{k}{n}\right]

이므로,

\sum_{k=0}^{n-1}\left[x+\frac{k}{n}\right]=[x]+\left[x+\frac{1}{n}\right]+\left[x+\frac{2}{n}\right]+\cdots+\left[x+\frac{n-1}{n}\right] =[nx]

이로써 에르미트 항등식이 성립함을 알 수 있다.

3. 활용

4. 같이 보기

참조

_[1] 서적 Mathematical Miniatures Mathematical Association of America
_[2] 간행물 Classroom Notes: On a Proof of Hermite's Identity

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